粒子的能量就是粒子的动能

当人们考虑同宇宙有关的一些问题时，音乐总是我们选择的方向。从毕达哥拉斯古老的“天球的音乐”到“自然的和谐”，千百年来一直引导着我们去追寻天体平和运行的天然乐音和亚原子粒子混沌的喧嚣。自超弦理论发现以来，音乐的幻想成了惊人的现实，因为这个理论认为，微观世界里到处是小小的琴弦，它们不同的振动便合奏出宇宙演化的交响曲。根据超弦理论，变化的劲风吹遍了一个充满琴弦的宇宙。

另一方面，标准模型却把宇宙的基本组成看做一点一点的没有内部结构的粒子。虽然这个方法很有力量（我们说过，标准模型提出的几乎每个微观世界的预言在百亿亿分之一米的尺度上都得到了验证，那已经达到今天的技术极限了），却成不了完备的或最后的理论，因为它没有包括引力。而且，把引力囊括进它的量子力学框架的尝试也都失败了，原因是在超微尺度下——也就是在小于普朗克长度的距离下——空间结构将出现剧烈的涨落。这个尚未解决的矛盾激励着人们去寻找一个更深的自然理论。1984年，还在玛丽王后学院的格林（Michael Green）和加州理工学院的施瓦兹（John Schwarz）提出了第一个令人信服的证据，说明超弦理论（或简称为弦理论）可能是我们寻找的那样东西。

超弦理论革命性地修正了我们对宇宙的超微观性质的理论描述——物理学家慢慢发现，那修正正是我们需要的，它使爱因斯坦的广义相对论与量子力学完全相容了。根据弦理论，宇宙的基本构成要素不是点粒子，而是有点儿像细橡皮筋的上下振动着的一堆丝线。不过，别让这名字给骗了：它不像一根普通的弦，本身也由分子和原子组成；弦理论的弦被认为是深藏在物质核心里的。根据理论，弦是构成原子的粒子的超微观组成元。弦理论的弦小得可怜，平均大约是普朗克长度的尺寸，所以即使用我们最灵敏的仪器来检查，它们看起来也跟像点一样。

不过，简单地用弦来代替点粒子作为万物的基元，已经产生了深远的结果。第一点，也是最重要的一点，弦理论似乎解决了广义相对论与量子力学间的矛盾。我们将看到，弦在空间延展的本性，是把两个理论结合到一个和谐框架里来的一个关键的新要素。第二点，弦理论提供了一个真正的统一理论，因为所有物质和力都来自同一个基元：振动的弦。最后一点，我们在后面几章还会更彻底地讨论，那就是，除了上面提到的成绩，弦理论又一次极大地变革了我们对时空的认识。28

1968年，年轻的理论物理学家维尼齐亚诺（Gabriele Venezia-no）正在费力弄清实验观测到的强核力作用的各种性质。他那时是欧洲核子研究中心（CERN）的研究人员，在瑞士日内瓦的欧洲加速器实验室，对那些问题已经研究了好多年。一天，他突然有了一个惊人的发现。令他惊奇的是，著名瑞典数学家欧拉（Leon-hard Euler）在200年前因纯粹数学目的构造的一个不太起眼的公式——所谓的欧拉β函数——似乎一下子就描写了强相互作用的大量性质。维尼齐亚诺的发现将强力的许多性质纳入一个强有力的数学结构，并掀起一股热浪，用欧拉β函数和它的各种推广去描写从全世界收集来的不同原子碎片的数据。不过，维尼齐亚诺的发现从某种意义上说是不完整的。欧拉的β函数似乎很有用，但没人知道为什么；就像一个学生靠记忆用了公式，但不知道它的意义和证明。那时，β函数还是一个等待解释的公式。到1970年，情况变了。芝加哥大学的南部阳一郎（Yoichiro Nambu）、尼尔斯·玻尔研究所的尼尔森（Holger Nielsen）和斯坦福大学的苏斯金（Leonard Susskind）揭示了藏在欧拉公式背后的物理学秘密。他们证明，如果用小小的一维的振动的弦来模拟基本粒子，那么它们的核相互作用就能精确地用欧拉函数来描写。他们论证说，这些弦足够小，看起来仍然像点粒子，所以还是能够与实验观测相符。

虽然强力的弦理论直观、简单，也令人满意，但不久人们发现它也有失败的地方。20世纪70年代初，高能实验已经能探索更深层的亚原子世界。实验表明，弦模型预言的某个数直接与观测结果相矛盾。这时候，作为点粒子量子场理论的量子色动力学也在发展着，它在描写强力时获得了压倒一切的成功，弦理论当然也就黯然失色了。

大多数粒子物理学家认为，弦理论已经被扔进了科学的垃圾堆。不过，有几位虔诚的研究者还在守着它。例如，施瓦兹觉得“弦理论的数学结构太美了，还有那么多奇妙的性质，一定关系着什么更深层的东西。”29物理学家发现的一个弦理论问题是，它似乎“管得太多”了。这个理论中振动的弦的图像具有类似胶子的性质，这一点证实了它原来是一个强力理论的宣言。但是，除了这些，它还包含着多余的信使粒子，似乎与强力的任何实验观测都不相干。1974年，施瓦兹和巴黎高等师范学院的谢尔克（Joёl Scherk）迈出了大胆的一步，使这一显然的缺陷成了优点。他们在研究了那令人疑惑的像信使粒子一样的弦振动模式后，发现它完全符合假想的引力的信使粒子——引力子。尽管这些“最小的引力单元”从来没有发现过，理论家还是能预言它们应该具有的某些性质，而施瓦兹和谢尔克则发现这些性质正好通过一定的弱振动模式实现了。在这个基础上，谢尔克和施瓦兹提出，弦理论最初的失败是因为我们不恰当地限制了它的范围。他们断言，弦理论不单是强力的理论，也是一个包含了引力的量子理论。30

物理学圈子里的人并没有满怀热情地欢迎他们的建议，实际上，施瓦兹说：“我们的工作被普遍忽略了。”31在统一引力和量子力学的征途上，人们已见过太多的失败；弦理论当初在描写强力时也有过错误，在很多人看来，带着它去追求一个更宏伟的目标似乎是没有意义的。更令人失望的是，20世纪70年代末和80年代初的研究证明，弦理论和量子力学遭遇了各自微妙的矛盾。看来，引力还是“不愿意”走进宇宙的微观图景。

