如何计量波动率

第二章　期权定价的基本概念

本章我将运用IBM股票期权作为标的资产样本解释期权概念。表2. 1列示了在芝加哥期权交易所（CBOE）交易的期权合约条款。合约允许人们在某一时点或到期日之前任意时间，买入或卖出100股IBM股票。

表2. 1　IBM股票期权（芝加哥期权交易所）

在详细地解释期权价格之前，必须介绍几个重要的概念。三个基本概念必须明白：盈价、平价和亏价。

盈　价

如果期权持有人在标的资产市场上以某一敲定价格进行了交易后产生了现金流入，那么这种期权被称为处于盈价。例如，IBM股票的现行市场价格是每股70. 5美元，如果以每一份65美元买入了看涨期权，将会有现金流入。因而，65美元的期权被称做盈价看涨期权（见图2. 1）。在该图中，纵轴表示标的股票价格，敲定价格固定在65美元。例如，当标的股票价格为70. 5美元时，看涨期权被看做处于盈价。事实上，当市场上任何股票价格在65美元以上时，看涨期权都被称做处于盈价。

图2. 1　65美元IBM股票看涨期权

平　价

当市场股票的交易价格与股票的敲定价格一样时，期权被称做处于平价。假如你有一份65美元的IBM看涨期权，而现行市场价格是65美元，期权就是平价看涨期权。

亏　价

当以期权的敲定价格进行交易时，相应的标的资产上会产生现金流出，这种期权被称为处于亏价。考察每股股票的敲定价格为65美元的IBM看跌期权，当执行这一看跌期权时，以65美元卖出股票然后以70. 5美元买入股票，每股会有5美元现金流出。65美元看跌期权将被称做处于亏价（见图2. 2）。

图2. 2　65美元IBM股票看跌期权

期权价格的基本组成部分

在这一部分，我将考察最基本的期权定价方式。期权定价的主要意思是期权价格由两个组成部分：内在价值和时间价值（见图2. 3）。

图2. 3　期权价格的主要组成部分

内在价值

内在价值简单地说就是盈价数值。盈价是指履行期权合约交易以后的现金流入。假如你拥有以65美元买入IBM看涨期权的权利，而IBM股票市价是65. 5美元时，你将怎样处置期权？如履行期权合约，结果是每股会有0. 5美元的现金流入，它将是盈价期权。因为内在价值是盈价数值，它也就是0. 5美元。假设IBM股票价格是65美元，盈价数值和内在价值缩减至零（见表2. 2）。

表2. 2　内在价值的计算

假如IBM股票价格进一步下跌至64美元情况将怎么样？因为期权处于亏价，你将不会执行这样的看涨期权，由于亏价是零，内在价值也是零。所以一份期权的内在价值将总是大于或等于零，它从来不会是负的。

看跌期权是看涨期权的影像。假如其他人能以65美元卖出期权时，你也以这一价格卖出，这将不会产生正的现金流入（也就是看跌期权处于平价）。

假如标的市场价格下跌至62美元，你能执行看跌期权并以65美元卖出股票。然后，再以62美元每股的价格从标的市场买回股票，这样每股会产生3美元现金流入。所以当IBM股票价格是62美元时，看跌期权是处于盈价，内在价值是每股3美元。

时间价值的确定

采用很直接的方式就能计算出期权的内在价值，但如何确定期权的时间价值呢？它也是容易得到的，就是以实际期权价格减去内在价值。举一个时间价值的例子。

例如，假定IBM股票价格是65美元，你能以每股60美元买入看涨期权和看跌期权。60美元看涨期权的价格是5. 75美元，60美元看跌期权价格是0. 75美元（见表2. 3）。看涨期权的盈价数值是5美元，因而内在价值也是5美元。当看涨期权以5. 75美元交易时，看涨期权的时间价值是0. 75美元。60美元的看跌期权怎么样？因为市场价格高于看跌期权的敲定价格，看跌期权处于亏价，它的内在价格是零。因为每美元看跌期权的价格是0. 75美元，期权的整个价值由时间价值组成。

表2. 3　内在价值与时间价值

布莱克和斯科尔斯（Black & Scholes）模型

谁都清楚，期权价格的内在价值只是一种尝试性的估计。通过排除程序，期权价格问题实际上是时间价值问题。费雪尔·布莱克（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes），芝加哥的两位教授在1972～1973年解释了时间价值，进而在期权定价方面做出了突破性的贡献。^[1]要了解他们解决问题的步骤，我需要介绍随机控制争论，这一争论是他们习惯于为期权定价进行定义的边界。

随机控制争论

随机控制条件是指对有关不同投资方案相关利益的描述。随机（Stochastic）的意思是可能性或随意性，它来自希腊语词根。“Stochastikos”意思是目的明确。控制，如同它的字面意思一样，是一种方案在提供给投资者利润方面优于另一方案。例如，我们比较两种投资方案，市场价是上升、下降或保持不变。当市场价格上升或下降时，投资方案1和2提供同样的清偿标准，但当市场保持稳定时，方案1提供优先清偿，那我们说方案1随机控制优于方案2。进而，我们说方案1的投资价值大于或等于方案2的价值。

第一种随机控制条件是将期权价值与它的内在价值进行比较。考虑到期权是美式期权，意味着任何时间都可以履行期权合约。期权价格必定大于或等于它的内在价值（见图2. 4）。

