第三章注释

[3.1]A.Zee（2003），Quantum field theory in a nutshell, Princeton University Press.

[3.2]理论上说，我们有理由相信光子是严格无质量的（与电荷守恒有关）。但就观测而言，光子质量有一个上限m＜3×10-27 eV。G.V.Chibisov（1976），‘Astrofizicheskie verkhnie predely na massu pokoya fotona’，Uspekhi fizicheskikh nauk 119 no.3.19 624.

[3.3]名词“共形不变”在一些粒子物理学家中有一种普通的用法，意思比我们这儿的弱得多，即不变性只是“标度不变性”，限于更为严格的Ω为常数的变

[3.4]然而，关于“共形反常”是什么意思，可能有一个问题。根据那种反常，经典场的对称性（严格共形不变的）可能不会在量子环境下成立。在我们眼下考虑的极高能量的情形，不存在这个问题，尽管它也许起着某种作用，让共形不变在静止质量出现时发生“衰减”。

[3.5]D.J.Gross（1992），‘Gauge theory—Past, present, and future？'，Chinese J Phys.30 no.7.

[3.6]巨型重子对撞机（LHC）要让每个粒子能量为7×1012电子伏特（1.12微焦耳）的两个粒子束或者每个核能量为574TeV（92.0μJ）的铅核发生碰撞。

[3.7]暴胀问题的讨论见§3.4和3.6。

[3.8]S.E.Rugh and H.Zinkernagel（2009），‘On the physical basis of cosmic time'，Studies in History and Philosophy of Modern Physics 40 1-19.

[3.9]H.Friedrich（1983），‘Cauchy problems for the conformal vacuum field equations in general relativity'，Comm.Math.Phys.91 no.4，445-472.H.Friedrich（2002），‘Conformal Einstein evolution'，in The conformal structure of spacetime：geometry, analysis, numerics（ed.J.Frauendiener, H.Friedrich）Lecture Notes in Physics, Springer.H.Friedrich（1998），‘Einstein's equation and conformal structure'，in The geometric universe：science, geometry, and the work of Roger Penrose（eds.S.A.Huggett, L.J.Mason, K.P.Tod, S.T.Tsou, and N.M.J.Woodhouse），Oxford University Press.

[3.10]这种冲突问题的一个例子是所谓的祖父悖论：一个人逆着时间旅行到过去，在他后来的祖父尚未遇到他祖母之前，将他的祖父杀死。这样一来，旅行者的父亲（以及他本人）都不可能出生了。这意味着他绝不可能回到时间的过去，而这也说明祖父还活着，我们才会想象旅行者可以回到过去杀死他。于是，每种可能看来都蕴涵着自我否决，这是一种逻辑悖论。René Barjavel（1943），Le voyageur imprudent（The imprudent traveller）.[其实，那本书说的是旅行者的一个祖先，而不是他的祖父。]

[3.12]R.Penrose（2008），‘Causality, quantum theory and cosmology'，in On space and time（ed.Shahn Majid），Cambridge University Press.R.Penrose（2009），‘The basic ideas of Conformal Cyclic Cosmology'，in Death and anti death, Volume 6：Thirty years after Kurt Gdel（1906-1978）（ed.Charles Tandy），Ria University Press, Stanford, Palo Alto, CA.

[3.13]最近，日本超级神冈（Super Kamiokande）切伦科夫辐射探测器实验提供了质子半衰期的一个下限为6.6×1033年。

[3.14]主要是粒子对湮灭。感谢J.D.Bjorken为我澄清这个问题。J.D. Bjorken, S.D.Drell（1965），Relativistic quantum mechanics, McGraw Hill.

[3.15]眼下，关于中微子的观测形势是，它们的质量差不可能为零，但从技术上说，三种中微子之一有可能是无质量的。Y.Fukuda et al.（1998），‘Measurements of the solar neutrino flux from Super Kamiokande’s first 300 days’，Phys.Rev.Lett.81（6）1158-1162.

[3.16]这些算子可以用群的生成元来构造，与所有群元素对易。

[3.17]H. M.Chan and S.T.Tsou（2007），‘A model behind the standard model’，European Physical Journal C52，635-663.

[3. 18]微分算子度量它所作用的物理量如何在时空中变化；“”算子的确切意义见附录。

[3.19]R.P enrose（1965），‘Zero rest mass fields including gravitation：asymptotic behaviour’，Proc.R.Soc.Lond.A284 159-203.

