爱因斯坦是一个能提出非常简单的问题的人

光的秘密_超空间

按我的期待 ,如果 (相对论 )被证明是正确的 ,那么他 (爱因斯坦 )将被认为是 20世纪的哥白尼。

———马克思 ·普朗克评论阿尔伯特 ·爱因斯坦

阿尔伯特 ·爱因斯坦的一生似乎是一长串的失败和失望。甚至他的妈妈也为他很费劲才学会说话而感到沮丧。他的小学老师认为他是愚蠢的梦想家。他们抱怨他总是用愚蠢的问题打乱课堂的秩序。一位老师甚至直言地告诉孩子们 ,他情愿让爱因斯坦退学。

爱因斯坦在学校里的朋友很少。他对学校里的课程失去了兴趣 ,在高中时退学了。由于没有高中文凭 ,他不得不参加特殊考试才有机会进入大学。但实际情况是他的第一次考试并未通过 ,不得不参加第二次考试。由于扁平足的问题 ,他甚至在瑞士的陆军军校的考试中也未被录取。

他在大学毕业后一直没有找到合适的工作。他是一个失业的物理学家。虽然他通过了大学教师职位的考试 ,但他申请的每一个地方都拒绝给他提供工作的机会。他给一个学生当家教赚取可怜的每小时 3法郎的家教费。他告诉他的朋友莫里斯 ·索罗文 (MauriceSolovine),“最容易的挣钱方式是在公众场合拉小提琴 ”。

爱因斯坦拒绝追逐权力和金钱 ,而这却是大多数人追求的东西。他曾经悲观地写道 ,“只是由于胃的存在 ,人们注定要参与那种追逐 ”。最后 ,他通过一个朋友的影响 ,才得以在伯尔尼的瑞士专利局得到一个低级办事员的工作。在那里 ,他赚的薪水勉强能维持自己的生活 ,不再需要他父母的支持。依靠微薄的薪水 ,他养活了他年轻的妻子和新生的婴儿。

在缺乏资金、缺乏科研机构联系的条件下 ,爱因斯坦单枪匹马地在专利局开始了自己的研究工作。在处理专利申请的空隙间 ,年轻的爱因斯坦的思绪飘向了他感兴趣的问题之中。然后 ,他担起一项任务最终改变了人类历史的进程。他使用的工具就是第四维度。

孩子的问题

爱因斯坦天才的本质是什么 ?雅各伯 ·布鲁诺斯基 (Jacob Bronowski)在他的著作《人类的攀升 ———科学进化史》中写道 :“像牛顿和爱因斯坦这样的天才在于他们能提出清澈的、天真无邪的问题 ,最后得出这些问题具有重大影响力的答案。爱因斯坦是一个能提出非常简单问题的人。”当爱因斯坦还是孩子的时候 ,他会自问一些看似非常简单的问题 :如果一个人能追上光 ,那么这束光看上去会是什么样子的呢 ?你会看见一束稳定的波冻结在时间中吗 ?这些问题让他开始了长达 50年的探索空间和时间的奥秘之旅。

想象自己坐在一辆飞驰的汽车里 ,正超越另一辆列车。如果我们猛踩油门 ,我们的汽车与列车肩并肩地前行。我们可以看到列车的内部 ,这列车仿佛是静止的 ,我们可以看到列车里的座位和乘客 ,列车似乎没有运动。同样地 ,爱因斯坦作为一个孩子想象自己正与一条光束旅行。他想 ,这条光束应该像一系列的稳定的波 ,在时间上是冻结的 ,即这条光束看上去应该是静止的。

爱因斯坦 16岁的时候 ,就看出了这种论证的漏洞。他后来回忆 :

在经历了 10年的思考之后 ,我从在我 16岁时就引起我注意的矛盾中得出了这样一个结论 :如果我以真空中的光速 c追逐一条光束 ,我可以看到这条光束在空间中震荡的电磁场是静止的。然而 ,无论是根据实验还是根据麦克斯韦方程 ,似乎都不存在这样的事情。

在大学里 ,爱因斯坦证实了他的怀疑。他知道 ,光可以用法拉第的电场和磁场表示 ,并且这些场都服从于詹姆斯 ·克拉克 ·麦克斯韦发现的场方程。正如他猜测的那样 ,他发现静止的、冻结的波是麦克斯韦场方程所 不允许的。事实上 ,爱因斯坦发现 ,不论我们多么辛劳地追赶光束 ,这条光束总是以同样的速度 c前进。

乍看起来 ,这似乎非常荒谬。这意味着我们永远无法超越光束这列 “火车 ”。更糟糕的是 ,无论我们把汽车驾驶得多快 ,这列 “火车 ”似乎总在我们前面以同一个速度前行。换句话说 ,光束就像老水手们常讲述的有“幽灵船 ”的故事。这是一个永远无法捕捉的幽灵船。不论我们如何快速关航行 ,幽灵船总是躲着我们 ,嘲笑着我们。

1905年,因为爱因斯坦在专利局的时间非常充裕 ,他仔细分析了麦克斯韦场方程并得出了 “狭义相对论 ”原理 :光在真空中的各个方向上传播速度 (即单向光速 )的大小均相同 (即光速各向同性 ),光速同光源的运动状态和观察者所处的惯性系无关。这个听起来很单纯的原则是人类思想的最大成就之一。有人说人类在地球上进化的 200万年中 ,作为人的心智最伟大的科学创造之一的狭义相对论 ,与牛顿的万有引力定律并驾齐驱。

根据狭义相对论 ,我们能条理分明地解开恒星和星系释放巨大能量的秘密。

为了弄清这个简单的陈述如何能得出如此深刻的结论 ,让我们回到汽车试图超越火车的类比案例。例如 ,一个行人在人行道上测量我们驾驶的汽车车速为每小时 99英里 (159公里 ),火车行驶速度为每小时 100英里 (161公里 )。我们从自己驾驶的汽车里的角度向外观察 ,我们会发现火车在我们前面以每小时 1英里 (1.61公里 )的速度行驶。这是因为速度可以像普通数字一样实现加减。

现在让我们用光线代替火车。假定光的速度为每小时 100英里 ,行人测量我们汽车的速度仍是每小时 99英里。汽车正在追赶速度为每小时 100英里的光线。根据行人的观点 ,我们应该接近这条光束。然而 ,根据相对论的观点 ,我们在车上实际看到在我们前面的光束并非以预期的每小时 1英里前行 ,而是以每小时 100英里的速度飞驰。显然 ,我们看到光束在我们前面飞跑 ,就好像我们是静止不动一样。我们不相信自己的眼睛 ,继续踩油门让我们的车速达到每小时 99.99999英里。我们可以肯定地认为就要超越光束了。然而 ,当我们向车窗外望去 ,我们看到光束仍以每小时 100英里的速度飞驰。

我们忧虑地得出了一些奇怪的令人不安的结论。首先 ,行人告诉我们,无论我们给汽车加多大的油 ,汽车也只能无限接近每小时 100英里的 速度而不能达到这个数值 ,这似乎是汽车的最高速度。第二 ,无论我们如何接近每小时 100英里 ,我们仍然看到光束在我们前面以每小时 100英里的速度急速前进 ,好像我们是静止的。

但这是荒谬的。在飞驰的汽车里的人和静止的人测量的光束的速度怎会是一样的呢 ?通常情况下 ,这是不可能的。这似乎是大自然的天大的玩笑。

解决这个悖论只有一条出路。我们自然地引导得出一个惊人而震撼的结论。当爱因斯坦第一次意识到它时 ,他震撼了。解决这个困惑的唯一办法是 ———对于汽车中的我们而言 ,时间变慢了。如果行人用望远镜盯住我们的汽车 ,他会发现汽车里的每个人的移动都异常缓慢。然而 ,我们在车上的人却丝毫不曾注意到时间慢下来了 ,因为我们的大脑也慢下来了 ,一切对我们来说都是正常状态。此外 ,行人看见汽车在前进的方向上变得扁平,汽车像手风琴一样缩拢起来。然而 ,我们从未感觉到这个效应 ,因为我们的身体也缩小了。

