本量利分析的进一步讨论

第四节　本量利分析的进一步讨论

前面三节内容是建立在基本假设条件下进行的讨论。但是，企业实际生产经营过程难免存在各种不确定的因素，这些不确定的因素会导致某些基本假定条件不再成立，进而影响损益平衡点和目标利润的确定。因此，在放宽基本假定条件的情况下，探讨本量利分析模型，对企业适应实际生产经营情况是十分重要的。

本节集中讨论以下四个方面：

（1）相关因素变动对损益平衡点和目标利润的影响；

（2）非线性本量利分析；

（3）不确定性条件下的本量利分析；

（4）成本、销售结构对本量利分析的影响。

一、相关因素变动对损益平衡点和目标利润的影响

在经济学领域中，研究相关因素对所研究内容的影响，常用的是弹性分析方法。在这一部分，引入经济学的弹性分析方法完成相关讨论。

（一）产品销售价格变动的影响

产品价格随市场供求条件的变化而变动。产品价格的变动是影响损益平衡点及目标利润的一个重要因素。在单位产品变动成本和固定成本保持不变的情况下，产品销售价格上升，则销售收入增加，相应的总收入线的斜率就越大，损益平衡点就会相应地降低，同样的销售量实现的利润就越多；反之，价格下降，会使损益平衡点升高，同样的销售量实现的利润就越少。这种影响可以通过图5-2体现出来。

图5-2　产品销售价格对损益平衡点和盈利的影响

如图5-2所示，随着产品的销售价格上升，使总收入线斜率变大，损益平衡点从Q₁降低到Q₂，企业的获利能力也增加了。

这里给出一个案例来讨论销售价格的变动对损益平衡点和目标利润的影响。

某企业只生产、销售一种产品，产品每件销售价格6元，单位变动成本4元，预计年销量4000件，全部的固定成本为5000元。则损益平衡点销售量Q_B1和目标利润∏₁为

∏₁＝（P₁－PVC₁）Q－F 1＝（6－4）×4000－5000＝3000（元）

若其他因素保持不变，产品销售单价从P₁＝6元上升到P₂＝8元，则新的损益平衡点Q_B2和目标利润∏₂为

∏₂＝（P₂－PVC₁）Q－F 1＝（8－4）×4000－5000＝11000（元）

若其他因素保持不变，产品销售价格变化，则对损益平衡点和目标利润产生剧烈影响。这里我们用弹性来衡量这种影响：

也就是说，在销售价格为6元的情况下，销售价格每增加1%，损益平衡点销售量就降低1．5%，同时目标利润增加8%。

（二）单位变动成本变动的影响

单位变动成本随着企业劳动生产率的提高而降低，随着原材料价格的降低而降低。在固定成本和产品销售价格保持不变的情况下，单位变动成本的降低同样会使单位产品提供的边际贡献增加，进而降低损益平衡点的销售水平，同样的销售量实现的利润增加；反之，单位变动成本升高，同样的销售量实现的利润就减少。这种变化的影响如图5-3所示。

图5-3　单位变动成本对损益平衡点和盈利的影响

如图5-3所示，随着单位变动成本的降低，总成本线的斜率变小，损益平衡点销售量从Q₁降低到Q₂，企业的盈利水平也大幅度提升了。

仍以上例为例，若单位变动成本从4元降至3元，则新的损益平衡点Q_B2和目标利润∏₂为

∏₂＝（P₁－PVC₂）Q－F 1＝（6－3）×4000－5000＝7000（元）

若其他因素保持不变，产品销售价格变化，则对损益平衡点和目标利润产生剧烈影响。这里我们用弹性来衡量这种影响：

也就是说，在单位变动成本为4元的情况下，单位变动成本每降低1%，损益平衡点销售量就降低1．33%，同时目标利润增加5．33%。

（三）固定成本变动的影响

在一般情况下，固定成本不会随着产销量的变动而变动，但是生产能力的扩充和缩减都将会导致固定成本的增减。尤其是，当今生产流程和制造工艺面临大规模的变迁，大规模自动化系统和柔性制造模式替代传统的人工为主的制造方式，固定成本的比重大幅度增加。在产品销售价格和单位变动成本保持不变的情况下，固定成本的增加，就会使总成本增加，导致损益平衡点销售水平提高，目标利润相应减少；反之，固定成本减少，会使损益平衡点的销售水平降低，目标利润相应增加。这种变化的影响可以从图5-4中看出。

