关于统一场论

我们已谈及由芬斯勒度量结构可以引出三个不变量，特别是嘉当张量我们可把它归结为除了引力以外的相互作用。现在的问题是什么样的芬斯勒度量结构能引出我们感兴趣的相互作用？作为例子让我们考虑二元四次齐次代数形式所定义的芬斯勒结构，这里一个很有意思的情况是：按我们所给出的具有四阶齐次代数形式的芬斯勒结构，其对应的嘉当张量是一个六阶代数形式通常它可由李代数SU6所表示。如果我们令B＝D＝0，即在给出的芬斯勒结构中去掉破坏时空反演对称性的成分，则嘉当张量最高只是五次代数形式，它可用李代数SU5表示。简单比较后不难发现，适当选取参数A、B、C等六个系数我们可以得到三维空间中不同的五类焦散分支。这是否暗示了芬斯勒几何与突变理论 （或焦散理论）的结合点。

这似乎也向我们展示出一个诱人的前景：适当选取的芬斯勒结构确实可能通过嘉当张量来引进除引力外的相互作用；而引力本身仍可通过基本张量加以处理。这能否形成用几何方发研究统一场论的新途径呢？爱因斯坦在创立了广义相对论后的几十年，一直致力于统一场论的研究而一无所获。人们怀疑统一场论能否几何化？今天看来，或许爱因斯坦未能成功的原因在于他的几何始终未能突破黎曼结构的框架。或许正是芬斯勒几何为物理学中几何化的统一场论的研究打开了一条新的途径。

通常物理学的研究中基本物理规律所包含的对称性起着非常重要的作用。而物理学的对称性常被分为两大类：一类是时空对称性，它是描述物理事件的时空坐标的变换相联系的。牛顿力学的时空对称性是通过伽利略变换描述，而相对论则用罗仑兹变换取代它。广义相对论的发展只是把由罗仑兹变换带来的平直的闵柯夫斯基时空 （伪欧空间）结构用弯曲的伪黎曼时空结构所取代。它本质上只改变了理解时空对称性的框架，而对时空对称性的内涵并未加以扩展。物理学的另一类对称性是所谓内部对称性。在通常的场论中，它们是与不改变时空坐标的场的变换相联系的。这种变换称为内部空间的变换。这些变换构成变换群。物理规律的对称性归结为基本方程在变换群下的不变性。按照诺特定理，相应于对称群的每一个有物理系统的一个守恒律。

曾经有人企图证明上述的两种对称性是无法统一的。但后来人们发现为证明此定理的物理假设并未经受实验检验。我们认为，任何一个物理过程都是在时空中发生和演化的。因此它们必然和时空的对称性有关。所谓内部对称性是与不改变时空坐标场的变换相联系的，如果理解成是准确到不改变时空坐标的二阶量 （即由罗仑兹变换保持不变）的变换相联系的。那么，我们就可怀疑所谓内部对称性所描述的场是改变了时空坐标的高阶小量。尽管这种改变在宏观和宇观条件下通常不起显著作用，但在微观条件下可能总起着决定性的作用。把时空结构定义在高次形式下，这正是芬斯勒几何的最显著特色之一。因此，我们猜测物理学中的内部对称性能也仅能统一在时空结构的高次对称性中。它正是芬斯勒几何的用武之地！