空间和时间在捉弄我们。在实际的实验中 ,科学家已经证明 ,不管我们的行进速度有多快 ,光的速度永远是 c。这是因为我们的行进速度越快 ,我们的时钟就嘀嗒得越慢 ,我们的尺子就变得越短。事实上 ,我们的时钟慢了下来 ,我们的尺子收缩得恰好使得我们无论什么时候测量速度 ,得出的光速都相同。

但我们为何不能看到或感觉到这种效果呢 ?因为当我们接近光速时 ,我们的大脑思考也变得更慢了 ,我们的身体也变得越来越薄。我们在无忧无虑中变成了迟钝的薄煎饼 ,而我们却丝毫不曾察觉。

当然 ,这些相对论效应影响太小 ,我们很难在日常生活中看到 ,因为光的速度实在太快了。然而 ,作为一个纽约人 ,每当我在地铁站等地铁的时候我都会想起空间和时间这种迷人的扭曲。当我在地铁站的站台上无事可做时 ,我会让自己的想象力自由飞翔。我想 :如果光的速度与地铁列车的速度相同 ,即每小时 30英里 (48公里 )会出现一种什么状态。结果是 ,当列车咆哮进站时 ,它看上去就像一个被挤扁了的手风琴。我想象列车会收缩成 1英尺厚的扁的金属板 ,沿着轨道高速行驶 ,地铁车厢里的乘客薄得像一张纸。他们的时间实际上已经冻结了 ,他们仿佛是静止的雕像。然而,当列车喘着气停下来时 ,列车突然膨胀了 ,直到这块金属厚板逐渐占满整个车站。

与这种扭曲一样荒谬的是 ,列车上的乘客对此改变完全没有察觉。他们的身体和周围的空间将沿着列车前进的方向收缩 ,一切似乎都处在正常状态。此外 ,他们的大脑也会慢下来 ,这样列车内的每个人的行动都变得正常。当地铁列车安全地进站并停在站台上时 ,车里的乘客并不知道站台上的人看见列车神奇般地膨胀了 ,直到占满整个站台。当乘客离开列车时,他们浑然不觉狭义相对论所要求的这种深奥变化。(同样地 ,列车上的乘客会认为列车是静止的 ,地铁站相对列车迎面而来。他们会看到站台和站台上的人压缩成手风琴的样子。这就产生了一个矛盾 ,列车上的人和站台上的人都认为对方被压缩了。这个矛盾的解决有点辣手。^[1])第四维度和高中同学聚会

当然 ,对爱因斯坦理论的通俗解释多得数不胜数 ,它们强调了爱因斯坦工作的不同方面。然而 ,鲜有解释捕捉到狭义相对论背后的本质 ———时间是第四维度 ,自然法则在更高维度被简化和统一。引进时间为第四维度推翻了可以追溯到亚里士多德时代的时间概念。空间和时间将永远通过狭义相对论辩证地连接起来。(佐尔拉和辛顿都认为下一个将被发现的维度是第四空间维。在这点上 ,他们是错误的 ,威尔斯是正确的。下一个将被发现的维度是时间 ,一个第四时间维。要对第四个空间维的认识有进展 ,还必须再等上几十年。)想弄明白高维是如何简化自然定律的 ,我们可以首先回忆一下三维物体的长度、宽度、高度。如果我们自由地将物体旋转 90度,就可以把它们的长度变为宽度、宽度变为高度。通过简单的旋转操作 ,我们可以对空间中的三个维度进行自由交换。现在 ,如果时间是第四维度 ,那么 ,通过 “旋转 ”也可能实现空间与时间的转换。这些四维的 “旋转 ”正是狭义相对论要求的时空扭曲。换句话说 ,空间和时间以一种受相对论支配的本质的方式混合在一起。时间作为第四维度的意义就在于 ,时间和空间可以用数学上精确的方式彼此旋转。从现在起 ,时间和空间必须被视为时 -空这同一个量的两个方面来看待。因此 ,增加一个更高维度有助于统一自然法则。

牛顿在 300年前认为时间在宇宙中的任何地方以同样的节拍在跳动。 无论是地球上、火星上 ,还是遥远的恒星上 ,时钟将以同样的速率嘀嗒作响。人们认为 ,在整个宇宙中时间是以绝对均匀的节奏推移的。时间和空间之间的旋转是不可想象的。时间和空间是两个不同的量 ,它们之间没有关系。把它们统一成一个量是不可想象的。然而 ,根据狭义相对论 ,时间可以以不同的速率跳动 ,时间的快慢取决于物体移动速度的快慢。时间是第四维度意味着 ,时间与空间中的运动有着内在联系。时钟嘀嗒的速度快慢取决于它在太空中移动的速度的快慢。我们用送入环绕地球轨道上运行的原子钟做的精确实验证实 ,地球上的时钟与发射到外层空间中火箭里的时钟以不同的速率嘀嗒走着。

当我参加高中同学的 20年聚会时 ,我生动地想起相对性原理。虽然毕业后大多数同学都未曾见面 ,但我认为他们都会显示出与我相同的老化迹象。正如我的预期 ,我们大多数人在聚会时都宽慰地发现 ,我们的老化过程是相同的 :鬓角灰了、腰围大了、脸上添了几条皱纹。虽然我们在空间上相距几千英里 ,在时间上也分开了 20年,但我们都认为时间对我们而言是均匀流逝的。我们不假思索地认为 ,人人都以同样的速率老化。

一个想法在我的脑海里徘徊。我想象 ,如果聚会中有一个同学与他 20年前毕业时的模样完全相同会引发怎样的场景。结果是 ,他会使同学们大吃一惊 ,他是 20年前我们认识的那个同学吗 ?当大家确定了他正是 20年前的那个同学时 ,整个大厅会涌现出一片恐慌。

我们被这次相遇震惊了 ,因为我们在传统认知中都心照不宣地默认时钟在任何地方都是以同样的速率跳动的 ,哪怕是相距遥远。然而 ,如果时间是第四维度 ,那么空间和时间就可以实现彼此旋转。时钟可以以不同的速率跳动 ,这取决于时钟移动速度的快慢。例如 ,这个同学可能进入了一个接近光速的火箭。对我们来说 ,火箭之旅可能持续了 20年。然而 ,对他来说 ,因为在飞驰的火箭里时间变慢了 ,从毕业那天算起他仅仅衰老了几分钟。对他来说 ,他刚进入火箭 ,火箭加速进入外层空间几分钟后就回到了地球上。在一个短暂的、愉快的旅程之后 ,他及时地参加了曾经的高中同学们组织的 20年聚会 ,这时的他在一群灰白头发的同学中仍显年轻。

每当我回想自己第一次遇到麦克斯韦场方程时的情景 ,就会想起第四维度简化了自然定律的法则。每个学习电磁理论的大学生都要花费好几年的时间才能掌握这八个相当难看的晦涩抽象的方程。麦克斯韦的八个方程臃肿而难以记忆 ,因为时间和空间是被分别处理的。(至今 ,我不得不在 书中查阅它们 ,以确保得到所有的标志和符号是正确的。)我现在仍清晰地记得 ,当我学会将这些方程转化成一个看起来十分普通的方程时 ,我的心情有多么地松弛 ,此时时间是被作为第四维度来处理的。就这么精彩的一笔 ,第四维度就把这些方程简化成一个美妙且一目了然的形式。^[2]用这种形式书写 ,方程具有高度的对称性 ,即空间和时间可以彼此转变。麦克斯韦场方程像一片美丽的雪花。当我们把雪花绕着它的轴心旋转时 ,它保持着原样 ;我们将麦克斯韦场方程用相对论的形式书写 ,如果我们将空间旋转成时间 ,它仍然保持为原来的形式。

值得注意的是 ,以相对论的方式写成的这一简单方程与 100年前麦克斯韦写下的八个方程一样包含了相同的物理内容。这一方程 ,反过来控制了发电机、雷达、无线电、电视、激光、家用电器 ,和出现在人们客厅里的诸多其他消费电子产品的性质。这是我第一次接触到物理学之美 ,思维空间的对称性能解释足以充满一座工程学图书馆的海量物理知识。

