期权对利率的敏感度

第三章　期权价格的高级概念

前面章节已经阐述了影响期权价格的关键因子（标的工具市场价格、敲定价格、标的工具波动率、到期日和无风险利率），并考察了这些因子如何进入期权定价模型中。现在我们将讨论交易者在期权市场中是如何利用这些关键因子来获利的。

本章我们举例用的标的资产是美元/英镑汇率。在银行同业拆借市场，外汇期权通过店头交易方式进行，也在世界范围内进行大量交易。在货币期权的交易市场中，费城股票交易所和芝加哥国际货币市场是最有名的市场。我们将考察上述两个市场中的货币期权的店头交易和美元/英镑期权交易的情况。表3. 1和表3. 2分别列示了费城股票交易所（PHLX）现货的美元/英镑期权合约说明书和芝加哥国际货币市场（IMM）的货币期权期权合约说明书。

表3. 1　英镑期权（IMM）

表3. 2　美元/英镑期权（PHLX）

续表

期权定价模型在期权评价中的作用

人们的一个普遍误解是认为期权交易者使用期权定价模型后，可以得出期权的“正确”价位是多少。期权定价模型未必给出期权的“正确”价位。某人愿意为特定的期权付出的价位才是期权的“正确”价位。目前为止发现的最好定价方法是市场定价，一个有效的市场将给出最好和最值得信任的价格。期权定价模型的真正受益者是他们提供了现行市场条件下的一个精确的“即时点”（还记得第二章尼康相机的例子吗？），更重要的是期权定价模型可以将市场价格细分成单个因子。你还能单独考察每一因子和评价它的单个分布，以便评价期权价格，进而通过逐一预测单个因子，人们能预测复杂多变情况下的期权价格。

例如，某人知道一种期权的实际市场价格，当期权理论价格等于实际价格时，他可以利用选择好的模型，计算出与市场价格相联系的隐含波动率。进而，期权定价模型能预测出期权市场价格如何随波动率变动而变动，或者如何随确定期权价值的任何其他因子变动而变动。所以，期权定价模型只是告诉人们，期权价格在市场上是如何变动的，而不必深究正确的期权价格是多少。由此可以证明期权定价模型是有实际价值的。然而，这已经离题了。

期权衍生工具与飞机测量工具的比较

让我们看看类似于期权定价模型的以计量世界现行状况为惟一目的的另一种模型，并证实在某种状况下几个因子发生变化时模型受到的影响，这就是飞机飞行中利用到的测量工具。当某人驾驶一架飞机时，可能更大程度上利用从机舱外看到的可见反馈信息驾驶。然而，有时也利用测量仪器证实和确认你所见的反馈信息，当看到的机窗外的情况不可靠，比如当飞越一片暴雨云层时，驾驶员可能采用仪器来指导飞行。

假定某人正在设计一个飞机工具板，且只能选择一种工具，他将选择哪一种？他将考虑高度、加速度、速度、燃料还是外面的温度？他认识到要保持飞机平稳飞行，在考虑其中一种最重要工具后，还需要考虑其他许多因子，因而他需要测量所有这些因子。只知道高度而不知道速度，飞机可能失速和坠毁，而只知道高度和速度而不知道燃料情况，那么飞机耗尽燃料进而发动机停止运转后，飞机可能会垂直下落。然而，无论他选择什么工具，只有很傻的飞行员才会仅依靠仪器而不理会机窗外的情况驾驶飞机。期权市场上，依靠市场价格操作如同驾驶飞机看窗外情况一样。期权定价模型扮演着现实替代物的角色，它运用测量工具告诉人们，期权价格是如何随着确定期权价格的因子的改变而改变的。但是无论期权定价模型多么完美，进行期权交易时都应当“看窗外”。当然记住在某些情况下，当实际市场条件变得太模糊以至看不清时，你的测量工具也可能“失灵”。

计量因子创造的“测量工具”包括：标的工具市场价格、标的工具波动率、到期时间和利率。

Delta概念

期权市场上第一重要的工具或许是Delta。它告诉我们期权价值对标的资产价格变动的敏感性。至少可通过四种方式来理解Delta。

Delta作为计量标的资产相关变动的工具

第一种方式定义的Delta是指，标的市场发生一定改变情况下期权价格发生的相应变动。假如美元和英镑的期货汇率是1. 525美元，外汇的看涨期权价格以2. 25美分成交。标的市场价格从1. 525美元上升到1. 535美元，变动率为1美分，同时英镑期货期权价格从2. 25美分上升到2. 75美分。标的市场价格变动1美分，期权价格相应变动0. 5美分（见表3. 3）。

表3. 3　Delta工具的定义和例子

Delta是期权价格的实际变动除以标的价格的实际变动。所以，期权的相关变动（或Delta）应当是0. 5分除以1分的标的市场变动，或者0. 5分，也就是标的资产每变动一点，期权价格变动50%。基于此，Delta被称做套期比率。运用Delta，人们通过标的英镑头寸为期权合约确定合适的套期头寸。在标的外汇交易数量是100万英镑这一例子中，将需要两份期权才能100%对冲100万英镑产生的变动。相反地，你也能用一份期权和50万英镑（1/2）标的数量创造一个无风险头寸。

Delta反映标的期权价格和标的资产价格之间的斜率关系

第二种方式将Delta定义为期权价格的变动与标的价格变动的比率。这一比率等于期权价格与标的市场价格之间曲线关系的斜率，图3. 1描绘了这一关系。在到期日，期权的价值是0或它处于盈价（内在价值）。当期权处于亏价时，它的价值从0 到1. 525。因为斜率是0意味着图形是一条直线，期权的价格从0到1. 525。当期权处于盈价时，将执行一个多头标的头寸，期权的价格从1. 525一直往右边延伸（变大）。所以，这一点的期权价值将由标的资产水平决定。标的资产每增加一点，期权价值也将增加一点。所以，在这一区域的斜率是1. 0或45度角。因而，期权到期日的斜率是0（假如处于亏价）或1（假如处于盈价）。

图3. 1　看涨期权费的公允价值

只有当期权到期时，我们才确切地知道期权是否将执行。期权到期日之前，我们不可能知道标的市场价格是高于还是低于敲定价格。所以，到期日之前，期权价格与标的市场价格关系的斜率处于0与1之间。期权价值为0的概率越高，斜率也越可能靠近0。将要执行的期权是一个完全标的头寸的概率越高，斜率越靠近1。直觉告诉我们，在某一点上，斜率处于0与1的半中间，即价值是0. 5。当斜率为0时，期权处于亏价，斜率为1时，期权处于盈价。由此我们得出结论，平价期权的斜率（它位于这两个极端的中间）是0. 5。因此，在期权到期日之前的任何时期，亏价期权的Delta将处于0到0. 5之间，盈价期权的Delta将处于0. 5到1之间，这从图3. 2中可以看出（这是一张离到期还有45天价格为1. 525的看涨期权图）。当期权处于完全亏价时，期权的Delta将接近0，当期权完全处于盈价时，曲线将向上，Delta接近1。这一“S”形曲线表明，当期权的标的资产价格下跌，持有看涨期权的人会有有限损失；而当期权标的资产价格上升时，持有看涨期权的人会盈利。

图3. 2　一份1. 525看涨期权的Delta

Delta在标的市场买入头寸方面作为期权相关风险的计量工具

人们评价Delta的第三种方式是，当期权标的价格变动时，考察期权的相关风险与标的头寸。例如，某人以1. 525美元价格持有名义价值为100万英镑的期权，这意味着合约价值是152. 5万美元。假如期权价格从1. 525美元下跌至1. 515美元，新的合约价值将为151. 5万美元或亏损1万美元。要完全消除持有这个头寸的风险，人们必须卖出同样数量（在本例是100万英镑）的英镑。