直到1984年，情况才有了变化。格林和施瓦兹经过10多年艰苦的遭大多数物理学家白眼、排斥的研究，终于在一篇里程碑式的文章里证明了，令弦理论困惑的那个微妙的量子矛盾是可以解决的。而且，他们还证明，那个理论有足够的能力去容纳4种基本力。这些话传遍了整个物理学世界，许许多多的粒子物理学家都停下他们的研究计划，涌向这最后一个理论的战场——为了一个古老的追求，认识宇宙最深最远的秘密。

我从1984年开始在牛津大学读研究生，虽然我为所学的量子场论、规范理论和广义相对论感到兴奋，但老同学们却普遍感觉粒子物理学前途渺茫。标准模型摆在那里，预言的实验结果那么成功，它的证实是迟早的事情，最多不过补充些细节。超越它的极限，把引力包括进来，而且要能解释它所依赖的实验事实——概括基本粒子质量的那19个数，它们的力荷，力的相对强弱，那些从实验得到却还没有理论根据的数……——一项多么可怕的使命，只有最勇敢的物理学家才敢迎接这个挑战！但是，6个月以后，气氛完全不同了。格林和施瓦兹的胜利最后也感染了一年级的研究生，身在物理学历史的伟大运动中的激情，替代了以往的忧郁。我们多数同学都攻读到深夜，就为了学会理解弦理论所需要的大量的理论物理和抽象的数学。

从1984年到1986年，是我们所谓的“第一次超弦革命”时期。在那3年里，全世界的物理学家为弦理论写了一千多篇研究文章。这些研究明确地证明，标准模型的许多特征——那是经过几十年艰难探索发现的——简单地在弦理论的宏大结构中自然出现了。正如格林说的，“当你遇到弦理论，发现近百年来所有的重大物理学进步都能从那么简单的起点产生出来——而且是那么美妙地涌现出来——你会感觉，这个令人着迷的理论真是独一无二的。”32另外，我们还将讨论，对多数性质来说，弦理论的解释比标准模型更完美，更令人满意。这些成果使许多物理学家相信，弦理论正在一步步实现它的愿望，成为一个终极的统一理论。

但是，弦理论总是一次又一次地遭遇同一块巨大的绊脚石。在理论物理学研究中，我们经常遭遇的只不过是难解或难懂的方程。物理学家一般不会放弃，而是试着近似地解决它们。弦理论的情形则更加困难，连方程本身都很难确定，至今我们也只是导出了它的近似形式。于是，弦理论家们只限于寻找近似方程的近似解。经过第一次革命的巨大进步以后，物理学家发现，他们运用的近似解不足以回答挡在理论前头的许多基本问题。除了近似方法，物理学家们找不到别的具体方法。于是，有些走进弦理论的人感到沮丧，又回到他们过去的研究路线。对留下的人来说，20世纪80年代末和90年代初是他们热身的时期。弦理论像一座宝库，但锁得严严的，只能通过一个小孔看到它，可望而不可即；它那么美妙，那么有希望，在召唤着人们，但没人有打开它的钥匙。漫长平淡的日子过后总会迎来重大的发现。但每个人都明白，我们还需要强有力的新方法来超越过去的近似方法。

接下来，在南加利福尼亚召开的“弦1995年会”上，惠藤通过他那激动人心的演讲——一篇令在场的世界顶尖物理学家们大吃一惊的演讲——宣布了下一步的计划，从而也点燃“第二次超弦革命”。弦理论家们跟我们这儿讲的一样，都在费尽心力地磨炼一套新的方法，有望能克服以前遇到过的那些理论障碍。全世界的超弦理论家们的技术本领都将面临前进路上的困难的考验，而在那另一尽头的光明，虽然还很遥远，总有一天会看到的。

在这一章和接下来的几章里，我们要谈通过第一次超弦革命到第二次超弦革命以前的研究得到的对弦理论的认识。有时我们也会用后来的眼光去看前头的东西；而最新的进展要等到第12章和第13章。

我们在本章开头讲过，图1.1也画过，弦理论宣扬的是，如果能以远远超越我们现在能力的精度去检验标准模型假设的点粒子，我们将看到，每个粒子都是单独的一根细细的振荡着的小线圈儿。

以后我们会明白，这些闭合的弦一般是普朗克长度的尺度，大约是原子核的一万亿亿分之一（小数点后面19个零）。难怪我们今天的实验还不能决定物质的微观的弦的本性：即使在亚原子粒子的尺度上看，弦也是太小太小了。我们需要用加速器来把物质能量比以前做的提高大约1000亿倍，才可能直接揭示它们是弦而不是点粒子。

我们将简单说明以弦代替点粒子会产生哪些惊人的结果。不过，还是先来讲一个更基本的问题：弦是什么做的？

问题有两个可能的答案。第一，弦是真正基本的东西——是“原子”，在古希腊人本来的意义上，也就是不可分的基元。绝对的最小的构成万物的基元的弦，像最后的那个俄罗斯洋娃娃，33代表着微观世界数不清的亚结构层次走到了尽头。从这点看，弦即使在空间延伸，问它们的组成也是没有意义的。如果弦是由更小的事物组成的，它们就不会是基本的。相反，如果什么东西构成了弦，它就当然可以取代弦的位置，而成为更基本的宇宙基元。用语言学的类比，我们说，段落由句子组成，句子由词语组成，词语由字母组成，那字母由什么组成呢？从语言学的立场看，字母是最基本的东西。字母就是字母，它们是书面语言基本的建筑砖块，没有更细的结构。问它们的组成也是没有意义的。同样，弦就是弦，没有比它更基本的东西，所以不能把它描写成由别的任何物质组成的东西。

以上是第一个答案。第二个答案基于目前的现实情况：我们还不知道弦理论是不是正确的大自然的最后理论。假如弦理论真的走错了方向，我们可以忘记弦和不相干的关于它们组成的问题。虽然这是可能的，但20世纪80年代中期以来的研究令人不得不相信，事情很可能不是那样的。不过另一方面，历史也确实告诉我们，每当对宇宙的认识深入一步，我们总会发现物质还有更微观的层次，还有更小的组成元素。所以，关于弦是否能成为最后的理论，还有一种可能，那就是，它们仿佛是宇宙大洋葱剥下的一层，在普朗克长度下可以看到这一层，尽管还不是最后的一层。在这种情形，弦可能由更小的结构组成。弦理论家们提出了这种可能性，也在不停地寻找这种可能性。今天，理论研究中出现了一些有趣的线索，暗示弦可能有更小的结构，但还没有确实的证据。经过艰苦的研究，总有一天我们能回答这个问题。

