共形图与共形边界

有一种便捷的方法可以表示整个时空模型，特别是当模型具有球对称性时，例如在奥本海默斯尼德和弗里德曼时空的情形。那就是用共形图。我在这儿要区分两类共形图：严格的共形图和概略的共形图。[2.43]我们会看到每种图的用途。

图2.27　边界的虚线是一个对称轴，每一点代表一个时空点而不是一个球面S2。

【/图说】

图2.29　闵可夫斯基空间的严格共形图。

图2.30　为得到闵氏时空

的正常图形，想象把倾斜的（锥）边界无限外推。

图2.31　将光滑共形流形的双曲面延伸到它在欧氏平面的共形边界之外。

图2.32　（a）爱因斯坦宇宙的直观图（“爱因斯坦柱”）；（b），（c）同一宇宙的严格共形图。

图2.33　说明为什么i0是单点。（a）

图2.34　Λ=0的弗里德曼宇宙学的三种不同情形的严格共形图：（a）K＞0，（b）K=0，（c）K＜0。

图2.35　Λ＞0的弗里德曼宇宙学的三种不同情形的严格共形图：（a）K＞0，（b）K=0，（c）K＜0。

正如最终边界线所示，总是比45°方向更水平，正与Λ=0情形下出现的未来无限远相反[如图2.34（b），（c）和图2.29]，在那儿边界为45°，所以是零超曲面。这就是宇宙学常数的数值与的几何本性之间的关系所具有的特征，对我们的第3部分有重要意义。

图2.36　德西特时空：（a）闵氏三维空间内的表示（压缩了2个空间维）；（b）它的严格共形图；（c）截取一半，我们得到稳恒态模型的严格共形图。

它可以用于某个粒子或空间旅行者的未来，[2.45]但我们在这儿只说那种粒子运动根本不会出现。

不论以什么观点来看那种不完备性的物理，我在严格共形图中都用小锯齿线来表示它。在我的严格共形图中，还用了一种点线，代表黑洞的事件视界。我在图中会一直用5种线条（对称轴的虚线、无限远的实线、奇点的波浪线、不完备性的锯齿线和黑洞视界的点线）和两种点（黑点代表4维空间的单点，白点代表S 2），如图2.37的说明。

图2.37　严格共形图符号说明。

图2.38（a）画的是奥本海默斯尼德的向黑洞坍缩的严格共形图，它是把坍缩的弗里德曼模型的一部分与爱丁顿芬克尔斯坦（Eddington Finkelstein）推广的史瓦西（Schwarzschild）解“胶合”起来的结果，如图2.38（b），（c）及图2.39的严格共形图。

图2.38　向黑洞坍缩的奥本海默斯尼德模型：（a）通过胶合构造的严格共形图；（b）弗里德曼模型（图2.34b）时间反演的左半部分；（c）爱丁顿芬克尔斯坦模型（图2.39b）的右边部分。

史瓦西求解爱因斯坦方程是在1916年，那时广义相对论方程刚发表。他的解描述了一个静态的球对称物体（如星体）外的引力场，可以向内推广（作为静态时空）到史瓦西半径

2MG/c2

其中M是物体的质量，G是牛顿引力常数。对地球来说，半径大约为9厘米，而太阳为3千米——但在这些情形，半径深埋在天体内部，只是一个与时空几何没有直接关系的理论距离，因为史瓦西度规只适用于物体外的区域。见图2.39的严格共形图。

图2.39　球对称真空（Λ=0）的严格共形图：（a）原始史瓦西解（史瓦西半径以外）；（b）推广到爱丁顿芬克尔斯坦坍缩度规；（c）完全推广到克鲁斯卡/辛格/塞克尔形式。

然而对黑洞来说，史瓦西半径在视界处。在这个半径，度规的史瓦西形式会出现奇点，而史瓦西半径起初就被认为是时空的真实奇点。但是，勒梅特（Georges Lemaitre）在1927年首先发现，如果我们放弃时空静态的要求，就能以连续光滑的方式扩展那个解。1930年，爱丁顿发现了更简单的扩展方式（尽管他忘了指出得到了什么）。1958年，芬克尔斯坦重新发现了这种描述，并且明确指出了它的意义，其严格共形图如图2.39（b）；这个共形图表现了所谓“史瓦西解的最大扩展”。图2.39（c）通常叫克鲁斯卡塞克尔（Kruskal Szekeres）扩展，尽管辛格（J.L.Synge）[2.46]早就发现了更复杂的描述。