[3.20]实际上，至于g与哪个是爱因斯坦的物理度规，我在附录B中的约定正好与这儿相反，所以趋于零的应该是“Ω-1”。

[3. 21]这依赖于处的物质性质是辐射（如§3.3中Tolman的辐射模型所描述的），而不是Friedmann模型的尘埃。

[3.22]根据Cartan的微分形式，“微分”dΩ/（1-Ω2）是1-形式或余向量，但它下的不变性很容易用标准的计算法则验证，例如参见R.Penrose（2004），The road to reality, Random House。

[3.23]我个人感觉，现在大家倾向认为“暗能量”是对宇宙物质密度的贡献，是很不恰当的。

[3.24]即使得到一个大120个数量级的数值，也需要我们相信“重正化过程”，没有它，我们只能得到“∞”（见3.5节）。

[3.25]基于天体力学方法确定的G的变化约束为（dG/dt）/G 0≤10-12/年。

[3.26]R.H.Dicke（1961），‘Dirac's cosmology and Mach's principle'，Nature 192 440-441.B.Carter（1974），‘Large number coincidences and the anthropic principle in cosmology'，in IAU Symposium 63：Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data, Reidel, pp.291-298.

[3.27]A.Paris（1982），Subtle is the Lord：the science and life of Albert Einstein, Oxford University Press.

[3.28]R.C.Tolman（1934），Relativity, thermodynamics, and cosmology, Clarendon Press.3.29

[3.29]解析延拓的严格概念，见R.Penrose（2004），The Road to Reality, Random House.

[3.30]所谓“虚数”，是其平方为负数的数，如量i，它满足i2=-1。见R.Penrose（2004），The road to reality, Random House，§4.1.

[3.31]B.Carter（1974），‘Large number coincidences and the anthropic principle in cosmology'，in IAU Symposium 63：Confrontation of Cosmological Theories with Observational Data, Reidel, pp.291-298.John D.Barrow, Frank J.Tipler（1988），The anthropic cosmological principle, Oxford University Press.

[3.32]L.Susskind，‘The anthropic landscape of string theory arxiv：hep-th/0302219'.A.Linde（1986），‘Eternal chaotic inflation'，Mod.Phys.Lett.A1 81.

[3.33]Lee Smolin（1999），The life of the cosmos, Oxford University Press.

[3.34]Gabriele Veneziano（2004），‘The myth of the beginning of time'，Scientific American, May.

[3.35]Paul J.Steinhardt, Neil Turok（2007），Endless universe：beyond the big bang, Random House, London.

[3.36]参见，例如C.J.Isham（1975），Quantum gravity：an Oxford symposium, Oxford University Press.

[3.37]Abhay Ashtekar, Martin Bojowald，‘Quantum geometry and the Schwarzschild singularity'.http：∥www.arxiv.org/gr qc/0509075。

[3.38]参见，例如A.Einstein（1931），Berl.Ber.235 and A.Einstein, N.Rosen（1935），Phys.Rev.Ser.2 48 73.

[3.39]见注2.50。

[3.40]见注3.11。

[3.41]有证据表明，其他星系存在着一些大得多的黑洞，目前的最大黑洞质量为～1.8×1010 M⊙，大约相当于一个小星系的质量。但也有很多星系，其黑洞质量远小于我们的～4×106 M⊙黑洞。文中提出的精确数字对我们的讨论来说无关紧要。我猜实际数值可能偏低。

[3.42]J.D.Bekenstein（1972），‘Black holes and the second law'，Nuovo Cimento Letters 4 737-740.J.Bekenstein（1973），‘Black holes and entropy'，Phys.Rev.D7，2333-2346.

[3.43]J.M.Bardeen, B.Carter, S.W.Hawking（1973），‘The four laws of black hole mechanics'，Communications in Mathematical Physics 31（2）161-170.

[3.44]实际上，静态黑洞（真空里的）只需要10个数字就能完全刻画：位置（3），速度（3），质量（1）和角动量（3），不过，刻画它的形成方式却需要大量参数。于是，这10个宏观参数将在相空间里标记一个巨大的区域，因而有巨大的熵（据Boltzmann公式）。

[3.45]http：∥xaonon.dyndns.org/hawking

[3.46]L.Susskind（2008），The black hole war：my battle with Stephen Hawking to make the world safe for quantum mechanics, Little, Brown.