图2. 4　第一方案的边界条件：与盈价数量相关

假如期权市场价格小于内在价值，期权购买者将在标的市场通过购买、交易期权和回补头寸立即盈利，并无风险获利。例如，当标的IBM股票以65美元价格进行交易时，一份60美元的IBM看涨期权以2美元期权费进行交易。然后，期权购买者以2美元买入一份看涨期权，立即执行，即以65美元卖出IBM股票。这一系列交易的结果是从股票交易中获得5美元的现金流入（以60美元获得看涨的IBM多头股票和以65美元卖出），同时在期权购买上有2美元现金流出。净利润是无风险的3美元现金流入。

图2. 5　第二方案的边界条件：与平价数量相关

第二种随机控制条件是一份期权至少为0（见图2. 5）。前面已经讨论过，期权能与保险政策相比。想像保险经纪人提供一份保险给你，在给你免费保险的同时，也给你现金回报。当然这是一个负的保险价格，保险公司是不可能做这种事的。当保险代理人给你一份免费日历表时，他不会给你免费保险和付给你钱来承担你的风险。期权也是如此，假如没有风险，想像得到期权价格是零，但期权价格永远不可能是负的。期权价格必定是大于或等于零。

第三种随机控制条件是期权价格小于或等于标的资产价格的价值（见图2. 6）。

图2. 6　第三方案的边界条件：与标的资产价格相关

例如，考察一份六个月黄金期权价值与现货价格的关系。黄金永远存在而黄金期货仅仅持续六个月。所以，黄金期权价值怎么会超过黄金本身价值呢？不可能。期权价值将小于或等于标的资产本身价值。

期权价值必定是介于内在价值和标的资产价值之间的正的非零价值。这可以见图2. 7。

图2. 7　边界条件：看涨期权价格的潜在范围

布莱克和斯科尔斯期权定价模型的假设

这些随机控制争论为看涨期权定价定义了边界，布莱克和斯科尔斯着手考察看涨期权定价的边界在哪里。为了使事情简单化，他们假定看涨期权是欧式期权，标的市场价格呈对数分布，利率和标的资产是持续变动的，资产在到期前不分红或不分息。这些假设是关键，不仅仅为了解释，而且为了“补漏”将在整本书中讨论的布莱克和斯科尔斯期权定价模型。

收益的对数过程意味着什么？假定收益率是7%，市场在此上下波动。短期内收益率是6. 9%或7. 1%的可能性要高于收益率是12%的可能性。假如必须猜测明天的收益率是多少，我最好猜测明天的收益率仍保持7%。这是正态分布的基本假定，也被称做高斯（Gaussian）曲线，列示在图2. 8。

图2. 8　正态分布

当然，因为利率不能下降到零以下，但能无限上升，我们必须调整正态分布，把这一点考虑进去。要做到这一点，我们简单地扩展正态分布曲线，通过一个自然对数使比率为非零，并保证使其达到无限正的能力。布莱克和斯科尔斯假定，资产价格也符合这一正态分布模型，也就是价格不可能在零以下。

由于这几个关于标的市场如何操作的假定（这证明遵循物理学上的几何布朗运动），布莱克和斯科尔斯教授提出了一个偏方差方程来认识和确定期权价值。奇怪的是，他们关于市场如何运作的假定类似于物理学上粒子的随机游走。所以，布莱克和斯科尔斯期权定价模型取得重大突破得益于物理学上的热传导方程。

现在从逻辑上对热传导方程和期权定价模型进行比较，假设将一块金属放在20摄氏度的房间里，当金属加热到200度时开始冷却，金属中心将保持一段时间热度，但在金属表面冷却得更快。假如要描绘热随时间衰退过程，你可以看到它类似于图2. 9。

图2. 9　布莱克和斯科尔斯模型“热传导方程”

图形上的金属衰退预期与布莱克和斯科尔斯期权定价模型期权衰退预期一致。这一突破首次更完备地解释了欧式看涨期权定价。与热传导方程相似的期权理论假定，人们能很简单地确定市场波动率（“热量”）和到期时间，期权的时间价值也能估计出来。一旦加上期权内在价值，就能确定期权“公允”价格。

我们知道了期权价格由它的内在价值和时间价值组成后，就很容易看懂下面的公式。一份看涨期权的内在价值由标的股票价格和执行价格之差决定。读者看到，在方程式中，S是股票价格，E·e-rT是期权执行价格的现行价值。假如期权价格仅仅是由内在价值组成（也就是期权终止时的情况），运用布莱克和斯科尔斯公式，股票价格和现行执行价格之差S - E·e-rT得出看涨期权的内在价值。内在价值可在本章后面图2. 11b看到。读者应注意，执行价格已经被折算成现行价值。^[2]很显然，在到期日“期货就是现货”和内在价值就是S - E。

欧式与美式看涨期权价格的比较

要了解美式和欧式看涨期权价格的相互关系，关键是进行比较。图2. 10提供了有关美式和欧式看涨期权的最小价格与它的内在价格之间的随机控制争论。

在这张图中，因为欧式看涨期权的敲定价格是由利率（E·e-rT）折算得来，到右上角顶部的直线是高于美式期权的直线（它的敲定价格是不能折算成现行价值的）。这意味着欧式看涨期权的价格必定是大于或等于美式看涨期权的价格，并永远不会小于美式看涨期权的价值。这是与读者的直觉相反的，因为美式期权允许交易者做一些欧式期权不能做的事情（早期执行特点），所以，美式期权价值应该更大。图2. 10应该显示的不是这种情况。对这明显不合理的假设，如何解释呢？

