利用哪一种价格估计波动率

第四章　波动率估计

在人类所有的崇高目标中，不断寻找控制我们世界的识别模型应成为一种优先的目的。很清楚地，在能够发现我们正在寻找规则的许多学科中，数学已成为能解决超出我们想像更多问题的一门学科。人们可以认为，数学最真实的目的是定义能够预测将来行为的规则。在这一精神指引下，本章将考察波动率悠长而精彩的历史。展示给读者的有关波动率计量原理是指如何实际运用期权定价这一基本原理。

本章包括以下内容：

·波动率分析介绍

·在实际的期权定价中，如何估计波动率

·历史分析

·隐含波动率

·未来预测技术

下一章将讨论更多更复杂的波动率估计的问题，包括非持续性波动率、对事实进行调整的方法、敲定价格的波动率模型（众所周知的笑脸）和波动率是如何随时间变动（波动率的时间结构）的等。

波动率分析介绍

在对事件结果进行不确定性分析方面，人类经历了一个漫长而有趣的过程。一流数学家对时钟装置很有兴趣，认为所有的事件都遵循时钟中已定的规则，惟一的问题是找寻其运用的规则。当结果变得更复杂时，时钟装置需要制作得更精细以便满足要求，在简单的封闭系统下很容易完成这一任务。更重要的是，当要解决一个真正和紧迫的实际问题时，需要答案的那些人舍得花钱寻找答案。期权市场上的科学赞助人是职业博弈者。

让我们回首17世纪，无聊但富有的贵族花费大量时间赌博。一点也不用感到奇怪，大部分赌徒几乎将衣服也输光。那些成功的博弈者必定是通过不断试错找出了一种赢的感觉的人。但有一些人通过到别处博弈开发出一种系统的规则。吉尔拉马·卡德那（Girolamo Cardano）是第一个明了概率（基于他长期在牌桌上的个人经验）的人，并从中受益。明显的，当赌徒们赌得一切都输光时，有一些不愿学习的富人开始关心起赌博技巧来。这些不愿学习的博弈者之一，薛瓦利埃·德·梅里（Chevalier de Mere）在1654年建立了第一个“数量”研究部门，聘请著名数学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal）为其寻找博弈游戏中如何争取赢得更多的一些规律。帕斯卡与皮埃尔·德·弗马特（Pierre de Fermat）、克里斯蒂娜·赫吉斯（Christian Huygens）一起组成“研究团队”，三年以后发表了第一份标题十分贴切的数量研究报告，即《博弈中获得赢利机会的原理》。因为缺少复写工具或甚至依赖布告方式，如何获得赢利机会的原理传播得很慢。

然而，数学在博弈发展过程中起到了一个新的主导作用。一种新学科诞生了：概率数学。当拉帕斯（Laplace）在1812年发表了他的《概率分析理论》时，概率成为自成体系的学科。通过概率可以计量事件的主要思想，是理解期望估计、博弈和期权的公允价值的关键概念。

如果我们抛骰子（人们都知道，六边中每边都有小圆点的立方体，诸如博弈游戏和垄断这类基本人类活动必不可少的东西）。拉帕斯描述了从1到6的可能结果，即每边的概率都是1/6。如果我们要从抛骰子中计算出预期收益，需通过概率方法计算出每一种可能结果，而这一结果预期值是3. 5。任何抛过骰子的人都知道，实际上人们都知道，游戏特别是垄断游戏的结果时，上述做法是相当不方便的，因为移动3和一半的空间是不可能的。

1846年，阿道夫·奎特尔特（Adolphe Quetelet）通过描绘与事件相联的概率分布（P），继续了拉帕斯的工作。当我们抛一个骰子（A）时，第1边至第6边着地的概率都是1/6，表4. 1已对这点作了总结。图4. 1描绘了事件发生概率的分布。整个分布是扁平和均匀的。

图4. 1　单个骰子结果对它们的概率分布

表4. 1　抛一个骰子的结果

但当你抛两个骰子（A&B）时，会发生一些相当奇怪的事情。使用列出所有可能事件的拉帕斯方法，然后总结它们，寻找每一件事发生的概率，这样就产生了一个新的分布图。

表4. 2列示了抛两个骰子可能发生的所有可能的结果。人们能从第一个骰子中得到1，同时从第二个骰子中得到1或第二个骰子中得到直到6的任何号码。同样第一个骰子的结果也是从1到6的任何号码。综合分析所有的结果，可产生36种可能结果。当抛两个骰子的时候，要估计出发生的数值并确定预期结果的原理如同抛一个骰子的原理一样。

奎特尔特算出了各种可能结果的概率，明显的结果类似于一个正态分布（如图4. 2）。当他试着用其他系列数据时，可以发现图形是一样的：从一个村庄人们的平均高度到任何给定的果园中某棵树上的苹果数量。无论两件事是同时发生还是独立发生，无论每一件事件的分布如何，组成它们的图形都是一个正态分布。这一原理就是所谓的“中央限定理论”，这是一个很重要的定理，它同样可以运用到自然界和金融市场。

图4. 2　两个骰子结果的分布与它们的概率

表4. 2　抛两个骰子的结果

因为阿道夫更关注哲学而不是博弈本身，他的发现被用来证实“平均人的高度”的正态分布，而不是贵族们需要获得的更多的平均利润。

为了证实钱不仅是万恶之源，更是大部分研究的动力之源，我们需要继续1860年弗朗西斯·高尔顿（Francis Galton）的故事。他开始时是一个内科医生，后继承一笔遗产后立即离开医药学校。离开后他决定首先出去看看世界，然后研究概率（不用怀疑是为了弥补他花掉的财富）。高尔顿在研究概率中，首次使用了一个奇异的被称做是五点的工具，它是一块木板，在上面以同样的间隔距离画出五点，在一点上用钉子钉住它。为了取悦他的朋友，高尔顿习惯通过抛小铅球进五点顶部，看到底会发生什么。当球落下碰到钉子时，会以同样的概率滚向左边或右边。当足够多的球落进五点时，出现一个图形，它看起来如同一个正态分布。这可从图4. 3看出。

图4. 3　掉下去的球变成一个梅花状结果

读者可能会问期权价格是否也是一种正态分布。从第二章可以看出，布莱克和斯科尔斯模型中，累计正态分布函数N（d1）和N（d2）是估计期权的时间价值的关键因子。然而，这并不能证明为什么人们要选择正态分布。前述的定价模型假定之一就是市场收益总是呈正态分布，所以，建立在这样假定基础上的期权定价分析是可行的。

当然，布莱克和斯科尔斯教授研究了150年来各个领域中已有的相应理论。1828年植物学家罗伯特·布朗在他的显微镜下观察到花粉小分子的运动似乎是无规则的。这一不规则的运动就是著名的布朗运动。1900年，几乎完全被人忽视的伟大的露易斯·贝切尔（Louis Bachelier）发现布朗运动能运用到股票定价变动模型中。在第十四章，我们将再一次谈到他在这一领域的贡献。然而，1905年阿尔伯特·爱因斯坦开始研究与布朗运动相联系的热转移方程的概率密度函数。诺伯特·威尔（Norbert Wiener）更严格地对待这一进程，并在1923年将自己的名字与布朗运动过程联系起来。20世纪40年代后期，随机游走理论被运用到包括核能、通信和计算机等在内的各个领域。回顾这些历史，难道是布莱克和斯科尔斯模型错了吗？

关于正态分布的好消息是，人们只需要知道分布的预期价值（从拉伯斯）和在预期价值上下波动事件的分布如何计量。正态分布其他有用的特点是，分布是对称的，并能描绘随机事件的可能结果。要对标的资产不确定性结果和期权价格超过敲定价格的水平进行定价，利用正态分布就完全足够了。

估计事件的预期价值是容易的：事件的数量乘以事件的概率并将所有的概率值相加。然而，对分布进行计量是困难的。当对期权进行定价时，我们需要估计的波动率，就是熟知的变量或更常用的平方根形式计量的分布，即标准离差。

正态分布的估计

一般的，人们想要真正赚钱时，利用正态分布是没有什么实际价值的。那些看过电影《毕业生》的人记住了达斯丁·霍夫曼（Dustin Hoffman）关键的一句话是：“整形外科赚钱！”相应的，正态分布能赚钱吗？或许它真能赚钱。当人们看一张十马克钞票时（见图4. 4a），人们会发现数学家卡尔·弗雷德里克·高斯（Carl Fridrich Gauss）的图像。^[1]图像下面画的是高斯于1801年发现的正态分布图和公式。10马克钞票上的公式已经被我放大到能让读者更清楚地看清它（见图4. 4b）。在公式中，需要画出的正态（或高斯）分布是两个变量：预期价值和标准离差。

准确地说，什么是标准离差？它计量以标准方式表达的期望值（标准差）的离差。第一步是收集一系列数据和决定你的期望值是多少。例如我们前面讨论的抛两个骰子的情况，你可能期望得到一个综合值等于7点的结果。然而你可能得到的不是7（事实上你有5/6秒时间的机会）。通过期望我们如何确定分布？好，我们抛骰子50次并记录结果。从表4. 3能看到这一结果。

平均值是7. 06和分布预期在2～12之间。当结果是2时，与你预期之差是5. 06（就是2 - 7. 06），假如结果是12，它超过你预期4. 94（就是12 - 7. 06）。当我们要找出一个普通的（或标准）离差，我们必须找出所有的预期结果，加上离差，我们将得到什么结果呢？答案是0。表4. 3右边的第二栏列出了同样的结果。我们通过观察数量（50次）来推导结果，结果将是0，这意味着没有风险吗？绝对不！问题在于通过所有观察的平均数抽象出所有观察结果，依据平均数的定义，平均数以下是一半和平均数以上是一半，两者抵消，所以结果是0。

图4. 4a　稍微修改后的钞票10德国马克

图4. 4b　从钞票上得到的正态分布公式

我们更感兴趣的是远离我们预期的正的绝对离差。确保所有离差都是正数的一种方法是它们自己相乘（负的乘负的和正的乘正的都是正的）。结果是正的，然后除发生的数量得出我们预期的均方差，它通常被称做变量。这能从表4. 3右边最远的一栏看到。不幸的是，这一结果是平方单位。读者可能问骰子上的平方点是什么意思，或从图4. 4a看一个平方马克是什么意思。很清楚，假如你试图用一个“平方马克”支付饮料款，你将立即被赶出你邻居家的啤酒花园。怎么办呢？对上述结果开平方根，这样就又是正常的德国马克，就能直接与你的预期价值相比较。这一数字就是标准离差，它被列在表4.3中央底部，是1.973394465。标准离差公式如下：

表4. 3　抛两个骰子50次的结果

知道两个骰子抛50次的结果的预期价值和标准离差后，我们能够运用高斯方程画出一个加进一个抛了50次骰子的实际结果的正态曲线图，如图4. 5所示。读者也许要问：这是什么？假如这是一个案例，我要提醒读者，我们的目的是考察远离我们预期的标的变动率规则，在期权市场变动率就是波动率。正态曲线公式不仅告诉我们在任何水平上的预期发生数量，而且提供一个函数，它确定与单个点或整个可能结果范围相联系的概率。