图5-4　固定成本对损益平衡点和盈利的影响

如图5-4所示，固定成本的增加，使固定成本线和总成本线皆向上平移，导致损益平衡点销售量从Q₁升至Q₂，企业的获利水平降低。在一般情况下，这种在产品销售价格和单位变动成本保持不变的情况下，固定成本的增加主要是由于因管理决策影响的酌量性固定成本增加的结果，如增加广告费用等。

这里还利用上面提供的案例数据，若固定成本从原来的5000元上升为6000元，则新的损益平衡点销售量Q_B2和目标利润∏₂为

∏₂＝（P₁－PVC₁）Q－F 2＝（6－4）×4000－6000＝2000（元）

若其他因素保持不变，产品销售价格变化，则对损益平衡点和目标利润产生剧烈影响。这里我们用弹性来衡量这种影响：

也就是说，在固定成本为5000元的情况下，固定成本每增加1%，损益平衡点销售量就增加1%，同时目标利润降低1．67%。

以上我们分析了在企业只生产销售一种产品的情况下，相关因素中只有某个因素发生变化时对损益平衡点销售水平和目标利润的影响。实际上，这些相关因素有时会同时发生，如固定成本增加，而产品的单位变动成本也随之变动，甚至产品的销售价格和销售量都会发生变化，这时，损益平衡点的销售水平和目标利润要依据具体变化了的因素做出相应的调整和计算。

需要指出的是，使用弹性分析方法，一定要考虑到所获得的结果的计算基础问题和符号问题。前者是指结果的有效性取决于所讨论的基础的数据点，而后者则要考虑弹性分析涉及的两种因素之间相互作用的方向问题。

二、非线性本量利分析

在企业的实际生产经营过程中，成本、销售量和利润之间并非一定是线性关系，它们之间有可能是非线性关系，这时应分别依据有关信息资料确定产销量与成本、利润之间的函数关系。

在一般情况下，产品销售价格P和总成本TC皆是产品销售量Q的函数，即P＝f（Q），TC＝g（Q），并且在通常情况下，成本函数TC＝g（Q）一般表现为二次或三次函数形式：

TC＝α 0＋α 1Q＋α 2Q²＋α 3Q³

价格函数P＝f（Q）则一般表现为一元线性函数形式：

P＝β0＋β1Q

因此总收入函数为

TR＝P·Q＝β0Q＋β1Q²

对于非线性本量利分析，最常用的方法是边际分析法，即对收入函数和成本函数就产品销售量Q求一阶导数，分别可得到边际收入和边际成本，即这里我们令边际收入MR等于边际成本MC，即

满足这个方程的产品销售量Q^*即是最佳产品销售量。

在非线性条件下，成本、销售量和利润之间的关系如图5-5所示。

当边际收入MR等于边际成本MC时，利润最大，也就是图5-5中总成本线与总收入线之间的垂直距离在它们的导数相等点Q^*。当产销量较小时，总成本线在总收入线的上方，净利润为负；当产销量增加到Q₁时，总收入等于总成本，净利润为零，出现了一个损益平衡点；当产销量超过Q₁之后，总收入的增加速度高于总成本的增加速度，因而两条曲线之间的垂直距离逐渐增大，这种趋势将一直延续到总收入曲线的切线斜率恰好等于总成本曲线的切线斜率，即边际收入等于边际成本时（MR（Q^*）＝MC（Q^*））为止；当产销量超过Q^*之后，总收入的增加速度小于总成本的增加速度；当产销量增加到Q₂时，总收入又等于总成本，净利润为零，出现了第二个损益平衡点；当产销量超过Q₂之后，总成本超过总收入，净利润再次为负。

与线性本量利分析比较，非线性本量利分析有两个损益平衡点，这两个损益平衡点之间为企业盈利范围，其余部分为亏损范围。并且在非线性本量利分析模型中，损益平衡点不像在线性本量利分析中那样受到特别重视。而非线性本量利分析重视的是能够给企业带来最大利润的最佳产销量Q^*，强调的是按最佳产销量进行生产销售可达到资源的有效利用，而线性本量利分析说明以开工率达到最大限度时可实现最大利润。