英镑/美元汇率的期权风险取决于两个因子：持有的标的资产数量（如100万英镑）和Delta（如当期权敲定价格为1. 525美元它是0. 5，此时期权处于平价）。敲定价格为1. 525美元的看涨期权的期权费是5分。当期权的敲定价格下跌到1. 515美元，新的期权费是4. 5分。然而，合约价值初始值为50000美元（0. 05×1000000），而新的期权价值是45000美元（0. 045×1000000），亏损5000美元。当期权费价格从1. 525美元下跌至1. 515美元，同样数量英镑头寸会产生同样损失吗？当100万英镑期权产生10000美元损失时，同样价格变动条件下，50万英镑损失为5000美元。所以，持有50万英镑的1. 525美元敲定价格的看涨期权与持有同样数量头寸时的风险一样大。再则，要消除持有期权的价格风险，人们需要建立有同样敏感程度的同一数量的英镑短期头寸（50万英镑）。

因为Delta表明在标的市场完全多头头寸期权的相关风险，Delta认定复杂期权和标的头寸联系更加紧密。这是因为在标的市场上，持有一个多头头寸交易者提供所有“正的”和“负的”Delta净值。记住在市场上一个多头头寸的Delta是+ 1，一个空头头寸的Delta是-1。

Delta作为盈价期权到期时执行的概率工具

第四种定义Delta的方式是期权处于盈价时执行的概率。假如现在美元对英镑的汇率是1. 55美元，在期权到期日的远期价格是1. 525美元。因为我们关心的是预期的外汇期货汇率，所以较为适合利用远期价格进行比较。当现行远期汇率是1. 525美元时，那么美元/英镑的远期价格是1. 524美元或1. 526美元的概率是多少呢？在一个随机市场中，概率是50/50。所以，当我持有一份能以1. 525美元买或卖的期权时，在下一次交易后它处于盈价的概率是50/50。在5分钟内，如前一市场价格和敲定价格都是1. 525美元，那一份期权处于盈价的机会是多少？概率仍是50/ 50。在一个小时、一天、一个星期或一个月内的结果又将如何？总是一样的，50/50。所以，平价期权的Delta大概是0. 5。

现在，考虑亏价期权（比如看涨期权，价格为1. 550）。这种期权执行的机会少于50%（比如Delta是在0. 5以下）。这是因为假如它保持的是上一价格，到期时期权将在处于亏价时执行。所以，45天内市场价格低于2. 5美分的概率将少于50/50，它可能仅仅是33%。另一方面，在45天内高于平均市场价格的概率大概为67%。因此，Delta表明期权在到期日价格高或低于敲定价格的概率依赖于它是看涨或看跌期权。^[1]对于看涨期权，Delta是市场价格高于平均水平上的概率，对于看跌期权，Delta是市场价格低于平均水平之下的概率。

Delta的?使用

Delta是很有价值的，因为他们表示标的市场上执行时产生价格风险的概率。也就是Delta表明，需要期权数或标的资产头寸用于规避标的市场价格风险。最后，Delta表明，当期权标的价格变动时，一份特定的期权合约的利润或亏损是多少。当期权处于平价时，Delta大约是0. 5。当期权完全处于盈价时，看涨期权的Delta接近于1，看跌的接近-1。当期权处于亏价时，将不会执行合约，这时期权的Delta接近于0。

当期权就要到期时，持有盈价期权的人们类似于持有标的资产的完全多头头寸。结果在标的资产（定义3）上的敏感程度是头寸的100%，或一个Delta。在标的资产上相对于持有标的多头头寸的人，持有盈价看跌期权的人操作上完全采用的是空头头寸，Delta是-1。相类似地，为了保证美元价值不变，在远期需要买入100万英镑用以平滑或消除风险，同一时期需要卖100万英镑头寸用于清盘。如期权是多头且风险等于一个Delta，要使头寸扁平或为0，必须用它组成一个策略，即一个Delta头寸为-1。因为1减1等于0，在标的外汇汇率上你应当持有一个平头寸。

所以，Delta可以让人们评价任何种类的期权头寸（或期权的组合），好像它们是标的外汇市场的一个头寸。因此，建立对冲Delta敏感程度（与即时点、远期货币合约，或其他期权），直到净Delta敏感程度是0，这是一个必要的步骤；然后在标的市场获取一份没有敏感程度的头寸。换言之，在看涨或看跌状况下，期权能从一个正的或负的Delta中受益。因为当一个正的Delta对冲一个负的Delta时，相对于标的市场，我们已认可这些期权头寸是多头（正的Delta）或空头（负的Delta）的，因此很容易确定其相对风险。如果能正确地对冲，它们能消除风险并产生一个套期头寸。在评价期权组合的整体风险时，确定整个Delta头寸是关键。在风险管理上，如何确定净Delta是一个重要步骤。

Delta基本策略的敏感程度

一般地，人们在标的市场买入任何东西时的市场敏感程度将总是1或100%。当某人买一份看跌头寸（卖的权利）时，一份多头标的头寸是负的。也就是，当期权的标的资产价格上升而其他因子不变时，看跌期权的价值将下降，看跌期权持有者将亏本。所以，在标的资产上，持有看跌头寸是一个负的头寸，Delta将是负的。当市场价格上升时，持有看跌期权的人将会亏本；相反地，当市场价格下跌时，持有看跌期权的人将会盈利。所以，看跌期权价格与市场价格是负相关。当期权处于亏价时，标的市场上的期权会有相当小的敏感程度，也就是当市场价格变动时，期权价格将保持不变。当期权处于较深的盈价时，在标的市场上操作期权应当像操作一个充分的多头或空头头寸一样。当期权最终由执行转入标的市场，它将会承担标的市场价格风险，Delta将是+1或-1。

假定在现货市场上，某人持有一份Delta是正的0. 95的头寸，也就等于持有一份名义上持有100万英镑、风险95%（或95万英镑）的头寸。看跌期权的买入者发现他的风险范围依靠市场价格是否处于敲定价格之上或之下，而从无敏感程度到一个完全空头头寸（减去一个Delta）。类似地，对那些卖出看涨期权的人，存在相反的敏感程度。前一章已经讨论过，标的市场上，卖出看涨期权和持有看跌头寸同样是空头头寸，所以，Delta敏感程度是负的。所有Delta都与一种标准相关，在我们的例子中，是为了获取美元而买入的100万英镑头寸。

Delta中性概念

因为看涨和看跌期权的敲定价格的多变性，因此以交易市场和店头市场为基础，在美元/英镑交换上有多种方法取得一个扁平头寸。当一个组合期权（即时或远期合约）净Delta等于0时，它作为一个“Delta中性”头寸。在美元/英镑远期市场，我们考察一个套期美元/英镑期权系列的对冲头寸。为了给每一份美元/英镑远期合约确定一个“无风险”的套期比率，采用期权的“Delta”反比确定需要的期权数值。相应地，一个美元/英镑远期头寸乘以Delta来确定现货的数量，即是必须卖出的远期套期头寸。不幸的是，因为期权Delta被定义为小于或等于1. 0，需要套取的单个头寸的现货数量可以很容易地确定小于100万英镑，对大多数远期合约而言，这是最小交易量。在外汇交易英镑的期货市场（几乎在所有的外汇交易市场），仅仅卖出或买入一份合约都是不可能的。所以，假如我们调整远期现货头寸数量进行套期保值，我们不得不进行比一般数量更小的交易，并付出更多差价或在“多回合”（例如整数）中利用标准期货合约。相对于100万的美元/英镑远期合约，让我们考察一个Delta的反比替代确定期权的数量。例如，当美元/英镑远期价格是1. 525美元、波动率10. 5%、45天后到期，美国和英国的利率差异是2%。1. 55美元敲定价格的看涨期权处于亏价，所以Delta是0. 33（小于50%）。当某人购买这份看涨期权时，需要购买的比100万英镑远期合约的33%还要多。当买入一份美元/英镑远期合约用于创造一份同样头寸时，需要买入多少份合约呢？要创造一份同等头寸，在远期市场需要买入的看涨期权是100万英镑的33%，即330000英镑。当我们决定仅仅买入小于100万英镑数量远期合约时，结果将如何？买入一份100万英镑远期合约的准确头寸时，我们必须知道需要期权的数值是多少。在Delta条款中，这种策略中Delta等于+1。让我们举一个例子。当在期货市场某人持有小于100万美元/英镑的空头期权，希望在到期日使用这看涨期权对冲交易风险。因为期权等于美元/英镑期货合约的多头头寸的1/3，需要买入三份看涨期权对冲敏感程度的风险，Delta将是中性。所以，合适的套期比率将是三份期权合约的0. 33的反比。

