对回归平均的误解

扔五次硬币，全部正面朝上。下一次扔硬币时，你会赌正面朝上还是背面朝上呢？认为应该是背面朝上也是人之常情。

在观看棒球比赛时，安打率为 30% 的击球手在三垒出局之后，进入下一垒。因为此击球手的安打率是 30%，我们会认为在这一垒他应该会打出安打。

但是，下一次扔硬币，正面朝上的概率还是 50%；安打率 30% 的击球手在下一垒打出安打的概率也只有 30%。

如上所述，我们常常会因为只观察少数的几个样本而产生错觉。以扔硬币为例，在包含无数次扔硬币结果的全集中，正面朝上和背面朝上的结果各占一半。这叫作大数定律，样本数越多，越接近理论值。

扔五六次硬币，应该有一半正面朝上，所以连续扔五次都是正面朝上的时候，我们就会认为第六次会是背面朝上。这叫作小数定律，也被称为赌徒谬误。

赌徒谬误（小数定律）被认为是人们误解“回归平均”的原因之一。

回归平均是指，当上一次的数据和平均值偏差较大时，下一次的数据会比上一次更接近平均值。

我们以扔硬币为例来说明。扔 10 次硬币都是正面朝上时，正面朝上的概率就是 100%。再接着扔 90 次（合计扔 100 次），会出现多少次正面朝上的结果呢？

我们已经强调过很多次，即使先扔的 10 次中，正面朝上的结果较多，也并不意味着剩下的 90 次中更容易出现背面朝上的结果。剩下的 90 次中，正面朝上和背面朝上的概率依然是各为 50%，不会受到之前 10 次结果的影响，所以大约会有 45 次正面朝上。这时，和最初 10 次的结果加在一起，正面朝上的期望值就是 55 次，而不是 50 次。

虽然最初的 10 次中正面朝上的概率是 100%，和平均值偏差非常大，但是扔完 100 次之后再看，正面朝上 55 次，非常接近平均值 50%。这就是回归平均。

但是，很多人会将回归平均错误地理解为“对于一个我们期待的结果，如果这一次出现了一定偏差，下一次一定会出现与这次相反的结果”。因此我们就会产生这样的误解——前 10 次正面朝上的次数较多，剩下 90 次中会比较容易出现背面朝上的结果。

2013 年，乐天金鹫队戏剧性地在中央联盟（日本职业棒球联盟）中夺冠。2014 年，却排在太平洋联盟的最后一名。这并不是回归平均。根据乐天金鹫队过去的排名，平均值应该是第三名。如果我们将在中央联盟中夺冠看作是一个偏离平均值的结果，那么在第二年的比赛中，乐天队获得第三名才是回归平均。掉到最后一名，也可以说是一个偏差较大的结果。

顺便一提，查阅 2014 年太平洋联盟中的其他五支队伍的成绩，会发现 2013 年的结果和 2014 年的结果截然相反。埼玉西武狮队从第二名跌至第五名，千叶罗德海洋队从第三名跌至第四名，欧力士野牛队从第五名升至第二名。这也可以叫作过度“回归平均”。

在我们面对的概率陷阱中，赌徒谬误是最具诱惑力的一个。我一直输到现在，也差不多该赢了吧——这种想法实乃人之常情，甚至看上去俨然真理。但是，就算连续 10 次硬币都是正面朝上，下一次正面朝上的概率依然是 50%。