在3.5节，我们将看到黑洞的另一个特征，尽管现在微不足道，最终却是至关重要的。据霍金（Stephen Hawking）在1974年的分析，[2.47]根据爱因斯坦广义相对论的经典物理，黑洞应该是全黑的，但如果在弯曲时空背景下加入量子场论效应，黑洞应该具有非常低的温度T，与黑洞的质量成反比。例如，对一个10M⊙的黑洞，温度大约是6×10-9K，堪比MIT（麻省理工学院）2006年前在实验室达到的最低温度纪录——10-9K。今天我们周围的黑洞大约就是这样的温度。黑洞越大越冷，我们银河系中心的质量约4 000 000 M⊙的黑洞，温度只有1.5×10-14K。如果拿CMB的温度作为我们宇宙此刻的环境温度，就温暖得多了，约为2.7K。

不过，如果从漫长的观点看，而且别忘了宇宙的指数式膨胀（如果无限继续下去）会大大冷却CMB，我们相信它会降到可能出现的最大黑洞的温度。然后，黑洞开始向周围空间辐射它的能量，而失去能量必然失去质量（根据爱因斯坦的E=mc2）；当它失去质量时，会越变越热，经过一个难以置信的漫长时期（对眼下的最大黑洞来说，也许是10100——即一个googol——年）之后，它将完全收缩，最终“砰然一声”消失——这最后的爆炸几乎不能称为“爆炸”，因为它可能只有一颗小子弹的能量，不过强弩之末的一丝气力！

当然，这是把我们现有的物理知识和理解大大地外推了。不过，霍金的分析符合我们接受的一般原理，而那些原理似乎意味着整个结论是在所难免的。于是，我接受了它作为对黑洞最终命运的一种可能解释。实际上，这个预期将构成我在本书最后提出的纲领的重要组成部分。不管怎么说，在这儿画出这个过程的草图（图2.40）和它的严格共形图（图2.41），还是有意义的。

图2.40　黑洞的霍金蒸发。

图2.41　霍金黑洞蒸发的严格共形图。

当然，多数时空并不具有球对称，严格共形图的描述甚至连合理的近似也做不到。不过，共形草图对澄清思想通常还是有重要意义的。共形草图没有限制严格图的那些确定的法则，为了完整理解这些图形，有时我们需要想象它们是在3维或4维中表示的。关键是运用时空共形表示将无限量转化为有限量的两个要点。一方面，将我们在严格共形图中见过的空间和时间的无限区域（由实线边界表示）带进我们的有限认识；另一方面，展开那些不同意义上的无限区域，即在我们严格共形图中以波浪线边界标记的时空奇点。第一点的实现，是用可以光滑地趋于零的共形因子（2.3节的“Ω”），从而将无限区域“压缩”成有限的东西。第二点的实现是用可以变成无限大的共形因子，通过“拉伸”奇点区而将它转化为有限而光滑的区域。当然，我们不能保证这些过程在任何特殊情形都能真的实现。不过，我们会看到，两个过程在即将面对的问题中起着重要作用，而它们的组合对我在第3部分提出的东西更是至关重要。

结束这一节时，我们提出一个具体的和宇宙学视界问题相关的背景，从中可以看到这两个过程特有的启发意义。实际上，在宇宙学背景下，有两个不同的被称为“视界”的概念。[2.48]一个是我们知道的事件视界，另一个是粒子视界。

图2.42　Λ＞1时出现的宇宙学事件视界的共形草图：（a）2维；（b）3维。

这个观测者的事件视界（o+）是o+的过去光锥。[2.49]任何发生在（o+）外的事件将永远不会被O看到。见图2.43。不过我们要注意，事件视界的精确位置强烈依赖于特殊的终点o+。

图2.43　永恒观测者O的事件视界代表他所能看到的事件的一个绝对边界，视界本身依赖于O的历史选择。如果在X改变念头，就会导致不同的事件视界。

另一方面，如果过去边界——通常认为是奇性的而不是无限的——是类空的，就会出现粒子视界。实际上，我们可以从出现奇点的那些严格共形图看到，类空特征是时空奇点的正常性质，这与“强宇宙监督”问题有着密切关系，我将在下一节讨论。现在我们称那个初始奇点边界为。如果事件o是某个观测者O的时空位置，那么我们可以考虑o的过去光锥（o），看它在哪儿与相遇。任何从出发的交界面外的粒子都不可能进入o的观测者能看见的区域，尽管O的世界线可以向未来延伸，能看到越来越多的粒子。我们通常将事件o的实际粒子视界看作一个理想化星系从（o）与的交界面出发的世界线所经历的轨迹，如图2.44。

图2.44　粒子视界的共形草图：（a）2维；（b）3维。