图4. 5　两个骰子正态分布的概率范围

例如，从抛出骰子的分布结果可知，根据预期价值和标准离差将得出一个正态分布，它精确地告诉我们确定事件的概率或事件发生的范围。相当明显的，当我们抛两个骰子时，预期值是7，但预期值在7～9之间发生的机会有多大？当我们加进所有结果都是确定的这些例子，可以使用正态分布函数，得出预期价值是7和标准离差为1. 973，并能估计出总概率。能得出这一结果是基于这一事实，即高斯采用他的函数求解，并认识到整个正态分布的所有可能结果的总和是100%。鉴于预期价值是系列数的平均值，因此，可能事件发生在预期值之上和之下的概率都是50%。然而，当他开始看分布的其他部分时，发现（不用怀疑使用五点）事件以一个标准离差为标准在平均预期值上下移动的概率为67%，以两个标准差为标准上下移动发生的概率为95%。事实上，他制作的表包括远离标准离差的平均价值的所有变动。这能从图4. 5中看出骰子的分布与它的正态分布相对应。

所有这些意味着什么？在知道预期价值和标准离差后，你能发现在一个水平或整个价值范围内发生的概率。往回看第二章，读者可能还记得，看涨期权价格的时间价值的实质，是需要计算出标的价格（预期价值）大于到期敲定价格时的连续概率和标的价格将进一步下跌到期权的敲定价格的概率。再则，期权购买者是在计算了无限潜在获利的概率和期权固有的有限潜在损失的概率后，才付出资金购买期权的。

金融市场正态分布的问题

无论我们是否具有不确定性结果，正态分布渗透到整个世界是确定的。正态分布也能运用到金融市场吗？因为正态分布是对称的和连续的，它被假定可能的数据涵盖了正和负的无穷。这意味着标的资产价格或利率将潜在地会在0之下。很明显，这是不可能的。

解决的方法是将结果乘以对数函数，把实际价格水平或利率转换为它们的对数等式，这已在第二章介绍过。被修改结果的有用性表现在，答案被限定在0至正的无限。图4. 6展示了对数分布和正态分布的差异。

图4. 6　对数与正态分布

所以，很清楚资产或利率价格系列必定是对数分布（以使其值不低于0），而这系列的收益必定是一个正态分布，因为它们可能是负的也可能是正的。想必还记得以前说的，系列收益是潜在利润（百分比）保持无限大而最大损失被限定在减去100%，即是0。

实际上，这是不可能，因为当市场价格是0（或损失是减100%）时，在市场上交易的大部分人肯定将面对无限潜在损失的职业等式：他们将失去工作。但这似乎扯远了，下一章我们讨论波动率“笑容”时，我将介绍一个假设，即由于存在着有更低的敲定价格的看跌期权波动率连续地高于有更高的敲定价格的看涨期权波动率这样一种事实，市场忽视了存在潜在的标的价格到0这种情况（因而介绍一个有限的潜在损失）。然而，按照布莱克和斯科尔斯方法，假定存在有限的潜在损失，市场可能真正把潜在视为无限。

随机游走假设

现在基本介绍结束了，我们回过头来将这一方法运用到期权定价。当布莱克和斯科尔斯考察期权定价问题时，他们回到了有形世界。在第二章和第二章注解中，介绍了一个“热转换”方程是如何操作的。我们必须再返回到这里，仔细观察波动率如何影响期权价格的。

读者可能已经知道我常常因为这些公式觉得不愉快，因为公式常常将本意隐藏在导致更多的混淆而不是明白的变量和符号里面。尽管如此，下面这一公式仍然是很重要的，我们不能仅列出来就算，还应真正了解它，知道波动率实际上是如何影响期权价格的。

首先，让我们定义几个术语：N是由高斯发现的正态分布函数，z是标准正态分布函数，在这里均值设定为0，变量是由σ2乘时间（或t）。读者应当记得，在啤酒花园花费一个平方马克是不可能的事，所以返回到一个有意义的数值，我们必须对整个事情开平方根才有意义。如这样做，公式将稍微变动为：

因为z分布的中值是0，我们要关心的是变量乘以时间。因为变量乘以时间是以平方计量，我们必须开整个事情的平方根以返回到有意义的计量单位。这样做以后，我们需要关心的是标准离差乘以时间的平方根。仔细读了第二章的人知道，标准离差乘以时间的平方根是对期权时间价值的估计。对于没有仔细阅读的读者，时间价值存在的整个理论是d1和d2输入累计正态密度函数，N不同于当人们考察方程发现t与上面方程中Δt一样，然而关于后面这一公式，有些东西相当重要。

所以，对最后一个公式，我们用英语说什么？在方程中第一个因子ΔS/ S是资产价格的绝对变化，比如一股价格除以股份价格是绝对变化的，这是资产价格的百分比变化。例如，当S&P500指数价格变化从最后的报价（一个微秒前）是1. 5点和现行价格是430时，那么ΔS/ S等于1. 5/430或0. 00348837，即等于0. 348837%。

这里介绍了在股票指数水平上的实际持续百分比变动。方程式的目的是预测这一变化（即“=”信号），即为右边两个因子提供标的资产将如何随时间变化的估计。方程的第一个因子μΔt是简单的，它把资产价格的均值或中值变化乘以已经消失的时间数量。例如，假定S&P500指数平均每年上升10%，10%或0. 1是一年的预期变化。在两年内，变化预期将是20%，三年内将是30%，等等。

然而，人们说S&P500指数预期水平是今天的水平乘以由相对已经消失的一年期间相乘得出的平均变化的函数。另一种定义预期水平的方式是用现行指数水平除以代表相对于一年期长度变化的Δt。无论采用哪一种方式，结果都是一样的。为了让读者确信“怀疑的托马斯”，列出下面的结果：

预测使用μ的期望水平=10%乘以相对于整个期限的年数

预测使用μ的期望水平=10%除以相对于1年的期间长度

读者可以注意到，三个月代表一年的25%，也就是一年有四个三个月。当每一个例子中的结果是一样的时，我选择采用第二个公式，原因在于当我们讨论第二个因子时，公式更能清楚地说明问题。

明显的，当我们预测S&P500指数的未来价值时，结果将与我们的预期有差异。我希望人们对此很了解。我们需要计量实际结果分布的数值如何远离通过标准离差计算的期望值。在随机游走公式的第二部分，σ是S&P500指数收益的标准离差。

很清楚，预测离到期时间越远，错误将越多。换一种说法是，离今日水平的预测时间越远，实际结果将会越分散。与预测三年以后的价格相比，我相信能更准确地预测明天的价格。

假定S&P500指数收益的标准离差是20%。公式表明，预测错误结果与预测的时间不直接相关，但是与标准离差乘以时间的平方根的函数相关。要有95%的把握使可能的事情发生，正如我们前面讨论的，我们将需要两个标准离差进行检验。然后，我们必须从未来预期水平那一点上增加和减少这一数量。这样做将确定一个95%置信水平，获得的水平如下表。

预期使用σ的预测错误=20%乘相对于一年的期间数量的平方根

当我们把S&P500的期望水平作为时间函数，读者会看到，预期价值将以每年10%的斜率直线上升。另外，S&P500水平的95%置信区间会在同一时间同一点，读者知道，这一范围将比我们以前看到的更广阔。见图4. 7a所示。

图4. 7a　超马汀格尔过程

这告诉了我们什么呢？首先，我们期望整个时间段内S&P500是上升的，并且上升的数量等于我们期望的上升数乘以已经消失的时间。其次，离我们预测时间越远，结果中偏离我们预期价值上或下的错误越多。

让我们再一次回想类似的以同一行为方式操作的散弹猎枪射击过程。假如我们试图预测从散弹猎枪射出的子弹将如何分布在美国某一地区的谷仓门上的状况。设想你自己正举起枪，扣下扳机，子弹射出枪管击中谷仓门。子弹的图形将如何分布？或者换一种说法，预测单个子弹各自射向何方。结果怎么样呢？因为我有特定的目标。当我举枪对天射击时，预期射击点将垂直向上，当我举枪对地射击时，预测点将在我前面，当我举枪对下射击时，射击点将指向我握枪方向的门下边。这些就是子弹击中的点，也就是公式中的μ。

当然，子弹击中的点是分散的，不可能击中同一点。我举枪射向门上的子弹分布由什么决定呢？直觉上看，分布图取决于两个因素：枪管的长度和射击点距门的距离。

假如枪管很长，子弹分布点将是相当集中的，目标不是很分散。另一方面，假定枪管是用一个特制的锯齿状的枪管“芝加哥”牌制造的时候（枪杆很短，打算击中枪管前面的任何东西，是20世纪30年代暴徒们选择的武器），分布将是很宽的。假如我们有一支未经实质性修改的枪，决定子弹分布的关键因素将是射击点离枪口有多远。

当射击点离门只有一米远时，分布点将是很集中的。相反当射击点离门有十米远，分布点将是很分散的，当距离是二十米远时，分布点将更分散。最后，假如我站在离目标一公里远的地方射击，分布点将十分分散。当然，在一公里处射击时，子弹除了理论上能射到谷仓门外，实际上是不可能射到的，假如真的射了那么远，子弹将会射在门上各个地方，它将类似于小鸡啄食留下的痕迹，甚至有可能以鸡作午餐（假如在那突发时间发生了一些不幸）。

这个例子能为市场上随机游走公式提供些什么有意义的解释呢？可以解释任何东西。枪的目标是预期价值或μ。标准离差σ是枪的长度，子弹命中率依赖于射击点离门有多远，这就是随机游走公式中事件发生的时间，也就是期权到期时间。离发生的时点（比如明天）越近，越少出现误差。离预测时间越远，可能发生的与实际结果的误差越大。

读者也可以这样设想，射击后的分布不是线性的，都是集中的或很靠近我们的理想目标。然而，子弹分布将转回到我们瞄准时的预测点。作为到门的距离函数的子弹分布，将是曲线状，类似于我们在图4. 7a看到的图形一样。

依靠“目标”系列（也就是μ），将对随机游走作进一步分类。当目标曲线是向上倾斜时（或一个正的μ），这一过程被称做超马汀格尔（Supra Martingale）过程；当目标是朝地上时（μ为0），此过程被称为正态马汀格尔过程（Normal Martingale）；当目标是朝下时（μ为负），被称为亚马汀格尔过程（Sub Martingale）。第二步的两个过程分别被描绘成图4. 7b和图4. 7c。

读者可能有兴趣知道马汀格尔这个术语是从哪里来的。马汀格尔是鸟飞行时留下的一个混乱轨迹图，似乎是随机振翅形成的。然而，一些统计学家必定会对该如何描绘随机游走的过程显得束手无策，并对着茫茫天空寻找答案。在洛（Lo）的关注下，在他的祷告下一只渺小的鸟为他提供了答案。

图4. 7b　正态马汀格尔过程

图4. 7c　亚马汀格尔过程

再则，布莱克和斯科尔斯也假定这是一种标的资产分布，是公司股份的状态，他们还假定这是一个随机游走正态马汀格尔过程（见图4. 7b）。这也就是为什么他们假定将来股票价格等于它今天价格的原因。这也导致许多分析家从一开始就抛弃布莱克和斯科尔斯模型，因为每个人都知道在整个时期，股票价格是上升的。假如不是这种情况，将没有人会买入股票。当我的同辈美国俄克拉何马人威尔·罗格斯（Will Rogers）写出一篇气势恢宏的股票市场投资指南时，总结了这一基本原理：“股票投资是容易的，发现一个好股票时，买入；当股票上涨时抛出。一开始就不上涨时不要买入。”