除了第12章和第15章的几点猜想，我们都在第一个答案的前提下讨论弦的问题——就是说，我们认为弦是大自然最基本的组成单元。

标准模型除了不能把引力包括进来，还有一个缺点：不能具体解释它的那些组成。为什么大自然会选择表1.1和表1.2列的那些特别的粒子和力？为什么描写这些粒子和力的19个量具有那样的数值？你可能不禁会想，那些数和具体的性质似乎都是任意的。这些看起来很随机的组成单元的背后是否还藏着什么更深的道理？难道宇宙的这些形形色色的物理学性质真是被偶然“选中”的？

标准模型本身不可能解释这些问题，因为它把这些粒子和它们的性质当做实验观测为它输入的原始数据。在没有原始投资数据的情况下，股市的表现不能用来决定证券盈亏；同样，如果离开了那些基本粒子性质的数据输入，标准模型什么也预言不了。1在实验粒子物理学家一丝不苟测量那些数据以后，理论家就能用标准模型做出一些可以检验的预言，如某些粒子经过加速器的轰击后会发生什么事情。但是，标准模型不能解释表1.1和表1.2里的基本粒子性质，就像今天的道·琼斯指数不可能解释你10年前买了多少股票。

实际上，假如实验发现了什么不同的微观世界的粒子可能与不同的力发生作用，我们只需要把不同的参数输入理论，就很容易把这些变化纳入标准模型。从这个意义说，标准模型的结构也太能“善变”了，能适应很多可能的事情，所以它解释不了基本粒子的性质。

弦理论大不一样，它是独特的牢固不变的理论大厦。它不需要输入更多的参数，只需要一个确定测量尺度标准的数（下面讲）。微观世界的一切性质都在它的解释能力之内。为明白这一点，我们先来考虑大家熟悉的弦，如小提琴的弦。每一根琴弦都可能有许多（实际上是无限多）不同的振动模式，也就是我们知道的共振，如图6.1。共振是那些峰谷正好在弦的两个端点间张开的波动模式，我们的耳朵感觉这些不同的共振，就听到不同的音调。弦理论中的弦也有类似性质，在这里，弦可能产生的共振模式是在它的空间范围内恰当展开的峰和谷。图6.2列举了几个例子。像琴弦的不同振动模式奏响不同乐音那样，一根基本弦的不同振动模式生成了不同的质量和力荷。这是最核心的一点。因为核心，我们再说一遍：依照弦理论，一个基本“粒子”的性质——它的质量和不同的力荷——是由它内部的弦产生的精确的共振模式决定的。

图6.1　琴弦能产生的共振模式。共振波的峰谷数目正好能满足弦的两个端点间的距离。

图6.2　弦理论中的闭合线圈也能以共振形式振动——类似于琴弦的共振——峰谷的数目也正好适应弦的空间长度。

弦与粒子质量的关联很容易理解。弦的某个振动模式的能量取决于它的振幅（峰谷的最大相对位移）和波长（相邻两个峰或谷之间的距离）。振幅大的和波长小的，能量较大。这与我们的直觉是一致的——振动越疯狂，那个模式的能量越大；不那么疯狂的振动，能量也会小些。我们在图6.3里列举了两个例子。这也是我们熟悉的现象。当用力拨动琴弦时，振动会很剧烈；而轻轻拨动它时，振动会很轻柔。现在来看，从狭义相对论我们知道，能量和质量像一枚硬币的两面，是同一事物的不同表现：大能量意味着大质量，大质量也就是大能量。那么，依照弦理论，基本粒子的质量决定于内在弦的振动模式的能量。质量较大的粒子所具有的弦振动较剧烈，质量小的粒子所具有的弦振动较轻柔。

因为粒子的质量决定着它的引力性质，于是我们在这里看到，弦的振动模式与粒子的引力作用之间存在着直接的关联。物理学家还发现，在弦振动模式的其他方面与其他力的性质之间，也存在着类似的关联，尽管这里涉及的论证多少要抽象一些。例如，一根弦所携带的电荷、弱荷与强荷也完全由它的振动方式决定。另外，这些关联对信使粒子本身也完全成立。如光子、弱规范玻色子和胶子等粒子，还是弦的共振模式。特别重要的一点是，在弦的振动模式中，有一种模式完全满足引力子的性质，从而保证了引力是弦理论的不可分割的一部分。2

图6.3　疯狂的振动模式比轻柔的振动模式有更大的能量。

现在我们明白了，依照弦理论，每种基本粒子所表现的性质都源自它内部的弦经历着特别的共振模式。这种观点与物理学家在弦理论发现之前提出的主张是迥然不同的。照从前的观点，基本粒子间的差别大致被解释为每种粒子都是“从不同的结构里分离出来的”。虽然每个粒子都被看做是基本的，但各自被赋予的“基元”类型却是不同的。例如，电子的“基元”带负电荷，而中子的“基元”没有电荷。弦理论彻底改变了这幅图景，它宣布所有物质和力的“基元”都是相同的。每个基本粒子都由一根弦组成——就是说，一个粒子就是一根弦——而所有的弦都是绝对相同的。粒子间的区别是因为各自的弦在经历着不同的共振模式。不同的基本粒子实际上是在同一根基本弦上弹出的不同“音调”。由无数这样振动着的弦组成的宇宙，就像一支伟大的交响曲。

上面的概括说明，弦理论搭起了一个多么辉煌的真正的统一理论的框架。物质的每一个粒子，力的每一个传递者，都由一根弦组成，而弦的振动模式则是识别每个粒子的“指纹”。发生在宇宙间的每一个物理学事件，每一个过程，在最基本的水平上都能用作用在这些基本物质组成间的力来描写，所以，弦理论有希望为我们带来一个包容一切的统一的物理宇宙的描述，一个包罗万象的理论（T.O.E.）。

虽然弦理论远离了以前的没有结构的基本粒子的概念，但旧的语言还很难消失，特别是在最微小的距离尺度上，过去的一些语言还为实在提供了准确的描述。所以，我们以后还是继续习惯地讲“基本粒子”，不过它的意思总是“一根根振动着的弦”。上一节我们说过，这样一些基本粒子的质量和力荷是相应的弦的振动方式的结果。这就使我们认识到，假如能够弄清基本弦的可能振动模式——或者说，“听清”它们所能奏响的“音调”——那么，我们就能解释所看到的基本粒子的性质。于是，弦理论第一次搭起了一个解释我们所观察到的自然粒子性质的框架。