这里 ,再次展示了本书的主题 :添加高维有助于简化和统一自然定律。

物质是凝聚的能量

到目前为止 ,统一自然定律的讨论还是相当抽象的。在爱因斯坦走出下一个决定命运的步伐之前 ,一直维持着这样的一种情况。爱因斯坦意识到,如果空间和时间可以统一成一个单一的实体 ,称为 “空间 -时间 ”。那么 ,也许物质和能量也能被辩证地统一起来。他推测 ,如果尺子可以收缩,时钟可以变慢 ,那么我们用尺子和时钟测量的每一种东西也必将发生改变。然而 ,在物理学家的实验室里 ,几乎所有的东西都要通过尺子和时钟进行测量。这意味着 ,物理学家们不得不重新标定所有的曾经被认为是恒定的实验室的量。

特别是能量 ,它是一个依赖于我们测量的长度与时间间隔的物理量。一辆飞速前进的试验汽车猛然地撞进砖墙 ,显然 ,它具有能量。然而 ,如果飞速行驶的汽车的速度无限接近光速 ,它的性质就扭曲了。它像手风琴一样收缩 ,它里面的钟也开始走得越来越慢。

更重要的是 ,爱因斯坦发现 ,汽车的质量随着汽车速度的提高而增 大。但这多余的质量从何而来 ?爱因斯坦得出结论 ,它来自能量。

这就产生了一些令人不安的后果。19世纪物理学的两个伟大发现是质量守恒和能量守恒定律。也就是说 ,一个封闭系统的总质量和总能量分别保持不变。如果飞驰的车撞击砖墙 ,汽车的能量不会消失 ,而是转换成碰撞的声能、飞砖碎片的动能、热能等。总能量 (和总质量 )撞车前后是一致的。

然而 ,爱因斯坦现在却表示 ,汽车的能量可以转换成质量 ———一个新的守恒定律 ———质量加上能量的总和保持不变。物质不会突然消失 ,能量也不会凭空产生。在这一点上 ,上帝是错误的 ,而列宁是正确的。物质的消失以释放大量能量为代价 ,反之亦然。

爱因斯坦 26岁时 ,他就精确地计算出了能量的变化关系 ,而且发现了关系式 E =mc2。由于光速的平方 c2)是一个巨大的天文数字 ,因此少量的物质就可以释放出大量的能量。(封存在最小的物质粒子中的能量超过了一次化学爆炸所能释放能量的 100万倍。从某种意义上看 ,物质可以看作一个几乎消耗不尽的能量库 ———物质是凝聚的能量。

在这方面 ,我们发现了数学家查理斯 ·辛顿和物理学家阿尔伯特 ·爱因斯坦的工作之间的深刻差异。辛顿花费了他的大部分成年时间试图使更高的空间维变得形象化。他对给第四维度找一个物理解释不感兴趣。然而,爱因斯坦看到第四维度可以作为一个时间的维度。指引他前行的是一种信念和物理直觉 ———高维的目标在于统一自然法则。通过增加更高的维度,他可以统一在三维世界中那些看似没有联系的物理概念 ,如物质和能量。

从那时起 ,物质和能量的概念被当作一个整体 :物质 -能量 (质能)。当然 ,爱因斯坦有关第四维的工作最直接的反映就是氢弹 ,它被证明是 20世纪科学最强大的创作。

我生活中的最幸福的思想

然而 ,爱因斯坦并不满意。虽然他靠狭义相对论就能保证他在物理学巨人中占有一席之地 ,但他认为还有什么遗漏的东西。爱因斯坦的关键洞察力是 ,他通过在第四维度中引入两个新概念统一了自然定律 :“空间 -时间 ”、“物质 -能量 ”。虽然他已经解开了一些自然界中极为深奥的秘密 ,但他也同时意识到自己的理论存在漏洞 ,即这两个新概念之间的关系是什么 ?更明确地说 ,在狭义相对论中 ,被人们忽略的加速度有什么影响 ?还有万有引力呢 ?

他的朋友马克思 ·普朗克 ,量子理论的创始人 ,劝告年轻的爱因斯坦,他认为引力问题太难了。普朗克告诉他 ,他的雄心太大了 :“作为老朋友 ,我劝告你最好别碰引力问题。首先 ,你不会成功 ;即使你成功了 ,也难以得到大家的信任。”然而 ,爱因斯坦却一头扎了进去 ,希望揭开引力之谜。再次 ,他的重要发现的关键在于 “自问只有孩子才会提及的问题 ”。

当孩子乘坐电梯时 ,他们有时会紧张地提问 ,“绳子断了怎么办 ?”回答是 ,“你将处于失重状态 ,就像置身外太空那样飘浮在电梯内 ,你和电梯都以同样的速度下降。此时的你和电梯都在地球的引力场中加速 ,且拥有相同的加速度 (电梯不会为你提供一个向上的支撑力 ),因此 ,你在电梯中仿佛失去了重量。”(至少在到达通风井的底部之前 )1907年,爱因斯坦意识到飘浮在电梯中的人可能会猜想有人神秘地关闭了引力。爱因斯坦曾回忆说 ,“我正坐在伯尼尔专利局的办公椅上 ,一个思想突然出现在我的脑海中。这个思想就是 :‘如果一个人自由下落 ,他将不会感觉到自己的重量。’我大吃一惊。这个简单的想法在我脑海中留下了深刻印象。它促使我得出了一个引力理论。”爱因斯坦称它为 “我一生中最幸福的想法 ”。

反之 ,他知道在加速上升火箭中的人会感到有一种力将他推到他的座位上 ,好像存在一股引力在拉他。(事实上 ,我们宇航员感受到的加速度按惯例是用 g来测量 ,即地球引力的倍数。)他得出的结论是 :在加速上升的火箭中 ,被加速的人可能会认为这些力是引力造成的。

通过这个孩子般的问题 ,爱因斯坦抓住了引力的根本性质 :在一个加速框架中的自然定律等效于引力场中的自然定律。这个简单的原理被称为等效原理。在普通人眼里 ,这可能并不意味着什么 ,但在爱因斯坦的手中,它成为一个宇宙理论的基础。

(这个等效原理也给出了复杂的物理问题的简单解答。例如 ,我们都手持着一个氦气球坐在行驶着的汽车里。汽车突然左急转弯 ,我们的身体会向右倾 ,但气球会向哪边移动呢 ?常识告诉我们 ,气球会像我们的身体 一样向右移动。这个微妙问题的正确解答甚至难住了经验丰富的物理学家。这个问题的答案需要用到等效原理。设想有一个引力场从右边拉拽这辆车。引力使我们突然向右倾斜 ,而氦气球比空气轻 ,它总是逆着引力的拉拽 “向上 ”飘浮。因此 ,它必定会向左飘浮 ,与引力的拉动方向相反。这与我们的常识相反。)爱因斯坦利用等效原理解决了长期存在的光束是否受引力影响的问题。通常 ,这是一个不同寻常的问题。然而 ,通过等效原理 ,答案变得显而易见。如果我们在加速的火箭中打开手电筒 ,光束将向着地板方向弯曲。(因为光束在穿过房间所需要的时间里 ,火箭在光束下面加速了)。因此,爱因斯坦认为引力场会使光束的路径弯曲。

爱因斯坦知道物理学有一条基本原理 ,即光束将在两点之间走所需时间最少的那条路径 (费马最短时间原理)。通常 ,经过两点之间时间最少的路径是直线 ,因此光束是直的。(即使光进入玻璃时发生弯曲 ,它仍然服从最短时间原理。这是因为光在玻璃中的速度变慢了 ,现在光通过空气和玻璃的结合体所花时间最短的路径是折线。这就是所谓的折射 ,它是制造显微镜和望远镜的基础。)(例如 ,设想你是一名离水有一定距离的岸上的救生员。此时 ,你瞥见某人溺水求救。假定你在柔软的沙滩上的奔跑速度远低于你在水中的游动速度。如果你选择直线距离救人则需要花费太多时间浪费在沙滩上。而此时的最短时间路径是一条折线 ,即缩短在沙滩上奔跑的时间 ,将自己在水中的时间最大化。)然而 ,如果光在两点之间会选择通过时间最短的路径 ,且光束在引力的影响下弯曲 ,那么 ,两点之间的最短距离就是一条曲线。爱因斯坦被这个结论震惊 :如果光能被观察到以曲线传播 ,这就意味着空间本身是弯曲的。