图2. 10　第一边界条件：美式对欧式

为解决方程式的偏相关问题，布莱克和斯科尔斯不得不提出一些有点麻烦的假设。因为大部分期权有美式期权执行特点（包括IBM股票期权），而布莱克和斯科尔斯模式仅仅是适用于欧式期权，这真是一个严重的问题吗？答案是“不一定”。要回答这一问题，最好举一个类似的例子。你知道将有多少人会将已经装入口袋的100美元拿出来扔到地上后走开？我敢肯定不会有很多人选择这样行动。我们考虑欧式期权和美式期权的理论差异，因为用美式期权（如你有更早执行的选择）做一些用欧式期权不能做的事，美式期权是更有价值的。然而，考虑到当一个人履行期权合约时，另一个人收到期权。人们将会以期权敲定价格在标的市场设定一个头寸。仅仅当期权处于盈价时，持有人才会选择执行。当他履行期权合约交易时，期权“消失”了，取而代之的是标的市场的一份头寸。他收到的资金数等于敲定价格减去先前的标的价格。读者很自然地想到，它等于期权的内在价值。然而在到期日之前，期权的价值中应包含时间价值。在最终到期日履行期权合约时，期权不再具有时间价值，它等于从你口袋里拿出100美元然后抛掉它。假如某人要对冲而不是履行期权合约，人们能将卖出期权买回来，这样他会得到至少比他所预期的多。假如你将卖出期权买回来，因为美式期权是提早执行也不能增加价值，所以对于几乎所有的资产，提早执行不能增加看涨期权的价值。^[3]这也解释了为什么大部分人选择对冲而不是履行期权合约（至此我完成了第一章描述时所做的许诺）。

从布莱克和斯科尔斯期权定价模型中如何估计时间价值

运用排除法，布莱克和斯科尔斯期权定价模型的时间价值由公式中的N（d1）和N（d2）决定。N因子是以现行价格S和折算后的执行价格E·e-rT为中心的股票价格的累计正态分布。因子d1和d2应用在上面的自然对数中得出，并由它们决定这些分布多宽。让我们运用逻辑推理，看涨期权买入方的两种资源价值是：

（1）当股票价格S是在E上面时，有一个无限的潜在获利。

（2）当股票价格S是在E下面时，有一个有限的潜在损失。

很清楚，当一个人利用期权在市场上“赌一把”时，他是相信期权到期时他可能获利。对于任何资产，投资者愿意为期权付出的是未来潜在利润的现值。要评估标的股票价格运动的可能性，要用到一些工具。布莱克和斯科尔斯假定这一过程是对股票的收益（和一个对数的分配）的一个正态分布过程。这就是正态分布选择作为本书第四章要广泛讨论的原因。^[4]

假如将上述情况写成一个更正规的方程式，结果是：

我们对这一方程式关心的是，最终股票价格ST大于敲定价格的概率。这一预期价值依赖于给定现行股票价格情况下最终的股票价格涨至股票敲定价格的概率。然后，这一价值被折算成现行价值。

布莱克和斯科尔斯期权定价模型主要讨论股票价格S上升至股票敲定价格E之上的可能概率。期权价值是惟一基于这一预期清偿的现值。不用怀疑，这一方法是正确的，但此时我被布莱克和斯科尔斯期权定价公式迷惑了。假如我们仅仅关心股票价格上升到N（d1）的可能性，那为什么另一个正态分布N（d2）乘以执行价格E，又出现在公式里？执行价格E不是固定的吗？答案是肯定的。为什么模型有另一个正态分布N（d2）与之相关联？有两种解释：一种解释是数学原因；另一种解释是凭直觉。

数学答案：它显示出要解出布莱克和斯科尔斯期权定价方程式，人们必须估计股票价格上升到执行价格E的可能性。也就是，人们须自问的是，股票价格上升至股票敲定价格之上和股票价格保持在敲定价格之下的可能的概率分别是多少。^[5]寻找看涨期权价格公式，需要的范围从执行价格E到正的无限（∞）相吻合的正态分布曲线。为什么是无限？因为潜在利润是无限的。我们试图去解决的是：

当这一问题解决时，结果是：

EV（ST│St＞E）= St·erT·N（d1）/ N（d2）

将这一结果输入前面得出的方程式，假定p = N（d2），我们得到：

用上一结果相乘后，结果得布莱克和斯科尔斯期权定价公式：

C = St·N（d1）- E·N（d2）·e-rT

应用两种方式完成了数学推理。

运用同样的方法，我们必须回顾看涨期权价值的两种基本来源，包括无限潜在利润在敲定价格E之上和亏损在敲定价格E之下。当然这种方法有些非正统，但我的方法使交易者确定了两种期权因子的价值。

让我们再一次回到上述公式。公式告诉我们，我们必须考虑以现行股票价格St和执行价格E为中心的这些分布的差异。图2. 11a描绘了这两个彼此相对的钟状分布图。股价上升至敲定价格E上的概率是在N（d1）曲线领域，即在敲定价格之上。读者可从分布图的右边阴影部分看到。另外，在现行股票价格之下的N（d2）概率分布面积也被描成阴影。期权的时间价值是指两种概率的总和。第一种概率是指股票价格上升至敲定价格之上；第二种概率是相对于敲定价格E，股票价格将进一步下跌的可能性。第一种概率是期权的无限潜在获利价值，第二种概率是相对于股票上持有一份头寸的期权有限损失。与这两种钟状分布相联系的概率总和是尖顶区域，这就是期权的时间价值。