这样说来，我们该“抓”一根弦来“弹”，用所有的方法去弹，以决定可能的振动模式。如果弦理论是对的，我们将发现那些可能的模式能完全产生表1.1和表1.2里的物质和力的各种粒子的观测性质。当然，弦太小了，不可能像我们讲的那样实验。不过，我们可以用数学语言在理论上弹一根弦。20世纪80年代中叶，许多弦的信奉者都认为做这些实验所要求的数学分析差不多就能解释宇宙最微观水平的每一个性质。有些热情的物理学家还宣扬，一个包罗万象的理论终于找到了。10多年过后来看，有这样信念的人也高兴得太早了。弦理论是有点儿T.O.E.的模样，但一路的坎坷还很多，我们还得不出足够精确的能与实验结果相比较的弦振动模式。所以，我们现在并不知道表1.1和表1.2总结的宇宙基本特征能不能用弦理论来解释。如我们将在第9章讨论的，在一定假设条件（我们将具体说明是什么条件）下，弦理论可以生成一个宇宙，在定性上具有与我们知道的粒子和力相符的性质，但目前还没有办法从理论导出具体的数值预言。因此，虽然弦理论的框架与点粒子标准模型不同，它能解释为什么粒子和力有我们看到的那些性质，但我们还不能把这些解释从理论中抽象出来。不过，值得注意的是，弦理论包容多、延伸远，即使确定不了具体的性质，我们还是能够认识许多从这理论生出的新物理学现象，这一点我们会在后面的章节里看到。

在接下来的几章，我们要比较详细地讨论弦理论目前遇到的困难。还是先来大概了解一下它们。我们周围的“弦”都有着不同的张力，例如，鞋带通常比小提琴的琴弦松，而这两样又都远不如钢琴的金属弦那么有力。弦理论为了确立它的总体大小，需要的一个量就是弦圈的张力。如何决定张力呢？是这样的。如果我们拨动一根弦，那么我们将知道它的强度是怎样的，这样，我们就能像测量普通弦的张力那样来测量基本弦的张力。但基本弦太小，这种办法实行不了，还需要有更间接的办法。1974年，谢尔克和施瓦兹提出，某个特别的弦振动模式是引力子，他们找到了那种间接的方法，从而预言了弦理论的这些弦的张力。他们的计算表明，通过那假想的弦振动的引力子传递的力的强度反比于弦的张力。我们曾设想引力子传递的是引力——一种天生很微弱的力——于是他们发现，那意味着引力子的弦有巨大的张力，千万亿亿亿亿（1039）吨，这是所谓的普朗克张力。这样看来，基本弦与我们熟悉的那些例子相比，是极端强硬的，这引出三点重要结果。

第一点，固定琴弦的两端，弦长度也就固定了；但对基本弦来说，没有琴架子来把弦固定起来。实际上，弦理论的闭弦会因为强大的张力而收缩成很微小的弦圈，详细计算表明，在普朗克张力的作用下，一根典型的弦只有普朗克长度的大小，10-33厘米——我们以前讲过的。3

第二点，因为弦理论中振动圈的张力巨大，它的能量一般也是极高的。为明白这一点，我们可以想想，弦的张力越大，就越难让它振动。例如，拨动小提琴的弦很容易，拨动钢琴就要难一点儿。所以，张力不同的两根弦，虽然振动方式完全一样，也不会有相同的能量。张力大的弦比张力小的弦有更高的能量，因为赋予它更多的能量，它才能产生运动。

这提醒我们，振动弦的能量由两样东西决定：振动的准确模式（振动越疯狂，能量越高）和弦的张力（张力越大，能量越高）。乍看起来，这可能令人想到，如果我们让振动越来越轻柔——振幅越来越小，峰谷越来越少——那么它的能量可能会越来越低。但是，正如我们在第4章的场合看到的，量子力学告诫我们，这样的推论是错误的。在量子力学看来，弦跟其他所有的振动和波动一样，只能以分离的单位存在。大体上说，一个振动模式所赋予的能量是某个最小能量单元的整数倍，就像那个仓库里的伙伴们拿的钱，都是某个钞票单位的整数倍。特别地，这里说的最小能量单元正比于弦的张力（它也正比于相应振动模式的峰和谷的数目），而那整数则由振动模式的振幅决定。

我们现在讨论的要点是：因为最小能量单元正比于弦的张力，而弦的张力很大，所以，在基本粒子物理学的一般尺度上，这个基本的能量单元也是很大的。它们是所谓普朗克能量的倍数。这个量有多大呢？假如我们用爱因斯坦著名的转换公式E=mc2将普朗克能量化成质量，相应的质量将是质子质量的千亿亿（1019）倍。这个以基本粒子的标准看来庞大的质量，就是普朗克质量，大概相当于一粒沙尘或者一百万个细菌的质量。这样，在弦理论图景中，振动的弦圈所对应的典型质量一般是普朗克质量的整数（1，2，3……）倍。关于这一点，物理学家常说，弦理论的“自然”或“典型”的能量尺度（当然也是质量尺度）是普朗克尺度。

这引出一个大问题，直接与我们想再现表1.1和表1.2的粒子性质的愿望有关：如果弦理论“自然”的能量尺度比质子大千亿亿倍，它又如何能解释构成我们周围世界的那些“轻飘飘”的粒子——电子、夸克、光子等等？

问题的答案还是来自量子力学。不确定性原理保证了没有什么东西是绝对静止的，所有物体都在经历着“量子战栗”，否则我们就会完完全全地知道物体在哪儿，运动多快，那就违背海森堡的原则了。这一点对弦理论中的弦圈也是成立的。一根弦圈，不论显得多宁静，也总是经历着一定的量子振荡。20世纪70年代发现了一件令人惊奇的事情，前面图6.2和图6.3示意的那些直观的弦振动会与量子振荡发生能量的“消减”。就是说，由于量子力学的奇异性，与弦的量子振荡相关联的能量是负的，它将振动弦的总能量减少了大约普朗克尺度的能量。这意味着我们曾天真地以为等于1倍普朗克能量的弦振动模式的最低能量将大大地减少，从而生成相对低能的振动，它们相应的等价质量正好处在表1.1和表1.2的物质粒子和力的信使粒子的质量附近。于是，正是这些最低能量的振动模式，应该能在弦的理论图景和实验能及的粒子物理世界之间建立某种联系。一个重要的例子是，谢尔克和施瓦兹发现，在那个性质像引力的信使粒子的振动模式中，能量彻底地消失了，结果产生一个零质量的引力的粒子，恰好是我们所期待的引力子；因为引力是以光速传播的，而只有零质量的粒子才能以这个极大速度运行。但是，低能振动的组合却更多是例外，而不是一般法则。更典型的振动基本弦所对应的粒子，质量一般要比质子大千百亿亿倍。