空间弯曲

爱因斯坦信念的核心是 ——— “力”可以用纯几何学进行解释。例如 ,想象一下我们骑旋转木马时的场景。大家都知道 ,我们在换马的时候会在穿过平台时感到一种 “力”在拉我们。因为旋转木马的外缘比中心移动得更快。根据相对论原理 ,旋转木马的外缘必须收缩 ,这个平台作为一个整 体必须是弯曲的。对平台上的人来说 ,光不再以直线传播 ,仿佛有一股 “力”将它拉向边缘。通常的几何定理不再成立。因此 ,当我们在旋转木马的马与马之间穿行时所感觉到的 “力”可以解释为空间本身的弯曲。

爱因斯坦独立地发现了黎曼原先的方案 ———给 “力”的概念一个纯粹的几何解释。让我们回忆一下黎曼用生活在皱褶纸面上的平地居民所作的类比。对我们来说 ,在皱褶表面移动的平地居民显然不能是行走在一条直线上。无论他们走哪条路 ,他们都将受到一个 “力 ”,这个 “力”或左或右地作用在他们身上。对黎曼来说 ,空间的弯曲引起力的出现。因此 ,力并不真实存在 ,实际上发生的事情是空间本身被弯曲变形了。

然而 ,黎曼方案的问题是 ,他没有提出有关引力和电磁力与空间弯曲的关系的具体想法。他的方法是纯数学的 ,没有如何实现空间弯曲的具体且精确的物理绘景。在黎曼失败的地方 ,爱因斯坦成功了。

例如 ,设想一块岩石放在一块展开的床单上。显然这块岩石要下沉 ,形成一个平滑的凹陷。我们将一个小弹球扔到这个床单上 ,它就会沿着一条围绕岩石的圆形或椭圆形轨道路径运动。从远处看到弹球绕岩石运动的人可能会说 ,有一个发自岩石的 “瞬间力 ”改变了弹球的运动路径。然而,仔细观察你会发现 :岩石弯曲了床单 ,因此也弯曲了弹球的路径。

依此类推 ,行星在环绕太阳的轨道上运动 ,是因为它们正运行在被太阳弄弯曲的空间中。这样 ,我们站在地球上而不会被抛进外太空的答案就浮出了水面 ———地球在不断地弯曲我们周围的空间 (图4.1)。

爱因斯坦注意到由于太阳的存在弯曲了来自遥远的星星的光的路径。因此 ,这个简单的物理描述给出了一种用实验来检验理论的方法。首先 ,我们在夜间测量星星的位置 ,此时我们看不见太阳。然后 ,在日蚀期间 ,再次测量这些星星的位置 ,此时是有太阳的 (但太阳光的强度已不能淹没恒星的光)。根据爱因斯坦原理 ,当太阳出现时 ,星星的表观的相对位置应该发生变化 ,因为太阳的引力场会弯曲这些星星发出的到达地球的光的路径。通过比较夜晚星星和日蚀时星星的照片 ,这一理论将得到检验。

这种绘景可以用马赫原理来概括 ,它指导爱因斯坦创造了广义相对论。我们记得床单的弯曲是岩石存在而引起的。爱因斯坦总结了这种类比,他指出 :物质 -能量的存在确定了围绕着它的空间 -时间的曲率。这是黎曼没有发现的物理原理的本质 ,即空间的弯曲是直接与空间内包含的能量和物质的量相联系的。

图4.1对爱因斯坦来说 ,“引力 ”是空间弯曲引起的一种错觉。他预测光通过太阳附近时会弯曲 ,因此 ,星星的相对位置在有太阳存在的情况下会发生偏离。这一点已被实验证实了。

反过来 ,这可以用爱因斯坦的著名方程总结 ^[3],这个方程式可以描述为 :

物质 -能量 →空间 -时间的曲率

在方程式中 ,箭头意味着 “确定 ”,这个看似很短的方程是人类心灵最伟大的成就之一。星星和星系的运动、黑洞、大爆炸、宇宙本身命运背后的原理也许都来自于这个方程式。

然而 ,爱因斯坦还是缺了一块拼图。他发现了正确的物理原理 ,但他缺乏严格而强有力的数学公式来表述这个原理。他的引力场缺乏法拉第场的形式。具有讽刺意味的是 ,黎曼掌握了数学工具却没有指导性的物理原 理,爱因斯坦发现了物理原理却缺乏数学工具。

引力的场论

因为爱因斯坦是在不知道黎曼工作的情况下建立的这个物理描述,他缺乏数学语言或技巧来表达他的原理。1912—1915年是他度过的最为沮丧的4年,他拼命地搜索能表达这个原理的数学形式。爱因斯坦写了一封绝望的信给他最亲近的朋友数学家马塞尔 ·克罗斯曼 (MarcelCrosman)。他在信中恳求道,“克罗斯曼,你必须帮我,否则我要疯了!”

幸运的是,克罗斯曼在图书馆仔细查找解决爱因斯坦难题的一些线索时,偶然发现了黎曼的著作。克罗斯曼向爱因斯坦介绍了黎曼的著作和他的被物理学家忽略了60年的度规张量。爱因斯坦后来回忆,“克罗斯曼核查了文献并很快发现,这个数学问题已被黎曼、里奇 (Rici)、莱维 -奇维塔 (Levi-Civita)解决了。黎曼的成就是最伟大的。”

让爱因斯坦震惊的是,他发现1854年黎曼的著名讲演是这个问题的关键。他发现他可以用黎曼的工作重写他的原理。几乎是一行一行地,黎曼的伟大工作在爱因斯坦的原理里找到了它真正的家。这是爱因斯坦最骄傲的一项工作,甚至超过了他的著名方程E=c2。对黎曼著名的1854年的讲演重新作出的物理解释,现在被称为广义相m对论。而爱因斯坦的场方程是科学历史上最意义深远的思想之一。

我们记得,黎曼最大的贡献之一是他引进了度规张量的概念,一个在空间所有的点都有定义的场。度规张量不是一个单一的数。在空间的每一点,它由10个数的集合构成。爱因斯坦的方案,是追寻麦克斯韦的思想,建立引力场方程。他寻找一种场来描述引力,这一目标实际上是在黎曼讲稿的第1页发现的。事实上,黎曼的度规张量正是法拉第的引力场。

当爱因斯坦的方程用黎曼的度规张量充分表达时,它们采取了一种在物理学历史上从未见过的优雅方式。诺贝尔奖得主苏布拉马尼扬 ·钱德拉塞卡尔 (SubrehmanyanChandrasekhar)曾称它为 曾“经有过的最美的理论”。[事实上,爱因斯坦的理论是如此简单且如此强大,以至物理学家有时困惑地说,它怎么工作得如此之好。麻省理工学院 (MIT)的物理学家维克多·韦斯考普夫 (VictorWeiskopf)曾说,“它好像一位农民问工程 师,‘蒸汽机是怎样工作的 ?’工程师向农民准确地解释 ,‘蒸汽跑到了那儿,以及它是如何驱动蒸汽机运行的 ’。接着 ,这位农民说 :‘是的 ,这些我都懂了 ,但马在哪儿呢 ?’这就是我对广义相对论的感觉 ,我知道各个细节 ,我懂得蒸汽跑去了哪儿 ,但我始终不敢肯定我知道马在哪儿。”]

回顾一下 ,我们看到在爱因斯坦之前的 60年,黎曼是多么接近于发现引力理论。整个数学工具在 1854年就已经成熟了。黎曼的方程非常强大 ,它足以描述任何维度的空间 -时间的最复杂的扭曲。然而 ,他缺乏物理构想 (物质 -能量确定空间 -时间的曲率 ),也缺乏爱因斯坦敏锐的洞察力。

生活在弯曲空间

我曾有一次观看在波士顿举行的冰球比赛。当然 ,我所有的注意力都集中在溜冰场上滑行的冰球运动员身上。我看到冰球在不同运动员之间被打来打去 ,这使我想起在形成化学元素或分子时 ,原子是如何交换电子的。我注意到 ,溜冰场肯定是没有参加比赛的 ,它只是标志出了各种边界,它是冰球运动员得分的一个被动的平台。

之后 ,我开始想象如果溜冰场实际参与比赛会是什么情景 ?如果冰球运动员被迫在一个表面弯曲的溜冰场上比赛 ,这里有起伏的山丘和陡峭的山谷 ,比赛会发生什么变化 ?