Delta的精妙之处在于，它不仅仅便于比较期权和标的远期市场，而且通过它可以知道看涨和看跌期权的多种敲定价格。现在我们运用这一技术测试利用一份美元/英镑期权来对另一份美元/英镑期权进行套利的敏感程度。当我们买入一份看涨期权时，我们拥有一份多头头寸。相应地，当我们卖出一份看涨期权时，我们会有一份空头头寸。当这些看涨期权采用同一标的资产、同一到期日和同一敲定价格时，买入和卖出期权是一种精确的对冲。当期权有不同的敲定价格时，期权也是很不相同的。当买入一部梅塞德斯·奔驰（Mercedes Benz）汽车然后卖出它时，与梅塞德斯·奔驰的价格相关的风险头寸怎么样？直觉上认为头寸正在对冲或平滑。但当购买的梅塞德斯·奔驰是一部600SL车型，而卖出的梅塞德斯·奔驰是180C时，结果将如何呢？相对于整个梅塞德斯·奔驰的价格头寸，因为你持有的是不能完全精确对冲的两份头寸，结果是可能或不可能平滑掉。因为600SL比180C价格贵，我们必须调整持有的小车数量使其价值上相等。重要的是对冲每一相对敏感程度。因为600SL在价值上超过180C，为了对冲真正的“套期”头寸，必须卖出更多的180C。

让我们回到外汇市场头寸。假定某人分别持有敲定价格为1. 55英镑和1. 575英镑的看涨期权。1. 55英镑以上的看涨期权与一份100万英镑/美元的1/3价值的期货合约有着同样的风险，因为后者的Delta是0. 33。当一份1. 575看涨期权的Delta是0. 2时（它远离亏价），卖出1. 575看涨期权创造的一个头寸等于卖出100万美元/英镑的1/5期货合约（0. 2大约是1/5）。因为当某人卖出一份看涨期权时，Delta头寸是负的（假如某人买入一份看涨期权，Delta是正的0. 2）。当某人的目标是获取一个对冲或用两份期权取得一份无风险头寸时，他必须调整买入或卖出的看涨期权数量，以便规避他们各不相同的风险。所以，买入1. 55美元看涨等于买入100万期货的1/3，卖出1. 575美元等于卖出100万英镑期货的1/5。相对于远期美元/英镑汇兑率（这是Delta中性头寸），为了买入无敏感程度的三份1. 55美元看涨期权，必须卖出5份1. 575美元看涨期权。读者可能奇怪，为什么我们没有找出卖一份1. 575美元的看涨期权，然后卖出1. 55美元看涨期权的一半的理由。然而，1. 55美元看涨期权需要美元/英镑数量仅仅等于50万英镑。再则，大部分期权是以一个小的标的数量进行交易的，这对一个“宏观”期权的价格可能更不利。另外，由于0. 20/0. 33不是等于一半的事实，套期比率将不精确。

在外汇交易市场，卖出1. 55美元看涨期权的一半是不可能的，因为这些交易被要求按整数交易。然而，即使我们被限制以一个小的单位买入或卖出期权，期权的真正风险不是标的市场相关数量上的风险。期权风险由大量买入或卖出的数量乘以期权的Delta决定。

Delta的相关问题

Delta的相关问题是，它们仅仅提供不间断的信息，当市场条件改变时，它们也相应改变。与飞机情况类似，速度仪将在每一时刻提供一个有效的计量速度，当然其他因素如加速度、高度或燃料消耗变化时，速度也将改变。飞机其他因素改变时，飞行员必须监视飞机速度变化，所以当其他决定期权价格的变量改变时，期权交易者必须监视他的Delta变化。要保证完全的无风险，必须经常修订期权头寸。

例如，英镑远期的市场价格为1. 525美元，某人买入Delta为0. 33的三份1. 55的看涨期权（亏价看涨期权）。这些看涨期权的Delta是1. 0（0. 33×3），这一策略等于在期权到期日时买入一份100万英镑期权。假如要规避风险，在同一日期他可以卖出100万英镑期货。当空头的标的期货合约的Delta为-1时，已经买入的三份看涨期权完成这一交易，净头寸是0（一个Delta中性头寸）。当市场价格增至1. 55美元时，1. 55美元看涨期权将处于平价，Delta已经增加至0. 5。这意味着每三份看涨期权等于100万英镑的50%。总之，所有三份看涨期权合在一起的Delta头寸是一个正的1. 5或150万英镑。短期头寸保持在Delta等于-1. 0或空头100万英镑，因为在英镑上它仍然是一个单个的空头头寸。读者看到，持有100万英镑或一个50万英镑的风险的“套期”头寸不再是风险中性，它已经和同等多头头寸一样有着同样风险。

随着市场变动，Delta不能保持连续。所以，期权交易者必须在其他因素改变时，计量Delta的敏感性，本例中是标的市场的变动。再则，期权定价模型的真正价值在于，它能确定这一敏感性。透过这些利率因素并运用期权定价公式进行计算，我们能轻易地导出别的计量工具。

我能想像得到，“衍生工具”和“计算”这类词撞击读者的眼睛，读者关注程度开始衰减。不用担心，我将把这些概念放在别的书中，那样或许更合适。在这里我的目标不是要告诉读者如何利用自己的“期权测量工具”，而是要让读者读懂它们和明白它们的意思是什么。

当我研究计量问题时，所列举的大部分例子似乎很抽象，有时甚至是探索性的例题。最流行的一个例子是，用纵轴代表距离例如千米或公里，横轴代表时间，用这样的坐标解释衍生工具。画出的一条斜线（类似于看涨期权图3. 1中的一样）代表一个随时间变动的给定变化。直觉是相当准确的，在距离和时间之间的变化是速度。同样，期权价格和标的价格之间的联系被称做Delta。所以，Delta就是期权的速度。然而，速度不是卖轿车时必须考虑的惟一事情。另一重要绩效特点〔除道尔贝（降噪）声音系统〕是加速度。这是给定变化时间内速度的变化。当速度（Delta）是每一时间在一特定点（简单的斜率）的距离的衍生物，加速度就是在同一点的第二个衍生物（斜率的改变）。这一斜率取决于另一有关时间期望的衍生速度。当期权标的市场价格改变时，Delta如何改变呢？采用标的市场的Delta的衍生物，我们得到一个新的“工具”，即“Gamma”。Gamma是指当期权标的价格改变时的另一个期权加速度。

Gamma概念

所有的期权概念中，很少有哪一个概念比Gamma更重要。期权与标的资产头寸不同，因为期权依靠标的资产价格变动改变它们的敏感程度。在确定的范围内，操作期权像操作标的资产（盈价）一样，在不同范围它们没有敏感程度（亏价）。对于持有者，他们的价格关系是受益（或正的）的曲线。这一曲线关系的数值是Gamma，Gamma是必须确定的，它使购买的不同期权区别开来。

从定义可知，当期权标的市场价格变动时，Gamma值越高，Delta变化越大。直觉上看，Gamma主要计量期权标的市场价格与敲定价格之间的差异，期权离到期还有多少时间。市场价格越靠近敲定价格和离到期日越近，Gamma值越高。例如，离到期只有一分钟的平价期权将有最高的Gamma值1。这是因为，当标的资产价格按最小增量变动时，期权将变为Delta为1的盈价期权；另一方面，当期权标的资产价格有小的数量下降时，期权将变为Delta为0的亏价期权。

现在考察标的市场上一份1. 55美元看涨期权，它离到期只有一分钟并以1. 5495进行交易。它的Delta接近0，因为期权处于亏价。当市场价格上升0. 0010（至1. 5505）时，期权处于盈价，由于标的市场变动很小，Delta靠近1。当市场价格在敲定价格1. 55美元上下波动时，Delta将在100%和0敏感程度的上下变动。对期权购买者而言，这一影响意味着期权处于不可信水平，许多职业投机家在到期日或临近到期日购买期权的目的是使Gamma值最大化。这一影响的相关效果与衰减时间效果相吻合，上一章的图2. 14已经证实这种情况。读者可能记得，两种效果彼此对冲。交易者在接近到期日购买期权，是由于Gamma产生的效益直接对冲了整个时期段内发生的随时间衰减产生的预期损失。