图2. 11a　各种股价水平上的分布交叉面

当股票价格上升或下降时，时间价值将会发生怎样的变动呢？因为执行价格是固定的，仅仅股票价格的分布会发生变动。当S上升时，两种分布的顶部也上升。聪慧的读者可看到随着股票价格上升至右边，两边分布的概率总和也将上升。当股票价格等于已折算的执行价格时，分布图是处于两边的顶部呈对称状，此时合作概率的总数处于最高水平。假如股票价格继续上升到已折算的执行价格之上，合作概率的总数被看做是那里的交叉面积。读者能看到这总的面积将开始减少（见图2. 11a）。因为期权的时间价值是无限利润的总合作概率和有限的潜在损失之和，时间价值与在两边曲线下的总面积成正比。在期权处于平价时，合作概率的总面积最大，然而此时期权的时间价值最大。标的资产价格离期权的敲定价格越远，期权的时间价值越低。

在这个简单的分析中，有一种情况是不清楚的：与期权处于盈价相比，当期权是亏价或平价时，概率的差异更明显。相对整个区域而言，为什么交叉面积分布在两边？这是因为期权现在处于盈价。利用前面的定义，当期权处于盈价时，在曲线两边下的概率即总面积可能更大。但是假如这种情况是经常发生的，期权价格将高于它的内在价值，这意味着期权价格达到这一敲定价格的概率在50%以上。当发生这种情况时，只需用整个期权价格扣除时间价值，此时我们必须确定分布数值，它位于现行概率和100%之间。因此我们回过头来分析这一点。

因为期权处于盈价的概率为70%，任何一种期权的时间价值的概率将为30%，标的市场价格将进一步上升（或下降到期权的敲定价格之下）。所以，当期权处于盈价时，公共面积是合作概率区域，这是很有趣的。

总之，布莱克和斯科尔斯期权定价公式隐含着这样一层意思，即内在价值等于股票价格和敲定价格之差，时间价值等于在股票价格概率分布上的现行市场价格与执行价格之差。

就看涨期权的总价值面1/2，要显示时间价值和内在价值的相对分布，已经画出图2. 11b，它是图2. 11a的扩展。它显示出看涨期权的内在价值和时间价值超过平常可能的股票价格的连续范围。

图2. 11b　IBM看涨期权的时间价值和内在价值

读者能很清楚地看到，先前描述的当期权处于平价时（S = E·e-rT），最大时间价值的点状图。当股票价格低于或高于敲定价格时，由于前已述及的原因，期权的时间价值将下降。最终在标的股票价格某一水平上，期权时间价值将接近0，期权将既不盈也不亏。

图2. 12　3 -6 -9月看涨期权

再则，期权的内在价值取决于使用的市场价格和折算的敲定价格，这可从图2. 11b右边部分得到解释。时间价值因素取决于波动率、到期时间、正态分布函数。图2. 12显示，由布莱克和斯科尔斯期权定价公式可计算出看涨期权的价格。在这张图中，内在价值和时间价值是合在一起的。所以，假如读者在图2. 11b上并入两张图，他将获得图2. 12同样的结果。

在加入时间价值后，期权费和标的价格之间表现出一条平滑曲线的关系。早于到期日之前，通过这个曲线可以定义看涨期权与标的资产的关系，而不需要采用在这一点上我已介绍的“曲棍球状”的利润/损失图。读者注意到，离到期日越长，期权价格更高，而且曲线更直。仅仅当期权到期时，时间价值为0，这时看涨期权的利润/损失图就像“曲棍球状”，期权的价格仅仅由标的资产价格和敲定价格决定。

遵循上述同样的逻辑，看跌期权的价值也由两部分组成，即内在价值和时间价值。^[6]看跌期权的内在价值即是它的盈价数值，也就是敲定价格减去现行标的价格（假如数量是正的），或者是零。同样，时间价值等于以期权的敲定价格和折算的执行价格为中心分布的概率的总和。

因为关于资产价格收益的正态分布过程的假定似乎是不清楚的，第四章将详细解释为什么这种假定仍然是合理的。或许布莱克和斯科尔斯期权定价公式的其他假定更不合理：波动率和利率在整个有效时期内都是常数，现金流量（如红利导致的现金流量）不与标的资产整个生命周期相联系。假如标的资产和市场风险是固定的，期权点在哪里？将不存在这样的点。理论上说，几乎所有股票在付出红利（债券付出息票）后，股票价格将会下跌，然而这与实际情况不相符，实际上这正是该公式存在的严重缺陷。因此，我将在本书后面解释这些问题，并告诉读者应当如何进行调整以便适应具体情况。所以，如果要估计期权的“公允”价格，布莱克和斯科尔斯期权定价公式仍是一种好的工具。实际上，布莱克和斯科尔斯依赖这些假定对某点期权的即时价格予以反映。在估计时，布莱克和斯科尔斯期权定价公式和尼康相机一样精确。它将给出一个当时情况的“客观”影像。当然假如风景改变，你已照的相也就不再能精确反映当时的现实。使用布莱克和斯科尔斯期权定价公式时，当风景改变时，人们必须重照图像，且每一次发生变化时都应这样做。这是否意味着因为它摄下的风景改变了就认定尼康相机不好？当然不是。同样地，也并不意味着布莱克和斯科尔斯期权定价公式无效，因为公式假定标的市场条件将保持不变。记住，布莱克和斯科尔斯期权定价公式是作为一个“模型”而不是作为布莱克和斯科尔斯“现实”。