冰球比赛会突然变得更为有趣。冰场的曲率将扭曲它们的运动 ,好像有力拉着运动员到这边或那边。冰球将像蛇一样曲线运动 ,使比赛变得更加困难。

然后 ,我再进一步想象 ,运动员被迫在一个圆筒形的溜冰场里比赛 ,滑得足够快的运动员能头朝下地滑过筒顶 ,绕圆筒滑一圈。可以设计新的比赛规则 ,例如 ,绕着圆柱上下颠簸地滑行 ,伏击一名对方运动员 ,在他尚未被察觉时抓住他。一旦溜冰场弯成圆形 ,在解释物质在他表面上的运动时 ,空间就变成了决定性的因素。

再举一个与我们宇宙有关的例子 ,即我们生活在超球面 (四维球面 )给出的弯曲空间中。^[4]如果我们向前看 ,光将绕超球面的小圆周跑一圈回到我们的眼前。这样 ,我们将看到有个人站在我们的面前 ,背对着我们 ,和我们穿一样的衣服。我们不以为然地看着这人随意而蓬乱的头发 ,接着 记起那天我们忘了梳理自己的头发。

这个人是镜子产生的影像吗 ?为了查明此事 ,我们伸手摸他的肩膀。我们发现在我们面前的是真人 ,并非一个影像。事实上 ,如果我们看向远处,我们会看到无数个同样的人 ,每个人都面向前 ,每个人都有一只手放在他前面那个人的肩膀上。

更让人吃惊的是 ,我们会感到某个人的手偷偷地摸到了我们的后背 ,然后抓住我们的肩膀。吓了一跳 ,我们回头看 ,看到在我们背后有另外的无数个相同的人 ,他们的脸都转向了另一个方向。

到底发生了什么 ?当然 ,我们是唯一生活在这个超球面上的人。在我们前面的人 ,其实就是我们自己。我们在盯着我们自己的后脑勺。把我们的手放在我们的前面 ,实际上我们是将自己的手绕着超球面伸了出去 ,直到将它放到我们自己的肩膀上。

在超球面上可能发生的违背直觉的事情 ,在物理学上是很有趣的。因为很多宇宙学家相信 ,我们的宇宙实际上是一个巨大的超球面。还存在着另一些奇特的拓扑结构 ,如超环面和莫比乌斯带。尽管它们可能并无什么实际应用 ,但却有助于说明生活在超空间中的很多特征。

例如 ,让我们假定自己生活在超环面上。如果我们向左右看 ,我们会惊讶地发现我们的左右各有一人。光围绕超环面较大的圆周跑一圈 ,并回到它的起始点。因此 ,如果我们的头转向看左边 ,我们看到某个人身体的右侧。转向另一边 ,我们将看到某个人身体的左侧。无论我们的头转得多快,在我们前面的人和侧面的人的头也会以同样的速度转向 ,我们绝不能看到他们的脸。

设想我们将自己的胳膊伸向两边。在左边的人和在右边的人也都伸出了他们的胳膊。如果离得近 ,你就能抓住一侧人的左手和另一侧人的右手。如果你仔细看两边 ,你能看到无限长的排成直线的人全都手握着手。如果你向前看 ,有另外一条无限系列的排成直线的人站在你的前面 ,全都握着手。

实际上发生了什么 ?实际上是我们的胳膊长到能绕超环面一周 ,直到手臂接触。这样 ,我们在事实上是抓住的自己的手 (图4.2)!

现在我们发现自己厌倦了这个游戏。这些人似乎在嘲笑我们 ,他们像复制猫 ,我们做什么他们就做什么。我们烦了 ,拿出枪指着我们前面的人,正当我们准备扣动扳机时 ,我们突然自问 :“这个人是镜子里的影像

图4.2如果我们住在超环面中 ,我们将看到无限系列的自己。他们在我们的前面 ,在我们的背后 ,在我们的侧面。这是因为光有两条绕超环面传播的方式。如果我们握着两侧人的手 ,实际上是握住的自己的手。也就是说 ,我们的手臂实际上环绕了超环面一圈。

吗?”如果是 ,子弹将穿它而过 ;如果不是 ,子弹会围绕这个宇宙跑一圈后从背后打到我们。也许在这个宇宙中开枪不是一个好想法。

我们设想一个更加奇特的宇宙 ,想象自己生活在莫比乌斯带上。这条带像一条长长的纸带 ,将它扭 180度,再把两头粘起来成为一个圆条。一个惯用右手的平地居民沿这个带走一圈 ,会发现自己变成了左撇子。环绕这个宇宙走一圈 ,方向就逆转了。就像威尔斯写的《普拉特纳故事》,其 中的英雄在一次偶然事故后回到地球 ,发现他的身体发生了左右颠倒。例如,他的心脏跑到了身体的右侧。

如果我们住在超莫比乌斯带上 ,我们向前看 ,看到了一个人的后脑勺。起初 ,我们并不认为那是自己的头 ,因为我们部分头发的方位发生了改变。如果我们伸出右手放在他的肩膀上 ,他会伸出左手放在他前面人的肩膀上。事实上 ,我们会看到无限系列的人 ,他们的手都放在彼此的肩膀上,只是这只手交替地从左肩换到右肩。

如果我们在一个地方离开我们的朋友 ,沿这个宇宙走一圈 ,我们会发现自己又回到了原点。而我们的朋友吃惊地发现 ,我们的身体左右倒置了。我们一边的头发和手上的戒指都跑到另一侧 ,我们的内部器官也颠倒了。他们会问 ,你怎么了 ?还好吗 ?事实上 ,我们自己感觉良好 ,丝毫没有感觉到变化。对我们来说 ,是我们的朋友颠倒了 !随之而来的争论是 ———到底谁颠倒了。

当我们生活在空间和时间弯曲的宇宙 ,我们会遇到这样或那样的可能性。空间不再是一个被动的舞台 ,它变成了在我们的宇宙中上演戏剧的主动表演者。

总之 ,我们看到爱因斯坦完成了黎曼在 60年前开创的工作 ,利用高维简化自然规律。然而 ,爱因斯坦在几个方面比黎曼走得更远。与黎曼一样,爱因斯坦独立地认识到 “力”是几何的结果 ,但与黎曼不同的是 ,爱因斯坦能找到这个几何背后的物理原理 ,即空间 -时间的曲率是由于物质 -能量的存在造成的。与黎曼一样 ,爱因斯坦知道引力可以用场来描述 ,用度规张量来描述 ,但与黎曼不同的是 ,爱因斯坦能发现这些场服从的精确的场方程。

大理石做的宇宙

到20世纪 20年代中期 ,随着狭义相对论和广义相对论的建立 ,爱因斯坦在科学史上的地位得到了确立。1921年,天文学家证实 ,光线通过太阳周围时 ,正如爱因斯坦预测的那样被弯曲了。到那时 ,爱因斯坦已被公认为牛顿的继承人。