这些事实告诉我们，表1.1和表1.2中相比之下轻得多的基本粒子应该是以某种方式从高能量弦的咆哮的朵朵浪花里产生出来的。即使顶夸克那样有189个质子质量的重粒子，也能从振动的弦生成，不过，这需要让弦的巨大的普朗克尺度的特征能量在量子不确定的涨落中减小到原来的一亿亿分之一。这好像在“买得巧”34的游戏中，主持人给你一千亿块钱，叫你去把它花了，或者说，把它减少，只留下189块，不能多，也不能少。拿着那么多钱，要花得那么精确，还不知道每样东西的精确价格，即使世界上最精明的买卖人也会大伤脑筋的。在弦理论中，流通的不是钞票，而是能量，近似计算证明了类似的能量消减一定能够出现。不过，要证明这种消减在那么高的精度上实现，总的说来超出了我们今天的理论水平，在随后的几章里我们会逐渐明白那是为什么。即使这样，我们还是可以看到，像以前说过的那样，弦理论中的许多其他对细节不那么敏感的性质，都能抽象出来，并满怀信心地理解它们。

这将我们引到巨大弦张力的第三个结果。弦能以无限多的不同的振动方式振动，例如在图6.2里我们画了几个峰谷数越来越多的弦振动模式，那才是一个无限序列的开头。这似乎意味着它还对应着一个无限的基本粒子序列，那不是显然与表1.1和表1.2概括的实验情况相矛盾了吗？

是的，的确如此。如果弦理论是对的，无限多弦共振模式的每一个都应该对应一个基本粒子。不过，还有基本的一点，强大的弦张力保证除了几种振动模式（几种能量最低的振动，能量差不多被量子涨落消减净了）而外，其他的都对应着极重的粒子。这里，“重”的意思是，比普朗克质量还重许多倍。我们最强大的粒子加速器所能达到的能量只有质子质量的1000倍，还不及普朗克能量的千亿分之一。所以，在实验室里寻找弦理论预言的那些新粒子，离我们还遥远得很。

然而，我们却有许多间接的办法来寻找那些粒子。例如，在宇宙诞生之初，能量应该是很高的，足以产生大量那样的重粒子。当然，我们一般不会指望它们能留存到今天，因为这些超重的粒子往往是不稳定的，会通过一级一级的衰变失去大质量，最终成为我们熟悉的寻常世界的轻粒子。不过，这些超重的弦振动状态，大爆炸的遗迹，也可能真的会留到现在。毫不夸张地讲，找到这样的粒子可是不朽的发现，在第9章我们会更详细地讨论。

弦理论搭建的统一框架是很吸引人的，但它真正吸引人的地方在于它能缓和引力与量子力学间的对立。我们都记得，在结合广义相对论与量子力学时，问题就发生了，那是两个理论的核心特征碰撞的结果——在广义相对论里空间和时间形成一个光滑弯曲的几何结构；而在量子力学中，宇宙万物，包括空间和时间，都在经历着量子涨落，而且，在越小的距离尺度上，涨落越剧烈。在普朗克尺度以下，疯狂的量子涨落打破了光滑弯曲的几何概念，也就推倒了广义相对论的基础。

弦理论“抹平”了空间的短距离性质，从而令喧嚣的量子波浪安静了许多。这到底是什么意思？它是怎么解决矛盾的？关于这些问题，我们有一个粗略的回答，还有一个更准确的回答，下面就依次来讨论。

大体上说，我们认识物体结构的一种办法是，用其他事物来打击它，然后观察它们沿着什么路线偏转。例如，我们能看见东西，是因为从那东西反射回来的光子带着信息到达我们的眼睛，然后我们的大脑识别了这些信息。粒子加速器建立在同样的基础上：它让电子和质子等物质相互碰撞，也让它们去撞击其他目标，然后，精密的探测仪器来分析产生的碎末，从而决定那些目标所包含的结构。

一般说来，我们所用的探针粒子的大小决定了我们所能探测的尺度的下限。为认识这句话的重要性，我们来看一个例子。斯里姆和吉姆兄弟想学点儿艺术，于是他们报名进了一个绘画班，经过一段时间的课程，吉姆越来越讨厌斯里姆那一副美术家的派头。他想跟他玩儿一场不同寻常的比赛。他提议每人拿一粒桃核，固定在台钳上，然后画一幅精确的静物图。吉姆的挑战的不同寻常在于谁也不许看着桃核，而是向核发射东西（当然不是光子！），通过观察东西的偏转来确定它的大小、形态和特征，如图6.4。吉姆瞒着斯里姆，在他的枪里填满石弹子（图6.4（a）），而在自己的枪里填满小得多的5毫米塑料弹头（图6.4（b））。两人都开枪发射，比赛开始了。

过一会儿，斯里姆的图画好了，如图6.4（a），通过观察石弹子偏转的轨迹，他发现桃核是表面坚硬的小团东西，不过他也只能知道这么多。石弹子太大了，不可能反映出桃核更细的褶皱结构。当斯里姆看吉姆的画时，惊讶地发现他的画比自己的好（图6.4（b））。不过，看一眼吉姆的枪，他知道自己上当了：吉姆用的小弹头足以反映出由桃核表面的一些大结构所引起的偏转角度。所以，在发射许多5毫米弹头后，吉姆可以看到子弹的偏转的情形，然后画出更细的图。斯里姆不服输，回头用更细小的半毫米弹头填满他的枪，这些小探针粒子足以从核表面的细微褶皱间进出。看它们如何偏转，斯里姆就能画出图6.4（c）的那幅胜利的图画。

图6.4　桃核固定在架子上，通过观察打在它表面的“探针”的偏转情况来描绘它的图像。所用探头越小——（a）石弹子，（b）5毫米弹头，（c）半毫米弹头——绘出的图像越细致。