然而，上述分析并不能说明布莱克和斯科尔斯方法无效。假定股市从长期看价格是上涨的，我们需要做的是运用股票市场上涨有超马汀格尔过程这一假定（见图4. 7a）。实际上，布莱克自己也认识到这一效果的重要性，这也就是为什么布莱克（1976）后来的价格模型使用资产的未来价格而不是现行资产价格的原因。在这种方法里面，未来价格被假定等于现行价格加上一些等于无风险比率的μ增长率。

为什么我花这么多笔墨于分布过程？如同前面说过的一样，因为所有的期权价格基于这一基本假设，也仅仅只有这样才能了解波动率。另外，读者会看到，下一章讨论的波动率估计问题，是在这一分布过程基础上进行直接假设再推导的结果。例如，我们都知道，当某人从谷仓门一公里远的地方开枪时，子弹将无法射到门上，简单的随机游走马汀格尔过程假定子弹将击中门。进而，假如某人在离目标100公里远的地方射击，模型仍然假定子弹能击中目标。当我在下一章讨论波动率结构问题时，思想上应坚持这一点（击中目标）。

作为标准离差的波动率

读者看到，随机游走模型能满足两方面的需要，即估计标的资产未来价值和估计发生在市场随机条件下增加或减少价值的范围。在S&P500所需要数据的例子中，中位数是10%，标准离差是20%。

如同前面例子中列出的那样，数量是以年为单位的，也就是在一年中百分比增长和离散是多少。与期权相联系的波动率数量是指一年内一个标准离差的价格变化（以百分比期限表示）。然而，因为大部分期权在不到一年的时间内交易，波动率必须从以一年为单位调整到以期权的生命周期为单位。

利息有效期内的波动率的调整涉及到考虑分布与时间平方根相联系这一事实。前面表格中已经为读者做到了这一点，那里介绍了S&P500离散过程。假定每年波动率是20%，设定我们对每三个月的波动率有兴趣，以20%除以一年中交易期长度的平方根可以得出结果。在前面的例子中，我们对两个标准离差范围内置信区间为95%的情况感兴趣，本例中我们仅对一个标准离差范围感兴趣，所以在这一例子中，三个月标准离差是20%一年中三个月一期），也就是10%。

要是我们对S&P500指数每日波动率有兴趣怎么办？假如每年波动率是20%，然后每日波动率计算也使用与上面相同的公式。这就是20% /一年内的交易天数），等于1. 26%，这意味着一个交易日内置信区间95%时，S&P500指数变动将不会超过它现在水平的2. 52%。在真实的数字中，假如指数是430，这将反映出结果范围是再加上或减少10. 84指数点。假如年波动率是20%，按星期计算，每星期波动率是2. 77%也就是20% /一年中的星期数）。我们不仅能利用公式将年波动率折算成日或星期波动率，而且也同样可以将日或星期波动率折算成年波动率。在本章中，当我们在分析整个时间内市场实际波动率时，这一点将变得很重要。

如果要从以日或星期计量波动率换算成按年计量波动率，需要以整个时期内的波动率乘以一年分析期内的数量的平方根得出。例如，让我们假定有一个纯粹的随机游走过程，即S&P500指数没有变动（一般的马汀格尔过程）。当S&P500指数今天收盘价为430，昨天是425，我们可以说指数从昨天到今天经历了1. 176%的变化［（430 -425）/425］。我们利用本章前面列出的标准离差公式进行计算，将得出预期中位数为0和实际变动为1. 176%，这是通过将其平方后除以N -1得出的。但在这个例子中，我们忽视了“-1”和除以N（本例中就是一日）。当我们开平方根时，我们得到1. 176%，这就是波动率估计。要发现每年波动率估计，我们可以通过乘每日的估计，得到年波动率是18. 67%。

当然，为实际的期权估计波动率时，很少有仅仅估计一日或一星期或一月到期的波动率的。更经常的是利用45天到期这样的时间估计波动率。从以年为单位估计的波动率如何调整到以45日为单位的波动率？一年365日中有多少个45日？答案是365/45。所以根据上面的公式，结果将是20% /或7. 02%。很清楚，这是不连续的，因为一年中的第一个交易日的数值常常用来估计波动率，然后在进行期权定价中需折算年波动率时，我们经常使用日历天数。实际上，这样是不连续的，因为45天日历天数内仅仅有32个交易日。假如我们要将这个波动率作为工作日的百分比，结果变为：20% /或7. 13%。^[2]读者看到，差异不是很大，只有离到期日只有几天时的期权，日历时间和工作天数的百分比差异才变得更重要。例如，假如一份离到期只有4个日历天数的期权，其中有三个周末日，差异将会很大，那就是4/ 365和1/252之差。否则，不需要太在意差异。

我希望读者不用担心他或她为了估计期权价格，认为需要换算所有的给定期间的特定波动率（反之，亦然）的年波动率数值。当利用基于上面随机游走假设的公式计算期权价格时，人们不用担心。第二章提到，期权价格波动率的影响会自动按期权到期时间进行调整。我们怎么知道的？期权时间价值的整个球的游戏中有d1和d2的差异，这个差异就是其中σ是年波动率是作为年百分比的时期的平方根。为期权定价时，波动率几乎总是以年为基础被引用。从定价模型可以认识到，波动率影响期权价格与整个期权生命期不直接成比例，但与以百分比表示的年的平方根成比例，这已显示在计算公式中。

我们已经花费大量时间和篇幅讨论标的波动率估计原理，而没有讨论如何将波动率估计输入期权定价模型。在我们做到这一点之前，必须说明的概念框架是定义波动率的类型。

波动率的类型

我们需要关心五种波动率的类型。它们是：历史波动率、季节波动率、隐含波动率、预期波动率和实际或即时波动率。波动率估计问题类似于人们早上出去工作时要面临并且需要解决的预测问题：需要带伞吗？人们是如何就是否带伞来做出决定的？^[3]

一种方法是看日历，查看过去年份的同一天是否下过雨。这是下雨的历史估计概率。它也可以是“下雨”季节时利用下雨的季节估计概率。另一种方法是看窗外情况，并看其他人是否带伞。假如我带了伞，预测下雨的理由是基于掌握更多信息的同事们隐含的估计行为。当然，我能打开收音机或电视收听收看天气预报。当我基于这一信息而带伞出门时，我使用的是天气预报估计。仅仅只有在带伞当天过后，才能确切知道是否需要带伞。这才是事实（或即时的天气预报）。

波动率估计也能采用类似的方法。假定未来是过去的延伸，从历史资料中可以估计出波动率。季节性波动率估计是假定波动率模型在一年中以固定点或一些基本规则重复。在商品波动率中这种情况经常发生，尽管有时也发生在金融市场。波动率隐含于市场上的期权交易价格中，可以使用统计技术的变动方法预测波动率。最后，实际或即时波动率是与一个标的市场移动相联系的实际移动，它仅能在事实发生后才能被完全确定。

本章后面部分考察所有这些概念的详细情况并告诉读者，为了得到期权合约的正确价格，如何利用这些技术估计波动率。

历史波动率的估计

前面已经讲过，历史波动率是基于过去的统计分析得出的，并假定过去是与未来相联系的。本部分我将讨论的关键问题是在估计中如何利用一系列数据，这有两种方法：在一定时间内资产价格上的百分比变化方法和对数价格变动法。我将考察估计中最合适使用的数据频率是每星期、每天、每工作日还是每经济日。另一个关键问题是历史波动率估计中使用什么样的样本期，以及确定历史资产收益分布时最终利用哪一种价格：市场收盘价、最高价/最低价还是开盘价/收盘价。

从原理上说，利用历史方法估计波动率类似于估计标的资产收益系列的标准离差方法。本章前面在计量骰子结果时是这样做的。当需要确定资产市场收益的标准离差时，我们根据一个既定的观察值确定收益、收益均值或收益中值，收益均值减去每一个观察收益，对所有这些结果进行平方，然后将它们加起来。再利用这一结果除以观察值（减一）开平方根。第一步是确定收益。

确定资产收益的方法

确定资产收益的方法有两种：百分比价格变动法和利用对数价格变动法。百分比价格变动法是相当容易的，利用下列公式就可估计得出：

例如在本章和下一章，我将利用伦敦国际金融期货和期权交易所（LIFFE）进行交易的意大利政府债券合约（BTP）的期货和期权合约得出实际市场数据。表4. 4a和表4. 4b列出的是期货和期权合约中的条款内容。

利用这一合约，现在我们将估计1994年4月20日到21日之间合约所取得的1994年意大利政府债券合约6月期货的百分比收益。4月20日，意大利政府债券合约6月期货在110. 64交割，在下一日以110. 51交割。运用上面的公式，得到：

0. 007863 =（111. 51 -110. 64）/110. 64

0. 007863×100 =0. 7863%

表4. 4a　意大利政府债券合约（BTP）期货

利用对数价格变化计算可有两种方法。一个方法是利用价格比率的对数得出结果，另一种方法是价格对数相减得出结果。这里是两个公式：

表4. 4b　意大利政府债券合约（BTP）期货期权

现在让我们通过采用意大利政府债券合约在4月20～21日的数据，来指导如何利用公式，结果是：

读者可以看到，利用两个对数公式计算的结果是一致的。另外，这一结果还与利用百分比变化公式计算得出的结果相似。两个公式结果的差异是相当小的，利用百分比公式计算的结果是0. 7683%，利用对数收益计算的结果是0. 7833%。

为什么结果不一样呢？这是由于当利用百分比收益公式与利用对数收益公式时，人们利用的假定不一样。百分比收益公式假定有固定的不连续间隔价格变化，而对数收益公式假定价格是连续的变化。这在原理上类似于计算利息时，规则间隔期的复利（百分比收益）和连续复利的利息之差。在布莱克和斯科尔斯模型中，假定价格变动是连续的，这可以利用连续利率因子e-rT将敲定价格换算成现行价格这一事实推导得出。所以，对于这个模型，对数收益公式是确定波动率的合适公式。

事实上，在大部分标的市场，我们都能假定价格或多或少是连续变化的，因而在估计历史波动率时，采用对数收益公式是更合适的。

利用对数收益公式进行历史波动率估计的例子

利用1994年4月20日至1994年5月18日的一个样本，我们能得出这个时期的意大利政府债券合约期货的历史波动率。表4. 5列示了这一点。左边第一栏是观察的日期，第二栏是1994年6月意大利政府债券期货合约的实际收盘价。再接下来第三栏是价格的自然对数，第四栏是这些对数价格的差异。这一栏的底部是所有这些对数价格的加总数，再下面是中位数或平均数，所举例子中的这一数值是0. 001264。利用这一数值，我们能计算出每一观察值与中位数差异，每一天的差异都反映在第五栏。从右边往左算起的第二栏是差异的平方。在这一栏的底部是这些离差平方的汇总数，这一数值是0. 000752。