现在不再谈模型的假定，我将详细考察确定布莱克和斯科尔斯期权价格的变量。在随后的章节中，我将讨论理论期权定价模型的实际应用和如何解释这些假定。总之，确定期权内在价值的两个因子是敲定价格和标的价格（对于期权的生命期通过利率折算）。用来估计期权时间价值的因子包括终止期和预期的波动率。

利用布莱克和斯科尔斯期权定价公式估计时间价值的关键因子

假如人们要详细了解布莱克和斯科尔斯期权定价公式，需要对时间价值的估计进行精确解释。关键点是d1和d2因子的估计，将它们输入正态分布函数，运算结果会是一个概率数值，它由现行股票价格乘上已折算的执行价格得出。这个数值之差是期权的价格。假如d1和d2因子是一致的，从正态分布公式得到的结果将是同样的数值。这个常数意味着期权的价格类似于S = E·e-rT，是一个常数。在正态分布函数的结果是1的情况下，期权的价值将被简单地折算成内在价值。假如结果是0，期权价值也是0。这是期权到期时的结果。期权价值将是它的正的内在价值或0。然而，这两个因子d1和d2不是一致的。它们的差异为：

这些因子和决定期权时间价值因子之间的惟一差异如下：

这一因子确定了波动率和时间对期权价格的影响。我考察的第一个变量是时间。

时间对期权价格的影响

时间如何影响期权的时间价值？我们再次运用保险的例子来寻找答案。假如我们将一年和两年的保险政策进行比较，发现从考察日的下一日开始，我们预期保险费用将不一样。保期越长，保险费用将越高。我们现在可以推知，因为期权类似于保险，所以离到期时间越长，期权的时间价值越大。然而，人们从上面公式可以看到，时间价值不是时间的线性函数。时间的影响是到期时间的平方根的函数。从这一现实出发，人们可以得出结论，纯粹从时间衰退方面看，存在一个最适宜的买入期权的时间点，也存在一个最适宜的卖出时间点。

例如，假设你有两种选择方案购买125天的期权，图2. 13a和2. 13b描述了两种潜在策略的时间衰退方式。

图2．13a　期权价格受时间衰减的影响

图2. 13b　期权价格受时间衰减的影响

第一种选择是用6美元买入离到期日还有125天的IBM看涨平价期权，并持有它一直到终止日，由于是自然到期，时间价值是0。因为125天保证期花费的是6美元，由于每股IBM期权合约是6美元，总成本是100股代表600美元的付出。这能在图2. 13a中顶端看到。第二种方案是买入离到期还剩250天的平价期权，成本是8. 5美元。在125天后不再需要期权时，你可以通过卖出期权来对冲。假如你以6美元卖出，你的总成本仅仅是2. 5美元。这能在图2. 13b中底部看到。

对于投资者来说，最大问题是他们认为，必须买入的期权费太高了。假如你以6美元的期权费买入一份期权并一直持有它们直至变得一钱不值的到期日，确实期权费太高了。然而，假如你以8. 5美元买入期权并以6美元卖出，然后预期成本仅仅是2. 5美元，^[7]情况怎么样？考虑从一个时间逐渐衰退点买入期权，此时离到期日还有一长段时间。应当选择在离到期只有一段短的时间时卖出期权。假如人们知道这一道理，但为什么仍然有人会在期权就要到期时买入它呢？这特别令人费解。在汇市上，大部分期权交易活动集中在期权就要到期时成交。明显地，这意味着许多人是在一个时间段，即最大的时间衰退率发生时买入期权。

要明白为什么人们选择期权就要到期时买入期权，必须考虑我前面已经介绍过的一个因子：杆杠因子。通过考察期权生命时期内最大交易活动发生情况，我们能得出有趣的结论：是谁正在买入期权和为什么买入。假定在市场上有三种投资者：套利者、做市者和投机者。套利者关心的是减少自己的风险和买入期权时他预期的套利的净成本更低。所以，套利者喜欢买入还有较长时间到期的期权，并在到期日之前卖出它们以便降低期权预期成本。大部分经济学家把套利者归入“风险厌恶者”之列。在买入或卖出期权方面，做市者是风险中性者，因为当寻找到有人也要买入或卖出期权时，做市者将会卖出持有的头寸。所以，做市者可以归入不理会期权的时间衰退的“风险中性”者之列。另一方面，投机者要快速获利，所以他感兴趣的是杆杠效应（收益百分比），因而他是“风险寻找者”。因为这些人有风险偏好，因而他们的目的是尽可能使杆杠数值最大化。图2. 14显示当期权就要到到期日时，杆杠数值最大。在这张图上，杆杠被称为标的市场上一个定期变动平价期权的利润百分率。在图2. 14中，假定有一份IBM平价看涨期权，在先于到期日之前，以每5美元股票价格的变动得出各点的利润百分比。将杆杠与期权的时间价值进行对比，在图2. 14右边以对数形式画出收益百分比，图的左边是期权的时间价值。读者能明白，离到期时间越远，期权成本越大，杆杠收益越低。然而假定人们买入一份离到期还有很远的期权，时间衰退的影响将会变弱。套利者，由于常有更多资本进行操作，会使他们期权费的净成本更低。他们可以通过买入更多的原始期权做到这一点，然后在严重的时间衰退开始之前对冲（图2. 13b能证实这一点）。