在极端形势下，到期平价期权的变动越大，期权的适应效果越差，Gamma值越低。持有时间越长的期权，Gamma值越低。敲定价格离现行标的资产价格越远，期权时间价值越低，Gamma值也越低。图3. 3表明各种到期日时一份特定的美元/英镑看涨期权的Gamma值。

Gamma的增量是指Deltas的数值，它随着标的资产价格单位变动而变动。当期货市场现行价格为1. 525，离到期日还有45天且波动率为10. 5%时的平价看涨期权的Delta值是0. 505，Gamma值是0. 0014。当市场价格上升一点至1. 5252 （IMM合约的每点是一美分的2%），新的Delta是0. 5064。当期权标的汇率市场上，价格变动50点至1. 535的新水平（50点：0. 01/0. 0002）时，新的Delta是0. 505 + 0. 0014×50或0. 575。然而，当市场价格上升时，看涨期权敏感程度变大，盈利更多。

图3. 3　1. 525看涨期权的Gamma

Delta、Gamma值可能是正的也可能是负的。如同字面意思一样，当Gamma值是正的时，相应地人们能从市场价格的实际变动中获利。现在考察持有一份看涨期权的情况。当期权处于平价时，Delta接近50%，当期权标的市场价格上升至看涨期权处于较深盈价时，期权的Delta将接近100%。然而当期权标的资产价格增长时，Delta也增长，这是正相关关系。同样，当期权标的资产价格下跌时，看涨期权的Delta下降到0。因为标的资产价格下降时，Delta也下降，两者是正相关关系。当持有看跌期权时，结果如何？

让我们看看持有平价看跌期权时的情况。当期权标的资产价格上升时，Delta是-50%，当期权处于亏价时，Delta也上升至0%。当资产价格下跌时，看跌敏感程度变成负数，在一些点上的Delta接近- 100%。然而，当Gamma值是正的时，Delta值变化与标的市场价格变动成正比，所有的期权购买者能从期权标的资产价格变动中获利。因为这个原因，期权持有者经常被称为“多头Gamma”。Gamma的概念可以表述为：

Gamma是一个敏感程度的计量，头寸Gamma是标的市场实际波动率的一个变化

期权的卖出方对Gamma敏感程度完全与买者的Gamma相反。在期权市场上，相比任何其他工具，Gamma已经证明，它引起人们更多焦虑、引发更多的溃疡患者和破坏了更多的婚姻。当Gamma值是高的且标的市场价格变动时，期权卖方已受到伤害。所以，他们经常被称为“空头Gamma”。

评价一份头寸Gamma是正的简易办法是看到期日之前的利润/亏损策略图。当期权标的资产价格曲线是中间凸出状时，曲线向上如同一个笑脸，这就是正的Gamma。当曲线形状如同皱眉头时，头寸Gamma就是负的。本书说到有关交易策略章节（第六章和第七章）和讨论期权风险管理时（第十四章）将证实这一点。读者可以浏览这些章节的图，看看“笑脸”和“皱眉头”的Gamma效果。

当然，不仅要设立测量期权在标的市场上变动的敏感性的工具，我们也对所有其他决定期权价值的因子有兴趣。到现在为止，我们已经考察了标的市场价格上的期权速度（Delta）和加速度（Gamma）的特点。现在，我们将看看其他因子，其中最重要的是波动率。

波动率敏感程度的计量——Vega

对于给定的隐含波动率的变化，期权价格的变化被称做Vega。我乐于称这计量工具为Vega，但这仅仅是一种传统。在一些市场上，这一名词又被称做Kappa，Zeta，Sigma，Omega，^[2]Epsilon和其他各种希腊字母。许多人知道Vega不是一个希腊字母，而是由雪佛兰公司制造的已经不再使用的质量不太好的美国轿车或一个电影明星。我喜欢Vega，因为它有一个代表波动率的“V”字母，且听起来如同希腊语。无论如何，Vega计量一个给定的波动率时的期权盈利或亏损金额。当期权市场以一个隐含波动率15%进行交易时，你的期权头寸Vega是+1. 4，这表明每增加（或减少）1%的波动率，你将赚取或亏损1400美元。在固定水平上，波动率变动1%是1000美元，这样一个变动产生的利润或亏损是1400美元。然而，当头寸Vega是正的和波动率增加到16%时，假如其他条件不变，你将赚到这一数量的钱。当波动率下跌至14%时，你会损失这一数量（见图3.4）。Vega的概念总结如下：

图3. 4　1. 525看涨期权Vega

Vega是敏感程度的计量工具，反映期权价值对波动率变化的敏感程度

让我们看一个例子。假如我们持有的期权到期日的期货价格是1. 555，现行波动率为10%，离到期日还有30天。1. 525看涨期权价格是0. 0364，Vega是1. 403。当期权市场的隐含波动率上升至0. 0378时，价格变动为0. 0014，等于1400美元（7点，200美元），Vega也等于同样数量。任何时候我们买入期权，就是我们在买入时间价值因子，也就是期权费的内在价值因子。然而，当隐含波动率上升时，时间价值和总的期权费也上升。公平地说，当一个人买入期权时，隐含波动率的敏感程度变化是正的，Vega也是正的。相对应的，当一个人卖出期权时，他们从隐含波动率的下降中受益，Vega是负的。

期权早期的吸引力在于，它是一种将风险变为安全的最直接方法。^[3]当风险发生变化时，期权合约也随之改变。所以，期权交易不会超过风险（波动率）交易。很容易理解为什么人们必须计量Vega才知道期权的波动率敏感度。基于布莱克和斯科尔斯模型的大量计算机程序的关键特点是，它们能快速准确地确定包括Vega的计量价值在内的所有期权因子的敏感度。利用飞机的例子，人们将Vega作为期权“高度”的计量工具。明显地，高度是飞行中最为关键的一个因子，而波动率是确定期权时间价值的最为关键因子。

用来确定货币期权价值的其他变量包括哪些呢？包括期权的敲定价格、到期时间和每一国家的利率。在这些变量中，敲定价格没有相关关系，因为它是固定的。由于期权的敲定价格不变，也就不能搞清楚敲定价格发生变化时，期权价格如何变化。对于大部分期权来说，这是事实，但类似期权的证券，如可转换债券会有一个变动的“敲定”价格，此时有衍生品也许是合适的。

随时间衰减的期权敏感度计量工具——Theta

在三个相关变量中（时间、利率和敲定价格），最重要的一个计量工具是当期权就要到期时，期权价格的时间衰减。当流逝时间不是概率（有时被称做随机）因子时（因为任何人都知道时间正在流逝），过去时间段内的期权价格影响不像人们想像的那样容易确定。假如你回顾前面的章节，可以知道期权价格不随时间直线衰减，但相当于热交换平衡。所以，要确定从今天至明天发生的时间衰减的数值，人们只要将今天的标的价格、波动率、利率和到期时间代入方程中就可得出（确信模型的理论价格等于期权的市场价格）。然而，减少一天到期时间，保持其他变量不变，再评估期权，结果如何呢？今天的市场价格和明天的理论价格之间的差异是时间衰减。人们知道，这样做是很乏味和浪费时间的。要快速完成这一过程，人们使用计算确定随预期时间的期权价格，这就是众所周知的Theta。这一衍生结果是某一点时间衰减曲线的斜率，它给出每天期权市场价格变化。图3. 5可以看出Theta衰减（这完全类同于图2. 13a和图2. 13b的时间衰减曲线）。我们能归纳Theta效果如下：

Theta是敏感度的计量工具，期权价值随时间变化而变化

图3. 5　盈价、平价和亏价看涨期权Theta

以飞机测量工具的例子为类比，Theta可以想像为燃料测量工具。它计量期权还有多长时间并将在什么时间耗尽“燃料”。

图3. 5中的Theta价值包括平价、盈价和亏价看涨期权的价值。Theta告诉我们，期权的价值将一天天失去。例如还有60天到期的平价期权的Theta为0. 0002126，这意味着每天期权价值失去0. 0002126/0. 0002 = 1. 063点或1. 063×12. 50 = 13. 28美元。人们注意到，非平价期权具有时间衰减线性比率。一个理由是期权时间价值相当小。时间衰减与期权交易策略产生的影响相比，前一影响是重要的。后面第七章比较波动率策略时，这一点将变得更明显。