数据下面列示了日变量，由离差平方和除以18（观察值19减1）得出估计值，这一数值是0. 00004176。日变量乘以一年的工作日（252天）得出年变量值（0. 01052322）。我们又遇到了与平方马克一样的问题，我们也弄不清一个平方里拉的意义。在开年变量值的平方根后，我们能得出标准离差，这就是这一时期的历史波动率。该数值列在表的更低一行的右下角，数值是0. 102582748，也就是波动率为10. 26%。应注意到这一波动率是发生在整个时期的实际波动率，且是在5月18日估计的。

这个估计无可怀疑地解决了在整个20天内意大利政府债券合约期货是如何分布的。然而，估计波动率不是我们的目的。我们试图要得到的一个估计是能被使用在4月20日到5月18日样本期之外的。我们要估计的是从5月18日期货合约生效至6月10日到期之间的波动率。需要计量的是波动率的估计中发生的潜在错误。考虑到这个问题，我们必须检查错误的潜在来源。

表4. 5　对意大利政府债券合约期货历史波动率的估计例子

波动率估计的错误来源

第一个主要错误来源是我们估计历史波动率时，选择的是20天为一期，没有采用典型的意大利政府债券合约波动率时期。它比正常波动率的更高或更低。另一问

题是我们试图预测的波动率也是非典型的。在系列数据的统计分析中这是一个基本问题，在这里整个时期内的系列数据是非合作的和变化的。这一问题就是众所周知的异方差性（heteroscedasticity），不幸的是，它听起来比实际情况更复杂。它的意思就是在整个时期内变量（或波动率）是不连续的。当我们介绍经济日的概念和利用这一信息预测实际波动率时，我们将就异方差性问题进行更详细的讨论。

第二个错误来源是我们有一个好的价格系列（也就是同方差性），但我们没有足够的数据来得出一个合理的估计。把这一问题想像成是盛满蓝色与红色球的闻名的大茶壶。当球被很好地混在一起，人们试图从中发现一个容器中的红色和蓝色球比例时，人们将不必倒空整个茶壶才开始计算，而能够通过取出一个小样本确定隐含比例是多少。这是我们面临的问题，然而这是一个尝试性的测试，它将告诉我们需要多少样本才会得出一个合理的估计。这个统计测试基于另一种被称做标准错误的统计。

标准错误只需估计，通过公式会得出合乎逻辑的一个肯定数量。标准离差（或波动率）的错误公式如下：

在意大利政府债券合约期货的例子中，σ估计值是10. 258%，过去估计得出的观察值是19。好，19乘2等于38。然而，38开平方根等于6. 164414。10. 258%的波动率除以6. 164414得到1. 664%标准错误。这一数值是指标准离差本身。它表明，当我们用一个样本来估测整个人口的真实价值时，我们将会出错。我们估计的波动率比真正隐藏在我们统计工具之外的模糊波动率更高或更低。你能如同对待标准离差一样对待标准错误并计算出概率。也就是当我们从估计中以一个标准错误往上或往下移动时，样本观察值大约是66%（假如我们反复地重复这一样本过程）。下面情况是对的：当我们有两个标准错误时，我们的样本估计大约为95%。所以，标准错误被作为标准离差的标准离差。

回到意大利政府债券合约问题：假如我们要信任每三次中的二次，波动率是在8. 594%和11. 922%之间。当错误的数值太高且我们必须使置信度达到95%时，真正的波动率应在6. 930%至13. 586%之间。当然，甚至在意大利政府债券合约市场，这都是一个广阔的距离，足够让一队卡车通过（指范围太广，译者注）。就潜在错误的程度，分析家也可以抛骰子确定，用23. 5乘这一结果并开立方根得出。这该如何解释呢？假定系列数据被很好地采集，即可以通过增加更多的观察值来减少统计样本错误。假定意大利政府债券合约系列中，我们用1000个观察值代替19个观察值。假定同样的波动率估计，我们新的标准差将仅仅是±0. 229%（10. 258% /当然，统计学家现在很高兴，但意大利政府债券合约分析家将面临更大的问题，因为1994年期货没有1000个观察值。另外，即使有这么多观察值，还会有一个严重的概念问题：把意大利政府债券合约的四年前的价格变化看成重要因素来估计如昨天的价格变动的波动率，这样做是否合适呢？可能不。

历史波动率估计的数据频率

现在提出了一个值得讨论的很好的问题。估计历史波动率使用什么数据频率呢？使用工作日、日历日、星期、月份或季度？理论上，假如系列数据取得合理，结果就会等于我们的估计。当结果完全不一样，“警钟状”开始消失吗？当我们取得的系列数据不理想时，我们必须相当仔细关注时间系列世界的这些“peccatori”（“误解的”意大利语）。

看看当意大利政府债券合约是“Saints”（圣徒）或“peccatori”（罪人）时，我们再一次看看1994年6月期货的时间系列数据。这次我们从它的生命期开始看：1994 年1月4日直至1994年6月10日期货最后到期日。在图4. 8a、4. 8b和4. 8c中，我已经利用所有交易日介绍了每年波动率估计，星期一到星期一，星期二到星期二，星期三到星期三，星期四到星期四，星期五到星期五，最后是在每两个星期（星期三）意大利政府债券合约价格之间的差异。读者能看到，结果是不一样的。甚至当人们控制了很少的一个星期和两个星期样本期间（与每天的估计相比），波动率估计也是不一样的。在这一点“警钟状”会消失。

图4. 8a　按日估计的BTP期货历史波动率

图4. 8b　按星期估计的BTP期货的历史波动率

图4. 8c　按双周估计的BTP期货的历史波动率

人们能做什么呢？要使统计误差最小，要获得一幅更清晰而连续的图像，大部分分析家（和我自己）尽可能利用一个样本期作为频率，这意味着至少是应按每日数据。很清楚地，波动率估计问题不仅仅像决定一个茶壶中彩色球的百分比那样简单。或者它是只取决于这一点？要回答这一问题（读者不用奇怪而应感到高兴），我们要弄清楚稍微多一点的东西。

既然我们已经决定将采用一个更小单位的每日数据，下一问题是选择天数。假如我们选择日历天数，是否要特别考虑市场上开盘日和发生重要事件的特定日子？要回答更多这类棘手的问题，需要我们搞清楚那些天究竟是指什么日子。

日历天是已过去的波动率估计日的实际值。交易日是运用标的工具（我们正在估计波动率）交易的那些日子，简单说，它等于日历日减去周末和节假日。最后，我们定义一种新的称为经济日的新种类。当某日发生一些重大事件时，标的市场价格变动大于平常日价格变动的日子，这样的日子称做经济日。

首要的事情是，在估计标的资产波动率时，我们应当如何使用日历日或交易日？我认为交易日是能观察到的，我已经将日波动率换算为年波动率，反之，亦可利用一年中的交易日数值转换。可能读者仍然要问为什么是这样。

假如你相信市场情况良好，那么波动率在整个时期内多多少少会处在同一水平。波动率发生的任何变化，完全是由已经变化的市场如何评估资产风险这样新的随机事件而引起的。许多投资者发现，当市场收盘时，明显地市场价格停止变动。进而，在大部分情况下，当市场再开盘时，价格将会再一次发生变动。这类似于当你正在家里看影碟时，迫切想尽快看完，以便再看新的影碟。当你看影碟时，要做的就是按在“暂停键”上，就可以去玩五点。只要你在影碟上没有设定一个不正常的时间限制，那么在你不再玩“五点”游戏想再看影碟时，电影将在你按的“暂停键”的地方重新开始放影。然而，坚信市场具有有效性的许多学者认为，使波动率发生变化的事件会在包括周末在内的整个期间不间断发生。

我的两位同事芝加哥大学的尤金·法马（Eugene Fama）和肯·弗伦奇（Ken French）教授，^[4]测试了市场开盘和收盘时的资产波动率是否一致这样一个重要问题。他们沉湎于分析美国股票价格，并利用收盘价来确定两种股票价格收益系列的变量。第一种变量是包括假日和周末在内没有间断交易日的变量。第二种变量是包括星期五交易收盘至星期一收盘之间的变量。假定有些学者认定的整个时期内发生的重大事件都会引起波动率的变化这一说法是正确的，那么第二系列的变量将比每日对每日系列的变量大三倍。这是因为在星期五至星期一收盘之间间隔有三天，而星期一至星期二收盘之间间隔仅有一天。法马发现前者比后者的变量不是增长300%，而是仅高出22%，French发现变量仅高出19%。然而，两人研究的结果都对连续波动率假设提出重大质疑。

结论是市场开盘时，标的资产价格的波动率大于收盘时的波动率。学者仍然认为影响股票价格的相关信息在交易日就已释放出来了。当然这可能是真的，我们可以用另一种标的资产测试这一影响，不仅在市场开盘时释放信息，而且是一年到头都在释放相关信息。这是哪一种标的资产呢？商品。这些资产受各种因素影响，其中最重要的因素是天气。假如天气预报仅仅发生在商品期货交易日，股票也存在同样的问题。然而，这明显不是事实，天气在整年都发生。^[5]

由法马引用的商品价格系列方法被弗伦奇引用到股票中，结果显示出这一方法很有效。当市场开盘时，股票的波动率是很大的。即使关于天气的新闻，一年中的每一天都释放出同样的信息，但周末释放的信息仍然会使星期一价格发生震动。

惟一合理的结论是，由于市场和交易引起波动率变化而导致价格发生变化。更清楚的是当没有人买入和卖出期权时，期权价格将永远不会发生变化，因而波动率是交易和开盘时价格的函数。当我们估计历史波动率时，我们尽可能使用更多开盘时的观察值。

关于历史波动率经济日的影响

有关实证结果和常识告诉我们，在进行历史波动率估计时，应当仅仅利用工作日观察值，我们能假定这些工作日与非工作日的波动率是一样的吗？更正式的说法是，在整个有效期内波动率都是一样的吗？常识告诉我们，它们是不一样的。当市场根本没有发生变化时，某些日子的市场变动会超过其他日子的变动。人们可能会就此得出结论，在整个时期内，波动率处于同样的水平，但有时会有相当高的波动率。我们将一些影响资产价格的重要事情发生时波动率高的日子称为“经济日”。很明显，大部分时间市场波动率是较低的，因为重大的“经济日”不经常有。然而人们期望整个时期内，所有这些个人的观察总结会得出实际波动率。要了解和预测波动率，实际变动和潜在变动问题是关键。实际上，同样的问题存在于与能量相关的物理学上。

物理学的基石之一是能量守恒定律。每一物体都有一种或其他种形式的给定数量的能量。一种物体既有势能也有动能，但这两种能都会增加物体的总能量。例如，考察一块山顶上的鹅卵石。当它躺在山顶时，它没有动能但它有100%的势能，它可以借助势能滚到山底。当鹅卵石开始滚下山时，势能转化为动能以至于当石头到达山下时，动能达到100%而再没有势能。同样的原理可以运用到波动率，我称之为波动率的守恒定律。

