一、理论推导
1. 参数m和n的推算
土壤水分特征曲线van Genuchten的模型表达式为
式中，w为含水量（g·g-1）；ws和wr分别为饱和持水量（g·g-1）和残余含水量（g·g-1）；h为土壤水吸力（cm水柱）；α、m、n为土壤水分曲线参数，其中，m =1-1/n。
本书第二章已经证明如下关系：式中，MCw为毛管持水量（g·g-1）；FCw为田间持水量（g·g-1）；其余参数均为van Genuchten模型参数。
根据式（3.2），只需测定土壤饱和持水量、毛管持水量，并根据土壤质地估算残余含水量，即可计算m，其表达式为
根据式（3.3），只需测定土壤饱和持水量、田间持水量，并根据土壤质地估算残余含水量，即可计算m，其计算过程可由Exce1中的单变量求解功能实现，或借助计算机软件（如MatLab）实现求解。为了便于使用饱和持水量、田间持水量、残余含水量计算m，本节给出式（3.3）中m的较为明确的解析值形式。其具体推导过程如下。
（1）将式（3.3）变形为
（2）由于n ＞1，0＜ m ＜1，所以，式（3.5）中θFC应在0.5～1之间，即0.5 ＜FCθ＜ 1.0。
（3）应用MatLab 7.0求解不同θi（0.51，0.52，…，0.98，0.99）对应的m值。
（4）根据（3）的结果，建立θFC和m的散点图（见图3-1）。
图3-1 m与θFC的关系
（5）进行回归分析，拟合曲线。经回归分析得到的m与θi间的拟合方程为
计算求得m后，根据方程m =1-1/n即可求得n值。
2. 参数α的推算
Dexter于2004年提出“S”理论观点，其含义是土壤水分特征曲线van Genuchten方程在拐点时的斜率，但该van Genuchten方程必须以质量含水量为因变量、以土壤水吸力（h）的自然对数为自变量。令van Genuchten方程的二次导数为零，求解得到的h即拐点的土壤水吸力值（hi），其表达式为
将式（3.7）代入van Genuchten模型方程得：式中，iw为van Genuchten方程拐点对应的含水量（g·g-1），本节简称为拐点含水量。
将式（3.7）代入van Genuchten方程，求一阶导数即可得到S的表达式，即
式中，S为拐点含水量对应的曲线斜率。而根据S的定义，其表达式也可以写为
式中，iw为拐点含水量（g·g-1）；S为拐点含水量对应的曲线斜率；hi为拐点土壤水吸力（cm水柱）；C为经验常数。
第二章已经证明，拐点含水量即田间持水量，因此，式（3.10）可以变为
式中，拐点土壤水吸力（hi）的取值通常为100 cm或330 cm水柱。因此，将hi=100和hi=330分别代入式（3.11），并计算土壤含水量差值，可得：
式中，FCwΔ为田间持水量差值。
另外，土壤水分特征曲线的幂函数表达式为
式中，w为土壤含水量（g·g-1）；h为土壤水吸力（cm水柱）；A和λ为方程参数。其中，λ的计算公式为
根据式（3.13），FCwΔ可以表述为
联合式（3.12）和式（3.15），得：
将式（3.7）代入式（3.13），得：
式中，FCw为拐点含水量（g·g-1），其值等于田间持水量（wFC）。因此，参数α的计算公式为
综上所述，土壤水分特征曲线van Genuchten模型参数可以由饱和持水量、毛管持水量、田间持水量和残余含水量进行推算。具体而言，共包含以下3种方法。
（1）首先，测定土壤饱和持水量与毛管持水量，根据土壤质地估算残余含水量；其次，根据式（3.4）计算参数m，再由公式m=1-1/n计算参数n，再由式（3.3）计算土壤田间持水量；再次，由式（3.9）计算S，再由式（3.14）计算λ；最后，由式（3.18）计算参数α。此方法简称方法I。
（2）首先，测定土壤饱和持水量与田间持水量，根据土壤质地估算残余含水量；其次，根据式（3.5）或式（3.6）计算参数m，再由公式m=1-1/n计算参数n；再次，由式（3.9）计算S，再由式（3.14）计算λ；最后，由式（3.18）计算参数α。此方法简称方法Ⅱ。
