数学家和神秘主义者

数学家和神秘主义者_超空间

魔法是一种足够先进的技术。

———亚瑟 ·C.克拉克 (ArthurC.Clarke)

1954年6月10日,一种新的几何学诞生了。

乔治 ·波恩哈德 ·黎曼引进了高维理论。他在德国哥廷根大学的著名的演讲中 ,面对大学的教师们对他的高维理论作了详细的解释。像打开一间发霉的、黑暗的房间 ,放入温暖的、灿烂的夏季阳光一样 ,黎曼的演讲一下子就娴熟地把高维空间的耀眼的性质展示在世人面前。

他非常重要的和异常优雅的论文《论几何基础的假说》颠覆了 2000年来成功地战胜了怀疑论者所有攻击的经典希腊几何的支柱。旧的欧几里得几何所有的图像都是二维或三维的。这个理论轰然倒下 ,新的黎曼几何在它的废墟上崛起。黎曼革命对艺术和科学的未来产生了深远的影响。在他的演讲之后的 30年间 ,“神秘的四维 ”在欧洲影响了艺术、哲学和文学的发展。在它演讲之后的 60年,爱因斯坦利用四维黎曼几何解释宇宙的由来及其演化。在他演讲之后的 130年,物理学家利用十维几何试图统一物理宇宙的所有定律。黎曼工作的核心是 ,他认识到在高维空间中物理法则将被简化 ,这正是本书的主题。

穷困中的辉煌

具有讽刺意味的是 ,黎曼一点也不像能在数学和物理学领域开创如此深刻和彻底革命的人。他非常害羞,几乎有点神经质,他遭受着经常性的精神衰弱带来的痛苦。他还得了两种伴生的疾病:贫穷和肺病 (结核)。事实上,整个历史长河中,世界上的许多伟大科学家都遭受着这两种疾患的困扰。从他的性格和气质中看不出他作品中所表现出的惊人大胆、果断和非凡的自信。

黎曼1826年出生于德国汉诺威,他是一个贫穷的路德派牧师的儿子,在家里的六个孩子中他排行老二。他的父亲,曾在拿破仑战争中作战,作为一个乡村牧师挣扎着供养他的大家庭。正如传记作者 E.T.贝尔 (E.T.Bel)指出,“黎曼家的大多数孩子出现身体脆弱并夭亡是年轻时营养不良的结果,而并不是由于他们的耐力差。在孩子长大之前,他的母亲也死了。”

在很早的时候,黎曼就展示了他著名的特质:超凡的计算能力、个性胆怯,终身对公众场合演讲感到恐惧。他很害羞,总是被别的男孩当作笑柄,这使他进一步沉浸在他的私人的数学世界中。

他对自己的家庭高度忠诚。尽管自己健康状况不佳且伴有肺病,但他依然尽力为他的父母特别是他心爱的妹妹买礼物。为了取悦父亲,黎曼决心成为一名神学学生。他的目标是尽快拿到牧师的报酬,以资助他的家庭。(很难想象这样一个口吃的胆小的年轻人能够做激烈的、热情的演讲 ———反对罪恶、驱逐魔鬼。)在高中,他努力学习《圣经》,但他的思想总会飘回到数学上。他甚至试图提出 “创世纪”正确的数学证据。他学习进步很快,以至于他很快超越了他老师所掌握的知识。他的老师们很快发现,他们已跟不上这个男孩的节奏。最后,这个学校的校长给了黎曼一本厚重的书让他看,让他无暇做别的事情。这本书是阿德里安 -玛丽 ·勒让德 (Adrien-Marie Legendre)的《数论》,这是一本拥有 859页的巨作,也是一本关于 “数论”这一难题的世界最高级的著作。黎曼用了6天时间就把它读完了。

当校长问他 “你读了多少了?”年轻的黎曼回答说,“这是一本奇妙的书,我已掌握了它。”这个校长并不相信年轻人的回答,几个月后,他问了黎曼这本书中的一个模糊的问题,黎曼做了完美的回答。^[1]

黎曼的父亲每天为将食品放在餐桌上而挣扎,但他依然凑足了足够的费用送他19岁的儿子去闻名的哥廷根大学上学。在这里,黎曼首次遇到被称为 “数学王子”的卡尔·弗里德里希·高斯 (CarlFriedrichGaus)。高 斯是人类历史上最伟大的科学家之一。即使今天 ,如果你要对历史上最伟大的数学家排名 ,阿基米德、艾萨克 ·牛顿、卡尔 ·高斯的名字将永无变化地出现。

然而 ,黎曼的一生遇到无数的挫折和艰难 ,总是被极大的困难和脆弱的健康所压倒。他的每一次胜利后都伴随着不幸与失败。例如 ,他的运气刚刚好转 ,开始在高斯手下学习 ,而一场大规模的革命就席卷德国。在非人道的状态下 ,受苦受难的工人阶级开始反对政府 ,全德国很多城市的工人拿起了武器。1848年早期的游行示威和起义鼓舞了另一位德国人卡尔 ·马克思 (KarlMarx)写出了他的著作 ,深深地影响了后 50年整个欧洲的革命运动。

随着整个德国陷入混乱 ,黎曼的研究被迫中断了。他被选中参加了学生军 ,在那里 ,他花费了令人生厌的 16个小时保护了一位甚至比他还要胆小的人 ———国王 ,从而得到了一个值得怀疑的荣誉。当时国王正在柏林的王宫里害怕得发抖 ,企图躲过工人阶级的愤怒。

超越欧几里得几何

如同德国的革命 ,当时的数学界也正被一场强劲的革命之风席卷。吸引黎曼兴趣的是另一个权威的堡垒 ,欧几里得几何即将崩溃。欧几里得几何认为空间是三维的。此外 ,这个三维空间是 “平的 ”(在平的空间中 ,最短距离是两点之间的直线距离 ;这忽略了空间是弯曲的可能性 ,如在球体上)。

事实上 ,欧几里得的《几何原本》 (简称《原本》)可能是在《圣经》之后的所有时代最具影响力的书。2000年来 ,西方文明最敏锐的头脑都在惊叹它的优雅和它的几何之美。成千上万欧洲最好的教堂是根据它的原则建立的。回想起来 ,也许它太成功了。几个世纪以来 ,它成为了一种宗教,任何敢于提出弯曲空间或更高维度的人都将被视为疯子或异教徒。无数代的学童学习欧几里得的几何定理 :圆的周长等于它的直径乘以 π、一个三角形的内角之和为 180度。然而 ,尽管尽了最大努力 ,几个世纪以来的最精妙的数学家头脑仍不能证明这些貌似简单的命题。事实上 ,欧洲的数学家们开始慢慢意识到 ,人们持续不变地敬仰了 2300年的欧几里得的 《原本》依然存在不完整的地方。如果人们只局限在平面内,欧几里得几何一定是可行的;但如果放眼到曲面世界,欧几里得几何就难以通行了。

对黎曼来说,欧几里得几何不足以表现世界的丰富多样性。在自然的世界中,没有地方能看到欧几里得理想的平面的几何图形。山脉、海洋波浪、云、漩涡,它们都是非完美的圆、三角形、矩形。它们都是无限多样性弯曲和扭曲的物体。

革命的时机成熟了,但谁会引导这个革命呢?用什么替换旧的几何呢?