我认为，在期权到期日，能够确定一个实际的波动率。在到期日之前，每日的波动率或是实际风险费用（导致一个波动率更高日），或将保持一个潜在风险费用（由于波动率较低日）。无论如何，真正波动率的绝对水平是不变的，它将是一个实际和潜在的波动率的混合物（如同能量一样）。在估计历史波动率中，我们必须考虑从实际转到潜在波动率的数值。然后，应当考虑标的资产的未来变动的波动率预期，波动率观察值越高，潜在波动率越大。实际上，这需要分析家计算整个时期内“正常波动率”和“高波动率”的天数，并根据波动率守恒定律调整他的估计。为获得一个更好的预期，计算观察值过程不是一种新方法，特别是当考虑不确定结果的其他情况时。这方面最直接的例子是布莱克·杰克（Jack）卡片游戏中的获胜规则。

布莱克·杰克（也就是21点）是一种流行于世界许多娱乐场所的卡片游戏。游戏规则很简单，庄家抽出两张牌，自己一张游戏者一张。一张牌正面朝上，一张牌正面朝下。游戏目的是手上的所有牌的点数加起来尽可能靠近21点而不能看牌。游戏者知道自己有什么牌，但仅仅知道自己的一半。然后他按他手上的牌的点数赌庄家的手上牌的点数的概率。当他的手上牌的点数值在21点以下，他需要再抓更多的牌给自己，但当他的牌的点数超过21点时判他输。游戏者需要评估的是庄家握有的没看见牌的点数的概率，当他从庄家手中要另一张时，他要猜测摸到的牌的点数的概率。

要评估概率，他设计牌的点数并按牌的数值将牌混合在一起。因为所有的J、Q、K和“十”的牌面数值都是10，他综合这16个“10”的牌。他有4个“A”，按游戏者的希望可以是11或1，其余的牌的数值是从2到9。然后，他开始计算概率。摸到“10”的概率是16/52即30. 77%，摸到任何其他牌的点数从2到“A”的概率是4/52即是7. 69%。在布莱克·杰克牌游戏中，赢得牌的基本逻辑是尽可能摸到“10”或“A”，而不要摸到可能让你输的低面值的牌。假定一副52张牌的扑克牌中只有20张用来玩，且都是低值的牌，那么摸到“10”或“A”的概率已经改变。事实上，摸到“10”的概率已经变为16/32即50%，摸到“A”的概率是4/32即12. 5%。然而，游戏者现在有一个更好的概率估计，正面朝下的牌是庄家，假如他要求另一张牌，他最可能摸到的牌是什么。结果是不能肯定的，当他比游戏开始时能摸到更好的点数“高”的牌时，游戏者将会有更好的机会。惟一肯定的是，当所有52张牌都可用来玩时，将会有十六个“10”和四个“A”。这是布莱克·杰克守恒定律。同样原理可以运用到“波动率的守恒”。

假定下一个260个工作日（大约一年）的预期波动率是20%。那么3/4的时间或195天的市场波动率是正常的，而1/4的时间或65天的市场波动率会更高。然而，像布莱克·杰克牌之类的游戏一样，我们期望65天的波动率处于高位，195天的波动率处于低位，但我们不能肯定什么时间。我们能确定的一件事是正常日和波动率高的日子的波动率，加在一起不必等于整个时期的总波动率。假定正常波动率天数占总天数的10%，高波动率天数占50%，意大利政府债券合约的整个波动率等于20%，我们能很简单地估计出整个分析期内，两种天数各自所占比例。这样做坚持了波动率守恒定律了吗？

在这个例子中，它是遵守了这一定律。但这具有欺骗性，因为这里我们知道综合波动率、正常波动率和高波动率等所有变量。不过，当人们考虑可以利用历史波动率来确定这些数值时，这不是完全不合理。

从逻辑上说，从过去数据中估计历史波动率时，数据是正常日和波动率高的日子的数据的混合体。当分析家预测未来波动率时，他不应如此草率。他必须调整他的未来预测，这一预测是基于整个样本期内“经济日”发生的数值得出的。当他计量已经发生的“经济日”时，他将在把握预期未来“经济日”的数值时有一个更好的感觉。明显地，预期的“经济日”越多，估计未来波动率更高，“经济日”越少，预期波动率越低。

进行这样的考察首先要弄懂肯尼斯·莱昂（Kenneth Leong）1992年在《风险杂志》发表的一系列文章。^[6]他认为当披露经济数据时，预计标的资产价格将会发生变化。人们认为，由于披露经济数据和诸如此类的数据，预期波动率将发生变化。

莱昂先生举了一个相当简单的例子：三日中有两日是正常日，波动率是15%；一日为经济日，波动率是30%。他画了一幅按每日计算波动率的图，图的最高点是在第二日，这从图4. 9可以看出。

图4. 9　正常日和经济日波动率

然而这里发生了波动率估计问题。整个三日的平均波动率是20%，即2/3× 15% +1/3×30%。尽管从数学的角度看，这样计算是正确的，但很明显，应当保持两天不变的波动率在一天后就不再是20%而是上升到22. 5%，即1/2×30% + 1/2× 15%，在最后一天因为波动率高的日子已经过去了，预期波动率将仅仅是15%。这种方法显然优于波动率是一个连续20%的方法，就如同Blackjack游戏中，与假定的一个连续概率相比，出连续牌是一种更好的技术。莱昂先生的文章是非常优秀的，它提出了什么是经济日和人们应当如何预测一个未来的经济日。

要确定的惟一事情是在整个时期内，既不连续又不一致的波动率情况。当经济处于发展阶段，波动率应当是高的。当经济处于低潮时，波动率应当是低的。但人们如何计量经济事件呢？第一种方法是看时间系列的数据，发现哪些日子波动率较高。利用记录的价格差异计量每天的观察值，再乘上，这样做是为了1993年5月25日至1994年5月4日的意大利政府债券合约期货。读者能从图4. 10中看出这点。波动率较高点的所在日是经济日，再回头看这一天发生了什么。我的逻辑是这样的：假如披露经济数值或召开银行联盟（Bundesbank）会议或拍卖意大利政府债券合约会引起波动率增长，那么我所要做的是确定它们在过去引起过什么效果，然后利用披露日的经济数据预测未来波动率，银行联盟会议和意大利政府债券合约拍卖会发生在整个预测波动率时期，然后计算波动率如下：

正常天数的数值×正常波动率+经济日的数值×经济波动率

很清楚地，引起高波动率的经济事件似乎没有一般模式或一致性。它显得很随意，不得不尝试另一种方式，这就是运用波动率守恒定律。

再看一下图4. 10，我觉得只要按一定的概率经常出现，是什么引起高波动天数无关紧要。所以，我强加上一个25%的概率。日波动率数据按最低到最高结果排列，第180个观察值之下的结果是“正常”日。因为历史分析期间总观察值是240日，180代表所有观察值的75%（或3/4）。所有排列在第180以上的观察值（有60个）被分在波动率高的日子里。读者从图4. 10中看，日波动率10%之下有一条直线（实际是9. 6138%），它代表正常和波动率高的日子的观测值之间的区分线。^[7]读者从图形中能很容易区分两组数据。现在我们做一个有趣的事情：我们利用这一信息，预测5月5日到意大利政府债券合约期货的到期日5月20日的未平实际波动率。当每天进行交易时，可通过利用意大利政府债券合约的正常的历史估计、经济波动率和“计量卡片”，来预测未来实际波动率。

问题是一样的。我们需要预测5月5日至5月20日到期日的实际的意大利政府债券合约波动率水平。我们假定在这12个交易日中，波动率高的日子占25%，正常日占75%（或波动率低的日子）。再则，我们需要确定经济日发生的平均波动率（这就是上面描述的最顶上的60日的简单算术平均），以及确定正常日发生的平均波动率。经济日波动率高达是16. 326%，正常日波动率的平均波动率是4. 077%。最后一步是通过加权计算波动率，预测样本期的经济日和正常日天数。这样做，我们能得出预期将在整个时期发生的实际波动率预期。

图4. 10　BTP期货合约的日波动率

当然，明天来临时，我们知道今天是一个经济日或者不是，如果实际波动率下降到现在的3/4即9. 6138清算点以下。事实上，随着时间推移，每天计算波动率预期时，都要考虑过去的经济日和正常日。让我们看5月12日，从12天的起始日算起6天已经过去。当我们看每天波动率时，有两日（第六日和第十日）的波动率在9. 6138这一标准线之上，应将其作为经济日。从未来估计看，这些日的波动率必定下跌。其他4日是在标准线之下，所以将其作为正常日。表4. 6列出了加上预期波动率后，每日被评估为正常日或经济日的结果。假定某日被评估为正常日或经济日，然后得到一个“1”否则是“0”。现在我们预测5月12日，距合约到期有6个交易日，其中正常日有5天，经济日是1天。下面是我们的预测：

表4. 6　BTP期货波动率预期例子

读者从表4. 6可以看到，这样一项工作须每日进行，这在波动率预期一栏中能看出。波动率预期右边一栏是有效波动率，是从那天至5月20日整个时期意大利政府债券合约期货发生的实际波动率。当然，这只能在5月20日以后计算，以系列表现实际“真的”波动率是什么。

最右边一栏是隐含波动率，它是计入期权价格的实际波动率的市场预测。本章后面部分将广泛讨论这一概念，它足以说明这是市场存在的“机会”，而不论预期波动率怎么样。一个重要的事项是，波动率预期同实际波动率之间的精确程度如何，或隐含波动率作为实际波动率存在怎样的不足。图4. 11按时间编制的波动率序列可以清楚地反映这一点。

图4. 11　隐含波动率、预期波动率和有效波动率

当三个系列的波动率向着同一方向波动时，隐含波动率比市场上的实际波动率更高。这一发现与其他实证研究一致，这一点将在第十章介绍，在那里将介绍隐含波动率似乎超过发生的实际波动率这种情况。与真实情况相比，预测系列几乎是太完美了，与实际波动率相比，它如同手套一样合适。作为一个受过专业训练的统计学家，我相当担心“过于合适”的系列，于是做了一些测试以证实这些结果是可能的。我们实行的所有统计测试表明，预测结果不是一个侥幸得来而是统计学的杰作。然后最终的测试扩大到预测另一时期，这被列在图4. 12上。

图4. 12　一个长时期内隐含、预期和有效波动率

当预测变得不再准确时，读者可能看到预言失效了。进而，正常统计分析的结果仍然表明，在对实际波动率预测方面仍然取得很大成就。

一个问题是，市场波动率不像一副52张牌的扑克，扑克牌总有16张“10”的牌。在市场上可以有比你预期更多或更少的经济日。实际上，市场波动率存在有规律的变化，这意味着游戏的性质和概率已经发生变化。直到游戏结束时，你才会知道规则是如何发生变化的。让我们回到Blackjack游戏，在游戏中我们预期有4张“A”用于交易，而实际有5张“A”用于交易时，我们知道这时发生了一些错误。假如在样本期间，我们一个接一个地获得经济日，分析家可能会运用简单的统计规则察看是否概率在合理范围之外。但要记住：与简单地抛标枪在板上相比，波动率估计是在概率上用一个更准确的猜测提供给分析家。扑克牌游戏者不可能在每次游戏中赢，但他们有一个边界，以至于一旦发现有一个总是赢的扑克游戏者时，他很快会被护送到门边，要求他离开走人。游戏需要的人是这样的：他有一个合理的赢的概率。在波动率的估计中，交易者必须尽可能地利用机会，如同扑克游戏者在Blackjack游戏中一样。好消息是当预测波动率比他的对手好时，交易者将不会放弃期权。