期权对利率的敏感度——Rho

接下来我们将计量期权价格对无风险利率变化的敏感度。期权价格与利率之比被称做Rho。现行期权中有两个利率是重要的：国内现行利率和国外现行利率。因此，货币期权将有两个Rho。再则，类比我们的飞机测量，Rho被想像为计量外面温度的测量仪。在小飞机的大部分飞行中，机窗外的温度对安全飞行并不重要。然而当飞行高度很高时，温度测量仪是相当重要的，因为飞机可能变得太重和容易落到地上。图3. 6显示一份美元/英镑的看涨期权的国内利率（美元）的Rho。Rho归纳如下：

Rho是计量敏感度的工具，头寸利率从今天到到期日有一个变动

图3. 6　到期日之前1. 525看涨期权在各时点的Rho

要适当地考察利率对期权价格的影响，我们必须等待至本章结束时清理了看涨期权部分后才能搞清楚。到那时，与波动率、标的市场价格变动、过去的时间相比，利率对期权价格的影响较小。期货外汇市场上的期权，利率因子影响是小的，对一些种类的期权，利率对其根本没有影响。然而，对某些种类期权（特别是离到期日较长的店头期权），利率影响是重要的，交易者监督其对这些产品的影响。

期权价值对标的资产价格变化的敏感程度——Lambda

另一个“希腊字母”有时指Lambda。这在原理上类似于Delta，但它计量期权价格与标的资产价格变化的绝对变化，Lambda计量期权价格变动百分比与标的资产价格变动百分比。期权的Delta乘以标的价格除以期权价格。Lambda公式如下：

Delta X标的市场价格/期权价格

让我们回到本章的前面有关表3. 3例子中的一些数字。在表中，标的美元/英镑的兑换率是1. 525，一份期权（在本例中是看涨期权）价格是每英镑2. 25美分。期权的Delta是0. 505。运用公式计算，Lambda等于34. 22［0. 505×（1. 525/0. 0225）］。图3. 7列示了一个类似Delta的图形（见图3. 1），但这里介绍了Delta和Lambda，标的资产变动规模对其有影响。

图3. 7　45天到期的1. 525看涨期权的Lambda

读者看到，一些数字已经变成天文数字，标的资产价格变动比资产本身对期权的影响更大。所以一点都不奇怪，因为存在许多不确定因素，许多投机外汇的机构现在已经采用期权取代即时交易。当然“希腊字母”并不总是指那些从事期权的交易者。然而，这一派生工具是很有趣的，在第十一章中将再一次介绍这一工具。Lambda定义归纳如下：

Lambda是标的资产市场价格的相对变化引起的期权价值相对变化的大小的计量工具

外汇市场上合适的期权定价模型

现在可以介绍外汇市场上合适的期权定价模型。我将证实这样的模型同样适用于其他种类的标的资产。选择合适的定价模型（对于任何种类标的资产），要考虑期权是基于即时货币还是远期货币汇率、期权是否尽早被执行。

欧式期权的即时货币

下面将看到，基于现行（或即时）外汇率的期权公式仅在到期日才能被执行。这一公式由马克·加曼（Mark Garman）和史蒂文·凯尔哈根（Steven Kohlhagen）发现，^[4]明显类似于上一章讨论的布莱克和斯科尔斯公式。事实上，两者的惟一区别是加曼和凯尔哈根模型中加进了一个“外”国的另外利率因子。它是期权定价理论中最精彩的一点，到目前为止，我已经讨论过的所有期权定价模型都是由布莱克和斯科尔斯方法推导而来的。

人们从一开始就将在期权定价理论方面产生的进化而导致的更新突破看成是顺理成章的进步。类比一下内燃汽油发动机的进化。在19世纪80年代，戴姆勒（Daimler）先生发明了他的第一个内部燃油发动机。这是一个永远改变了我们世界的标志性突破。从那时以来，已经对第一个模型作了许多改进。尽管这样，每一个新生产的发动机都是在戴姆勒发明的基础上的创新。

人们将布莱克和斯科尔斯模型的建立称为金融世界的一个重大突破，如同第一辆汽油汽车在交通世界的突破一样。把汽油汽车作为一个案例，期权定价模型从初始发明到现在已经变得更为精致和复杂。然而，如同汽油发动机的进化一样，所有期权模型都是以布莱克和斯科尔斯模型为基础建立起来的。从已出版的金融文献中已建立的大量模型看出，每一新的期权定价模型的建立都是一个新的突破（例如在下面就要考察的二项式模型）。然而，这还不是一个恰当的解释。过多的期权定价模型不能说是发明了新的“发动机”，这仅仅是对原始模型的改进。这就如同第一个涡轮发动机或燃油喷射装置是发明，发明者可以宣称一个新的发动机已经产生一样。这里明显不是这种情况。假如没有戴姆勒先生发明的最基本的发动机，谈任何已经改进的革新都是没有意义的。

所以一点不用感到奇怪，有着“现行利率”“汽化器”的加曼和凯尔哈根“模型”，是真正的布莱克和斯科尔斯模型。而在支付股票红利上最流行的欧式期权模型中，除由一个连续的支付红利替代外汇利率外，1973年默顿（Merton）模型与加曼和凯尔哈根模型是一致的。所以，默顿模型是真正的布莱克和斯科尔斯模型，它也在加曼和凯尔哈根模型“汽化器”上喷上一种不同颜色。^[5]本书后面我将讲述标的资产定价上已经取得声誉的各种其他模型。但读者可以相信，这些模型中的大部分仅仅是对第二章原始的布莱克和斯科尔斯模型的改进，大部分甚至仅仅是装点门面式的改变。

远期货币的欧式期权

对远期货币的欧式期权，最合适的模型是远期合约期权的布莱克（1976）模型。^[6]这一模型几乎与布莱克和斯科尔斯模型一样。惟一的区别是远期价格F取代了股票价格S，远期价格和敲定价格折算成现值计价。所以，这是曾经介绍过的对原始“模型”的一个简单改进。所以，与货币期权模型相比，这一模型有更广的应用范围。对所有的期货合约（对于一个欧式执行特点期权）和我将在第十二章讨论的许多利率产品而言，运用布莱克模型（1976）更合适。

布莱克模型（1976）有如此广泛的吸引力，是因为它承认分析标的资产的价格不是现行价格，但是在将来资产价格是现行价格（基本套期关系）。它确信，已经由马克·加曼探讨的期权到期日的标的资产预期期货价格比资产的现行价格更重要。^[7]事实上，所有期权定价模型首先估计的是期权到期日的标的资产的预期期货价格，然后在这一基础上，估计期权价格。假如交易者估计远期价格，布莱克模型（1976）将可以为任何种类的欧式期权合约提供正确的价格。

美式外汇期权

一些人认为，期权的提早执行是如此重要，以至于布莱克和斯科尔斯模型不可能是正确的。然而，在我看来，这样下结论未免太夸张。假如人们还记得第二章我们讨论的关于欧式期权和美式期权的差异，将会回忆起，不引起现金流动的证券期权提早执行类似于抛100美元的钞票在地上然后走开。问题是为了有现金流，对于类似股票和债券一样会有现金流动的证券将导致期权持有者提早执行。对于美式期权提早执行的概率，在布莱克和斯科尔斯模型中最流行的是由比尔·夏普（Bill Sharpe）和考克斯（Cox）、罗斯（Ross）和罗宾斯坦（Rubinstein）提出的二项式方法。^[8]

考克斯、罗斯和罗宾斯坦为了教会他们的学生布莱克和斯科尔斯模型的公式是如何运算的，找出了一种更易懂的方法，基本上二项式模型就是在这种形势驱动下进行不断尝试而发展起来的。他们使用如图3. 8a那种树形图解释标的债券价格是如何改变的。这些图形表明，你以一个标的资产的特定价格为始点（在图3. 8a中是100美元），市场价格可以通过随意的数量比如说1美元上升或下降得出。在起始的涨跌变动后，价格再一次在98～102美元的范围内任意按1美元上下涨跌。在这一点后，这一过程一直会延续至到期日。