黎曼几何的崛起

黎曼反叛表面上精确的希腊几何。他发现,这个几何的基础是建立在常识和直观感觉的移动的沙子上,而并非建立在坚固的逻辑基础上。

欧几里得认为,“显而易见的,点没有维度;线是一维的,即长度;面是二维的,即长度和宽度;固体是三维的,即长度、宽度和高度。到此为止,没有物体是四维的。”这些观点得到哲学家亚里士多德的附和,亚里士多德是第一个详细陈述不可能存在第四空间维的人。他在《论天》中写道,“线在一维有大小,平面在两维有大小,固体在三维有大小,此外没有其他的量,因为三就是一切。”此外,在公元150年,亚历山大的天文学家托勒密比亚里士多德走得更远,他在他的《论距离》一书中,给出第一个巧妙的 “证据”认为第四维是不可能存在的。

托勒密说,首先画三条相互垂直的线。例如,立方体的角由三条相互垂直的线组成。然后,他争辩说,尝试画第四条线并垂直于其他三条线。他推理说,不管如何尝试也无法画出。托勒密声称,第四条垂直线是 “无法测量且没有定义的”。因此第四维度是不可能的。

托勒密实际证明的是,用我们的三维大脑不能将第四维直观化。(事实上,我们今天知道,数学中的许多对象不能可视化,但它们依然可以得到证明是存在的。)托勒密可能会遗臭万年,他反对科学上两个伟大的思想:以太阳为中心的太阳系和第四维。

事实上,几个世纪以来一些数学家走了另外一条谴责第四维度的路。 1685年,数学家约翰·沃利斯 (John Walis)反对这个概念,称它为 “自 然界的怪物 ”。他认为 “第四维度比喀迈拉 (狮头、羊身、蛇尾的吐火女怪)和桑托尔还不可思议 ……长度、宽度、高度占据了整个空间 ,超出这三维以外 ,无法想象还能有第四维。”几千年来 ,数学家们重复着这个简单且致命的错误 ———第四维度不能存在 ,因为在我们的脑海里它不可想象。

所有物理规律的统一

欧几里得几何的决定性的突破来自高斯要求他的学生黎曼准备 几“何基础 ”的口头介绍。高斯对观察他的学生是否能提出欧几里得几何学以外的其他方案有着强烈的兴趣。(几十年前 ,高斯曾私下表示对欧几里得几何持有深刻而广泛的保留意见。他甚至对他的同事们讲到 ,可能存在生活在二维表面上的假想的 “书虫 ”。他说要把这推广到高维空间的几何学中去。然而 ,高斯是一个非常保守的人 ,他从未公开发表过任何他的有关更高维度的作品 ,因为这将必然引起心胸狭隘的保守的老后卫们的愤怒。他嘲弄地称他们为 “笨蛋 ”,一个智力低下的古希腊部落的名字。^[2])然而 ,黎曼吓坏了。这个胆小的人害怕在公众面前讲话 ,他的导师要求他准备一个在全体教师面前的 ,有关本世纪最困难的数学问题的演讲。在接下来的几个月里 ,黎曼开始痛苦地建立更高维度的理论 ,这使他的身体健康退化到神经衰弱的地步。由于他令人沮丧的财务状况 ,他的体力进一步恶化了。他被迫接受低薪的家教工作以驰援他的家庭生活。此外 ,他还要分心试图解释物理问题。特别是 ,他还要帮助另一位教授威廉 ·韦伯 (Wilhelm Weber)从事新的研究领域 ———有关电力的有趣的实验。

电力在古代就以闪电和电火花的形式为人们所知了 ,但在 19世纪早期,这个现象成为了研究的焦点。特别是 ,一根通电导线经过指南针时能使后者发生偏转 ,这引发了物理学家界的注意。相反 ,垂直于磁场运动的金属棒会在导线中感生出电流。(这被称为法拉第定律 ,今天所有的发动机和变压器 ———大多数现代技术的基础 ———都以这个定律为基础。)对黎曼来说 ,这个现象说明 ,电和磁是同一种力的不同表现形式。黎曼被这一发现所激动 ,他相信他能给出数学解释以统一电和磁。他每天都泡在韦伯的实验室里 ,相信新的数学将能为这些力给出新的解释。

黎曼要准备一次重要的关于 “几何基础 ”的公众讲演 ,要支持他的家庭维持生活 ,要继续进行科学实验。这些沉重的负担压得他喘不过气来 , 1854年,他的健康最终崩溃了 ,他患上了神经衰弱症。后来 ,他写了一封信给他的父亲 ,“我被 ‘所有物理定律的统一的研究 ’深深吸引 ,因此当演讲的题目给我之时 ,我激动不已 ,不能离开我的研究。部分是由于焦急地考虑这些问题的结果 ,部分是由于在这个讨厌的天气中待在屋里的时间太多 ,我病倒了 ”。这封信是有意义的 ,因为它清楚地表明 ,即使在生病的几个月里 ,黎曼依然坚定地相信 ,“他将发现 ‘所有物理定律的统一 ’,并用数学最终铺平统一的道路。”

力=几何

尽管经常生病 ,黎曼依然最终建立了一个惊人的关于 “力”的含义的新描述。自牛顿之后 ,科学家将力看作是两个远距离的物体之间的瞬时作用。物理学家称其为远距作用 ,这意味着一个物体可以瞬间影响远距离物体的运动。牛顿力学毫无疑问能够描述行星的运动。然而 ,几个世纪以来,批评者认为远距作用是不自然的 ,因为它意味着一个物体甚至无需接触就能改变另一个物体的方向。

黎曼建立了一个全新的物理描述。像高斯的 “书虫 ”一样 ,黎曼想象了生活在一张纸上的二维生物种族。他做出的决定性突破是 ,将这些书虫放在一张皱褶的纸上。^[3]这些书虫会如何看待它们的世界呢 ?黎曼认为 ,它们的结论是它们的世界仍然是平的 ,因为它们的身体也皱褶了。这些书虫绝不会注意到它们的世界发生了扭曲。然而 ,黎曼指出 ,如果这些书虫试图在这些皱褶的纸上运动 ,它们会感到一个神秘的看不见的 “力”阻止它们沿直线运动。每当它们走过纸上的一个皱褶 ,它们都会被推得左右晃动。