然而 ,爱因斯坦并不满足。他试图再拼搏一次 ,再创一个世界级的理 论。但是 ,他的第三次努力失败了。他的第三个也是最后一个理论 ,本该是他一生中最辉煌的成就。他想探索 “万物理论 ”,这个理论将解释自然界发现的所有已知的力 ,包括光和引力。他给这个理论创造了一个词 :统一场论。遗憾的是 ,他探索光和引力的统一场论并未成果。他去世的时候,留下的仅是书桌上未完成的各种手稿。

具有讽刺意味的是 ,爱因斯坦受挫折的来源是他自己的方程结构。他被这个方程的基本缺陷困扰了 30年。方程的一边是空间 -时间的曲率 ,他把它比作 “大理石 ”,这是因为它有一种美丽的几何结构。对爱因斯坦来说,空间 -时间的曲率就像希腊建筑的缩影 ———美丽而安详。然而 ,他讨厌这个方程的另外一边 ,物质 -能量。他认为它是丑陋的 ,并把它比作 “木头 ”。一方面 ,空间 -时间的 “大理石 ”是干净和优雅的 ;另一方面 ,物质 -能量的 “木头 ”是一个混乱的 ,似乎是没有次序的可怕的杂物 ———从亚原子粒子、原子、聚合物、晶体到岩石、树、行星、星星。但是 ,在 20世纪 20—30年代 ,当爱因斯坦积极地从事统一场论的研究工作时 ,物质的真正性质尚是一个未解之谜。

爱因斯坦的基本方法是将 “木头 ”变成 “大理石 ”———也就是说 ,给予物质一个几何的起源。但是 ,没有更多的物理线索和对 “木头 ”的深层的物理认识 ,要完成这件事是不可能的。比如说 ,在花园中生长了的一棵巨大的扭曲的树。建筑师围绕这棵扭曲的树建了一个广场 ,是用美丽的一片一片的大理石装配的。建筑师仔细地装配这些大理石片 ,使它像一个耀眼的花的模式 ,有着从树发出的藤和根。按照马赫原理的意义 :树的存在决定了围绕在它周围的大理石的图案。但是 ,爱因斯坦讨厌木头和大理石之间的这种不协调 ,木头看起来是丑陋而复杂的 ,大理石是简单而纯粹的。他的梦想是将树变成大理石。他理想中的广场完全由大理石建造 ,在它的中心有一座美丽而对称的大理石树雕像。

回顾起来 ,我们能够大概地看出爱因斯坦的错误。我们记得自然法则在高维可以简化和统一。爱因斯坦两次正确地应用了这个原理 ,狭义相对论和广义相对论。然而 ,第三次他废弃了这个基本原理。因为在他那个时代,人们对原子和原子核物质的结构知之甚少 ,所以人们就很难知道怎样运用高维空间作为一个统一的原理。

爱因斯坦盲目地尝试了若干纯粹的数学方法。他显然认为 “物质 ”能被看作空间 -时间中的扭结、振动、扭曲。在这一绘景中 ,物质是空间的 集中的扭曲。换句话说 ,我们所见的周围的一切 ,从树、云到天空的星星也许都是幻觉 ,它们也许是超空间的某种形式的皱褶。然而 ,由于缺乏更加过硬的线索或实验数据 ,这个思想走进了死胡同。

下一步 ,这个问题留给了一位默默无闻的数学家 ,它将我们引向了第五维。

卡鲁扎 -克莱因理论的诞生

1919年4月,爱因斯坦收到一封信 ,这封信使他惊讶得说不出话来。

这封信来自德国哥尼斯堡大学 (其所在地是苏联的加里宁格勒 )的不知名的数学家西奥德尔 ·卡鲁扎 (TheodrKaluza)。在只有几页简短的文章中 ,这个不知名的数学家就给出了一个该世纪最伟大难题之一的解决方案。卡鲁扎仅用了几行就统一了爱因斯坦的引力理论和麦克斯韦的光理论,方法是通过引进第五维 (即四维空间和一维时间)。

在本质上 ,卡鲁扎是重新启用了辛顿和佐尔拉的老的 “四维 ”,并用一种新鲜的方式作为第五维把它融入爱因斯坦的理论。像他之前的黎曼一样,卡鲁扎认为光是这个高维的涟漪引起的干扰。这个新的工作与黎曼、辛顿、佐尔拉的工作的关键区别在于 ,卡鲁扎提出了一个真正的场论。

在这篇短文中 ,卡鲁扎非常天真地在五维中写下爱因斯坦的场方程 ,而不是通常的四维。(我们记得可以在任何高维中构建黎曼的度规张量 )然后 ,他继续证明这些五维的方程其中包含了爱因斯坦早期的四维理论 (这在预期之中 ),还增加了一片空间。让爱因斯坦震惊的是这个另外的一片空间正是麦克斯韦的光理论。换句话说 ,这个无名的科学家一下子就提出了把科学上已知的最伟大的两种场论 (爱因斯坦的场论和麦克斯韦的场论)结合起来 ,即把它们混合在第五维空间中。这是一个用纯大理石构建的理论 ———纯几何构建的理论。

卡鲁扎在将木头转变成大理石中发现了第一个重要的线索。类比于公园中的大树 ,我们记得大理石的广场是二维的。卡鲁扎的观察是 ,如果我们能将大理石的片向上移动到三维中 ,我们就可以营造一棵大理石 “树”。

对于一般的非专业人士而言 ,光和引力并无联系。毕竟 ,光是一种熟悉的力 ,它表现为各种各样的颜色和形式 ;而引力则是一种看不见的和远 距离作用的力。在地球上 ,是电磁力而不是引力帮助我们驯服自然。电磁力为我们的机器提供动力 ,为我们的城市供电 ,点亮霓虹灯和电视机。相反,引力在更大的尺度上起作用 ———引力引导行星运动并阻止太阳爆炸。引力是一种弥散在宇宙中和将太阳系绑定在一起的宇宙力。(除了韦伯和黎曼 ,法拉第是第一批在实验室探索光和引力之间的联系的科学家之一。法拉第用来测量这两种力之间联系的实验仪器现在仍然可以在伦敦皮卡迪利皇家研究所找到。虽然他未能用实验找到这两种力之间的任何联系 ,但是法拉第深信统一的威力。他写到 ,“如果这种统一的希望被证明是成立的,那么我试图研究的这种力就其不可改变的特征而言 ,该是多么伟大、有力、惊人 ,这个可以启人心智的新的知识领域又该是何等博大啊 !”)甚至在数学角度上 ,光和引力也像油和水一样不相容。麦克斯韦的光的场论要求有 4个场 ,爱因斯坦的引力度规理论要求有 10个场。然而 ,卡鲁扎的文章是如此之优雅和有吸引力 ,以致爱因斯坦无法拒绝。

乍一看 ,它好像只是数学上的雕虫小技 ,只是简单地把空间和时间的维数从四拓展到五。这是因为 ,正如我们记得的 ,没有实验证据证明有第四个空间维度。令爱因斯坦震惊的是 ,只要将五维场论分解为四维场论 ,麦克斯韦方程和爱因斯坦方程就都能和谐统一地保留下来。换句话说 ,卡鲁扎成功地将两块拼图拼在一起 ,因为它们都是一个大的整体的组成部分,这个整体就是五维空间。

“光”是作为高维空间的几何弯曲出现的。这个理论似乎是完成了黎曼将力解释为纸片皱褶的古老梦想。卡鲁扎在他的文章中声称 ,他的理论综合了到那时为止的两种最重要的理论 ,他的理论拥有 实“质上无法超越的统一性 ”。他还坚持说他的理论绝对简单且优美 ,而并非 “一出用眼花缭乱的情节惑人的游戏 ”。使爱因斯坦震惊的是文章的大胆和简单。卡鲁扎的基本论证 ,像所有伟大的思想一样是优雅和简洁的。