图3. 8a　二项式模型

读者能回忆起在市场的运行中，需要搞清楚的是在发生作用的两个因子。一个因子是变动的数量，另一个因子是变动的概率。这类似于我讨论的玩“轮盘赌”游戏中的预期收益的例子。二项式方法如何结合概率发生作用呢？它设计决策树的每一枝向上或向下移动的概率。现在考虑市场价格在100美元上升或下降的概率是50/ 50。^[9]这意味着在一个时间单位内，标的市场价格在101美元的机会是50%，标的市场价格在99美元机会也是50%。下“一轮”的概率怎么样？他们仍将是50/50。所以当价格在101美元或99美元时，我们将面临着有同样向上或向下移动的机会。

然而当市场价格是100美元时，我们一开始就制定期权价格，我们不知道第一“回合”后价格是否还是101美元或99美元。在第二“回合”中要确定一个给定的价格发生的概率，由于起始价格是100美元，我们能沿着分枝增加概率得出估计值。图3. 8a“树型”图上列出了这些概率。例如，我们来计算第二“回合”中标的资产价格是102美元或98美元的概率是多少？由于第一回合价格升至101美元或下降到99美元的机会是50%，当价格在101美元或99美元时，下一价格将是102美元或98美元的机会是50%。所以我们增加的是50%对50%，我们在第二回合中价格将是102美元或98美元的机会是25%。进而，既然第二轮市场价格能上升至101美元再下降到100美元或99美元，然后再上升至100美元，每一次机会都是25%。在第二回合中，市场价格为100美元的组合概率是50%（25% + 25%）。在整个时间段内，这种情况都会发生。读者看到，在分枝上或下波动的市场价格离起点越远，发生的概率越低，保持100美元现行市场价格的概率越高。熟悉这样一种回合吗？请读者回忆，对数分布有一个类似的概率差。这些分布的惟一区别是二项式分布是不相关的变动（如100，101或99）而不是连续（如100，100. 000001或99. 999999）。

用一个平滑的对数分布代替布莱克和斯科尔斯模型公式，考克斯、罗斯和罗宾斯坦认定在他们的模型中的二项分布有缺点。从上式可以看出，他们的方程式是常常用来进行美式外汇期权定价的。它一开始看起来不同于出现于第二章的布莱克和斯科尔斯公式，但它却真正基于类似的假设。再则，如同布莱克和斯科尔斯模型一样，这一模型通过标的价格S减去敲定价格E确定内在价值。二项分布和布莱克和斯科尔斯模型之间的差异是二项分布公式中有θ函数。这就如同布莱克和斯科尔斯模型中有对数分布，但二项分布使用的是不相关时间（假定市场价格不连续并仅以小数量变动）。实际上，图3. 8b中一边是二项“树型”图，以即时标的价格和折算的执行价格放在图3. 8b中心。

图3. 8b　股票价格高于执行价格时二项分布的交叉点

再则，两项分布之间的差异被用来确定期权价格的时间价值。假如读者用前面图2. 14a布莱克和斯科尔斯模型与现行结果比较，会看到这一结果很相似。事实上，二项分布方法可扩展到连续时间、曲线与对数分布一致、二项式结果等于布莱克和斯科尔斯模型结果。

从上面讨论似乎可以得出这样结论，二项式模型与布莱克和斯科尔斯模型没有什么不同。假如是这样，二项式方法的要点是什么？当某一时点支付红利或现金时，二项模型要考虑这种情况而布莱克和斯科尔斯模型不考虑这些。例如，图3. 9中，我们再一次看到在50美分的第三期支付标的资产红利的“树型”图。当发生这一情况时，图上分枝点的价格将按这一数量下跌。已经支付红利而降低的新价格将继续延伸下去。

图3. 9　二项模型（已付红利）

可以提早执行的美式期权经常使用二项式模型。二项式模型通过认定一个标的资产特定价格估计早期执行价值而执行期权。然而，“树型”图随后的所有分枝被“修剪”。因为那一点已经不存在期权，所以它不需要继续分枝。当计算期权价格时（假定存在早期执行的可能性），利用期权标的资产所有的可能价格乘以他们可能发生的概率，得出已执行事件而调整的期权价格。

所以，上面情况显示出所有期权定价模型都基于同样的假设。但是如同本章开始所阐明的那样，期权定价模型的目的不是提供正确的期权价格，而是当确定期权价格的变量发生变化时，指出期权价格应如何相应发生改变。所以我将回到流行的货币期权定价模型，考察因为有重要变量而派生出的公式。

货币期权定价模型的派生公式

下列方程式列出了所有已论及的派生方程和计算公式。读者可以看到，表3. 4列出了加曼和凯尔哈根模型与相应的变异公式。除非你是真正“数量”的热心者（精于数量方法），否则你也应当很满意这些公式，因为它们看起来如同许多画一样精确。不用担心！几乎所有的计算机程序中都有这些方程式的编码。所以，读者可以通过课程学习，不需要高水平数学知识，如同“火箭科学家”一样能解出这些方程式。读者可以试着用直觉弄懂我已经在本章中介绍过的内容。记住，你不需用“测量工具”就能读懂他们。另外，在表3. 5中，为了更好地进行比较，我也将布莱克和斯科尔斯模型和它的派生模型包括进去。最后，在表3. 6中，也出现了布莱克模型（1976）。为规避证券风险，当他们提供必需的“测量工具”时，就期权定价模型而言，这些派生模型是最重要的一些模型。

表3. 4　加曼和凯尔哈根模型（派生）

表3. 5　布莱克和斯科尔斯定价模型（派生）

表3. 6　布莱克（1976）定价模型（派生）

看涨—看跌平价：基本的套利关系

本章要介绍的最后一个主要理论课题是看涨—看跌平价。当期权定价理论还处在发展阶段时，许多人已开始检视看涨和看跌期权定价之间存在的关系。惟一的难题是，证券和期权费的清偿图表明，两者似乎是逆相关关系。第一章已经讨论过，所有期权可分为标的市场头寸“好的”和“坏的”部分。所以，当我们把标的市场分为两部分时，我们很容易重新组合他们以便再造新标的资产或尝试采用其他组合，看看我们能得到什么结果。这可通过用一个简单的大家所知的看涨—看跌平价公式来进行。

看涨—看跌平价公式是：

C - P = F - E

C是看涨期权的价值，P是看跌的价值，F是标的远期外汇市场的价值，E是看涨和看跌期权的敲定价格。^[10]看涨—看跌平价是基本的套利关系，它强制将看涨和看跌期权价格与它们的标的市场价格彼此联系在一起。例如，让我们考察期权合约到期日看涨和看跌期权的价值。当一份美元/英镑看跌和看涨期权的敲定价格是1. 6美元时，在到期日，相对于1. 6美元的敲定价格，标的价格可能是以下三种状态中的一种：高于、低于或刚好等于1. 6美元。在第一种情况中，当市场价格超过1. 6美元时，看涨期权有权以1. 6美元卖出。市场价格在1. 625美元时，期权价值将是等于它的内在价值2. 5美分。1. 6美元的看跌期权（卖的权力）到期时将毫无价值。因而，2. 5美分（看涨期权的价值）减去0（看跌期权的价值）必定等于F减去E（1. 625 -1. 6）。

第二种情况是当英镑汇率在1. 6美元以下时市场价格是1. 585美元。假如某人有权以1. 6美元将其卖出，而市场价格是1. 585美元时，你将放弃处于亏价的看涨期权。因此看涨期权的价值是0。因为看涨期权具有以1. 6美元卖出的权利，市场价格是1. 585美元时，看跌期权的内在价值是1. 5美分。所以，在等式的左边，我们发现0（C）减1. 5美分（P）必定等于右边1. 585美元减去1. 6美元，这再一次证明套利公式有效。最终，假如市场价格等于敲定价格且都为1. 6美元，看涨和看跌期权处于没有内在价值和无其他价值的平价状态。等式左边为0减0等于1. 6美元减去1. 6美元。因此，无论到期时市场价格是多少，看跌—看涨套利公式都是有效的。