图5-5　非线性本量利分析图

这里给出一个案例进一步说明非线性本量利分析模型的应用。

某企业生产和销售一种产品，经销售部门提供资料，会计部门计算得到产品销售价格函数为P＝146－0．06Q，总成本函数为TC＝2000＋50Q＋0．02Q²。根据这些资料可以得到总收入函数为TR＝P·Q＝146Q－0．06Q²，那么损益平衡点可以通过如下方法计算获得：

净利润（∏）＝总收入（TR）－总成本（TC）

　　　　 　 ＝（146Q－0．06Q²）－（2000＋50Q＋0．02Q²）

　　　　 　 ＝－2000＋96Q－0．08Q²

令∏＝0的损益平衡点产销量为：Q₁＝268（件），Q₂＝932（件）

而企业最大利润的产销量的计算为

边际收入MR＝146－0．12Q

边际成本MC＝50＋0．04Q

令MR＝MC，可得146－0．12Q＝50＋0．04Q

进一步可得最佳产销量Q^*＝600（件）

此时，企业最大利润∏*＝－2000＋96×600－0．08×600²＝8800（元）

非线性本量利分析在更接近现实的条件下，利用边际分析可以为利润规划提供信息，但由于不同行业的成本性态各不相同，若得不到有关成本函数的正确信息，就很难进行本量利分析。因此，企业的管理者应通过各种渠道收集有关数据，利用计算机和各种计量分析方法，以正确确定收入函数和成本函数，从而促进本量利分析在利润规划中得到有效的应用。

三、不确定条件下的本量利分析

企业经营所处的环境变化无常，充满着不确定性，特别是企业的管理者进行决策时必须预测未来，要考虑各种因素的变化，不确定性当然是不可避免的。在通常情况下，由于市场供求的变化，产品的销售量是不确定因素，并且产品的销售价格、成本都会随着销售量的变化而变化。因此，这里我们这种讨论销售量是随机变量的情况，并且假定销售量的概率分布服从比较常见的正态概率分布。考虑到多种产品组合时的不确定性本量利分析，还需要计算各种产品之间的相关系数、协方差等，情况比较复杂。因此，这里我们只考虑单一产品的不确定性本量利分析。

（一）不确定性条件下的线性本量利分析

对于单一产品的线性本量利公式

∏＝（P－PVC）Q－F

根据销售部门的预测，产品的销售量Q是随机变量，并且服从均值为μ、方差为σ的正态分布，即Q～N（μ，σ²）。

令F_N（x）为标准正态分布的分布函数，以Q表示随机变量（销售量），以q表示某一特定销售量，则根据正态分布的性质，销售量小于q的概率为

这里，μ和σ皆已知，根据q的值可计算出，通过查表可得出销售量小于q的概率。

当产品销售价格、成本相对保持不变时，利润（∏＝（P－PVC）Q－F）也是一个正态随机变量，并且其期望利润、方差分别为

E（∏）＝E［（P－PVC）Q－F］＝（P－PVC）μ－F

σ（∏）＝σ［（P－PVC）Q－F］＝（P－PVC）σ　

即，∏～N［（P－PVC）μ－F，（P－PVC）²σ²］。根据利润∏的分布，我们就可以计算出销售量至少达到损益平衡点销售量（即不亏损）的概率：

相应地，预计销售量至少实现目标利润∏*的概率为

在不确定条件下，单一产品的线性本量利分析有关损益的变化可由图5-6所示。

图5-6　不确定性条件下单一产品本量利分析图

这里给出一个案例。某企业产销一种产品，单位销售价格为16元，单位变动成本为10元，固定成本为60000元，经销售部门预测销售量Q服从均值μ为12000、方差为3600的正态分布，即Q～N（12000，3600²）。则该企业产品销售量至少达到损益平衡点销售额的概率为