这场小小竞赛的教训是很清楚的：我们用的探针粒子不能比所检验的物理特征的尺度大得太多；否则，它们就感觉不到那些有意义的结构。

假如我们还想更深入地认识桃核的原子和亚原子结构，上面讲的当然还是对的。半毫米的子弹这时不能提供什么信息；它们显然是太大了，不可能对原子尺度的结构产生什么反应。这也是为什么我们在粒子加速器里用质子或电子来作探针的理由，因为它们尺寸小，更适合探测小尺度的结构。在亚原子尺度，量子概念取代了经典逻辑，粒子探针灵敏度的最恰当的度量是它的量子波长，波长表明了它的位置有多大的不确定性。这一点是我们第4章关于海森堡不确定性原理的讨论的结果，在那里我们曾看到，用点粒子做探针（我们主要讲的是光子探针，但讨论也适合于所有其他粒子）引起的误差区间大约等于探针粒子的量子波长。用不那么严格的语言，我们可以说，量子力学的“战栗”把点粒子的探针“抹平”了，就像一位紧张的外科大夫，用颤抖的手拿着手术刀，那开刀的位置还能准确吗？不过，回想一下，我们在第4章还谈到另一点重要事实：粒子的量子波长反比于它的动量，而动量大致也就是它的能量。所以，通过提高点粒子的能量，可以使它的量子波长越来越短——探头越来越“尖”——从而可以用来探测更精细的物理结构。直观地看，高能粒子有更强的穿透能力，所以能探测更细微的特征。

在这一点上，点粒子与弦表现出显著的差别。与塑料弹头探测桃核表面特征的情形一样，弦的空间大小也限制了它不能探测比它自身尺度更小的任何事物的结构——在这里，即那些在普朗克长度以下生成的结构。说得更具体一点，1988年，当时在普林斯顿大学的格罗斯（David Gross）和他的学生孟德（Paul Mende）证明，在考虑量子力学的条件下，持续增大弦的能量并不能持续提高它探测更精细结构的能力，这与点粒子的情形是直接对立的。他们发现，弦能量开始增加时，确实像点粒子那样，能探测更小尺度的结构。但当能量超过普朗克长度下的结构所要求的量时，多余的能量不能使弦探针变得更尖。相反，那些能量会使弦长大，从而减小它的小尺度灵敏度。实际上，虽然弦的典型尺度是普朗克长度，但是，如果在弦上堆积足够的能量——那是我们怎么也想象不到的大能量（不过，它很可能在大爆炸时出现过）——我们可以使它长大到宏观的尺度，那实际上不可能是灵敏的微观宇宙的探针！看来，弦不同于点粒子，它有两个令探头“迟钝”的根源：一个是量子战栗，与点粒子类似；一个是它自身的空间大小。增大弦的能量可能减小第一个来源的影响，却最终增大了第二个来源的影响。结果，不管我们费多大力气，弦的延伸本性使我们不可能探测普朗克长度以下的现象。

但是，广义相对论与量子力学之间的整个矛盾却出现在普朗克长度以下的空间结构性质。如果宇宙的物质基元不能探测普朗克尺度下的距离，那么不论这些基元还是它们组成的事物，都不可能受那可能的灾难性的小尺度量子涨落的影响。这就像我们用手抚摸一块非常光亮的花岗石，虽然花岗石表面在微观上凹凸不平，是点点细小的颗粒，但我们的手指头摸不出那些细微的变化，只感觉它是完全光滑的。我们粗糙的手指头把小颗粒都“抹平”了。同样，因为弦能在空间生长，它对小尺度的灵敏度也有一定的极限。它“感觉”不出普朗克距离尺度下的变化，它像我们的手指一样，把引力场的超微观涨落都“抹平”了。虽然残留的涨落还很剧烈，但抹平后的光滑已足以平息广义相对论与量子力学的水火不容。而且，还有特别的一点，从引力的量子理论的点粒子方法中产生的那些可恶的无穷大（上一章讨论过了），都被弦理论干净地消除了。

花岗石与我们关心的真正的空间结构之间的根本区别在于，我们有办法让花岗石表面的微观颗粒结构表现出来：不用手指，用更细、更精的探针，就能做到这一点。电子显微镜能识别比百万分之一厘米还小的表面结构，这足以揭示数不清的表面缺陷。相反，在弦理论中，普朗克尺度以下的空间结构“缺陷”是没有办法暴露出来的。在弦理论定律主宰的宇宙中，我们不能再像传统那样把大自然无限地分割下去。分割是有极限的，在我们遭遇图5.1中吞没一切的量子泡沫之前，那极限就会出现。因此，在某种意义上我们甚至可以说，假想的普朗克尺度下汹涌的量子波浪是不存在的，以后我们还会把这话讲得更准确一些。实证主义者总是认为，只有——至少在原则上——可以探寻和测量的事物才是存在的。因为弦被看做是宇宙最基本的东西，又因为普朗克尺度以下的空间结构涨落的波澜不足以影响这些相对说来巨大的弦，所以，那些涨落是无法测量的，从而在弦理论看来，它们实际上是不存在的。

上面的讨论可能不会让你满意，我们没有说明弦理论如何克服普朗克尺度以下的空间量子涨落，而是似乎用弦的尺度来回避了整个问题。我们真的解决了什么问题吗？是的。下面讲的两点会让我们更清楚一些。

首先，以上的讨论说明，假想的普朗克尺度以下的空间涨落是在以点粒子框架建立广义相对论和量子力学时产生的人为现象。所以，从某种意义说，当代理论物理学的核心矛盾是我们自己造出来的问题。以前，我们想象所有的物质的粒子和力的粒子都是点状的东西，没有空间大小，所以我们也总觉得要在任意小的空间尺度下考虑宇宙的性质。而在最小的尺度上，我们走进了似乎不可逾越的问题堆。弦理论告诉我们，我们遭遇那些问题只是因为没有真正懂得游戏规则；新规则告诉我们，我们在宇宙中将走近一个距离的终点——那实际上是说，我们传统的距离概念在超微观的宇宙结构中并不是无限适用的。我们想象的可恶的空间涨落现在看来不过是从我们的理论生出来的，而原因是我们不知道那些极限，从而在点粒子路线的引导下走过了物理学实在的边缘。