图2. 14　时间价值与杠杆

为什么投机者喜欢买入就要到期的廉价期权呢？假定有一投机者花费8美元购买离到期还有200天的期权，或购买离到期日只剩下一星期的期权（成本仅仅是0. 25美元），若标的股票价格上升5美元，标的股票价格离到期日长的股票价值将从8美元增加到10. 5美元。在期权费的投资上，收益率是31%。现在，考虑离到期很短的期权，以0. 25美元购入。当市场价格上升5美元时，期权价值也将增长到5美元，收益率是2000%。结果，杠杆与时间相关，杠杆曲线的形状是时间衰退曲线的反射影像。

当然，这种杠杆可能导致不审慎的暂时失控。基于此，许多交易所对临近到期的交易一般会采取严格的管制。不审慎的投机者会采用更靠近前一段市场价格的敲定价格购买期权，以便获得巨大的百分比收益。假如市场发生急剧变动，收益率常常超过100%。例如，离到期只有一天的期权，当某种股票价格是64. 75美元时，一些人为了赚取0. 25美元收入而以65美元买入IBM股票。假如在下一天IBM的价格碰巧上升到65. 5美元，持有者将履行期权合约，卖出股票并每股获利0. 25美元。在资本投资上这是一天内获取100%收益。所以临近到期日，存在一个激励控制标的市场，期权的敲定价格变化决定市场价格。因为很高的杠杆，在离到期日只有一星期时，存在一个只承担有限损失的赌博机会，许多期权操作者称这一时期为“抽彩期”。

对数分布的影响

读者知道布莱克和斯科尔斯模型假定市场呈现出一个对数分布状态。要了解这一涵义，采用轮盘赌的游戏方式解释时间价值的特点是一种好的方式。

在美国假定有38个号码在轮盘赌轮子上。这些号码从1到36，赌博者如果赌中这36个号码中的一个，将相应付给一定报酬，如果赌中0和00，他将什么都得不到。这一目的是通过赌一个特定的号码赢利，放置在槽中的每一只球代表某一特定号码。假如转动的球停下后停在你赌的相应号码上，你赢。下注一个美元在某一号码上，赢35美元的盈利的概率是1/38，这一盈利率是很高的，但是赌中你的号码的概率是很低的。

要确保在轮盘赌中获利，最好的办法是下注在提供的36个号码中的每一个。在这种策略中，赢利数量和赢的概率都是高的（概率为97. 74%）。然而，最后结果总是亏损的，因为这一赌的策略成本超过潜在的35美元盈利。当然，在大部分时间里，如能在轮子上观察到一个特别的超出常规的规律，投机者会设计一种策略来赢得超额利润。基本上，最高预期回报策略是将赌注押在经观察中签概率大的号码上面。

因为布莱克和斯科尔斯假定市场是按对数分布的（在一个公正的轮盘赌轮上是统一分布），最高概率事件是现行市场价格，它是猜测后面市场价格的最好结果。然而，平价期权“赌”有最高的概率，结果有最高的时间价值。当期权完全处于亏价时，期权是多头点和便宜的；而期权处于完全盈价时，它将是很贵的。这一策略类似于将赌注下在轮盘赌的每一个号码上。因为有更高的期权费，人们将获取的杠杆利润和潜在利润更少。所以，从获取净利的角度看，期权处于亏价和完全盈价时，期权的预期利润是最低。平价期权将有可能获取最大的潜在利润。预期收益（中签概率乘收益减去赌注成本）类似于图2. 8钟状一样的曲线。

波动率影响期权价格

影响时间价值的其他主要因子是波动率。迄今为止，在影响期权费的时间价值上，波动率是最重要的变量。购买健康保险时，健康的人所付出的保费肯定少于患有不治之症的人付出的保费。假如某人得了严重的疾病，因为此时可察觉的风险（清偿的概率）更高，因而需付出更多的保费。

然而，某人健康时候已经买入保险，然后才发现患有一种严重疾病。如果此时该人要求退出健康保险，且保险代理对此也十分焦虑并希望尽快清偿自己的义务，患者将能够从保险公司那里得到比其原先所付出的投保金多得多的退保金。假如该人确已这样做，事实上由于可察觉风险已经改变，他将能获取实际的利润。^[8]假设该先生退出健康保险以后，由于医生误诊，此人实际未得绝症，此时他可以到另一家保险公司以较低的保费重新投保。他能够在低风险时买入，高风险时卖出，再在低风险时买入，在这一循环过程中获利。虽然他的基本健康状况未变，但对健康状况是否存在风险的认识已经改变。

了解波动率的关键是应知道风险越大，期权费越高。因而，在期权市场，风险是由一个众所周知的波动率概念来计量的。标的市场波动率越大，风险也越大。市场风险越大，期权的时间价值也越高。从上面关键因子波动率参数变动看与其对期权的影响完全成比例。越高的波动率σ，因子d1和d2之间存在越大的差异并具有越高的期权时间价值。

如何计量波动率

在期权理论中，波动率是如此重要的一个概念，以至于我将在本书中用完整的两章对它进行阐述（见第四章和第五章）。然而，在这里我将介绍波动率的基本种类和如何用布莱克和斯科尔斯模型计量它。波动率主要有三种计量方式：历史波动率、隐含波动率和预期波动率。