[3.47]D.Gottesman, J.Preskill（2003），‘Comment on“The black hole final state”'，hep th/0311269.G.T.Horowitz, J.Malcadena（2003），‘The black hole final state’，hep th/0310281.L.Susskind（2003），‘Twenty years of debate with Stephen’，in The future of theoretical physics and cosmology（ed.G.W.Gibbons et al.），Cambridge University Press.

[3.48]霍金早就指出，从技术上说，“砰响”本身代表着违背宇宙监督猜想的一种瞬间的“裸奇点”。主要因为这个理由，宇宙监督猜想才限于广义相对论。R.Penrose（1994），‘The question of cosmic censorship’，in Black Holes and Relativistic Stars（ed.R.M.Wald），University of Chicago Press.

[3.49]James B.Hartle（1998），‘Generalized quantum theory in evaporating black hole spacetimes'，in Black Holes and Relativistic Stars（ed.R.M.Wald），University of Chicago Press.

[3.50]这是量子论的一个著名结果，即所谓的“非克隆定理”，它禁止复制任何未知的量子态。我看它也可以用在这里。W.K.Wootters, W.H.Zurek（1982），‘A single quantum cannot be cloned’，Nature 299 802-803.

[3.51]S.W.Hawking（1974），‘Black hole explosions'，Nature 248 30.S.W.Hawking（1975），‘Particle creation by black holes'，Commun.Math.Phys.43.

[3.52]关于霍金的新观点，见Nature在线的‘Hawking changes his mind about black holes’，（doi：10.1038/news040712-12），那是基于与弦论有关的一些猜测。S.W.Hawking（2005），‘Information loss in black holes’，Phys.Rev.D72 084013.

[3.53]薛定谔方程是一个复的一阶方程，当时间反转时，“虚数”i应换为-i（i=√-1）；见注释3.30。

[3.54]更多的信息见R.Penrose（2004），The Road to reality, Random House, Chs 21-23.

[3.55]W.Heisenberg（1971），Physics and Beyond, Harper and Row, pp.73-76.See also A.Pais（1991），Niels Bohr's Times, Clarendon Press, p.299.

[3.56]狄拉克似乎对当前的量子力学“诠释”问题不感兴趣，也没打算解决测量问题，而认为量子场论无论如何只是一个“暂时的理论”。

[3.57]P.A.M.Dirac（1982），The principles of quantum mechanics.4th edn.Clarendon Press[1st edn 1930].

[3.58]L.Diósi（1984），‘Gravitation and quantum mechanical localization of macro objects’，Phys.Lett.105A 199-202.L.Diósi（1989），‘Models for universal reduction of macroscopic quantum fluctuations’，Phys.Rev.A40 1165-1174.R.Penrose（1986），‘Gravity and state vector reduction’，in Quantum concepts in space and time（eds.R.Penrose and C.J.Isham），Oxford University Press, pp.129-146.R.Penrose（2000），‘Wavefunction collapse as a real gravitational effect’，in Mathematical physics 2000（eds.A.Fokas, T.W.B.Kibble, A.Grigouriou, and B.Zegarlinski），Imperial College Press, pp.266-282.R.Penrose（2009），‘Black holes, quantum theory and cosmology’（Fourth International Workshop DICE 2008），J.Physics Conf.Ser.174 012001.doi：10.1088/1742-6596/174/1/012001

[3.59]面对空间可能无限的宇宙时，总会出现总量（如熵）变成无限大的问题。但这一点并不要紧，因为在整体空间均匀的假定下，我们可以用一个巨大的“随动体积”（其边界跟随一般的物质流）来讨论。

[3.60]S.W.Hawking（1976），‘Black holes and thermodynamics'，phys.Rev.D13（2）191.G.W.Gibbons, M.J.Perry（1978），‘Black holes and thermal Green's function'，Proc Roy.Soc.Lond.A358 467-94.N.D.Birrel, P.C.W.Davies（1984），Quantum fields in curved space, Cambridge University Press.

[3.61]Paul Tod私人通信。

[3.62]见注释3.11。

[3.63]我想我本人关于生成黑洞熵的“信息丢失”的观点，与通常说的不一样，我不认为视界的位置有多关键（因为无论如何视界不是局域可辨的），倒认为奇点才是破坏信息的祸首。

[3.64]见注释3.42。

[3.65]W.G.Unruh（1976），‘Notes on black hole evaporation'，Phys.Rev.D14 870.