（1）估计历史波动率的目的是预测未来波动率水平；

（2）许多观察得出的结果在统计学上是很精确的；

（3）认为交易日与日历日是相对立的；

（4）波动率预期必须考虑计量正常交易日和经济交易日的差异。

下面，我们将考察历史波动率估计中的其他关键问题，包括估计样本期间，利用交易日期间的价格来计量波动率。

历史波动率估计的样本期间

假如认定标的资产“真的”波动率是连续的，那么样本期间和估计的频率是不相关的。但这个例子不能说明什么问题。本章前面已经证实，每日、每星期和双周的波动率估计之间都存在差异。另外，事实上由于存在正常日和经济日，前述估计的波动率是不一样的，这意味着分析家必须仔细选择估计期。

分析家需要非常精确计量历史波动率，以便满足波动率预测技术的大概要求。我们知道，为了减少预测的标准误差，可以增加估计期样本数量，剔除那些过时以至和现在没有任何相关性的数据。

分析家在估计历史波动率时，有三种方法选择样本期间。第一种选择方法是利用过去一年的交易日，采用更长期间的波动率。第二种方法是采用一个更短的样本期，例如30天或90天交易日。第三种方法是采用过去期间等于分析家要预测的将来时长。例如，分析家希望预测下一45天的波动率，他将看上一个45天的历史波动率，仔细调整发生于本期的经济日和正常日的历史波动率。假如分析家分析时发现，所有三个样本期和合成波动率（也是正常的经济波动率）几乎是一样的，他可以认定，这一资产在整个时期的波动率可能是稳定的。由于需要估计的标准误差更小，选择的估计期将更长。

因为利用三个样本期计算得出的结果总是有差异的，大部分分析家喜欢利用基于更常用数据的期间，或与整个预测期相当的期间进行计算。再则，所有这些波动率估计，将在经济日预测要发生某一事件或发生其他预测事件时（如选举、披露公司业绩或其他预测的经济事件）进行调整。

另一种确定样本期的方法是，从波动率水平永久转化为一些更长期波动率或均值的波动率守恒原理中得出样本期。在这种方式中，分析家需要调整大部分现行波动率估计，波动率期限越长，期限均值更长。这可通过计算各种期间的波动率估计得出合成波动率。

例如，假定过去一年意大利政府债券合约期货的长期波动率是7. 140%，过去10天意大利政府债券合约期货波动率是9. 256%，过去65天是10. 276%。分析家要预测未来30天、65天和100天的波动率。假定这是一个包括正常日和经济日在内的合成波动率，我们将以不同方式合成这三种预测数字，合成方式包括利用每一过去波动率时采用不同分析数值，这被称做加权：

不幸的是，认定意大利政府债券合约市场波动率时，有时出价与报价之差达到2%，这样做是相当不严肃的。但对大部分有效市场来说，这样做还是可行的。读者必须认识到对于长期、中期和短期波动率的加权值并不总是等于1/2或1/3或1/4，它应由统计分析中进行加权得出的将来可以验证的实际波动率最小误差情况来确定。

意大利政府债券合约期货波动率预测分析中，我们经常利用长期历史波动率，这其中又分为经济日和正常日波动率。当然，不同时期的波动率差异是一条分析线索，表明分析家需要分析的内容已经发生变化。在波动率预测中，不同的波动率特别是短期波动率，如同Blackjack第五个“A”交易的结果。

在历史波动率中最后一个将讨论的题目是，交易日应利用哪一种价格估计波动率。

利用哪一种价格估计波动率

在大部分情况下，历史波动率估计中使用的价格是每日市场的收盘价。但这不是惟一能使用的价格，许多市场，如外汇市场是没有收盘价的，此时我们如何得出类似美元对日元这样的收盘价呢？

在历史波动率估计中，一种替代方法是不利用系列数据的收盘价，而是利用交易当日的最高价和最低价。1980年帕金森（Parkinson）第一次描述了这种情况。^[8]帕金森教授不是一位金融经济学家而是一个物理教授，他利用一种众所周知的微分离散估计技术。在他的公式中，利用最高和最低的价格估计历史波动率：

帕金森方法比用收盘价估计历史波动率准确5～6倍（从统计观点看），这就是这一方法的优点。这意味着分析期减少了80%而精确度没有降低。这一方法的缺点是分析家必须评价真正高或低的价格，而不能简单利用开盘价或报价率。

许多市场，诸如外汇市场，估计历史波动率时，上述方法是惟一合理可行的方法，因为外汇市场不存在收盘价。

许多市场比如外汇市场，假如利用高价或低价数据可以更多地改进估计的精确度，为什么其他计量方法不能也采用这一方法呢？事实上，这一方法能用在包括由斯坦·贝克尔斯（Stan Beckers）^[9]组成的高价/低价及收盘价格方法和由利用高价/低价及开盘/收盘价格的加曼（Garman）和克拉斯（Klass）方法。^[10]尽管这些方法不是太复杂，鲍尔（Ball）和托劳斯（Torous）还是运用多元回归方法。^[11]

所有这些方法能保证估计出复杂的波动率预期，值得了解。然而，无论人们在历史波动率估计中采用什么方法，人们必须明白，历史波动率估计和实际波动率一致时，才能证明这一方法是好的。另外，当预期波动率不同于市场一致性波动率时，这种预期能使交易者赚钱。本章后面当我论及隐含波动率时，也将讨论什么是一致性波动率和它是如何计量的。

季节性波动率的估计

许多市场，特别是农产品市场，天气对季节性波动率影响是相当明显的。农产品收获之前，波动率增长；收获之后，波动率下降。例如，有一个冰冻橘汁的期货：在一月和二月期间，霜冻会对佛罗里达的橘汁供给和价格产生重大影响。本书后面讨论波动率交易时，我们将考察咖啡期货。1994年，巴西恶劣的天气使一个原本正常而驯服的市场变成一个狂野的快活野兽（市场混乱无序），当时，由于霜冻，巴西的咖啡作物市场受到影响。

很显然，当估计这些种类资产的未来波动率时，分析家必须考虑上述因素。图4. 13列示了冰冻橘汁期货作为一年中月份的函数的历史波动率范围。

对于这个图，我们回到5年前和按月份估计实际波动率。然后我将五年期月份糅在一起，比如所有五年中的一月份的波动率累加在一起，以此类推。随着期间分割成日历月份，我通过整个五年期间已经发生的日历月份中的具体情况确定最高波动率、最低波动率和平均波动率。最后，这些波动率是作为整个一年日历月份的函数。读者可以看到，平均波动率和差距是不连续的，但整个一年都在发生变化。估计这一资产波动率时，肯定必须考虑一个循环模式。二月和七月是最大和最小月份波动率中，差距最小的两个月。从九月份开始，差距变大直至十月到达它的最高点。另外，这一时期中的实际平均月波动率在每年十月也是最高点，八月是最低点。为什么是十月呢？因为一年中十月是关键月份，这时橘子正在生长，并最容易受到天气的影响。

图4. 13　一年中以月为基础的冰冻橘汁波动率

发生的另一季节波动率的有趣模式是金融市场闻名的经典笑话：“猪肚”。图4. 14展示了同样类型的“肚子”季节性波动率。

图4. 14　在一年中以月为基础的猪肚波动率

每年6月至8月和2月至4月两个时期的波动率是很有趣的。在5年历史中，除上述月份外的其余月份的最大、最小和平均波动率之间的差异是不一样的。明显地，最高波动率发生在8月，而最低发生在12月。我曾经想知道：为什么“肚子”在8月变得疯狂（8月波动率最高）？幸运的是，我一度在芝加哥商品交易所工作，在那里进行“肚子”交易，所以很容易求教于专长于肉类的农业经济学家，从“马口”得到它。为什么“猪肚”在夏天变得如此剧烈波动，是因为八月份许多人利用“肚子”制作熏肉，所以需求达到顶点。很正规的芝加哥商品交易所会告诉你，在夏天需要更清淡的食物刺激了咸肉的需要。当你私下同有关人士谈话时，你会得到真正的答案：与任何其他时间民间野餐消费相比，八月会消费更多的咸肉、莴苣和西红柿三明治。

当你想到季节性时，有一件事是能肯定的，那就是冬天冷而夏天热。你期望商品与这件事联系在一起，并且循环不再结束：当然这些商品对于保证我们冬天的温暖有用，在世界主要地区，用于取暖的燃料是汽油。图4. 15列示了纽约商品交易所交易的一年中以月为基础的燃油期货波动率分布。^[12]

图4. 15　一年中以月为基础的燃油波动率

毫不奇怪的是，从夏天直至十月份，燃油的波动率是一年中最低的，然后波动率开始受到冬天天气变好或者变坏的影响。三月份冬天过去后，波动率开始下降到十月份达到最低点。

所有的这些意味着什么？当分析家试图预测商品期货波动率时，他确信整个期间波动率是不一样的。当他作出预期时，必须考虑季节性因素。例如，燃油的年波动率大概是25%，而十二月或一月期权的波动率肯定高于年平均数。假如需估计七月至十月的波动率，则估计低于25%的年平均数。要成功预测波动率，分析资产波动率的季节行为是关键。当估计商品的波动率时，很清楚地必须考虑季节性因素，一个必须考虑的棘手问题是：季节性因素也影响了金融资产吗？答案或许是，也或许不是。图4. 16列出了一年中标准普尔500期货的实际每月波动率。

图4. 16　一年中以月为基础的标准普尔500波动率

分析期从1989年8月到1994年7月，在这里每月结束时，我估计当月的实际波动率已经产生，在5年内每月都是这样。再则，所有的月份被合在一起，所以，对于每一月来说最大的、最小的和平均的波动率都是确定的。在图上已经显示出这一点。在商品市场已经清楚地观察出，似乎不存在同种季节性行为。由于1991年8月俄罗斯发生变革和1989年10月的微小动荡，因而8月和10月波动率更高。波动率平均水平不同，但在一年内不明显（至少统计学上）。所以明显地，标准普尔500期货波动率与每年按季节显示的循环没有紧密的联系，但这并不意味着标准普尔500不会受其他种类循环的影响。

例如，我们回忆前面人们健康保险的例子，健康对单个人的影响是，个人越生病，保险费越高，申请人身体越好，保险金越低。在金融市场是否也可以这样说呢？但是应如何计量经济的健康程度呢？答案是：以国民生产总值增长作为衡量指标。经济循环的定义是：经济繁荣时，国民生产总值增长，国民生产总值负增长时，经济是衰退的。

回到1983年，我写了有关波动率分析的第一篇论文，把美国股市的实际波动率作为商业循环的函数。也就是，波动率估计的分析期分为增长期和衰退期，有衰退期和在衰退期结束后同样长时期的增长期。我完成了对1970～1981年所有经济循环的研究，发现一个很奇异的结果：当经济增长时，波动率是低的；当经济衰退时，波动率是高的，且波动率经常上升到50%。在衰退结束后经济再一次复苏时，波动率又回到原来的低水平。这种情况发生在整个商业循环周期。