现在我们看到，广义相对论与量子力学间的矛盾就这样简单地克服了。可能有人会奇怪，为什么过了那么久人们才发觉点粒子不过是一种理想化的描述，而真实世界的基本粒子确实是有空间大小的。这引出我们要讲的第二点。多年以前，理论物理学的一些伟大的思想家，如泡利、海森堡，狄拉克和费曼，的确提出过大自然的基本组成可能不是一些点，而是一些捉摸不定的“点滴”或者“零碎”。然而，他们和其他一些人发现，很难构造一个理论，其中的物质基元不是点粒子，而且还要满足最基本的物理学原理，如量子力学的几率守恒（因为这一点，宇宙间的事物才不会毫无声息地突然消失），信息传播的光速极限。他们的研究从许多方面一次又一次地证明，如果抛弃点粒子的概念，那两个原理也会被破坏。于是，长期以来，寻找一个以点粒子以外的其他事物为基础的合理的量子理论，似乎是不可能的。弦理论真正动人的地方是，20多年来的艰苦研究表明，尽管弦理论有一些陌生的特征，但它的确满足任何一个合理的物理学理论所要求的性质。而且，还有一点，因为振动的引力子模式，弦理论包括了引力的量子理论。

从前面那个粗略的回答，我们基本明白了为什么弦理论在点粒子理论失败的地方独领风骚。所以，如果你愿意，你可以接着读下一节，而不会失去讨论的逻辑连贯。不过，既然第2章已经讲过了狭义相对论的基本概念，我们现在有可能更精确地说明，弦理论如何平息了疯狂的量子“战栗”。

在这个更准确的回答里，我们还是依据大概回答所依据的中心思想，不过直接在弦的水平上表达。我们将通过较为详细地对比点粒子和弦的探针来回答这个问题。我们会看到，弦的延展特性是如何抹去点粒子探针所得到信息的，从而它又是如何走出当代物理学最核心的超短距离下的困境的。

我们先来考虑，假如点粒子真的存在，它们会如何发生作用，从而如何成为物理学的探针。最基本的相互作用发生在两个运动粒子的碰撞过程中，这时，两粒子的轨迹会像图6.5那样相交。如果粒子是台球，它们会在碰撞以后发生偏转，走上新的轨道。点粒子的量子场论证明，基本粒子发生碰撞时也会发生类似的事情——粒子散射分离，然后飞向偏转的轨迹——不过细节有些不同罢了。

图6.5　两个粒子的相互作用——它们“轰”地撞在一起，然后沿偏转的轨道离开。

为说得具体简单一些，我们假设一个粒子是电子，另一个是它的反粒子，正电子。物质与反物质发生碰撞时，会湮灭为纯能量，生成光子。4为区别新生成的光子的轨道与原来的电子和正电子的轨道，我们遵循传统物理学的约定，把光子的路径画成波浪线。一般说来，光子走过一段距离后会把从原来的电子-正电子对得到的能量放出来，生成另一个电子-正电子对，它们的轨迹如图6.6的右端。两个粒子撞向对方，通过电磁力发生相互作用，最后又出现在偏转的轨道上，这个过程与台球的碰撞过程是相似的。

图6.6　在量子场论里，粒子与它的反粒子会在瞬间湮灭，生成光子。然后，光子生成另一对粒子和反粒子，沿不同的轨道飞离。

我们感兴趣的是相互作用的细节——特别是原来的电子与正电子发生湮灭产生光子的那一点。以后我们会明白，最核心的事实是，湮灭发生在完全可以确定的一个空间和时间点：标在图6.6的那一点。

当我们走近这些零维的点状物体时，它们实际上是一维的弦，这时会出现什么情况呢？相互作用的基本过程还是一样的，不过碰撞的东西是振动的线圈，如图6.7。如果线圈振动的共振模式适当，它们也可能代表像图6.6那样的电子与正电子的碰撞。只有在走近最微小的距离尺度——比我们今天技术能及的任何事物都小得多的尺度，它们真正的类弦特征才能明显地表现出来。与点粒子情形一样，两根弦发生碰撞，在“闪光”中相互湮灭。那闪光的光子本身也是一根特殊振动的弦。于是，两根弦走过来融合在一起，生成第三根弦，如图6.7。像点粒子的图景那样，新生的弦经过一小段距离，然后释放出原来两根弦的能量，生成两根新的弦，继续走下去。除了最微观的方面，这一切看起来还是像图6.6的点粒子相互作用。

可是，在两种图景间还存在着很重要的差别。我们强调，点粒子相互作用发生在空间和时间的一个可以确定的位置，那是所有观察者都能同意的。而我们应该看到，这在弦相互作用是不对的。关于这一点，我们来看第2章的那两位相对运动的观察者，乔治和格蕾茜会如何描述弦的相互作用。我们将看到，关于两根弦第一次在什么时刻、什么地方相遇，他们会有不同的意见。

图6.7　（a）两根碰撞的弦可以结合成第三根弦，然后再分裂成两根弦沿偏转的轨道运动下去。（b）是与（a）相同的过程，强调了弦的运动。（c）两根相互作用的弦随时间流逝而扫过一张“世界叶”。

我们想象用摄像机来观察两根弦的相互作用，把全过程拍成一小段电影，5结果是图6.7（c）的所谓弦的世界叶。把世界叶“切割”成一些相互平行的片——如面包片——我们能恢复弦相互作用的每一瞬间的历史。在图6.8里我们画了切割的例子。具体说，图6.8（a）是乔治看到的事情，他关心的是两根过来的弦；图中还画了一张切割的平面，切过空间所有在他看来同时发生的事件。像往常一样，为了图像更清晰，我们压缩了空间维。实际上，任何观察者看到的同时发生的事件都应该是一个三维的序列。图6.8（b）和图6.8（c）是在稍后时刻的两个镜头——后来的一“片”世界叶——它们说明乔治看到的两根弦是如何靠近的。最重要的是，我们的图6.8（c）定格在两根弦第一次相遇的瞬间（当然是乔治看到的），两弦结合在一起，生成一根新弦。

图6.8　乔治看到的两根弦在相继三个时刻的样子。在（a）和（b），两根弦越靠越近；它们在（c）第一次接触（从他的观点看）。

现在来看格蕾茜的情形。我们在第2章讲过，因为格雷茜与乔治是相对运动的，关于事件是不是同时发生，他们会有不同的观点。从格蕾茜的观点看，在空间同时发生的事件处在不同的一张面上，如图6.9。那就是说，在她看来，图6.7（c）的那个世界叶应该以另外的角度切割才能反映相互作用在每一个瞬间的表现。

在图6.9（b）和图6.9（c），我们画了后来两个时刻的情形（现在是从格蕾茜的观点画的），包括她看到两根弦相遇生成第三根弦的瞬间。

图6.9　格蕾茜看到的两根弦在相继三个时刻的样子。在（a）和（b），两根弦越靠越近；它们在（c）第一次接触（从她的观点看）。

图6.10把图6.8（c）和图6.9（c）放到一起来比较，我们看到，关于原来的两根弦在什么时候、什么地方第一次相遇——发生相互作用，乔治和格蕾茜有不同的意见。因为弦是有空间大小的，它们在空间的什么地方、在什么时刻第一次发生相互作用，不可能有明确的位置——那依赖于观察者的运动状态。