历史波动率

历史波动率由标的市场过去一段时间的实际偏差数来计量。举一个例子，假定昨天IBM股价是66美元、大前天是65. 5美元，现在以65. 75美元进行交易。这些数字之间的差异显示出，昨天标的市场上每股获利0. 5美元而今天每股损失0. 25美元。因为百分比便于比较，我将把数字转换成百分比，以便搞清楚上述情况。有时股价将可能增长0. 1%，有时股价将降低0. 1%。然而，在一个随机波动的世界上，平均收益百分比将可能性是0，分布状况类似于图2. 8看到的一个“钟状”的正态分布曲线。

如果把已经发生在市场上的过去30天交易的分布情况上下移动，可以看到，在大部分市场上，将得出一条已经在前面讨论过的正态曲线。正态曲线的优点是他们能完全地描述交易情况，并通过两组数字了解交易：平均数（或中位数）和波动率（标准差）。当平均变动是0时，我们必须注意的惟一事情就是标准差。标准差的一个有用特点是它让你知道期权发生在某一价格上的概率是多少。

期权的时间价值可以用来衡量证券风险或波动率。当市场上波动率发生变化时，期权价格也会改变。期权价格不仅反映了市场变动而且也反映了波动率的波动。图2. 15列示了1994年1～7月IBM股票的历史波动率情况。这一系列波动在图形上以实线表示。因为在整个时期风险已经发生巨大的变化，对于交易者而言存在获利的机会。例如，期权价格是市场上实际波动率的函数，因而当波动率上升时，期权价格也将上升。在2～3月和后面的4～5月期间，IBM股票的实际波动持续增长到一个接近40%的年率的地方。然后到6月份，波动率随着期权价格的下跌而下跌到25%左右。从原理上说，期权交易波动率与任何价格系列的交易没有差异：波动率低时买入期权，波动率高时卖出，通过这种方式就能赚取利润。就像我们前面说过的健康保险的例子一样，假如某人在风险的察觉上适时改变，他就能通过有风险的交易盈利。

图2. 15　历史波动率

资料来源：Bloomberg.

隐含波动率

隐含波动率是考虑期权费的时间价值并被今天市场察觉的风险。它紧随市场上各种因子产生的变化而发生变化。要确定隐含波动率，需要的是一个实际的期权价格和一个理论上的期权价格模型。只要将期权的敲定价格、标的资产价格、到期日、短期利率、即将付出的预期红利和实际期权价格，输入理论期权价格模型就可计算出隐含波动率。标的市场价格、期权费、期限、短期利率、红利和到期时间等都是已知的。惟一未知的变量就是波动率。通过将实际价格输入期权定价公式计算得出隐含波动率。模型将让交易者明白，只要将波动率输入模型就能计算出实际期权市场价格。交易者可以假定计算波动率时的期权市场价格与其他期权的敲定价格具有同一标的资产和到期日。假如65美元看涨期权价格的隐含波动率是25%，预测70美元价格的期权波动率等于有同一标的资产的两份期权的波动率。所以，人们能使用65美元看涨期权的隐含波动率来预测70美元的期权价格。实际上，由于存在市场风险，如同任何价格系列的变动一样，隐含波动率的变动取决于市场的供给和需求。图2. 15列示了IBM股票的隐含波动率与实际30天历史波动率的比较图。最奇妙的是人们会看到一系列差异。而对期权的交易者而言，必须搞清楚的问题是此时的波动率是否能使自己获利。对今天的期权价格的相关波动率计量是指隐含波动率。然而，人们为了在买卖期权上最终获得利润，关键的波动率实际是指已经发生的期货波动率。

预测波动率

另一种确定波动率的方式是利用统计技术预测它。异方差性（heterscedasticity）是一种对非常数变量而言的统计术语。因为在市场上波动率预测是基于人们的预测，所以波动率和影响风险的真实事件之间必然存在某种联系。在第四章和第五章中，我将尝试如何预测在整个期权有效期内的未来波动率是多少。但完全可以说，目前期权价格中最重要因子是需预期的波动率；因为它是惟一未知的因子，也是人们进行期权交易时用于决策的惟一因子。

波动率影响看涨期权价格

当市场上进行期权交易时的波动率为20%时，人们可以考虑以65美元一份买进看涨期权，这时付出的期权费是每份2.75美元。假如IBM股票价格下跌至60美元，看涨期权的价值将会下跌。然而，当市场价格下跌的同时隐含波动率增长至40%，期权的价值将增长至3美元。当然，由于波动率的上升而引起时间价值增长有时超过标的市场变动产生的影响（见图2. 16）。另外，当波动率增长至40%时，IBM股价随即上升，看涨期权持有者将获取双倍的利润。事实上，当IBM股票价格保

图2. 16　90天到期的价格为65美元的IBM股票看涨期权隐含波动率变化的影响

持不变而波动率上升时，看涨期权持有者也将获得双倍利润（价格从2. 75美元升到5. 5美元）。明显地，相比被忽视的期权价格而言，波动率的变动太重要了。

在隐含波动率变动方面，这张图（见图2. 16）上最有趣的是平价期权的价格会发生最大的绝对数变动。然而，假如我们比较期权价格的百分比变动和隐含波动率的百分比变动，发现期权处于亏价时，期权价格会发生最大百分比变动。