读者尽可以放心，看跌—看涨平价公式不仅适用于到期日的期权，而且适用于到期日之前的任意时期的期权。例如，读者可以回顾第二章及表2. 2，你将运用看跌—看涨平价公式计算股票期权和货币期权，同样能得到精确的结果。在那一例子中，IBM股票价格是65美元，60美元看涨期权的价格是5. 75美元，60美元的看跌期权的价格是0. 75美元。看跌—看涨期权平价公式认定5. 75美元减去0. 75美元等于65美元减去60美元。在这一例子中，因为等式左边5美元等于右边5美元，公式仍然有效。这一公式不仅证实看涨和看跌期权价格之间的套利关系，而且也表明有着同样敲定价格和到期日看涨和看跌的时间价值是一样的（0. 75美元）。^[11]

利用看跌—看涨平价期权创设组合债券

抛开期权市场最基本的套利关系定义不谈，看跌—看涨期权平价也允许交易者利用简单的方法将策略组合成他们的组成部分并对其重组。实际上，它帮助交易者将基本期货和期权组合成新的“聚合”证券。为达到这一目的，使用看跌—看涨期权平价组合，在以E为起始价格的标的市场，将F - E放在括号内并置于右边，将这一新的变量作为买方头寸。

现在等式为：

C - P =（F - E）

我们有三个因子：看涨期权、看跌期权和标的市场。第二个策略是假定这三个因子中的任何一个都是正的或加号，这是定义为一个买入、持有或多头头寸（事实上前面案例没有谈到这些）。当变量前面有一个减号时，可将它定义为空头、卖方或卖方头寸。现在可以大声读出上述等式：当你买入看涨期权（C）、卖出看跌期权（- P）时，等于在标的市场上以E价格买入。这很简单吗？我希望读者认识到，我们仅仅创造了第一份组合证券。当我们以同一价格买入一份看涨期权和卖出一份看跌期权时，那也就是类似于买入一份期货合约用于清偿。看跌—看涨平价也能用于确定其他合成头寸。

在第一章中，我定义三种头寸，它等于多头头寸与标的市场相关的头寸：从市场买入期权（或在该市场的一份远期合约），买入一份看涨期权和卖出一份看跌期权。我也定义三种头寸（等于空头头寸）：卖出市场空头（或一份空头远期合约），买入一份看跌期权和卖出一份看涨期权。已经证实，创造一份组合多头远期或期货头寸是很容易的，我将在表3. 7为读者描述一揽子实际的和合成的头寸。

例如，当你用美元买入100万英镑，预期将来用英镑换回美元，你将怎么做？在汇率上要实施一个相反变动操作，需买入一份英镑看跌头寸。这一系列交易适用于看跌—看涨平价等式［+（F - E）和+ P在等式的一边］。要确定头寸是多少，需要做的是检查我们的等式：C - P =（F - E），看（F - E）+ P是否在等式的一边？假如在一边，将可以发现组成等式另一边的信号。擅长于代数的人立即会看出. TIF；E + P和（F - E）在等式的另一边，也就是在等式两边各增加一个+ P。在左边是C - P + P，右边是（F - E）+ P。左边的- P和+ P对消，仅留下C。所以，等式变为C =（F - E）+ P。

表3. 7　实际头寸与组合头寸之比

这意味着买入一份看涨期权与买入一份期货合约和一份看跌期权具有相等的头寸。等式左边是“实际的”看涨期权，右边是组合看涨期权。

“魔术”图形规则和看跌—看涨平价

对于喜欢代数的人，这一过程很容易搞清楚。其余的人可能明显需要指导。所以，我将用一幅图来做解释。实际上，我们能用图形解决看跌—看涨平价。基于此，必须首先解释我们称之为“魔术”的图形规则。

第一，无限机会胜过有限机会；

第二，无限机会抵消无限机会；

第三，有限机会抵消有限机会。

图3. 10　看跌—看涨平价：运用图形

图3. 11　看跌—看涨平价：运用图形规则

让我们使用这些规则证实我已经讨论过的例子：组合看涨期权的组成。

图3. 10是一个多头标的头寸的图形例子（F - E）。当你在E点买入一份美元/英镑远期合约，市场价格F上升时，头寸的利润将等于F - E，也就是现行价格减去买入价格。当你以1. 6美元买入（E）而市场价格（F）下降到1. 6美元（E）以下时，头寸E的损失等于现行价格减去1. 6美元（F - E）。潜在的无限利润向东北方向延伸（右边顶部），无限潜在损失向西南方向延伸（底部左边）。图3. 11列示了一份多头看跌期权情况，在下边有一个无限潜在利润（向西北或左边顶部）。当你买入看跌期权时，最大的损失是付出的期权费，这是一个有限的潜在损失，这能从右下象限看到。现在，让我们考察图3. 11左边的E。有一条直线直达西北（看跌期权潜在利润），一条直线直达西南（期货潜在损失）。从相反角度考察这些潜在敏感程度是相当重要的。规则表明，无限机会和无限机会可以对冲，所以两个潜在盈亏彼此抵消了。^[12]现在让我们看图的右边。标的多头头寸有一个无限获利机会向东北方向延伸。看跌期权将是什么结果？它将有一个有限损失直至右边E点。因为无限获利减去有限损失，净利是净头寸，是一个无限潜在利润。在左边，标的市场损失抵消了看跌获利。在右边，看跌期权的无限获利超过有限损失。净头寸结果看起来如同什么呢？从图3. 12中能看出，左边是有限的损失（看起来如同期权费），当市场价格上升时将获得无限利润。往上看，不用感到奇怪，读者能看到产生了一个组合的看涨期权。大家应当记得，同时买入标的资产和买入一份看跌期权等价于买入一份组合的看涨期权：C=（F - E）+ P。因此，看跌—看涨平价组合是很容易的，同时买入或卖出一份远期（或期货）合约和期权，然后组合它们。

图3. 12　看跌—看涨平价：运用图形规则

不用奇怪，这一简单的技术是十分关键的，它能保证单个因子的每一定价公正和有效。例如，考察一份看涨期权的价值，大家都记得，它由两个因子组成：时间价值和内在价值。内在价值就是F - E。

所以，在看跌—看涨平价中，快速评价一份看涨和看跌期权价格，可以得出看涨和看跌期权的惟一差异必定是内在价值。期权的时间价值是相同的。这一例子还不足以证明上面这一点，但一个极低风险的交易发生时，通过套利方式能获取利润。当实际看涨期权是“高估币值”时，最简单办法是卖出期权和买入有公允价值的组合看涨期权。所以看跌—看涨公式为：

0 =（F - E）+ P - C

当上式右边大于0时，上式是有价值的，“瞧！”这里存在套利利润。我将在本书的后面详细考察这些种类和其他的套期策略，在那里将广泛使用看跌—看涨平价公式。

期权价格中利率的效果

在介绍看跌—看涨平价公式后，可以使用这一公式考察利率对期权的影响。利率对期权的影响要考虑标的资产特点。我将把这些标的资产分成泛泛的三个种类：有成本的资产、无成本的资产和中性资产。

有成本的资产会导致即时可观的现金流出。例如，当黄金价格是以每盎司380美元进行交易时，需要付出38000美元买入100盎司“多头”黄金。当你买入一份黄金看涨期权而不是买入实物黄金时，可能仅需花费1200美元，而此时你将仍然有权拥有相同金额的黄金。剩余的36800美元可以放在银行获利。因此，看涨期权增加杠杆因子，存在银行无法得到现金。当短期利率上升时这一杠杆因子变得越来越有吸引力。所以，相比买入实际黄金，此时买入黄金看涨期权并将余额存在银行变得更具吸引力。要保持一个平衡（也就是众所周知的“无套利”状态），当短期利率上升时，必须增加看涨期权价格，以便使投资者趋于中性，即此时投资在期权/存款交易或公然地买入黄金，所获利润一样。所以，存款利率越高，看涨期权价值越高。相反的，短期利率越高，看跌期权价值越低。这从表3. 8看跌—看涨平价关系公式中可以看出。