[3.66]G.W.Gibbons, M.J.Perry（1978），‘Black holes and thermal Green's function'，Proc Roy.Soc.Lond, A358 467-494.N.D.Birrel, P.C.W.Davies（1984），Quantum fields in curved space, Cambridge University Press.

[3.67]Wolfgang Rindler（2001），Relativity：special, general and cosmological, Oxford University Press.

[3.68]H. Y.Guo, C.-G.Huang, B.Zhou（2005），Europhys.Lett.72 1045-1051.

[3.70]J.A.Wheeler, K.Ford（1995），Geons, black holes, and quantum foam, Norton.

[3.71]A.Ashtekar, J.Lewandowski（2004），‘Background independent quantum gravity：a status report'，Class.Quant.Grav.21 R53-R152.doi：10.1088/0264-9381/21/15/R01，arXiv：gr qc/0404018.

[3.72]J.W.Barrett, L.Crane（1998），‘Relativistic spin networks and quantum gravity'，J.Math.Phys.39 3296-302.J.C.Baez（2000），An introduction to spin foam models of quantum gravity and BF theory.Lect.Notes Phys.543 25-94.F.Markopoulou, L.Smolin（1997），‘Causal evolution of spin networks'，Nucl.Phys.B508 409-430.

[3.73]H.S.Snyder（1947），Phys.Rev.71（1）38-41.H.S.Snyder（1947），Phys.Rev.72（1）68-71.A.Schild（1949），Phys.Rev.73，414-415.

[3.74]F.Dowker（2006），‘Causal sets as discrete spacetime'，Contemporary Physics 47 1-9.R.D.Sorkin（2003），‘Causal sets：discrete gravity'，（Notes for the Valdivia Summer School），in Proceedings of the Valdivia Summer School（ed.A.Gomberoff and D.Marolf），arXiv：gr qc/0309009.

[3.75]R.Geroch, J.B.Hartle（1986），‘Computability and physical theories'，Foundations of Physics 16 533-550.R.W.Williams, T.Regge（2000），‘Discrete structures in physics'，J.Math.Phys.41 3964-3984.

[3.76]Y.Ahmavaara（1965），J.Math.Phys.6 87.D.Finkelstein（1996），Quantum relativity：a synthesis of the ideas of Einstein and Heisenberg, Springer-Verlag.

[3.77]A.Connes（1994），Non-commutative geometry, Academic Press.S.Majid（2000），‘Quantum groups and noncommutative geometry'，J.Math.Phys.41（2000）3892-3942.

[3.78]B.Greene（1999），The elegant universe, Norton.J.Polchinski（1998），String theory, Cambridge University Press.

[3.79]J.Barbour（2000），The end of time：the next revolution in our understanding of the universe, Phoenix.R.Penrose（1971），‘Angular momentum：an approach to combinatorial space time’，in Quantum theory and beyond（ed.T.Bastin），Cambridge University Press.

[3.80]关于扭量理论的解释，见R.Penrose（2004），The road to reality, Random House, ch.33.

[3.81]G.Veneziano（2004），‘The myth of the beginning of time'，Scientific American（May）。也参见注释3.34.

[3.82]R.Penrose（2004），The road to reality, Random House，28.4.

[3.83]将量子涨落“实现为”真实的经典物质分布的奇异性，需要§3.4最后说的那种R过程的显现，不属于幺正演化U的部分。

[3.84]D.B.Guenther, L.M.Krauss, P.Demarque（1998），‘Testing the constancy of the gravitational constant using helioseismology'，Astrophys.J.498 871-876.

[3.85]实际上，有一些标准的程序考虑从

的演化。不过，Hajian的CMB数据的基础分析没有用这个方法（文中有简短描述）。

[3.86]圆的这种形变也可能出现在前一个世代，尽管我猜测那只是一个小效应。不管怎么说，只要形变发生，其效应会就更难处理了，会给分析带来很多令人讨厌的东西（原因很多）。

[3.87]V.G.Gurzadyan, C.L.Bianco, A.L.Kashin, H.Kuloghlian, G.Yegorian（2006），‘Ellipticity in cosmic microwave background as a tracer of large scale universe’，Phys.Lett.A 363 121-124.V.G.Gurzadyan, A.A.Kocharyan（2009），‘Porosity criterion for hyperbolic voids and the cosmic microwave background’，Astronomy and Astrophysics 493 L61-L63[DOI：10.1051/000-6361：200811317]