物体运动和演化中的连续过程与突变过程

从上面的讨论可知，宏观及宇观过程存在大量的不连续的突发过程，自然要求一种合理的理论来处理这些现象。

突变论的诞生是以法国数学家勒内·托姆 （1923～2002）于1972年提出的。托姆将系统内部状态的整体性“突跃”称为突变，其特点是过程连续而结果不连续。突变理论可以被用来认识和预测复杂的系统行为。

“突变”一词，法文原意是 “灾变”，强调变化过程的间断或突然转换的意思。在自然界和人类社会活动中，除了渐变的和连续光滑的变化现象外，还存在着大量的突然变化和跃迁现象，如岩石的破裂、桥梁的崩塌、地震、海啸、细胞的分裂、生物的变异、人的休克、情绪的波动、战争、市场变化、企业倒闭、经济危机等。

突变理论研究的是从一种稳定组态跃迁到另一种稳定组态的现象和规律。它指出自然界或人类社会中任何一种运动状态，都有稳定态和非稳定态之分。在微小的偶然扰动因素作用下，仍然能够保持原来状态的是稳定态；而一旦受到微扰就迅速离开原来状态的则是非稳定态，稳定态与非稳定态相互交错。非线性系统从某一个稳定态 （平衡态）到另一个稳定态的转化，常常是以突变形式发生的。突变理论作为研究系统有序演化的有力数学工具，能较好地解说和预测自然界和社会上的突发现象，在数学、物理学、化学、生物学、工程技术、社会科学等方面有着广阔的应用前景。

突变理论是用形象的数学模型来描述连续性行动突然中断导致质变的过程，这一理论与混沌理论相关，尽管它们的出现是两个完全独立的理论，但现在突变理论被普遍视作为混沌理论的一部分。

虽然突变理论是产生于一门数学理论，但它的核心思想却有助于人们理解系统变化和系统中断。如果系统处于休止状态 （也就是说，没有发生变化），它就会趋于获得一种理想的稳定状态，或者说至少处在某种定义的状态范围内是如此的。如果系统受到外界变化力量作用，系统起初将试图通过反作用来平衡外界压力。如果外力足够小的话，系统将保持其初始状态或连续地平缓运动。如果变化力量足够强大，而不可能被系统的平稳运动完全平衡的话，突变就会发生，系统随之突然地进入另一种新的稳定状态，或另一种运动状态范围。在这一过程中，系统再不可能通过连续性的方式回到原来的稳定状态。

试举一例，更为形象地解释这一理论。让人们假想有一只玻璃瓶放在桌面上，它处在一个稳定的状态，没有任何变化，人们常称其为稳定平衡。现在假想用你的手指轻推瓶颈，不要太用力。这时变化产生，玻璃瓶晃动起来，并通过一种连续性的方式使晃动连续地缓慢衰减，此为平衡点附近的微小振动。如果你停止推力，玻璃瓶将恢复到它的理想稳定状态。然而，如果你继续用力推下去，在你的推力达到一定程度的时候，玻璃瓶便会倒下，由此又进入了一种新的稳定平衡状态。我们可以说玻璃瓶的状态在这一瞬间就发生了突变，一个非连续性的变化就这样产生了：在玻璃瓶下跌的过程中，没有任何可能的稳定中间状态，直到它完全倒伏在桌面上为止。

托姆的突变理论认为，系统变化是通过连续性的和非连续性的两种变化模式来实现的。这一过程与混沌理论相关之处在于，玻璃瓶只存在两种状态——要么站立，要么躺倒。这两种状态也都是可能的结果。然而，还有一些状态永远不可能被达到，因为它们具有内在的不稳定性。

至今，人类的主流科学理论认为：自然界许多事物是连续的、渐变的、平滑的运动变化过程，都可以用微积分的方法给以圆满解决。例如，地球绕着太阳旋转，有规律地周而复始地连续不断进行，使人能极其精确地预测未来的运动状态，这就需要运用经典的线性微分方程组来描述。但是，自然界和社会现象中，还有许多突变和飞跃的过程，飞跃造成的不连续过程，把系统的行为空间变成不可微的，经典的微分方程理论就无法解决问题。例如，当水处于100摄氏度时的突然沸腾，和0摄氏度冰的突然融化，火山爆发，某地突然地震，房屋突然倒塌，病人突然死亡……。

这种由渐变、量变发展为突变、质变的过程，就是突变现象，通常的微分方程理论是不能描述的。以前科学家在研究这类突变现象时遇到了各式各样的困难，其中主要困难就是缺乏恰当的数学工具来提供描述它们的数学模型。那么，有没有可能建立一种关于突变现象的一般性数学理论来描述各种飞跃和不连续过程呢？这迫使数学家进一步研究描述突变理论的飞跃过程，研究不连续现象的数学理论。1972年法国数学家勒内·托姆在 《结构稳定性和形态发生学》一书中，明确地阐明了突变理论，宣告了突变理论的诞生。