用拼图板将各部分拼合起来做类比 ,是一件有意义的事情。我们记得黎曼和爱因斯坦工作的基础是度规张量 ———也就是定义空间中某个点的 10个数的集合。这是法拉第场概念的自然推广。在图 2.3中我们看到在一片 4×4维的棋盘上这 10个数是如何布置的。我们可以定义这 10个数为 g、11

g12、…此外 ,麦克斯韦的场是空间中某个点的 4个数的集合 ,这 4个数可以用符号 A1、A2、A3、A4表示。为了理解卡鲁扎的技巧 ,让我们在五维中研究黎曼的理论。这时度规张量可以布置在 5×5的棋盘中。现在 ,根据定义我们重新命名卡鲁扎场的分量。这样 ,其中某些部分就成为了爱因斯坦的场 ,而另一些则成为了麦克斯韦的场 (图4.3)。这是卡鲁扎技巧的精髓 ,它令人吃惊地抓住了爱因斯坦。卡鲁扎通过简单地添加一个麦克斯韦的场到爱因斯坦的场中 ,就把二者重新组装为五维的场。

图4.3卡鲁扎的光辉思想是在五维中写下黎曼度规张量。第5行和第 5列等同于麦克斯韦的电磁场 ,而其余 4×4的块是老的爱因斯坦的四维度规。卡鲁扎用添加一个维度的方法就统一了引力和光的理论。

注意,黎曼五维引力中的15个分量内有足够的容量填充爱因斯坦场的 10个分量和麦克斯韦场的4个分量!因此,卡鲁扎的光辉思想可以粗略地总结为:

15=10+4+1

(剩余的量是一个标量粒子,对于我们的讨论并不重要。)当我们仔细分析这个五维理论时,我们发现麦克斯韦的场漂亮地包括在黎曼度规张量中,就像卡鲁扎声称的那样。这样,这个看似天真的方程总结了本世纪影响最深远的一个思想。

总体来看,五维度规张量既包括了麦克斯韦的场,也包括了爱因斯坦的场。对爱因斯坦来说,这样一个简单得似乎是不可相信的思想能够解释自然界两个最基本的力:引力和光。

它只是客厅里的戏法吗?或是数字占卦术?或是黑色魔术?爱因斯坦被卡鲁扎的信深深震撼了,事实上他拒绝对这篇文章作出响应。他仔细思索这封信长达两年之久,对于那些推荐发表重要文章的人而言,这是一段非常长的时间。最后,他确信了这篇文章潜在的重要性,并将它送往《科学院会议报告》(Sitgbihte Pihe Akademie der Wisenschaften)发表。他还为其z冠u以s了e给r人c印象深rn刻us的s标题ce“论物理的统

一问题”。

在物理学的历史上,没有一个人发现第四个空间维度的任何应用。自黎曼以来,大家都知道高维数学是惊人美丽的,但却没有物理应用。首次有人发现了第四空间维度的应用:统一物理定律!在某种意义上,卡鲁扎提出了爱因斯坦的思想:四维 “太小了”,无法全部容纳电磁力和引力。

从历史上看,我们可以看出卡鲁扎的工作并非完全出于意外。大多数的科学史家一提到卡鲁扎的工作就说,五维的思想是晴天霹雳,是意想不到的原创。由于物理研究的延续性,这些历史学家吃惊地发现一个新的科学通道在没有任何历史先例的情况下打开了。但他们的吃惊表现可能是因为他们不熟悉神秘主义者、文人、前锋派艺术家的非科学的工作。更仔细地审视文化和历史背景,我们可以得出卡鲁扎的工作并非那么意外。正如我们看到的,由于辛顿、佐尔拉和其他人的工作,也许已使高维在艺术界和文学界得到了快速普及,并上升到了准科学思想。从这个较大的文化视 角看 ,物理学家认真地对待辛顿的思想 (即光是第四个空间维度的振动 )仅是个时间问题。在这个意义上 ,黎曼的工作通过辛顿和佐尔拉传播给了艺术界和文学界 ,之后 ,又通过卡鲁扎的工作传回到科学界。在支持这一论点方面 ,近来 ,弗罗因德 (Freund)披露了卡鲁扎实际上并非是第一个提出五维引力理论的人。爱因斯坦的对手贡纳 ·诺德斯特姆 (Gunnar Nordstrom)才是真正的提出五维场论的第一人。可惜它太粗糙 ,没有把爱因斯坦和麦克斯韦的理论包括进来。卡鲁扎和诺德斯特姆独立地试图探索第五维 ,这一事实表明 ,在大众文化中广泛传播的概念影响了他们的思想。^[5]

第五维度

任何一个物理学家在他们第一次遇到五维时都会感到震惊。彼得 ·罗因德 (PeterFreund)清楚地记得当他第一次遇到第五维和更高维度时弗的那一刻。这件事在他的思想中留下了深深的烙印。

1953年,弗罗因德出生在罗马尼亚。约瑟夫 ·斯大林 (JosephStalin)也在这一年去世。这一个重要事件导致了当时的国际紧张局势得到了缓解。那一年 ,弗罗因德是一个早熟的大学新生 ,他参加了乔治 ·弗朗恰努 (GeorgeVranceanu)主持的一个讲座。他回忆自己听弗朗恰努讨论这个重要的问题 :为什么光和引力不相干 ?然后 ,这个讲师提到了一个古老的理论,它能够包含光理论和爱因斯坦引力方程。其要义是使用在第五维中建立的卡鲁扎 -克莱因的理论。

弗罗因德非常震惊 ,这是一个绝妙的让他吃惊的思想。虽然只是一个大学新生 ,但他鼓足了胆量提出了一个明显的问题 :卡鲁扎 -克莱因理论如何解释其他的力呢 ?弗罗因德问道 :“即使你实现了光和引力的统一 ,你也不能解决全部问题 ,因为还有核力。”弗罗因德意识到核力在卡鲁扎 -克莱因理论之外。(事实上 ,在冷战高峰时期 ,氢弹像利剑一样悬在地球上的人类头上。它是以核力的突然释放为基础的 ,而不是靠电磁力和引力。)演讲者没有回答。仗着年轻气盛 ,弗罗因德脱口而出 ,“再增加更多的维度会怎样 ?”

“但是 ,再增加多少维呢 ?”演讲者问道。

弗罗因德措手不及。他不想给出一个低的维度 ,怕被别人抢先。于是,他提出了一个没人能再超过的数字 :无限数量的维度 !(不幸的是 ,对于这个早熟的物理学家来说 ,一个无限数字的维度在物理上似乎是不可能的。)生活在圆柱体上

在面对第五维度带来的初始震惊之后 ,大多数物理学家开始发问了。事实上 ,卡鲁扎的理论提出的问题甚至多于它能回答的问题。其中 ,最显而易见的问题是 :第五维度在哪里 ?因为地球上我们所能想见的实验都确凿地表明 :我们居住在一个具有三个空间维度和一个时间维度的宇宙中 ,这个尴尬的问题依然存在。

卡鲁扎的回答很聪明。他的解决方案与辛顿几年前提出的方法几乎一致,即高维是实验不可观察的 ,有别于其他的低维度。事实上 ,它塌缩到一个小圆 ,这个圆甚至小到容纳不下一个原子。因此 ,第五维度不只是一种用来处理电磁力和引力的数学技巧 ,他还是一个物理维度 ,这个物理维度提供了一种胶合剂 ,从而可以将这两种基本的力统一为一种力。但它太小了 ,以至于我们无法测量。

任何沿着第五维度方向行走的人最终会发现他们又回到了始发地。这是从拓扑学角度来考虑 ,第五维度等同于一个圆 ,而宇宙等同于一个圆柱体。

弗罗因德这样解释道 :

想象一些生活在单线世界中的假想人 ,这个单线世界只包含一条直线。在他们的整个历史中 ,他们认为他们的世界只是一条单一的线。然后 ,单线世界中的科学家提出 ,他们的世界并不是一维直线 ,而是一个二维世界。当有人问这个神秘的看不见的二维在什么地方时,他会回答说 ,第二个维度蜷缩成了一个小球。所以 ,生活在单线世界的人其实是生活在一个很长很细的圆柱体上。圆柱的半径太小 ,以至于无法被测量。事实上 ,这个半径是如此之小 ,以至于他们的世界看起来就是一条直线。