（3）首先，测定土壤饱和持水量、毛管持水量、田间持水量，根据土壤质地估算残余含水量；其次，根据式（3.4）计算参数m，再由公式m=1-1/n计算参数n；再次，由式（3.9）计算S，再由式（3.14）计算λ；最后，由式（3.18）计算参数α。此方法简称方法Ⅲ。
二、理论验证
1. 材料与方法
使用两份原状土验证本节的假设理论。土壤基本物理性质见表3-1。土壤质地按美国制土壤质地分类进行划分。其中，1#土壤为砂质黏土，2#土壤为粉壤土。土壤容重分别为1.25 g·cm-3和1.32 g·cm-3。
表3-1 两份土壤的基本物理性质
土壤饱和持水量的测定方法：将装有原状土的环刀放于盛水的搪瓷盘内，有孔盖（底盖）一端朝下，盘内水面较环刀上缘低1～2 mm，勿使环刀上面淹水，使水分饱和土壤。24 h后取出环刀，从环岛内取20 g左右湿土，采用烘干法测定土壤含水量，即为饱和持水量。
土壤毛管持水量的测定方法：将装有原状土的环刀放于盛有2～3 mm水层的瓷盘中，让土壤毛细管吸水；吸水时间，砂土为4～6 h，黏土为8～12 h，然后取出环刀，从环刀中取出20 g湿土，采用烘干法测定土壤含水量，即毛管持水量。
土壤田间持水量的测定方法：将装有原状土的环刀放于盛水的搪瓷盘内，有孔盖（底盖）的一端朝下，盘内水面较环刀上缘低1～2 mm，勿使环刀上面淹水，使水分饱和土壤。24 h后取出环刀，打开底盖（有孔盖），将其和滤纸一起放在沙盘上，经过8 h吸水后，取掉环刀上盖，从环刀内取出15～20 g土样，采用烘干法测定土壤含水量，即田间持水量。
土壤水分特征曲线测定方法：使用石英砂-高岭土吸力板测量。0～100 cm水柱用石英砂吸力平板，具体做法是将环刀取得的原状土柱加水饱和后置于吸力板上加压，通过调节水位瓶高度来调节水柱高度，待水柱稳定后称重；100～900 cm水柱用高岭土吸力平板，具体做法是把经过石英砂吸力平板处理之后的样品放入高岭土吸力板上，用真空泵抽气，使水银柱达到一定高度，待稳定后称重。吸力等级分别设为2.5、15、30、60、100、200、300、600、900 cm水柱，共9个等级（杨帆等，2015）。
2. 验证结果
土壤水分特征曲线van Genuchten模型的拟合参数列于表3-2，方法Ⅰ、方法Ⅱ和方法Ⅲ推算的van Genuchten模型参数分别列于
表3-3、表3-4和表3-5。
表3-2 土壤水分特征曲线van Genuchten模型拟合参数
表3-3 方法Ⅰ推算的土壤水分特征曲线van Genuchten模型参数
表3-4 方法Ⅱ推算的土壤水分特征曲线van Genuchten模型参数
表3-5 方法Ⅲ推算的土壤水分特征曲线van Genuchten模型参数
由表3-2、3-3、3-4和3-5可知，土壤水分特征曲线van Genuchten模型参数的拟合值与推算值非常接近。其中，1#土壤的α和n的拟合值分别为0.016 0和1.160 8，由方法Ⅰ获得的推算值分别为0.028 2和1.174 0，由方法Ⅱ获得的推算值分别为0.025 4和1.194 3，方法Ⅲ的推算结果与方法Ⅰ相同；2#土壤的α和n的拟合值分别为0.059 6和1.096 6，由方法Ⅰ获得的推算值分别为0.032 5和1.150 5，由方法Ⅱ获得的推算值分别为0.028 6和1.171 2，方法Ⅲ的推算结果与方法Ⅰ相同。
土壤水吸力和含水量的实测值、拟合土壤水分特征曲线、推算的土壤水分特征曲线的对比关系见图3-2（a）（1#土壤）和图3-2（b）（2#土壤）。由于方法Ⅲ的推算结果与方法Ⅰ相同，因此，图中仅给出方法Ⅰ推算获得的曲线。由图3-2可知，由实测土壤水吸力与土壤含水量数值拟合的土壤水分特征曲线与推算方法获得的土壤水分特征曲线吻合度非常高。因此，本节给出的van Genuchten模型参数的推算方法是可行的、正确的。
图3-2 拟合方法与推算方法获得的土壤水分特征曲线比较
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