这里需要进一步详细地解释表3. 8公式：C - P = S - E·e-rT。首先，让我们定义期限。我打赌读者一定能猜出什么是C和P。S是有成本资产的即时证券的价值，如同黄金或没有付出红利的股份。在后面的E是看涨期权和看跌期权的敲定价格。现在我们有另一个因子e-rT，这是利率因子。什么是e？这是一个连续复合因子。字母“e”是一个数学指数函数，也就是众所周知的反对数。它能确定如同“零息票”债券或国债一类纯粹的连续折算工具的现时价值。字母“r”是存款利率，你买入期权（而不是买入整个资产），剩下的钱存入银行获利。“T”是365天的百分比，直到期权终止和存款到期。

我们要寻找的连续折算因子是以4. 5%的利率按182天计算，它将是e-（0.045）（0.50）或0. 9777。当我们返回看跌—看涨平价公式时，S等于100美元而E等于90美元。然而C - P = 100美元-（90美元×0. 9777）= 12美元。当r上升至5. 5%结果如何？新的折算因子变为0. 9728。所以回到看跌—看涨平价公式：C - P =100美元-（90美元×0. 9728）=12. 44美元。这意味着在12～12. 44美元之间，与看跌期权相比，看涨期权价值增加了。

表3. 8　对“有成本”资产的利率影响

要进一步证实这一结果，我决定采用182天到期的理论期权价格，敲定价格和标的价格与上面的例子一样。进而，假定标的资产是波动率为25%的一种尚未支付红利的股票。当利率是4. 5%时，90美元的看涨期权价值是14. 26美元。当利率上升到5. 5%时，看涨期权价值是14. 59美元。所以，看涨期权获利0. 33美元。相反的，90美元看跌期权在利率为4. 5%时，价值是2. 26美元，利率更高时，价值下跌到2. 15美元并损失0. 11美元。当利率为4. 5%时，看跌—看涨的差异是14.26美元减去2.26美元等于12美元。在利率为5.5%时，新的看跌—看涨期权差异是14.59美元减去2.15美元等于12.44美元。读者看到的这一结果与上面看到的一样。

在货币期权市场中，公式稍微有点差别，反映在两个国家涉及需要支付利率的合约不同。表3. 9中的公式与我已经提到的公式几乎是一样的。惟一的区别是S也是通过e-rf折算成现值，在这里rf是外汇汇率，rd是国内利率。

表3. 9　“有成本”资产的利率影响（货币期权）

假如读者通过以rf代替公式中的红利，他将以连续支付红利（息票）股票（或债券）来定义看涨—看跌平价关系。

当我们关注美式期权时，必须注意到运用看涨—看跌平价公式时存在的一个问题。读者可能还记得上一章已经证实的，当没有支付现金如红利时，美式看涨期权价值不会超过欧式看涨期权价值，货币期权也如此。人们希望早点执行美式货币期权的惟一时间是当期权的时间价值小于通过执行其他货币期权获取利率的时候。^[13]

我将考察的第二种标的资产是“无成本”资产。这种资产的例子包括远期汇率期权和提供的大部分期货合约期权。

当某人决定在外汇市场上买入一份远期合约时，你能确定在哪一点交易的价格。你今天没有任何付出，因为协议是在远期日交割。当某人买入一份期权而不是远期合约时，他必须在今天付出期权费。所以，将一份期权与一份远期合约比较价值，必须考虑买入期权时支付了期权费，而当他将应付的期权费存入银行则能赚取利息。然而当他通过买入一份远期合约的期权而放弃利息时，不是在远期市场进行交易。在这种情况下，期权的杠杆作用实际上已经减少。世界许多外汇市场，特别是美国市场，在标的期货合约需支付保证金的同时，必须支付期货期权费。在这些案例中，无保证金的期货期权同样受利率影响，如同远期外汇市场上的期权一样。读者可以想像得到，与有成本的资产期权相比，这种期权将受利率的影响。有趣的是，与有成本的资产期权受利率的影响相比，无成本资产期权受利率影响的效果几乎是相反的。也就是，随着利率上升，看涨期权和看跌期权的价值会下降。然而，影响趋势是小的，因为涉及的利息受制于期权费而不是标的资产价值。事实上，对于最可能被交易的那些期货期权（指到期日只有三个月或更少的期权），利率变动对期权价格的影响效果一般是小的。从表3. 10可以看出这种期权的看跌—看涨平价公式。公式中的变量与表3. 8公式中的变量是一样的。惟一的区别在于，这一公式中F是期货或无成本资产价格，无成本资产价格和敲定价格都利用连续折旧因子折算成现值。

表3. 10　对“无成本”资产的利率影响

最后受利率影响的是我们称为“中性”资产的期权。除了标的资产和期权合约是“无成本”的外，中性资产在某些方面类似于无成本资产。如伦敦国际金融期货交易所（LIFFE）的期权，当购买期货期权时，实际不需要付出任何资金，但是要进行担保（像标的期货）和在将来某一时间“被付出”。下面考察期权受利率的影响情况。假设你不必为一份向上涨的期权付出，但是被允许如期货合约一样获得保证金，因为你能从期货和期权的交易中获利，所以它们被认为是“无成本”的，尤其是假如你能使用债券利率作为获利的基础的时候。购买标的期货或期货期权不存在机会成本的损失。所以，短期利率变动对期权价格没有影响，因为拥有两种证券的投资者不用考虑先前的利率。看涨期权价值减去看跌期权价值等于敲定价格减去标的期货合约价格之差（表3. 11是最后一个看涨—看跌平价公式）。这是最纯粹的看跌—看涨平价公式。

表3. 11　对“中性”资产的利率影响

列出这最后的公式后，我们已经掌握了期权定价理论基础的“精髓”。在随后的两章中，我们将运用已经学习过的理论为所有重要的波动率估计服务。后面当我们讨论利率期权和变异期权时，我们将建立这些概念。除了这些部分，解读期权第二版将从现在的理论范畴转到实际应用，当进行证券交易时必须面对这些实际问题。

【注释】

[1]这实际上是“拇指规则”。从表3. 5，读者可以看到Delta是N（d1）因子。期权实际执行概率是N（d2），但大多数情况下也很靠近N（d1）。

[2]在外汇市场上，Omega有时是指当期权交易时出现的风险，在那里公允货币是银行的会计货币。

[3]读者可以参考第二章健康保险的例子。在那里保险持有人正在“交易”风险。

[4]马克·加曼和史蒂文·凯尔哈根：《外汇期权价值》，载《国际货币和金融杂志》（1983），2，第231～237页。

[5]实际上，默顿红利调整第一次出现在1973年，它是原始的“汽化器”和着上不同的颜色的真正默顿“汽化器”。

[6]布莱克，费雪尔：《商品合约的价格》，载《财务经济学杂志》，1976年1月3日，第167～179页。

[7]马克·加曼：《期货价格、期权价格和“合适红利”》，工作稿，加利福尼亚大学伯克利分校，商业管理系，1983年4月。

[8]考克斯、罗斯和罗宾斯坦：《期权价格：一个简化方法》，载《财务经济学杂志》，1979年9月7日，第637 ～654页。

[9]这被假设为一个纯粹的随机游走过程或马汀格尔（Martingale，一个简单的赌输后增加下注的赌法，译者注），但对二项式方法这不是关键问题。例如，考克斯、罗斯和罗宾斯坦使用一个向上移动60%的概率和向下移动40%概率进行运算。然而，我们假定在概率为50/50时，读者可参考考克斯、罗斯和罗宾斯坦文章来证实对一个非纯粹随机游走环境下的运算结果。

[10]在原始的布莱克/斯科尔斯公式中，看涨—看跌平价公式中敲定价格（E）是对于到期的合适时间以无风险利率折算，F被S现行即时利率代替。

[11]本章后面我们将讨论利率和红利对股票期权的看跌—看涨平价等式的影响。就红利和利率而言，由于支付红利和由利率折算的执行价格变动，两种股票价格必将下降。在这一例子中，利率的影响完全被支付红利的影响所抵消，所以看跌—看涨关系很容易确定，它等于敲定价格和现行股票价格之间的差异。

[12]直觉上是：假如F =1. 55，远期合约损失= -5美分，看跌期权的利润=（+5分-期权费），净头寸的利润/损失= -期权费。这将发生在美元/英镑远期价格小于1. 6000美元的任何时候。

[13]对于看跌期权，则不是这种情况。读者可参考默顿（1973）的文章，它提供了为什么人们愿意早点执行股票期权的证据。