从1983年起直到本书1991年第一版出版，没有出现另一个完整循环，所以不可能测试一个新的商业循环。这对研究来说是幸运的（但不幸的是那些遭受衰退影响的人），另一次美国衰退发生在1990年，早期研究的预测被证实。对于从1989年6月到1990年6月一年的增长期，实际标准普尔500波动率是14. 19%。从1990年6月到1991年6月的衰退期，波动率上升到17. 11%。然而，从衰退到恢复的1991年 6月到1992年6月，标准普尔500波动率回落到12. 14%，这一结果可以从图4. 17看出。

图4. 17　作为商业循环函数的标准普尔500波动率

这意味着其他季节或循环因素将影响金融资产，如同天气变化将影响商品一样。但对所有的波动率预期，利用同样方法作出预测是重要的。所有波动率是未来价格水平的不确定性反映。越不确定，风险越大，并将导致实际的波动率越大。

我们将通过考察市场上隐藏在今日期权价格中的未来波动率的一致性，完成本部分的论述。

隐含波动率的估计

未来波动率的所有估计技术，最通行和直观的是隐含波动率。在第二章我们注意到，隐含波动率是指从今日直至一个特定的期权系列到期日的市场观察到的风险。要确定隐含波动率，所需要的有：

（1）一个真实交易期权价格和理论上的期权定价模型。

（2）期权的敲定价格、标的资产价格、到期日、短期利率、即将付出的预期红利。

（3）将上面数值输入理论期权定价模型，通过这个模型导出隐含波动率。

标的市场的价格、期权费、期限、短期利率、红利和到期时间等因子都是已知的，惟一的未知变量是波动率。人们要得出隐含波动率，可通过“修饰的”期权定价公式。因为我们知道期权的实际价格，模型告诉我们，当他们输入的波动率达到实际价格时，其他交易者必然会进入市场。

市场上的隐含波动率和未来的实际波动率是什么关系？如果市场缺乏“套利”机会，两者是一致的。当隐含波动率整个时期内都与实际波动率不同时，套利者将开始采用能够获利的交易策略。回顾第三章，读者可能记得，有两种波动率即隐含的和实际的波动率会对期权价格产生影响。希腊字母Vega计量期权价格的隐含波动率的敏感性变化；而Gamma计量市场实际波动率变化时，期权价格的变化。实际上，当隐含波动率一直低于实际波动率时，交易者将通过买入便宜的期权，使他的Vega暴露最大化，然后尽可能使他的Gamma暴露最小化（甚至缩短Gamma）。另一方面，当隐含波动率始终高于实际真实资产价格的波动率时，交易者通过一个负的Vega暴露（卖出期权）和一个正的Gamma头寸，将会卖出隐含波动率和买入实际波动率。

目前讨论套期策略还不成熟，这些问题会在第八章讨论套期交易时谈到。在这一点上，必须满足下面条件，利用隐含波动率估计未来波动率时惟一合理的解释是，隐含在期权价格中的市场一致性好于其他任何技术。当有证据表明隐含波动率高于实际真实的波动率时，结论是完全套期的机制实际上是不完全的（和无风险的），然而允许在整个时期内失误继续存在。隐含波动率至少提供给交易者或分析家一个未来风险的市场一致性的现行水平，并为交易者在整个时期内如何进行计量期权价格变化提供帮助。前面已经讨论，隐含波动率类似于固定收益利率到期的概念。人们都知道，到期的利息是不完全的，但通过现行债券价格和“标准”差异固定收益工具进行比较，它提供了一个突然停顿点，在隐含收益的内部比率是利息与到期基准利息进行比较。另外，债券分析家会看到变化，应用利息到期这一点解释债券价格的变化，但这是不真实的讨论。当然同样的方法可以运用到期权的隐含波动率计量。期权价格变化会引起隐含波动率变化而不必然会引起其他变化。尽管存在这么多限制，当提到这些交易期权的主题时，隐含波动率几乎总是人们关心的波动率概念之一。

在这一部分，我们考察了隐含波动率估计的各种情况。首先，因为隐含波动率来自期权定价模型，我们最好多考察目前流行的确定数值的定价模型的各种假定。其次，因为定价模型不能简单地导出并提供现成答案给我们，需要考察得出隐含波动率的技术。最后，当用来确定一个隐含波动率的样本和隐含波动率数值的期权数值不同时，我们还需要做什么呢？这最后一个问题是很难的，需要下一章更多的知识才能解决。好消息是隐含波动率的差异为理解市场上影响未来资产价格分布和整个时期内风险如何变化提供了一个强有力的解释。但在触及这些激动人心的课题之前，我们必须探讨一些基本的问题。

期权定价模型假定

首先我们假定：分析家正试图利用期权定价模型测量波动率的市场一致性，通过输入的波动率达到对市场价格进行测定。明显地，假如模型是错的，估计也将是错的。既然布莱克和斯科尔斯模型的数学推理是无可辩驳的，在模型方面其他惟一潜在的错误根源可能是数学假定中的一个。

我们用来估计隐含波动率数值的几乎所有布莱克和斯科尔斯模型，都有下面的假定：

（1）过去的价格与未来的预期价格不相关。

（2）波动率在整个期间保持不变。

（3）相关价格变动是正态分布，变量直接与已发生的相关价格变化的期间长度成比例。

这些假定有什么意义呢？假如过去价格与未来的预期价格不相关，那么进行技术性和季节性分析就没有任何价值。当我没有讨论技术分析的优点与缺点时就很清楚，大量相当成功的市场投资者确实成功地利用这一技术进行分析。季节性因素似乎的确会影响商品的波动率，我更认为，季节性分析有其可取之处。

第二个假定是有关波动率在整个期间是连续的，这更难以理解。举一个例子，没有人能交易波动率，本书里的所有证据很清楚地证实，波动率是非静止的（看图4. 10意大利政府债券合约例子），所以这一说法是错误的。在下一章中，我们将讨论这一假定引出的问题和如何进行调整。在第十三章变异期权中，我们将讨论波动率变动（或随机）定价模型的变革。

第三个假定是关于相关价格变动直接来源于我在本章前面已经讨论的随机游走过程。假如相关价格变化直接与时间成比例，那么价格的分布将随时间变得无限（或者为0）而无限增加。这类似于下面的问题：当我们在1公里或100公里远的地方射击时，短枪击中谷仓门的分布。这一分布过程仅仅在一个近距离范围。在价格系列中，认定在整个时间里价格变为0是不严肃的，因为广泛的实证证据证明，价格或趋势倾向于返回到一个长的期限平均数。

但隐含波动率的估计点是什么？答案是利用这一数值与另一份期权的价格比较，得出期权“公允”价格，这里假定隐含波动率是真实波动率的无偏估计。利用隐含波动率可以为我们正在转换的同一份期权定价，因为我们首先已经有了那一价格，但这一说法还是不清楚。所以，实质上隐含波动率的期权定价类似于一个正在交易的期权定价。然而不清楚的是，利用同样的波动率计算两种期权，结果会有多大程度的相似。尽管期权是相当相似的，但这种方法的作用仍然有限。在那些例子中，没有其他相似期权被用以观察价格交易，因而将没有可资参考的数据用以确定隐含波动率。最后，假如每一市场投资者依靠其他因素作出决定，而无视输入的波动率，以至于没有一致的隐含波动率。这如同一个神经质的鸡尾酒会上，每个人都在等其他人开始交谈，以至于会场陷入死一样的沉静，直到第一个勇敢的参与者开始谈第一个话题。

隐含波动率仍然是一个抛锚点，在那里允许参与者先作基本的比较，然后开始单个的期权系列的交易。但是实际的隐含波动率是如何计算出来的呢？

确定隐含波动率的技术

当我在芝加哥商品交易所研究部门第一次接触到期权时，我的首要任务之一就是确定外汇交易合约的隐含波动率。我利用布莱克（1976）定价模型，试图解出输入了波动率的方程。经过一个星期的努力，尝试采用各种数学技巧后，工作没有取得任何进展。我认识到，要用这一公式解决隐含波动率问题是不可能的。寻找隐含波动率的惟一方法是引入样本波动率数值，当理论上期权价格低于实际交易期权价格时，就采用更高的波动率。当理论期权价格太高时，我需要输入一个更低的波动率。因而，通过不断试错估计隐含波动率，直到实际期权价格等于理论价格时为止。在后面的研究中，我发现用一个更系统的方式计量，可有三种基本的技术确定隐含波动率。这包括：利用波动率图表、采用Newton—Raphson互除法或运用二项分割法。

读者应记住在确定期权时间价值时的重要性。假如σ增长，d1和d2之间的差异上升，期权的时间价值上升。然而，当波动率增长时，期权价格总是线性相关的。图4. 18表明期权价格和波动率水平的关系，它被很好地描绘在图上。

图4. 18　期权价格与波动率关系

在估计隐含波动率时，所有分析家要做的是寻找曲线上的联结点，它代表现行期权价格，并寻找出与这个价格相关的波动率。当意大利政府债券合约看涨期权平价的价格是1. 41时，将其圆点连成线，然后画出另一垂直向下直线，得出隐含波动率是12. 75%。然而从直觉上看，这种方法为分析家提出了一些重要问题。首先，它假定人们使用的期权定价模型是正确的，标的资产价格不改变，而且分析家沉稳。显然，假如影响期权价格的任何变量发生改变，人们将需要另一种价格确定隐含波动率。已经说过，图形直观提供了一个观察输入波动率和价格的机会，这为随意寻找隐含波动率提供了一个好的起始点。

估计隐含波动率的最经常使用方法是Newton—Raphson迭代过程法。^[13]这一过程涉及到对期权的隐含波动率作出一个初始的猜测，当第一个猜测离题时，利用波动率方面期权价格的希腊（Vega）衍生变化作出一个新的猜测。假如期权价格与时间的关系是连续的和相当线性的（例如它是正常的欧式期权），应用这一技术将很快得出正确的答案。实际公式是：

Newton—Raphson迭代过程最好用一个图形表示出来。图4. 19描绘了这样一个迭代过程。图的左边，人们看到纵轴代表期权价格（实际的和理论的两种价格），当我们往右边移动时，横轴表示波动率在增长。曲线代表期权的理论价值，在第一波动率猜测中，相对于实际期权价格，理论期权价格太低。在那一点使用Vega斜率，得到一个新的波动率估计，它给我们一个低的价格，但它还是太高。随着移动产生一个新的Vega斜率，得到另一个波动率估计，此时理论价格等于市场交易价格。在这一点，我们已经确定了这一特定期权的隐含波动率。

Newton—Raphson迭代过程相当有效，它得出答案仅需要两个或三个迭代过程，但对所有种类的期权，这一方法可能不一定都适用。例如，对简单的欧式期权，这一方法是快而准确的，这是因为价格/波动率关系是一条平滑的、相当线性的曲线。对其他各类的期权，包括美式期权，因为它存在一个远的早期执行概率，或对于一个复杂期权，它的图形是一种无序的曲线而不是一条平滑的价格/波动关系直线，这一方法就不适用。对这些种类的期权，适用另一种被称做二分法的方法。

二分法不需要任何Vega的估计，在一些方式上相当简单，因为它对波动率的

起始水平的选择是不敏感的。运用这一方法首先是选择低于期权现行市场价格的“高的”波动率估计，它与期权价值相关。这种输入可以是已经记录的这些资产最低的历史波动率。“低”的期权价值是C1，实际期权价格是指C0。下一个分析是选择一个“高”的波动率估计，它产生于一个理论期权价格高于现行期权价格C0。再则，这种输入可以是记录的资产的最高历史波动率。这个“高”的期权价值就是众所周知的Ch。