把同样的论证用于点粒子的相互作用，如图6.11，我们还是能得到以前讲过的结论——点粒子的相互作用在确定的时刻发生在空间确定的一点。点粒子把一切相互作用都挤进一个确定的点。当相互作用的力是引力——就是说，传递相互作用的信使粒子是引力子，而不是光子——那么，完全挤在一个点的相互作用将带来灾难性的结果，如我们以前提到过的无限大结果。反过来，弦把发生相互作用的地方“抹开”了。因为不同观察者看到相互作用发生在图6.10左边不同位置的切面上，相互作用实际上就在所有这些面上展开了。这样，力的包裹打开了，在引力的情形，超微观的“浓缩”性质也大大地淡化了——于是，原来计算无限大的地方，现在出现了很好的有限的结果。这就是我们在前一节大概回答时讲过的“抹平”的准确意思。当然，在普朗克长度距离以下模糊的超微观空间涨落也因此而抹平、光滑了。

图6.10　乔治和格蕾茜看到的发生相互作用的位置是不同的。

图6.11　相对运动观察者会看到两个点粒子的相互作用在同一时刻发生在空间的同一点。

从弦理论看世界，就像戴着不适当的眼镜看东西，原来点粒子探针能探测到的普朗克尺度下的精细图景，在弦看来成了模糊的一片，不再令人害怕了。不过，弦理论不是近视眼，它看到的就是宇宙的最终图景，不存在校正的透镜去聚焦什么普朗克尺度下的涨落。广义相对论与量子力学的矛盾只有在普朗克尺度下才会明显表现出来，而在距离——传统意义上能够达到或者可能存在的距离——有下限的宇宙中，矛盾是可以避免的。那就是弦理论所描绘的宇宙，在这里，我们看到“大”定律与“小”定律和谐地走到一起了，而过去感觉会在超微观尺度上出现的灾难，则烟消云散了。

弦有因为两点而奇特。第一点，弦虽然在空间延展，但还是可以很好地在量子力学的框架里描述，第二点，在无数的共振模式中，有一种完全具有引力子的性质，这使得引力成为弦结构的一个天然组成部分。然而，既然弦理论证明了传统的零维点粒子是一种数学的理想化，而不是真实世界的再现，那么无限细小的一维弦圈会不会也是一种数学理想呢？真实的弦也可能是有粗细的——如二维的自行车胎，或者甚至更“真实”地像三维的面包圈？这条自然路线研究者们从来没有走出结果，那困难似乎是难以逾越的。当年海森堡、狄拉克等人为了构造一个关于三维物质基元的量子力学，也没能走过去。

然而，谁也没想到，在20世纪90年代中期，弦理论家们通过间接但精妙的论证发现，那种高维的物质基元确实在弦理论中扮演着重要而微妙的角色。研究者们逐渐意识到，弦理论并不是只包含了弦的理论。1995年由惠藤等人发动的第二次超弦革命的一个重大发现就是，弦理论实际上还包含着许多不同维的东西；它们像二维的飞盘、三维的小水滴，甚至可能像别的更奇异的怪物。有关的最新认识留到第12章、第13章讲。现在我们还是继续沿着历史的路线，去看看一维弦生成的宇宙比点粒子宇宙，有什么惊人的新性质。

注释

1.标准模型真有一个让粒子获得质量的机制——希格斯机制，是以苏格兰物理学家希格斯（Peter Higgs）的名字命名的。但是就解释粒子质量而言，这不过是把问题转移去解释一种假想的“出让质量”的粒子——所谓希格斯玻色子——的性质。实验正在寻找这种粒子。不过，像我们说的那样，即使粒子找到了，性质测量了，那也是标准模型的输入数据，理论并不能解释它们。

2.为了喜欢数学的读者，我们可以把弦振动模式与力荷的关联描写得更准确一些：弦运动量子化以后，可能的振动状态像在任何量子力学系统中的一样，可以用希尔伯特空间的矢量来表示。这些矢量可以拿它们在一组对易厄米算子下的本征值来标记。算子之一是哈密顿算子，它的本征值是振动态的能量，也就是质量；还有些别的算子，能生成理论需要的不同的规范对称。这些算子的本征值就生成相应的弦振动态所携带的力荷。

3.通过第二次超弦革命（在第12章讨论），惠藤和费米国家加速器实验室的里肯（Joe Lykken，他是更令人瞩目的学者）发现这个结论可能有点儿微妙的问题。考察这些发现后，里肯提出，弦的张力可能会小得多，这样弦就比以前想的大得多。弦大了，我们有可能在下一代粒子加速器里看到它。假如这种可能是真的，那么一个激动人心的前景就会展现在我们眼前——这里和在以后讨论的弦的许多令人惊奇的东西将在未来的10年里得到实验证明。不过，即使弦理论还抱着“更传统的”10-33厘米大小的“小”弦，我们还是有很多间接的方法来寻找它们，这将在第9章讨论。

4.专业的读者会发现，在电子-正电子碰撞中产生的光子是虚光子，所以必然会在短时间内“归还”能量，分裂成电子-正电子对。

5.当然，摄像机是在“收集”从物体反弹回来的光子并把光子记录在胶片上。我们在这个例子中用的摄像机不过是一个符号，因为我们并不想看到从碰撞的弦反弹回来的光子。我们只是想在图6.7（c）中记录整个相互作用过程，说明这点以后，我们该指出正文里忽略了的更微妙的一点。第4章讲过，我们可以用费曼的路径求和的办法来建立量子力学，那个方法是，把物体从某个起点到某个终点的所有可能的路线组合起来（每条路线都有一个费曼确定的统计权重）。在图6.6和图6.7里，我们只画了点粒子或弦的从起点走到终点的无数可能路线中的一条。但是这里的讨论同样适用于任何其他可能的路径，从而也就适用于整个量子力学过程。（费曼在路径求和框架下建立的点粒子量子力学，已经由伯克利加利福尼亚大学的曼德尔斯坦（Stan-ley Mandelstam）和俄罗斯物理学家、现在普林斯顿大学物理系的波里亚科夫（Alexander Polyakov）推广到了弦理论。）