这样 ,黎曼做出了自牛顿 200年历史以来的首次重大突破。他排除了超距作用原理。对黎曼而言 ,“力”是几何的结果。

接着 ,黎曼用在第四维中被弄皱褶的我们的三维世界来代替二维的纸。对我们来说 ,我们看不出我们的宇宙是弯曲的。然而 ,当我们试图走一条直线时 ,我们会立刻意识到有些事情出现了差错。我们像醉鬼一样行 走,好像有一种看不见的力在拉拽我们 ,推得我们左摇右晃。

黎曼得出结论 ,电、磁和引力皆是我们的三维宇宙在看不见的第四维皱褶引起的。因此 “力”本身并不存在 ,它只是几何变形引起的表观效果。黎曼通过引进第四空间维度 ,无意中发现了现代理论物理最重要的主题之一 ,即自然定律用更高维度去表达会更简单。

黎曼度规张量 :新的毕达哥拉斯定理

黎曼花了几个月时间治愈了他的神经衰弱。所以 ,当他在 1854年作口头报告时 ,有着非常好的反应。回顾起来 ,毫无疑问 ,这是数学史上最重要的公开演讲之一。黎曼突破了统治数学长达 2000年的欧几里得几何学的演讲很快传遍了整个欧洲的所有研究中心 ,他对数学的贡献博得了整个理论界的称道。他的演讲被翻译为好几种语言 ,且在数学家中产生了相当大的轰动。没有什么地方需要回到欧几里得的工作。

像物理学和数学中最伟大的著作一样 ,黎曼伟大论文背后的基本内核很容易被人理解。黎曼从著名的毕达哥拉斯定理 (勾股定理 )出发 ,它是古希腊人在数学中最伟大的发现之一。这个定理建立了直角三角形三边长度的关系 :直角三角形两条短边的长度的平方和等于最长斜边的长度的平方 (即,如果 a和b是两短边的长度 ,c是斜边的长度 ,那么 a2+b2= c2。)(当然 ,勾股定理是一切建筑的基础 ,地球上的每一座建筑物都以这个定理为基础。)这个定理很容易推广到三维空间中。它指出立方体的三个相邻边长度的平方和与对角线长度的平方刚好相等。所以如果 a、b、c分别表示一个立方体的三个边 ,而 d是它的对角线的长度 ,那么 a2+b2+c2=d2(图2.1)。

现在 ,将这个定理推广到 N维也非常简单。想象有一个 N维立方体。如果 a、b、c、d、…分别为 “超立方体 ”的边的长度 ,z是对角线的长度,那么 a2+b2+c2+d2+…=z2。值得注意的是 ,尽管我们的大脑难以想象 N维立方体的形状 ,但在数学上 ,我们可以轻松地写出 N维立方体的边长的公式。(这是一个在超空间中工作的普遍特征。从数学的角度考虑 ,掌握 N维空间并不比掌握三维空间更困难。令人惊奇的是 ,在一张平平的

图2.1一个立方体对角线的长度由三维毕达哥拉斯定理给出:a2+b2+c2= d2。通过简单地添加更多项到毕达哥拉斯定理 ,这个方程很容易推广到 N维超立方体的对角线。因此 ,尽管高维度无法直观化 ,但在数学上 N维却很容易表示。

纸上 ,你能用数学语言描述一个我们的脑子不可形象化的高维物体的性质。)黎曼然后将这些方程推广到任意维度的空间。这些空间可以是平的也可以是弯曲的。如果是平的 ,则欧几里得通常是适用的 :两点之间直线最短、平行线永不相交、三角形内角之和为 180度。但黎曼还发现 ,面可以具有 “正曲率 ”,就像球体的表面。这些面上的平行线总会相交 ,而且 ,这些面上的三角形的三个内角之和可以超过 180度。面也可以具有 “负曲率”,如马鞍形或喇叭形的表面。在这些表面中的三角形的内角之和小于 180度。给定一条直线和直线外的一个点 ,通过这个点 ,人们可以画出无穷多的与这条直线平行的平行线 (图2.2)。

黎曼的目标是在数学中引入一个全新的对象 ,使他能够描述所有的表图

2.2一个平面有零曲率。在欧几里得几何中 ,一个三角形的内角和为 180度,平行线从不相交。在非欧几里得几何中 ,球面具有正曲率。一个三角形的内角和大于 180度,平行线总是相交 (平行线包括中心为球心的弧线。这个规则排除了纬度线)。马鞍形表面具有负曲率 ,三角形三内角之和小于 180度。过直线外的一点有可作无穷多条线与它相平行。

面,无论这个表面多么复杂。这必然促使他重新引进法拉第的场的概念。

我们记得 ,法拉第的场就像是一个农民的农场。我们认识的农场会占据二维空间的一个区域。法拉第的场则占据一个三维空间的区域。在这个空间中的任意一点 ,我们通过对其指定一个数字集合 ,就能描述这个点上的磁力或电力的数。黎曼的想法是为空间的每一点引进一个数字的集合 ,这组数将描述空间在这一点被弯曲的状态或曲率值的多少。

例如 ,对于一个普通的二维表面 ,黎曼在每一个点引进三个数字的集合,完全描述了这个表面的弯曲。黎曼发现 ,在四维空间 ,人们需要为每个点引进一组 10个数的集合以描述其性质。无论空间如何皱褶或扭曲 ,在每个点的这 10个数字的集合足以编码所有关于那个空间的信息。让我们把这10个数字标上符号 g11、g12、g13、… (分析四维空间时 ,下标可以从 1到4变化。)这时 ,黎曼的 10个数字的集合可以如图 2.3那样对称性地安排。^[4] (看上去似乎有 16个分量。然而 ,g12 =g、g13 =g、…所以 ,实际上只有10个独立的分量)今天,这个数字集合称21为黎曼度31规张量。大约说来 ,度规张量的值越大 ,纸的皱褶越大。无论纸张多么皱 ,度规张量为我们提供了一种测量任何点曲率的简单方法。如果皱褶的纸完全展平 ,那么我们会回到毕达哥拉斯公式

图2.3黎曼度规张量包含数学上描述 N维弯曲空间所需要的所有信息。它用 16个数描述四维空间每点的度规张量。这些数可以安排成方阵 (这些数中的 6个实际是多余的 ,因此这个度规张量有 10个独立的数)。