图4. 19　隐含波动率的Newton—Raphson估计的例子

最后一步是当两点用直线连上之后，估计隐含波动率。利用波动率在这点计算出一个新的理论期权价格，假定它等于市场交易价，那么整个计算过程结束，并得出隐含波动率。否则，新的估计价格被用来作为一个新的更高的或低的猜测，再重复上面的计算过程。一般地，这个过程是和Newton—Raphson迭代过程一样快而准确的。迭代公式是：

再则，一幅图胜过许多话语，图4. 20列示了二分法是如何运算的。变异期权是复合期权，它不是一条平滑价格/波动率直线，而是一条曲线。

图4. 20　隐含波动率估计二分法的例子

二分法至少和Newton—Raphson技术方法一样准确，实际上它的计算速度更快，因为它在每次迭代时不必估计期权的Vega。这一方法更普遍地用于所有种类的期权合约上，它仅仅需要使用者精通相应的期权定价模型。总之，投资者只要会使用计算机，大部分计算机系统将自动生成隐含波动率。读者可能永远不需利用这些公式进行具体运算，只要将有关数据输入计算机，并知道计算机是如何工作的就行了。对于系统数值的主要问题是，它们是由简单的欧式期权或不用关心早期执行的美式期权发展起来的。因此，这些模型使用Newton—Raphson过程。然而，这些同样的系统也被修改用于评价更多的变异期权，但因为确定隐含波动率时没有改变方法，因而产生的数值偶尔无意义。因此，可以说对所有种类的期权，二分法都是适用的，所以使用者能相当自信地认为，隐含波动率的结果是有用的。

但是估计隐含波动率时产生了另一基本问题，它是由下列问题导致的：我将利用哪一种期权交易市场价格估计出隐含波动率？假如大部分期权定价模型中的假定是相似的，因此有同样到期日的所有期权的波动率将是一样的。假如人们承认，隐含波动率是指从现在直至到期日预期发生的真正标的波动率的无偏估计，那么上面的说法是准确的。实际上，在同一到期日下有不同的敲定价格，因此这些隐含波动率是不一样的，分析家必须选择使用哪一种波动率。在表4. 7中你会发现，为了12月意大利政府债券合约期货期权，选择的期权是1993年11月1日期权。这一天的敲定价格从113. 00到121. 00。在这一天，12月期货收盘价是115. 47，出现在表上所有的价格反映了它们的收盘价。表中右边一栏是看涨和看跌价格，题头的另一栏是隐含波动率，这是特别的期权系列的隐含波动率。这一栏再往右边是发生在那一天的期权系列的交易数量。读者可以看到，每一敲定价格有不同的隐含波动率，结果反映的隐含波动率差异是明显的。例如，最低的隐含波动率是8. 11%，最高的是11. 75%。哪一个是对的呢？

表4. 7　BTP看涨和看跌价格、交易量和隐含波动率

既然认定隐含波动率是未来价格分布的广泛猜测，市场操作者试图运用加权技术，对所有可利用的估计隐含波动率达成一致，用以确定一个综合的波动率。目的是试图掌握作为一个整体的市场的真实意义。

加权的隐含波动率确定一个综合隐含波动率估计

有许多不同种类的加权计划，被用于达成一个综合的波动率估计。这些方法大体分为三种类型：

（1）通过发生的总交易数量的百分比进行加权，因为期权系列与所有其他类的期权相关。

（2）通过平价时的收盘价的系列期权加权。

（3）依靠期权系列的Vega，对它的隐含波动率进行加权。

让我们回到意大利政府债券合约隐含波动率，看我们如何得到一个综合的隐含波动率。我们回到表4. 7，有隐含波动率估计的大量期权没有交易数量，这很值得我们考虑。例如，敲定价格为120的看涨和看跌期权整整一天没有发生一笔交易。所以，隐含波动率数量从哪里来呢？由开价或市场操作者提供。对看涨期权，大部分交易量的敲定价格在115到119. 5之间；而看跌期权，大部分交易量的敲定价格在114 到115之间。之所以隐含波动率是预期波动率好的计量工具，是因为期权交易者通过放真正的钱在赌桌上，正在赌那个波动率。正如他们所说的，只有放宝贵的钱在赌桌上才能真正引起他们的重视。

很清楚，我们自己关心的惟一波动率是已下注的那些波动率。最大交易数量的那种期权的隐含波动率将在综合波动率中占有更大的权重，因为大部分交易者将他们的钱投注于这些期权。交易量更少的期权权重更小，而没有交易量的期权权重可以忽略不计。让我们看表4. 7，这种方法如何运用到意大利政府债券合约期权中。加权计算方法的结果在表4. 8中可以看到。

表4. 8　利用交易量为权重的隐含波动率加权

这一方法假定，在交易者之间，大部分交易的期权的利率最高，期权价格将是“最公平”的。在这一例子中，综合波动率很大程度上由117、115. 5、118. 5看涨期权价格确定。其他价格的期权，特别是看跌期权对综合波动率的估计几乎没有什么贡献。

当知道交易数量信息时，运用这一方法很容易计算出结果，但这种情况不容易出现。例如，在一个交易日，可能不能提供（至少它是估计数）单个期权系列的数量。仅仅在交易结束日，当所有交易者已经清盘时，才能提供出数量来。另一个问题是店头交易期权，它可以提供期权价格和波动率，但总体上发生在内部市场对手间的交易量是不可能确定的。假如市场期权利率（也就是波动率）是真的或仅仅是一个提示，不受重视的加权波动率如何计量呢？这可以运用一个加权方法来做到，就是扩大靠近影响的货币期权的权重，减少亏价期权的权重。这一技术方法通常被称做距离加权法。

认为亏价期权应当被忽视，是因为期权价格由于未清盘和最小报价的原因被扭曲，这正好可以利用下面这一技术方法。下面是你能运用的一个典型的加权因子公式：

假如：│（F - E）/ F│<5%

然后运用加权Wi= Xi/∑Xi

在这里：Xi=（│（F - E）/ F│-5%）2/（5%）2

假如：│（F - E）/ F│＞5%

然后运用0加权

从表4. 9能看到为确定综合隐含波动率的距离因子加权结果。在这一例子中，分析师希望忽视超过115. 47的现行市场价格5%的所有意大利政府债券合约期权价格。进而，敲定价格进一步远离现行市场价格时，对综合波动率估计的重要性减弱。这里是一个加权方法的例子，它是关于如何运用我们11月1日的意大利政府债券合约隐含波动率数据进行计算的。

表4. 9　利用距离因子为权重的隐含波动率加权

续表

在这一例子中，使用距离加权法的综合波动率是8. 665%，实际上这一方法不同于人们使用的数量加权方法。读者注意到，这一技术将自动加权权重较大的115. 5看涨和看跌期权，尽管这天这些期权的交易数量的百分比很小。也就是说，在距离加权方法中，交易数量占41. 3%的敲定价格为117的看涨期权权重仅仅为7% （0. 070002）。因此，假如你正在使用距离加权方法替代数量加权方法，惟一要做的工作是，大部分交易的期权处于平价和已交易期权的现行市场价格远离敲定价格。假定在意大利政府债券合约的例子中，平价期权数量实际上是大于亏价期权的数量，利用加权方法会产生更大差异。

最后用于确定综合波动率的加权方法是利用期权的Vega作为权数，Vega对综合波动率的计算十分重要。逻辑上说，因为确定性的期权价值在波动率的计量方面是更敏感的，据认为与更少敏感性的隐含波动率相比，确定性期权应当有更大的权数。因为Vega是对敏感性的计量，它确定综合波动率估计的加权方法。例如，我们再一次利用11月1日意大利政府债券合约期权的例子。在这一例子中，我们在利用报价系列方面，利用持有期权的总的Vega（交易或者不交易），采用每一份期权的Vega得出加权结果。这能从表4. 10中看出。

表4. 10　利用Vega为权重的隐含波动率加权

读者能看到，新的综合波动率估计是8. 883%，总体上说，它不同于早期估计。然而，因为当期权处于平价时（对于同时到期的期权）期权的Vega最大，然而这一加权方法类似于前面已讨论的距离加权方法。

在所有这些加权方法中，人们可以停下来问为什么要加权所有这些隐含波动率得出一个数值。一种可能的理由是为了再评价目的，需要输入一个波动率，确定公开持有头寸的理论上的利润和亏损。另一种理由或许是可能的综合波动率是未来实际波动率的更好预言者。但对于标的资产和到期日相同但敲定价格不同的期权，它们有不同的波动率，这是一个值得严肃关注的问题。

如何分析敲定价格和到期日不同的隐含波动率问题，产生了一个新的波动率研究领域。因而，下一章将谈论的大部分问题包括由于引进波动率“笑容”产生非连续性隐含波动率和波动率结构术语。

【注释】

[1]为了避免联邦银行出问题，已经稍微修改了马克以便使它不能以任何不合适的方式使用。高斯的图像已经被无照经营者的图像所代替。那无照经营者就是我自己。

[2]这里有一个问题：就是以哪一系列数据作为波动率估计基础或换算基础：日历天数或工作日。本章后面讨论历史波动率估计时将涉及这一问题。

[3]这一例子是由诺雪顿伯根·雪莱（Natenberg Shelly）在他的期权课程中作类似分析中得到的。

[4]法马：《股票市场价格的行为》，《商业杂志》，第38期（1965年1月），第34～105页。弗伦奇：《股票收益和周末效应》，《财务经济学杂志》，第8期（1980年3月），第55～69页。

[5]事实上，非交易日和天气的特性之间是负相关关系，但这纯粹是趣闻逸事。这隐含着在工作日天气是好的而在下班时天气变坏。

[6]肯尼斯·莱昂：《驱除魔鬼》，第57～62页；从布莱克—斯科尔斯到黑洞，罗伯特G.汤普金斯 伦敦，英国，《风险杂志》出版，1992年。

[7]顺便说明，波动率系列是非正态分布但是偏向右方，也列出了一个细长峰谷（leptokurtosis）的确定程度。

[8]麦克尔·帕金森：《随机游走问题：一种替代变量估计极端价值的方法》，《商业杂志》，第53卷（1980 年1月），第61～65页。

[9]斯坦和贝克尔斯：《基于高价、低价和收盘价的证券收益的变量》，《商业杂志》，第56卷（1983年1月），第97～112页。

[10]加曼和克拉斯：《从历史数据看证券价格波动率的估计》，《商业杂志》，第53卷（1980年1月），第67～78页。

[11]鲍尔和托劳斯：《期货期权和期货价格的波动率》，《金融杂志》，第41卷，第4号（1986年9月），第857 ～870页。

[12]这些数据包括1989～1994年的，但由于海湾危机和以后的战争，这些月的数据被剔除出去并用早年的数据代替。一年中的每个月，用来评价的至少有5个观察值。

[13]再则，纯粹科学的世界实际上也是与期权市场相关的。“Newton”是牛顿爵士，“Raphson”是约瑟夫·拉弗森（Joseph Raphson），他是另一位数学家，他发表了类似于17世纪牛顿发现的一种方法。