表2. 4　一份65美元看涨期权隐含波动率增长和作为一个IBM股价的函数的百分比和绝对价格变动

表2. 4是由图2. 16制成，是在标的IBM股价各种水平上的65美元看涨期权的价格变动。当IBM股价是55美元时，65美元的看涨期权完全处于亏价，波动率为20%时的价格仅仅是其价值的1/8，当隐含波动率上升到40%时，假如此时IBM价格保持在55美元，65美元看涨期权价格上升为1 3/8。绝对变动量仅仅是1 1/4的最低量。然而，期权原始价值的百分比条款中，百分比最大可以上升到1000%。当IBM股价上升到60美元时，65美元看涨期权仍然处于亏价，此时的期权与处于平价时的期权相比，65美元看涨期权将再次在价值上有一个更低的绝对变动。然而，这时价格上的百分比变动是更大的。当期权处于平价时，我们看到，实际上期权价值已是原来的双倍。为什么期权价值不是精确的增长双倍（100%增长），原因在于IBM股权是被表示为最小的1/8增量和看涨期权的理论价值已经是最接近1/8。当期权处于盈价时，期权的时间价值上的绝对获利是下降的。事实上，期权处于盈价越远，这个百分比变动率越低。

20世纪80年代中期，我被美国的国债期权交易的结果所迷惑。当市场价格上升时，我已经买入看跌期权。理论上，看跌期权将失去它们的价值。然而，因为隐含波动率的水平上升，发生了相反的情况。与买入看涨期权相比，买入看跌期权时，我获取了更大的百分比收益，因为此时可察觉风险收益的增长超过市场变动所造成的潜在损失。另外，与看涨期权相比（对于同一敲定价格处于盈价的期权），因为看跌期权处于亏价，且在价格上与隐含波动率的变动相同，看跌期权产生了更高的百分比变动。记住，期权的时间价值中，波动率是影响它的最关键的因子。

总之，当期权处于平价时，期权价格的绝对敏感度是最大的，当期权处于亏价时，期权价格的百分比敏感度相对隐含波动率变动而言是最大的。

利率和红利对期权的影响

在布莱克和斯科尔斯期权定价公式中，最终变量是利率因子。当他们设计他们的模型时，他们要从全方位的角度进行考虑，所以他们进行期权投资时就这样考虑他们的投资方案。布莱克和斯科尔斯要弄明白的是，期权有效期内无风险存款的投资，特别是假如投资者将已买或卖的期权与标的资产头寸一起创造一个无风险的头寸时的投资。然而创造的头寸收益率应当等于同比存款利率。由于受确定的最终变量的影响，期权持有者或卖方不能盈利（这也是众所周知的“无套利者”强制）。在许多期权市场上，利率因子是尝试性的影响因子。对于我将在后面章节中讨论的期货合约期权相类似的情况，我将能够完全消除利率对它的影响。然而，要将这个问题引用到案例中，需要弄清更多的理论问题，这在后面章节中会有阐述。

付出红利以及如同息票一样的其他现金流入会造成相当直接的后果。人们将这些付出视为“负的”借入和需要购买股票或债券购入成本的减少。以后我将讨论连续付出红利和当大笔付出红利时会发生什么情况。

【注释】

[1]这是“一件大事”：布莱克和斯科尔斯：《期权定价和公司负债》，《政治经济学杂志》，1973年5至7月，第637～659页。当他们得到所有的荣誉时，麻省理工学院的罗伯特·C.默顿（Robert C. Merton）也很热心于解决这一问题并找到了答案。看默顿：《期权定价合理性理论》，《贝尔经济和管理科学杂志》，1973年春季第141 ～183页，这是早期有关期权定价方面最好的文章。

[2]执行价格需要换算是因为布莱克和斯科尔斯公式计算的仅仅是欧式期权。对于美式期权，立即执行的结果就是内在价值等于现行标的价格和敲定价格之差。对于欧式期权，惟有未来到期日执行时才能实现内在价值。要决定今天同样的执行价格，我们必须将未来执行价格折算为现行价值，e-rT是为得到这一结果的利率因子。

[3]这不是给付息票或红利的资产的看涨期权。然而，对于期货期权，这不是一个问题。进而，存在这样一种情况，即提早执行看跌期权可以说有道理，罗伯特C.默顿早期发表的文章介绍了这一个激烈的争论。

[4]对于不熟悉这一概念的人，可以通过读第四章前面几节，再不时返回这一部分来弄清。

[5]为了更清楚的了解，可以看劳伦斯·盖茨（Lawrence Galitz），《财务工程》，财务时报/皮特曼（Pitman）出版社，1994年，第210～216页，或看本章的内容。

[6]布莱克和斯科尔斯实际上没有为看跌期权价格制定一个模型。然而，通过下一章将要讲述的简单套期技术，人们能从布莱克和斯科尔斯看涨期权定价中推导出看跌期权价格。

[7]假如确定期权价格的其他变量是不变的（当然这仅仅是为了讨论问题的方便，实际情况不可能这样），这一讨论是众所周知的“假使其余情况均相同（Ceteris Paribus）”。然而，因为人们不能预测未来，必须以预测结果为基础做出相关决定。人们期望，买入还有较长时间到期的期权并在到期日之前卖出它们这一方案，优于买入就要到期的期权并让它们到期这一方案。

[8]在期权市场上可比的状况是将先前从市场买回的期权再卖出去。假如波动率已经上升，期权价值更高，因而期权持有者将获利。