黎曼的度规张量使他能够建立一个强有力的工具描述具有任何曲率的任何维度的空间。他惊奇地发现 ,所有这些空间都可以被明确定义且具有自洽性。早先的人们认为 ,在研究被禁止的高维世界时 ,会出现可怕的矛盾。令黎曼惊奇的是 ,他没有发现任何矛盾。事实上 ,把黎曼的工作扩展到 N维空间几乎轻而易举。度规张量很像棋盘上的方格 ,尺寸为 N ×N。这在我们后面几章讨论所有力的统一时有着深刻的物理意义。

我们将看到 ,统一的秘密在于扩大黎曼度规到 N维空间 ,然后切成一些矩形片。每个矩形片对应不同的力。用这种办法我们可以描述大自然中的各种力量 ,像智力拼图一样将它们放进度规张量。这是高维空间统一自然法则原理的数学表示 ,即在 N维空间中有 “足够的空间 ”统一它们。更确切地说 ,在黎曼度规中有足够的空间统一自然力。

黎曼预期了物理学的另一种发展 ,他是讨论多连通空间或虫洞的第一人。为了可视化这个概念 ,我们先拿出两张纸 ,把一张纸放在另一张纸的上面。用剪刀在每张纸上剪一个短的切口 ,然后将两张纸沿着切口粘在一(图2.4)。(从拓扑学角度看 ,此图与图 1.1是相同的 ,只是图 2.4中虫起洞颈部的长度为 0而已。)

图2.4黎曼切口 ,两张纸沿着一条线粘连在一起。如果绕着切口走 ,我们就一直停留在同一空间。如果穿过切口 ,我们将从一张纸进入到另一张纸。这是一个多连通表面。

如果一个虫子住在上面这张纸上 ,它也许某天不小心走进了切口 ,发现自己到了下面这张纸上。它会感到困惑 ,因为每件东西都在错误的地 方。经过多次试验 ,这个虫子将发现 ,只要重新进入切口它可以重新回到它通常的世界中。如果它绕着切口走 ,那么它的世界看上去会非常正常 ;如果它试图取捷径通过切口 ,那就出现问题了。

黎曼切口是连接两个空间的虫洞的一个例子 (只是这个虫洞的长度为0)。数学家路易斯 ·卡罗尔在他的书《爱丽丝镜中世界奇遇记》中极有效地利用了黎曼切口 ,连接英国与仙境的黎曼切口是镜子。今天 ,黎曼切口以两种形式被保存了下来。其一 ,它在世界上每一个数学研究生的教程上会出现 ,在 “静电理论 ”或 “共形映射 ”中会被引用。其二 ,黎曼切口可以在《暮光之城》的情节中发现。(需要强调的是 ,黎曼本人并未将他的切口看作宇宙之间的一种旅行方式 )黎曼的遗产

黎曼坚持着他在物理学方面的工作。1858年,他甚至宣布自己成功地统一了光和电的描述。他写道 ,“我完全相信自己的理论是正确的 ,过不了几年 ,它会得到大家的公认 ”。虽然他的度规张量给了他一个强大的工具描述任何维度中的任何弯曲空间 ,但他不知道度规张量服从的精确方程。也就是说 ,他不知道是什么使纸张产生皱褶。

不幸的是 ,黎曼解决这个问题的努力不断因贫穷而受挫。他的成功没有转化为钱。1857年,他又遭受了神经衰弱的打击。多年后 ,他终于得到了哥廷根大学高斯曾担任过的那个令人垂涎的职位 ,但为时已晚。贫困的生活破坏了他的健康 ,像历史上很多伟大的数学家一样 ,他在 39岁时早逝于肺结核。他未能完成自己的引力、磁、电力的几何理论。

总体来说 ,黎曼的工作不仅是给超空间的数学理论打下了基础 ,它的意义甚至更为深远。回想起来 ,我们看到黎曼预期了现代物理学中一些重大的课题。特别是 :

1.他利用高维空间来简化自然法则。对他来说 ,电、磁和引力都是超空间皱褶或变形引起的。

2.

他预期了虫洞的概念。黎曼切口是多连通空间的最简单的例子。

3.

他将引力表示为一个场。因为度规张量描述了空间每一点的引力(通过曲率 ),所以它正是应用在引力上的法拉第的场概念。

因为黎曼没有电、磁、引力服从的场方程 ,所以他无法完成他的引力场工作。换句话说 ,他不能精确地知道为了产生引力 ,宇宙应该如何皱褶。他试图发现电场和磁场的场方程 ,但他去世前未能完成这个项目。在他去世时 ,他仍然没有办法计算需要多少皱褶才能描述这个力。这些至关重要的发展将留给麦克斯韦和爱因斯坦。

生活在空间弯曲中

咒语终于被打破了。

黎曼 ,在他短暂的一生中 ,解除了 2000年前欧几里得投下的咒语。黎曼的度规张量是一个强大的武器 ,使年轻的数学家可以无视那些一提到高维空间就号叫的人。追随黎曼脚步的人发现用度规张量谈论那些人们看不见的世界会更加容易。

很快 ,超空间的研究风靡全欧洲。杰出的科学家开始将这个思想普及到公众。赫尔曼 ·冯 ·亥姆霍兹 (Hermannvon Helmholtz)也许是他那代人中最著名的德国物理学家 ,他深受黎曼的影响 ,并通过广泛地写作和宣讲向公众介绍生活在球体上的智慧生命的数学知识。

根据亥姆霍兹的看法 ,球面上的那些生物具有与我们相似的推理能力,欧几里得的所有假设和定理在他们那里都是没用的。例如 ,在球面上的三角形的三个内角之和并非 180度。高斯最先提出的 “书虫 ”们发现 ,他们竟然居住在亥姆霍兹的二维球面上。亥姆霍兹写道 :“几何定理必须根据这些与我们推理能力相同的生物居住的空间的类型而变化。”然而 ,亥姆霍兹在他的 “科学主题的普及演讲 ”(1881年)中警告读者说 ,“我们不可能将第四维直观化。”他说 :“事实上 ,这样的表现是不可能的 ,就像天生的盲人无法表现颜色一样。”

一些科学家惊叹黎曼著作的高雅 ,试图找到这个有力工具的物理应用。^[5]当一些科学家们正在探索黎曼数学在更高维度的应用时 ,其他一些科学家们提出了更为实用的、世俗的问题。如:一个二维生物如何吃饭 ?为了让高斯的二维人能吃饭 ,他们的嘴将不得不面对侧面。但如果画出他 们的消化道 ,我们可以注意到 ,这个通道将他们的身体完全分成了两半 (图2.5)。因此 ,如果他们吃饭 ,他们的身体将分裂成两块。事实上 ,任何一条连接他们身上两个开口的管子都将会把他们的身体分成互不相连的两块。这给我们提出了困难的选择。要么这些人像我们一样吃饭并且他们的身体将被破开 ,要么他们遵循着与我们不同的生物学规律。