如果圆柱的半径较大 ,生活在单线世界中的人可以垂直于他们的线世界离开他们的宇宙。换句话说 ,他们可以进行空间的旅行。当他们垂直于他们的线世界移动时 ,他们能遇到与他们宇宙共存且相似的无数的平行线的世界。当他们进一步深入第二维度时 ,最终会回到他们自己的线世界。

现在 ,想象一些生活在一个平面的平地居民。同样地 ,一个平地科学家可以做出大胆的声明 ———去三维旅行是可能的。原则上来说 ,一个平地居民可以向上飘浮离开平地表面。当这个平地居民慢慢地向上飘浮到第三维中时 ,他的 “眼睛 ”会看到一系列难以置信的不同的平行宇宙 ,且与他所生活的宇宙共存。因为他的眼睛只能看到与平地宇宙的这个面相平行的东西 ,所以他将看到出现在他面前的不同的平地宇宙。如果平地居民飘浮到距离这个平面最远的地方 ,他将最终回到自己原来的平地宇宙。

现在 ,想象我们居住的三维世界实际上还存在另一个维度 ,它已卷曲成一个圆。为了便于讨论 ,我们假设这个第五维度有 10英尺 (3米)长。只要跳进第五维度 ,我们就会立刻从现在的宇宙中消失。进入第五维度后我们会发现 ,自己移动 10英尺 (3米)后,会回到我们开始出发的地方。为什么第五维度要蜷缩成一个圆呢 ? 1926年,数学家奥斯卡 ·克莱恩 (OskarKlein)提出了对这个理论的几点改进。他提出 ,也许量子理论可以解释第五维度蜷缩起来的原因。在此基础上 ,他计算出这第五个维度的-33

大小应该是 10厘米 (普朗克长度)。这个长度尺寸对任何地球上可以检测它存在的实验来说都太小了 ,以至于人们无法探知它的存在。(在今天 ,这一论据同样被用来证明十维理论的正确性。)一方面 ,这意味着该理论与实验相符 ,因为第五维度太小而无法测量。另一方面 ,这也意味着第五维度小得惊人 ,以至永远无法建立足够强大的机器来证明这个理论的正确性。[量子物理学家沃尔夫冈 ·泡利 (WolfgangPauli)以他惯有的刻薄的方式排斥他不喜欢的理论 ,他说 , “它也许不能算错 ”。换句话说 ,它们是半生不熟的 ,以至人们不能确定它们的正确性。由于卡鲁扎的理论不能被检验 ,因此人们也无法确定它的对错。]

卡鲁扎 -克莱因理论的死亡

卡鲁扎 -克莱因理论虽然在为自然力提供纯几何学基础方面燃起了希望,但它却在 20世纪 30年代走到了尽头。一方面 ,物理学家不相信第五维度真实存在。克莱因的猜想 “第五维度蜷缩成普朗克长度大小的一个很小的圈 ”是无法检验的。探测这个小距离所需要的能量是可以计算的 ,它20

就是所谓的普朗克能量 (10电子伏特)。这个难以相信的能量几乎超出了28

我们最大的理解范围。它比被禁锢在质子中的能量还要大 10倍,这超出了我们在今后几个世纪中所能产生的任何物质的能量。

另一方面 ,物理学家们成群结队地离开这一领域的研究。因为他们发现了一种新的理论 ,这个新的理论将给科学世界带来一场革命。由亚原子理论引发的浪潮彻底淹没了卡鲁扎 -克莱尔理论的研究。这个新的理论被称为量子力学 ,在接下来的 60年里 ,它敲响了卡鲁扎 -克莱尔理论的丧钟。更糟糕的是 ,量子力学对力的平滑的几何解释提出了挑战 ,用一份份离散的能量取代了它。

黎曼和爱因斯坦开创的进程难道是错误的吗 ?

[1]通常情况下 ,存在两个人 ,他们都认为自己比对方高 ,这是荒谬的。其中的一个人一定比另一个人高是荒谬的。然而 ,存在这样一种情况,我们有两个人 ,每个人都确认另一个人被压缩了。这并非一个真正的矛盾 ,因为它需要时间进行测量。这里 ,时间和空间都被扭曲了。特别是,在同一个参照系中同时出现的事件在另一个参照系中却并非同时发生。

例如 ,站台上的人拿出一把尺子 ,当火车经过站台时 ,使尺子落到站台上进行测量。当火车经过站台时 ,他们让尺子的两端下落 ,为的是让尺子的两端同时击中站台。用这种方式 ,他们就可以证明火车被压缩了 ,火车从前面到后面 ,只有 1英尺长。反向分析 ,从火车上乘客的角度来考虑同样的测量过程。火车上乘客 认为自己处在静止状态 ,他们看到被压缩的地铁站扑面而来。站台上被压缩了的人将一把压缩了的尺子放下并落向地面。乍看 ,像这样短小的尺子,能够测量火车的全长是不可能的。但是 ,当尺子落下时 ,尺子的两端不会同时碰到地板。当火车站经过火车的前端时 ,尺子的一端落地。只有当火车站移动了整列火车长度时 ,尺子的第二端才落地。这样 ,同一把尺子就测出了在两种框架中火车的全长。这个 “悖论 ”和出现在相对论中的其他矛盾的实质是 ,测量过程需要时间。空间和时间在不同的框架 (参照系 )中以不同的方式被扭曲。

[2]麦克斯韦方程看起来像这样 (我们设置 C=1):

·E=ρ .E

×B-.t =j

·B=0

×E+.B 0

.t =第二行和第四行的公式都是矢量方程 ,它们分别代表了三个方程。因此,麦克斯韦方程组总计有八个方程。我们可以用相对论将这些方程进行改写。如果引入麦克斯韦张量 Fμγ =.μAγ -.γAμ ,则这些方程可以简化为一个方程 : .μFμγ =jγ这是麦克斯韦方程的相对论版本。

[3]爱因斯坦方程式可以写成如下形式 :

1 8π

Rμγ -2gμγ =-c2GTμγ

其中 ,Tμγ是测量物质 -能量含量的能量 -动量张量 ,而Rμγ是收缩黎曼曲率张量。这个方程表明了能量 -动量张量确定了超空间存在的曲率大小。

[4]以定义圆或球相似的方法 ,可以定义超球。一个圆的定义是 :在 x-y平面上满足 x2+y2=r2方程的点集。一个球的定义是 :在 x-y-空间中满足 x2+y2+z2=r2方程的点集。一个四维超球的定义是 :在 x-zy-z-u空间中满足 x2+y2+z2+u2=r2方程的点集。这个程序可以很容易地扩展到 N维空间。

[5]1914年,甚至是在爱因斯坦提出广义相对论之前 ,物理学家贡纳·诺德斯特姆 (GunnarNordstrom)就试图引入一个五维的麦克斯韦理论统一电磁力与引力。如果有人去检验他的理论 ,那么 ,此人会发现这个理论在四维中正确地包含了麦克斯韦的光理论。但它是一个引力的标量理论被认为是不正确的。结果是 ,诺德斯特姆的想法大部分被遗忘了。从某种意义上说 ,他发表得太快了。他的论文写于爱因斯坦的引力理论发表前 1年,因此他不可能写出一个五维爱因斯坦引力理论。卡鲁扎的理论与诺德斯特姆相反 ,它从定义在五维空间的一个度规张量gμγ出发。接着 ,卡鲁扎使 gμ5等同于麦克斯韦张量 Aμ。只有当 μ和γ不等于 5时,旧的爱因斯坦规度由卡鲁扎的新规度确定。用这个简单而优雅的方式 ,无论是爱因斯坦场还是麦克斯韦场都被放置在卡鲁扎的五维空间的度规张量中。另外 ,亨利 ·曼德尔 (Heinrich Mandel)和古斯塔夫 ·米埃 (Gustav Mie)也明确提出了五维理论。因此 ,高维就是大众文化的一个主要方面 ,这个事实可能有助于物理界的交流。在这种意义上 ,黎曼的工作兜了个圈子又回到了起点。