突变理论主要以拓扑学为工具，以结构稳定性理论为基础，提出了一条新的判别突变、飞跃的原则：在严格控制条件下，如果质变中经历的中间过渡态是稳定的，那么它就是一个渐变过程。比如拆一堵墙，如果从上面开始一块块地把砖头拆下来，整个过程就是结构稳定的渐变过程。如果从底脚开始拆墙，拆到一定程度，就会破坏墙的结构稳定性，墙就会哗啦一声，倒塌下来。这种结构不稳定性就是突变、飞跃过程。又如社会变革，从封建社会过渡到资本主义社会，法国大革命采用暴力来实现，而日本的明治维新就是采用一系列改革，以渐变方式来实现。对于这种结构的稳定与不稳定现象，突变理论用势函数可能有凹点区域存在的特征借以表示稳定，用凸点区域表示不稳定，并有一套判别的运算方法。例如，一个小球在凹区底部时是稳定的，如果把它放在凸起顶端时是不稳定的，小球就会从顶端处，不稳定滚下去，往新凹地过渡，事物就发生了突变；当小球在新凹地底处，又开始新的稳定，所以根据表述某事物的势函数的凹区的存在与消失就成为判断事物的稳定性与不稳定性、渐变与突变过程的根据。托姆的突变理论，就是借助数学工具，依据描述系统状态的势函数，求出系统处于临界态的参数区域，参数变化时，系统状态也随着变化，当参数跨越这些临界位置时，系统的状态就会发生突变。

突变理论提出一系列数学模型，用以解释自然界和社会现象中所发生的不连续的变化过程，描述各种现象为何从形态的一种形式突然地飞跃到根本不同的另一种形式。如岩石的破裂，桥梁的断裂，细胞的分裂，胚胎的变异，市场的破坏以及社会结构的激变……。按照突变理论，自然界和社会现象中的大量的不连续事件，可以由某些特定的几何形状来表示。托姆指出，发生在三维空间和一维空间的四个因子控制下的突变，有七种突变类型：折叠突变、尖顶突变、燕尾突变、蝴蝶突变、双曲脐突变、椭圆脐形突变以及抛物脐形突变。

本质上，突变理论是这样一种程序。这个程序的主题是研究微分方程组的解如何随方程的系数的变化而变化。很多时候，当方程的系数变化很微小时，解的性质也在小范围内连续变化。但确实存在这样的一些情况，即当方程组系数作微小变化时会引起解的性质发生数量上的巨大变化或者性质上的根本变化。如上面单摆的例子中，当E＝2g时，则E＝2g±δE即使极微小的δE会引起单摆是作摆动或转动的质的变化。从观念上，突变理论极力要抓住这些引起变化的“临界点”，而传统的数学及物理理论往往是把它作为反例而抛弃。从方法上，突变理论把微分方程的m个系数扩展成m个连续参量组成的m维流形，与n个自变量的流形直积形成一个m＋n维的流形M×N。而传统的方法却恰好相反，首先寻找可积条件，把参数限制在某个小范围，再通过边界条件把自变量限制在某个有限范围，从而得出解。因此不难推想，传统的方法只是研究了问题的一个分支，而整个物理体系包含着多个分支，突变理论正是通过 “临界集”的寻找，给这些分支划出明确的界限。突变理论把体系分为结构稳定的 （在小扰动下，系统本身也仅发生小的变化）和结构不稳定的；（在小扰动下系统可能发生突发性的巨大变化）。而突变理论的实质正是研究体系的结构不稳定性的存在及发生的条件及一定独立参数的系统，可能发生的突变的类型的分类。

（1）物理过程经验规律的寻求：要研究可能出现的突发性的物理过程，我们仍然需要从实验和观察出发，只不过需要扩大我们实验和观察的范围并改进我们实验的观念和方法。比如对于弹性体的实验观察，物理学家常用胡克定律：在弹性限度内，应力和应变成正比。为从实验上得到这一结果，我们往往选用较柔和的弹簧，在较小的拉力作用下，测出一定大小的拉力作用下引起的弹簧伸长，只要拉力足够小，总可以得出应力和应变的正比关系。但拉力超过一定大小，就会偏离线性关系。而以往物理学家就认为这时就偏离了物理学的研究范围。于是就丢掉了很多值得物理学研究的内容，如弹簧的非线性变性、范性变形和断裂发生的条件等等。可见只要我们足够地扩大我们的实验和观测条件，就可能得到表述物理过程的更为详尽更为复杂的函数关系，也就是表述物理现象更精确更广泛的物理定律。而这些定律必然是非线性化的，从数学分析观点，它必然会出现某些不连续甚至发生某些突变或爆炸过程。而突变理论正是由此出发来研究物理体系 （或其他体系甚至是生命体系）的演化发展特征。

实际上，现有物理体系有很多特征都是非线性或四次形式的。天文观测表明：质量大于0.43太阳质量的大质量恒星的光度与质量的四次方成比例。而卢瑟福在研究原子核散射中发现微分有效散射截面与入射速度的四次方有关。按照斯蒂芬—波尔兹曼定律黑体辐射功率与其温度的四次方成比例。在康普顿效应的分析中，从入射光中散射出的能量率与电子电荷的四次方成比例。

（2）面对大量非线性的物理规律，如何在数学上加以处理，以求出有物理意义的解，并从中给出更多的可与观测和实验对照的结果。我们采用了数学中的突变理论。