图2.5二维的生物不能吃饭。一旦他吃饭 ,他的消化道必然将他分成不同的两块 ,身体就散架了。

不幸的是 ,黎曼的高等数学超出了 19世纪相对落后的物理学的认知。

没有物理原理来指导高等数学进一步的研究。为了让物理学家赶上数学家,我们必须等待又一个世纪。但这并没有阻止 19世纪的科学家无止境地推测四维世界的生物是什么样子。很快 ,他们意识到这样的四维生物几乎拥有如上帝般的力量。

成为神

想象人能穿墙破壁。

你不必为开门而烦恼 ,你可以顺利地穿墙而过。你不必绕着建筑物行走,你可以通过它们的墙壁和支柱进入 ,并从后墙出来。你不必绕着山绕道,你可以直接钻进山里。饿了 ,你无需打开冰箱的门就可以将手伸进冰箱。你永远不会意外地被锁在车门之外 ,因为你可以直接穿过车门。

想象人可以随意消失或重现。无需开车去上学或上班 ,你会消失和重新出现在你的教室或办公室里。你不需要乘飞机去很远的地方 ,你可以消失和重新出现在你想要去的地方。在交通高峰期 ,你和你的车永远不会被困在城市交通中 ,只会消失和重新出现在你的目的地。

想象你拥有一双 X光的眼睛。你能从远处看到事故的发生。你可以消失和重新出现在事故现场 ,看到受害者的确切位置 ,即使他们被埋在废墟之下。

想象一下能够进入一个物体而不需要打开它。你可以从橙子中取出橙子瓣而不需要剥皮或切割。你会被誉为一个熟练的外科医生 ,因为你有能力修复患者的内脏且无需切割皮肤 ,因而大大减少患者疼痛和感染的风险。你能直接进入病人的身体 ,直接通过皮肤做微妙的手术。

想象一下一个罪犯有了这些能力能够做什么。他可以进入戒备森严的银行。他能够看穿地下室沉重的大门发现贵重物品和现金 ,伸手到里面把它们拿出来。然后他可以大摇大摆地走出去 ,任凭卫兵的子弹从他身边穿过。有了这些能力 ,没有监狱能够囚住罪犯。

没有秘密能够瞒过我们。没有珍宝能够不让我们知道。没有障碍能够阻止我们。我们成了神奇的人 ,能够完成各种技艺 ,超出了人类的理解能力。我们真的变得无所不能。

什么生物能够具有这样的像神一样的能力 ?答案是 :来自高维世界的 生物。当然 ,这些技艺超出了任何一个三维人的能力。对我们来说 ,墙是坚固的 ,监狱的铁壁是不可打破的。试图穿墙而过 ,必然碰得头破血流。但对四维人来说 ,这些本领只不过是小孩玩意儿。

要理解怎样完成这些奇迹 ,再次考虑生活在二维桌面上的高斯的神秘二维生物。要把一个罪犯囚禁起来 ,平地居民只需围绕着他画一个圈。无论罪犯向哪边走 ,他都会碰到穿不过的圈。然而 ,对我们来说 ,让囚犯跳出这个监狱是轻而易举的事。我们只要弯下腰 ,抓住平地居民 ,把他拽出二维世界 ,再把他放回他的世界中的别的地方 (图 2.6)。这种在三维世界十分平常的本领 ,在二维世界中看上去却非常神奇。

图2.6在平地上 ,“监狱 ”就是围绕囚犯画的一个圈。在二维空间中希望囚犯逃出这个圈是不现实的。然而 ,一个三维的人可以把平地居民拉出监狱到三维空间中。对监狱看守来说 ,就好像囚犯神秘地消失在稀薄的空气中。

对他的监狱看守来说 ,这个囚犯突然从无法逃脱的监狱中丢失了 ,消失在稀薄的空气中。之后 ,他又突然地重新出现在别的地方。如果你向监狱看守解释 ,囚犯向上移动并离开了平面世界 ,他绝不会理解你说的是什么。在平地居民的词典中 ,不存在向上这个词语 ,也不可能对这个概念直观化。

其他一些事情也可以通过类似的方式解释。例如 ,平地居民的内部器(如胃和心脏 )对我们来说是完全可见的 ,就像我们在显微镜载玻片上看官细胞的内部结构一样。进入平地居民的体内 ,无需切开皮肤而对他们进行外科手术也是很平常的事情。我们还能将平地居民从他们的世界中剥下来,翻个身 ,再把他们放下。注意 ,他现在左右器官的位置发生了反转。就这样 ,他的心脏在右边了 (图2.7)。

图2.7如果将平地居民从他们的世界剥下来 ,在三维中将他翻个身 ,他的心脏将出现在右手侧。他的所有的内部器官都已经被反转。对于严格生活在平地上的人来说 ,这种变换在医学上是不现实的。

观察平地居民 ,我们会发现自己非常万能。即便平地居民藏在屋子里或在地下 ,我们也能轻松看到他。他会认为我们的能力是神奇的。然而 ,对我们来说 ,我们并不认为自己很神奇。这只是一种更高的视野在起作用。(虽然在原则上 ,这样神奇的本领在超空间物理领域内是有可能性的。 但我们应该注意到 ,驾驭多空间 —时间所必需的技术远远超过了地球上所能拥有的任何技术水平 ,这个问题甚至在几百年内也无法改变。驾驭超空间的能力有可能的确存在于宇宙中某些地外生命的能力范围中。他们的能力远高于地球上所能发现的任何事物。他们拥有的技术所能控制的能量 ,要比我们最强有力的机器产生的能量还要大 1000万亿倍。)虽然黎曼的著名演讲通过亥姆霍兹和其他许多人的工作而被推广 ,但普通公众并不了解其意 ,或者说他们对二维生物的饮食习惯并无兴趣。对一般人来说 ,更直接的问题是 :什么样的人可以穿墙而过且能看穿钢铁并创造奇迹 ?什么样的众生是无所不能的且遵守一套不同于我们的定律 ?

当然是鬼了 !

