无套利期限结构模型

三、无套利期限结构模型

一直到1993年之前，由Vasicek模型和CIR模型倡导的建模方法都是利率期限结构模型研究的重要方法。它给定了一个均衡经济体系，使利率建模方法建立在坚实的微观经济理论的基础上。尽管从理论分析的角度来看，一般均衡模型很完美，但对利率衍生品的定价来说，这种模型并不实用，因为期限结构模型是从特定的经济条件假设下均衡的动态结果，并且其参数是用历史数据估计得出的，而这可能与现在观察到的真实期限结构不匹配，因此存在应用上的致命缺陷，无法满足交易商对收益率曲线的精确要求。既然金融衍生品定价仅仅是相对定价，在对金融产品定价之前，实际操作者必须使用真实的债券市场价格，使模型与当前期限结构相匹配，无套利期限结构模型即是为此而发展起来的。

无套利期限结构模型也被称为随机过程均衡模型，基本思想就是从当前观察到的真实收益率曲线开始，将它视为“标的物基础资产”，然后再构建一些动态模型来描述瞬时远期利率。无套利模型和一般均衡模型有着类似的结构，都是采用因素模型分析，区别在于它们用不同的量来拟合模型参数。一般均衡模型假设它的模型参数与时间无关，因此可以用历史数据统计估计得出。无套利期限结构模型的参数则都是时间t的函数，通过调整模型中依赖于时间的参数，可以使得模型能够自动地完全拟合市场数据的初始收益率曲线，这样模型中的初始结构与实际的市场当前初始期限结构就能够保持一致。无套利期限结构模型将债券视为以利率为标的物的“衍生品”，它的价格变化依赖于利率的波动，进而直接借用无套利思想的期权定价分析所使用的一整套方法，得到债券价格及利率的期限结构。无套利期限结构分析方法有三个最大的特点(内在假设):利率期限结构和价格同某些随机因素相联系;这些随机因素被假设服从某一特定的假设的随机过程;利率期限结构和债券价格必须满足无套利条件。下面对无套利期限结构框架下的主要模型进行简要介绍。

(一)霍—李模型

1986年，霍和李(Ho＆Lee)在论文《期限结构运动与利率有条件要求权定价》中提出了一个基于无套利机会假设的利率期限结构变动模型，即Ho＆Lee模型，由此开创了期限结构理论研究的新方向。Ho＆Lee模型认为现时的利率期限结构包含有现时人们对利率预测的足够信息，在没有套利机会的假设下，利率期限结构的未来变动只能反映出这些信息，因而其变化情况可测。

与CIR模型为代表的一般均衡模型相反，Ho＆Lee模型假设初始收益率曲线(即某一时刻在市场上观察到收益率曲线)外生给定，在此基础上讨论收益率曲线的运动结构。也就是说，Ho＆Lee模型放宽了原来一般均衡模型中漂移率不变的假设，认为模型参数是依时间而变化的(time-dependent)以适应于初始期限结构。Ho＆Lee模型假定利率过程为:

dr(t)=θ(t)dt+σdW(t)(17-6)

其中短期利率的波动率σ是常数，变量θ(t)定义了在t时刻r的平均运动方向。它独立于r的值。为了匹配当前的期限结构，Ho＆Lee模型根据无套利条件，用波动特性来标度漂移项，有:

θ(t)=af(0，t)/at+σ²t(17-7)

其中，f(0，t)是0时刻观察到的瞬时远期利率。

Ho＆Lee模型从外生给定的初始收益率曲线出发，用无套利条件来确定远期利率漂移项和扩散项之间的关系，选择各期的漂移率参数以精确拟合当前的收益率曲线，所得到的收益率曲线也就自然地包含了初始收益率曲线中隐含的所有信息。众所周知，精确拟合的收益率曲线对交易商具有极其重要的意义，以此为基础，交易商才可能发现各种以该债券为标的物的衍生品价格之间的关系、进而调整投资组合中各资产的头寸以牟利或规避风险。因此，Ho＆Lee模型成为实践中广为应用的模型。虽然Ho＆Lee模型本身存在很多局限性，例如假定所有即期与远期利率都具有相同的方差率，而且没有考虑利率运动的均值回复特性，但它提供了一个新的研究思路，即模型参数随时间而变化。沿袭这一思路，布莱克·德曼和托伊等(Black Derman＆Toy，1990)证明期限结构收益率曲线的不同部分可以具有不同的方差结构，即利率随机波动的瞬间波动率(方差率)随时间而变化。这一扩展对与利率波动相关的期权的定价分析具有异常重要的意义。

(二)HJM模型

1992年希思，杰罗和默顿(Health，Jarrow＆Morton)在其发表的《债券定价及期限结构:一种新的方法》中将Ho＆Lee模型一般化推广到连续时间的分析框架中来，得到无套利利率期限结构理论的另一个重要模型——HJM模型。以往，包括无套利和一般均衡在内的利率期限结构模型都是以某些具体的经济变量为状态变量，进而构造出债券收益率与时间和状态变量之间的函数。HJM模型的新颖之处在于它直接从远期利率期限结构的跨期波动特征入手，直接设定债券和相关衍生品在有效期限内的波动率函数结构，以整条收益率曲线作为状态变量，根据给定的初始远期利率曲线精确拟合出当前的各种远期利率曲线。由于远期利率隐含市场对未来的预期，因而HJM模型中的债券价格和衍生品价值的决定不依赖于过去的变量，而是依赖于市场对未来的预期和利率随机波动在未来的实现过程。下面对HJM模型做简要介绍。

HJM模型研究的对象是瞬时远期利率，假设T时刻瞬时远期利率f(t，T)的变化服从:

(17-8)式中dW_i(t)是N个外生独立的利率期限结构的动态演变过程的驱动源，对远期利率服从几何布朗运动的过程。HJM模型根据Ho＆Lee模型的思想，用无套利条件来确定远期利率漂移项和扩散项之间的关系，得出了无套利条件下的漂移项和波动相之间的特定关系，即在实际测度和风险中性测度下，远期利率的漂移项完全由其扩散项决定:

这是市场的无套利条件对远期利率波动过程实施的限制。将上式代入(17-8)式，经演算后得到在风险中性概率测度Q下的瞬时远期利率过程为:

通过设定所有未来时刻远期利率的瞬时波动方差，根据初始远期利率期限结构，HJM模型可以得到当前时刻t的即期利率期限结构进而求出债券及相应利率衍生品的价格。模型中漂移率与波动率函数设定为随时间变化，加之即期利率又是远期利率的特例，故而HJM模型是一个非常一般化的无套利模型，特定条件下它可化为Ho＆Lee模型和Hull＆White模型。

由于HJM模型发展了在无套利基础上的对贴现债券的相对定价而得出期限结构，符合实际市场期限结构因而产生了极大的影响。在HJM模型的推动下，新模型层出不穷，如市场模型、随机弦模型、随机域模型、跳跃过程模型、定价核模型等。由于其应用的数学技术更加复杂，在本书中不再对其进行介绍。