在缺乏物理原理激励的条件下引进高维思想 ,使第四维的理论突然有了意想不到的转变。在多维空间的历史上 ,我们将开始一段奇怪的但又不可忽视的弯路 ,并将考察它对艺术与哲学产生的意想不到的 ,但意义深远的影响。这种对大众文化的巡视 ,将表明神秘主义者如何给我们一些聪明的方法 ,而使高维空间 “可视化 ”。

第四维度的鬼

1877年,第四维在公众中引起了轩然大波。那时 ,在伦敦的一个可耻的审判让第四维臭名昭著。

伦敦各大报纸广泛宣传了巫师亨利 ·斯莱德 (HenrySlade)耸人听闻的声称和离奇的审批。当时的一些著名的物理学家卷入了这场哄闹的审判。宣传的结果是 ,对第四维的讨论从抽象的数学家的黑板上蹦进了上流社会 ,并成为了整个伦敦餐桌上的谈资。“臭名昭著的第四维 ”成为了伦敦街谈巷议的话题。

一位来自美国的巫师斯莱德访问了伦敦并参加杰出市民举行的降神会。他一开始是完全无辜的 ,后来他因诈骗罪被捕 ,并被指控 “使用微妙的手法和道具 ,通过手相术和其他办法 ”欺骗顾客。通常情况下 ,这种审判并不会引起大众的注意。但当杰出的物理学家出面为他辩护时 ,伦敦社会震惊了 ,大众也产生了浓厚的兴趣。为他辩护的物理学家说 ,这个巫师的特异功能证明他能召唤第四维度的灵魂。这个丑闻被推波助澜 ,因为为 斯莱德辩护的不是普通的英国科学家,而是世界上最伟大的物理学家。他们中的许多人获得过诺贝尔物理学奖。

煽动这起丑闻的主要人物是约翰 ·佐尔拉 (JohannZolner),莱比锡大学的物理学和天文学教授。佐尔拉率领一群显赫的物理学家来为斯莱德辩护。

当然,神秘主义者为皇家法院和公众社会表演小把戏并没有什么新奇。几个世纪以来,他们都宣称:他们能用心灵读出封闭信封里的字;从密闭的瓶子里取出物体;重新封装折断的火柴棒;将戒指套在一起。对这场官司最奇怪的曲解是,杰出的科学家声称,通过掌握四维空间的物体将有可能实现这些通灵技艺。在这个过程中,他们让公众初步了解了如何通过第四维表演这些神奇的把戏。

佐尔拉赢得了物理研究协会一些国际杰出的物理学家,甚至是这个组织的领导人的帮助。包括 19世纪一些最著名的名字:威廉 ·克鲁克斯 (Wiliam Grookes),他是阴极射线管的发明家,他的发明在今天主要用于世界上的电视机和电脑显示器^[6];威廉·韦伯 (Wilheim Weber),他是高斯的合作者和黎曼的导师 (今天,磁场的国际制单位正是以 “韦伯”命名);J.J.汤普森 (J.J.Thompson),他在1906年因发现电子赢得了诺贝尔奖;瑞利勋爵 (LordRayleigh),他是历史学家公认的 19世纪后期最伟大的古典物理学家之一和1904年诺贝尔物理学奖获得者。

克鲁克斯、韦伯、佐尔拉对斯莱德的工作产生了特殊的兴趣。斯莱德最终被法院认定为诈骗罪。然而,他坚持他可以通过在科学团体面前重复他的技艺来证明他的清白。出于好奇,佐尔拉接受了这个挑战。1877年佐尔拉进行了一系列控制实验,测试斯莱德是否具有通过第四维度传送物体的能力。佐尔拉邀请了几个杰出的科学家和自己一起对斯莱德的能力进行评判。

首先,他们给了斯莱德两个独立的、完整的木环。斯莱德能把一个木环放到另一个木环中,使它们交织在一起而不破坏木环吗?佐尔拉写到,如果斯莱德成功,它将 代“表一个奇迹,即一种直到此前我们的物理概念和生理过程绝不能解释的现象”。

其次,他们给了斯莱德一个蜗牛壳,向右扭曲的或向左扭曲的。斯莱德能把右旋贝壳变成左旋贝壳吗,或者反之?再次,他们给了斯莱德一个干的动物内脏制成的绳子。他能在不切断绳子的情况下在圆圈的绳子上做一个结吗 ?

斯莱德还受到了诸如此类的各种类似试验。例如 ,绳子打一个右手结,两端用蜡封住 ,盖上佐尔拉个人的印章。要求斯莱德不破坏封的蜡 ,解开这个结 ,在左手端重新打个结。因为在四维空间结总是解开的 ,所以对四维的人来说这个技艺是很容易实现的。他们还要求斯莱德从瓶子里取出东西 ,而不破坏瓶子。

斯莱德有表演这些奇迹的惊人的能力吗 ?

第四维度的魔法

今天我们意识到操纵更高维度空间所需要的技术 ,正如斯莱德所说 ,远超出了本行星在可以预见的未来能够掌握的任何事情。然而 ,这个臭名昭著的案例令人感兴趣的是 ,佐尔拉正确地得出了这样一个结论 ———如果能有什么办法将物体移动到第四维度 ,斯莱德的巫师专长就可以得到解释了。因此 ,由于教学上的原因 ,佐尔拉的实验是非做不可且值得探讨的。

例如 ,在三维中 ,两个分离的独立的环如果其中一个不被折断 ,它们就很难交织纠缠在一起。同样 ,封闭的圆形的绳子不破坏就不能扭成结。任何为得奖牌而拼命要解开结的男孩或女孩都知道 ,圆形的闭合的绳子的结是不能解开的。然而 ,在更高的维度 ,结很容易解开 ,环可以交织在一起。这是因为有 “更多的空间 ”互相移动绳子和将环交织在一起。如果第四维度存在 ,绳索和环可以跳出我们的宇宙 ,交织在一起 ,然后回到我们的世界。事实上 ,在第四维度 ,结绝不能永远结在一起的。不用切开绳子就能解开结。这样的奇迹在三维中是不可能的 ,但在第四维中这是轻而易举的事。原来 ,三维是唯一能使打的结不被解开的维度。(注解中给出了这个意想不到结果的证据。^[7])同样 ,在三维中也不能将无法改变的左旋物体转换成右旋物体。人类的心脏生来就在左边 ,外科医生不管多熟练 ,也不能逆转人体的内部器官。正如数学家奥古斯特 ·莫比乌斯 (AugustMobius)在 1827年首先指出的 ,如果我们能把物体举出我们的宇宙 ,在第四维中实现翻转 ,然后再回到我们的宇宙这才可以成为可能。这些奇迹中的两个如图 2.8所示 ,只有物体能移动到第四维度 ,才能进行这样的表演。

图10.神秘的亨利 ·斯莱德 (HeySlde)说他能将右旋贝壳变成左旋的 ,能从封闭的瓶子中取出物品。n这r些奇a迹在三维空间中是无法实现的 ,但如果能将物体移动到四维空间 ,这些问题都可以得到解决。

科学团体的两极分化

佐尔拉在《科学季刊》和《抽象物理学》杂志上都发表了文章,引发了一场争论的风暴。他说,斯莱德在降神会上,在有杰出科学家在场的情况下所表演的神奇魔法让观众吃惊。(然而,有些在受控条件下进行的测试,斯莱德也没做成功。)佐尔拉激烈地为斯莱德的技艺辩护,在伦敦社会中到处炒作。(事实上,这是19世纪后期几个涉及唯心论者和巫师的备受瞩目的事件之一。维多利亚时代的英国显然着迷于这类神秘事件。)科学家以及普通百姓很快地开始袒护这件事。支持佐尔拉说法的是他的著名的科学家的圈子,包括韦伯和克鲁克斯。他们不是普通的科学家,而是科学艺术大师和老练的实验观察者。他们花费了毕生的时间研究自然现象,现在,就在他们的眼前,斯莱德表演了只有生活在四维空间的精灵才能拥有的技艺。

但是,贬损佐尔拉的人指出,科学家是最不适合评论魔术师的,因为他们接受的训练是相信感觉。而魔术师接受的专业训练是转移注意力、掩人耳目以及将这些感觉相混淆。一位科学家可能正仔细地观察魔术师的右手,但魔术师却正用左手出其不意地完成了魔术。批评家也指出,只有另一个魔术师才能聪明地发现一位同行魔术师空手套白狼的把戏。只有贼才能抓住贼。

在季刊杂志《基本原理》上发表的一篇特别严厉的批评文章是针对另外两位杰出的物理学家,W.F.巴雷特爵士 (SirW.F.Baret

)和奥利弗

·洛奇爵士 (SirOliverLodge)的,他们的工作是有关心灵感应的研究。这篇文章毫不留情地批评道:

无需将所谓的心灵感应现象看作是不可解释的,也无需将巴雷特爵士和洛奇爵士的智力表演当回事。这里也许还有第三种可能,主观意愿使他们接受了一些证据,但如果他们接受过实验心理学的训练,他们就会重新看待自己之前找到的证据。

一个世纪后,在对以色列巫师尤里·盖勒 (UriGel

er)特异功能的争 论上出现了同样的讨论 ,赞成和反对。尤里 ·盖勒说服加利福尼亚斯坦福研究所的两位著名科学家 ,说他可以只用精神力量就能弯曲一把钥匙和表演其他特异功能。(评论这件事时 ,一些科学家津津乐道地引用古罗马人的一句谚语 :“想受骗者必受骗。”)英国科学界内蔓延的激情触发了一场生动的辩论 ,迅速传过英吉利海峡。不幸的是 ,在黎曼死后的几十年里 ,科学家忘记了他最初的目标 ———通过更高维度简化自然法则。结果 ,高维理论徘徊在许多有趣却问题百出的研究方向上。这是一个重要的教训。没有清楚的物理动机或没有指导性的物理绘景 ,纯粹的数学概念有时会演变成投机活动。

然而 ,这几十年来高维理论并未完全迷失方向 ,因为像查尔斯 ·欣顿 (CharlesHinton)那样的数学家兼神秘主义者想出了一些很机敏的方法 ,可以用来观察第四维。最终 ,第四维度普遍的影响峰回路转 ,全面流行起来并再次影响了物理世界。

[1]这一事件很可能引发了黎曼早期对数论的兴趣。几年后 ,他对数论中涉及 zeta函数 (ζ函数 )的某些公式做出了一个著名的推测。世界上最伟大的科学家与 “黎曼假设 ”搏斗了 100年,也没能找到任何证明。我 们最先进的计算机也不能给我们提供任何线索。黎曼假设现已作为数论中 (或许所有的数学中)最著名的未被证明的定理载入史册。贝尔曾指出, “无论是谁,只要能证明黎曼假设成立或不成立,都将获得莫大的荣耀”。

[2]虽然黎曼被认为是最终打破欧几里得几何限制的人,但发现高维几何的人应该是黎曼年迈的导师———高斯。

1817年,黎曼出生前将近 10年,高斯私下表达了他对欧几里得几何的深深不满。在给他的朋友天文学家海因里希·奥伯斯 (HeinrichOlbers)的预言信中,他明确指出欧几里得几何学在数学上是不完整的。

1869年,数学家杰姆斯 ·J.西尔维斯特 (JamesJ.Sylvester)记载,高斯曾认真考虑过高维空间的可能性。高斯想象了可以完全生活在二维的纸张中 (他称之为 “书虫”)的生物的特性。然后他推广这个概念到包括 “能够认识四维或更多维度空间的生物”。

人们也许会疑问,高斯在建立更高维度的理论上比其他人早10年,那为什么他又错过了打破三维欧几里得几何的历史性机会呢?历史学家注意到高斯在他的工作、政治和个人生活中具有非常保守的倾向。事实上,他从未离开过德国,几乎在一个城市度过了一生。这也影响了他的职业生涯。

1829年的一封透露性的信中,高斯向他的朋友弗里德里希 ·威廉·贝塞尔 (FriedrichBesel)承认,他永不会出版他关于非欧几里得几何的著作。因为高斯害怕这会在 “愚蠢的人”中引起争议。数学家莫里斯 ·克莱(Mor

isKline)写道,“高斯在1829年1月27日写给贝塞尔的信中说,他恩永远不会公布他在这个问题上的发现,因为他害怕嘲笑。或如他所说,他害怕 ‘愚蠢的人’(比喻一个愚蠢的希腊部落)的吵闹”。高斯很害怕老的、守旧的、狭隘的相信三个维度是神圣的 “愚蠢的人”,因此,他隐藏了他的一些最好的著作。

1869年,西尔维斯特在访问了高斯的传记作家萨特里厄斯 ·冯·瓦尔德斯豪森 (Sartoriusvon Waltershausen)后写道, 这“个伟大的人常说,他把几个已解析的论述过的问题搁置起来,希望等到他的空间概念被扩展时将它们应用到将来出现的几何方法中。因为,正如我们可以设想出只拥有二维空间概念的生命 (像一张无限薄的纸片上变得无限纤细的书虫 ),我们也可以想象出能认识四维或者更高维空间的生命”。

高斯写信给奥尔伯斯,“我越来越相信,欧几里得几何的物理必然性 不能被证明,至少不能被人类的推理证明。也许其他的生命形式能够洞察我们现在可望而不可即的空间的性质。到那时,我们一定不要把几何和算数放在同一课堂上,而要把它和力学放在同一课堂上”。

事实上,高斯十分怀疑欧几里得几何,以至于他甚至进行过一个巧妙的试验来检验它。他和他的助理爬上三个山峰:罗肯山 (Rocken)、霍赫海根山 (Hohhgn)、英塞尔斯伯格山 Islbr)。站在其中一个山峰eae(neseg上,可以清楚地看到另外两个山峰。在三个峰之间画一个三角形可以实验测量三角形的内角。如果欧几里得几何是正确的,那么内角之和应是 180度。让他失望的是,他的试验发现这个三角形的内角之和正好是 180度 (正负15分)。他的测量设备的粗略性使他无法肯定地证明欧几里得是错的。(今天,我们认识到这个实验必须在三个不同星系之间测量才能检测出可观的偏离欧几里得的结果。)我们还应指出,数学家尼古拉斯 ·I.罗巴切夫斯基 (Nikolaus I.Lobachevski)和亚诺什·波利耶 (JanosBolyai)独立地发现了定义在曲面上的非欧几里得几何。但是,它们的构建仅局限于通常的低维上。

[3]英国数学家威廉 ·克利福德 (Wiliam Cliford)翻译了黎曼在 1873年进行的著名的 “自然”演讲,放大了黎曼的很多学术思想。他也许是第一个将黎曼的思想扩大为电磁力是由于空间的弯曲造成的的人。这也使得黎曼的工作具体化。克利福德怀疑在数学和物理中发现的两个神秘现象———高维空间和电磁———实际上是同一件事情,即电磁力是由高维空间的弯曲引起的。

这是首次有人怀疑 “力”是由空间本身的弯曲所产生的,比爱因斯坦早了50年。克利福德提出的 “电磁力是由四维空间的振动所引起”的思想也超前于试图用高维解释电磁力的卡鲁扎。克利福德和黎曼预言了20世纪科学家的发现,即高维空间的意义是,它能为力给出简单而优雅的描述。首次有人正确地得出高维的真正的物理意义,即超空间理论实际给我们各种力的统一的描述。

数学家杰姆斯·西尔维斯特 (JamesSylvester)记录了这些先知的观点,他在1869年写到,“克利福德先生已沉迷于一些奇怪的推测之中,这些推测是,我们能否从某些无法理解的光和磁现象推断出我们所在的三维空间正在四维空间中被扭曲……就像一张纸被皱褶而产生扭曲”。

1870年,在克利福德写了一篇非常吸引人的文章——— “论物质的空间 理论 ”。他在文章中明确地写道 ,“空间曲率的变化在我们称之为物质运动的现象 (无论是可测量的或是空灵的 )中确有发生 ”。

[4]更确切地说 ,在 N维中 g黎曼度规张量是一个 N ×N矩阵 ,它确定了两个点之间的距离。比如两个点之间的无穷小距离由 ds2=∑dxμgμγdxγ给出。在平展空间的极限情况下 ,黎曼度规张量变成对角线 ,即gμγ =δμγ ,因此该公式简化为 N维中的毕达哥拉斯定理 (勾股定理)。度规张量与 δμγ的偏差粗略地讲是该空间偏离平面空间的度量。从度规张量可以构造黎曼曲率张量 ,由 Rβα表示。μγ任何给定点上的空间曲率都可以通过在那个点画一个圆并测量圆内的面积来确定。在平面二维空间中 ,圆的面积为 πr2。但是 ,如果曲率是正的,如在球体中 ,该面积小于 πr2。如果曲率是负的 ,如马鞍或喇叭 ,该面积大于 πr2。严格地说 ,按照这个惯例 ,一张皱褶的纸的曲率是零。这是因为画在这张皱褶纸上的圆面积仍然等于 πr2。在黎曼的由纸的皱褶产生力的这个例子中 ,我们隐含地假定了纸是扭曲的、伸展的、折叠的 ,因此曲率为非零。

[5]1917年,爱因斯坦的一个朋友物理学家保罗 ·埃伦费斯特写了一篇题为 “空间有三个维度的物理学定律以何种方式变得明了 ?”的文章。埃伦费斯特问自己 ,行星是否可能在高维空间中。例如 ,我们离蜡烛越远,蜡烛的光就会变得越暗淡。同理 ,当我们距离星星越远时 ,星星对我们的引力就变得越微弱。根据牛顿的说法 ,引力按照平方反比定律变弱。如果我们离开一个蜡烛或星星的距离增加 1倍,那么光线或引力就会变为原来的 1/4。如果我们把距离增加 3倍,它就会变为原来的 1/9。如果空间是四维的 ,那么烛光或重力会变弱得更为迅速 ,将与三次方呈反比。将蜡烛或星星的距离增加 1倍会使烛光或引力变为原来的 1/8。太阳系能存在于这样一个四维世界中吗 ?在原则上是可以的 ,但这些太阳系中的行星的运行轨道会变得不稳定。即便最微弱的震动也会使行星的轨道坍缩。随着时间的推移 ,所有的行星都会偏离通常的轨道 ,并坠入太阳。同理 ,因为引力会使太阳被挤碎 ,所以太阳也不可能存在于更高的维度。引力平衡了使太阳分开的聚变力。因此 ,太阳处在核力和引力之间的微妙的平衡状态 ,核力会使它爆炸 ,而引力将它凝聚到一个点上。在一个 更高维度的宇宙中,这种微妙的平衡将被破坏,恒星可能会自行坍缩。

[6]佐尔拉在1875年转变为一个唯心主义者,那时他访问了克鲁克斯的实验室。克鲁克斯是元素铊和阴极射线管的发明者和《科学学报》季刊编辑。克鲁克斯的阴极射线管为科学带来了革命。人们看电视、使用电脑显示器、玩视频游戏、拍摄 X射线都应感谢克鲁克斯的著名的发明。反过来,克鲁克斯也不是怪人。事实上,他是英国科学界的一头狮子。他获得过各种各样的专业荣誉。他在 1897年被封为爵士,在 1910年获得勋章。他的弟弟菲利普在1867年因黄热病不幸去世,这激发了他对灵性的探究兴趣。他成了心理研究学会一个杰出的成员 (后来的主席),这个学会包括了数量惊人的19世纪末重要的科学家。

[7]想象在三维以上的空间中如何解开结,设想两个环交织在一起。现在取这个交织环构型的二维横截面,结果是一个环位于这个平面上,而另一个环成为了一个点 (因为它垂直于平面)。现在在圆中出现了一个点。在更高的维度,我们能够将这个点自由移动,将它彻底移到圆的外面,无需切割环任何部位。这意味着两个环现在已按照要求完全分离。这也意味着,在大于三维空间中的结总是可以解开的,因为有 “足够的空间”。但同时也需要注意,如果我们处在三维空间中,我们就不能把点从圆环中移走,这就是为什么结只有在三维空间中才处于成结状态的原因。