而预期产品销售量实现的目标利润∏*超过3000元的概率为

（二）不确定性条件下的非线性本量利分析

这里我们通过一个案例来说明不确定性条件下的非线性本量利分析。某企业的总收入函数TR（Q）和总成本函数TC（Q）通过销售部门和会计部门预测分别获得如下形式：

TR（Q）＝540Q

TC（Q）＝14400＋240Q＋Q²

管理会计人员通过对以往销售资料的分析，并参考销售部门对市场需求变化的预测，得知销售量Q的概率分布为均值μ＝130、方差σ＝60的正态分布。则该企业总利润函数∏（Q）为

∏（Q）＝TR（Q）－TC（Q）＝540Q－（14400＋240Q＋Q²）＝－14400＋300Q－Q²

令∏（Q）＝0，可以得到两个损益平衡点销售量为

则企业预期盈利的概率为

根据正态分布的性质及在概率密度函数f（Q）已知的条件下，企业的期望利润为

上面将不确定性引入本量利分析模型中，缘于决策所面临环境条件的复杂性。就损益平衡点和目标利润所对应的销售水平计算而言，上述不确定条件下的本量利分析与确定条件下的没有什么不同，只是分析的中心转移到期望利润、利润分布的标准差和特定盈亏值实现的概率计算方面上。而上述分析所提供的信息能在多大程度上促进管理者的决策，则决定于他们的风险态度。如果决策者是风险回避型，他将选择盈利概率较大的备选方案；如果是冒险型，他将选择虽然风险大，但利润额较大的方案，任何管理者都有他们可接受的风险标准。

四、成本、销售结构对本量利分析的影响

成本结构和销售组合对企业的获利水平有着深远的影响，这里在前面相关讨论的基础上进一步展开讨论。

（一）成本结构与企业经营风险

成本结构，是指企业的变动成本和固定成本的比例关系。而企业的经营风险主要表现在企业利润的稳定性上。为了更形象地说明成本结构对企业经营风险的影响，这里给出两个企业：A企业和B企业。这两个企业生产同种类型的产品，这里为了降低讨论的复杂性，假定这两个企业都只生产一种相同产品，两个企业的差异就是它们的成本结构。A企业偏重于传统的劳动密集型生产，直接人工成本占据了较大的部分，而投入的机器设备带来的固定成本的比例较低；B企业则运用了现代化的流水线生产技术，大大降低了对于劳动力的依赖，直接人工成本比例较低，而相应的固定成本比例较高。假设这两个企业面临的市场是一样的，也就是产品的销售价格一致。表5-8给出这两个企业的具体数据。

表5-8　A、B企业单月成本资料

根据表5-8的数据我们计算一下两个企业的损益平衡点的销售量如表5-9所示，以及在不同销售量下企业的利润，如表5-10所示。

表5-9　A、B企业损益平衡点销售量

表5-10　A、B企业在不同销售量下的利润表

从表5-9可以看出，由于A企业固定成本比例较低，销售量较少的时候就可以弥补，达到损益平衡点；反之，B企业达到损益平衡点的销售量较高。与此同时，由于A企业单位变动成本相对于B企业的较高，因而A企业单位边际贡献较B企业低，也就是说A企业产品销售抵消成本赚取利润的速度较慢，从表5-10中可以看出。进而，当A、B企业均超过损益平衡点时，B企业的利润增长速度高于A企业。

图5-7　成本结构对本量利分析影响图

图5-7形象地给出了A、B两个企业的成本结构对本量利分析产生的影响。这里着重指出的是，图5-7中的Q^*点处，A、B两个企业的总成本相同，并且获得的利润也相同，即表5-10中销售量为5000套时，A、B两个企业的利润。而这个Q^*点，叫做无差异点（Indifferent Point），即两个企业总成本相等的点。从图5-7中还可以看出，当销售量低于Q^*点时，企业应当选择A企业的成本结构；而当销售量高于Q^*点时，企业选择B企业的成本结构能获得更高的利润。也就是说，当销售量低于无差异点时，企业应当选择变动成本比例较低的成本结构；当销售量高于无差异点时，企业应当选择变动成本比例较高的成本结构。这样企业通过合理的安排成本结构，能够获得更高的利润。

为了更好地说明成本结构对企业经营的影响，这里引入经营杠杆这个概念。经营杠杆（Operating Leverage），是衡量企业经营收益变动同销售水平变动之间关系的一个指标，反映企业在当前的销售水平基础上每增加或减少1%而导致企业经营收益增加或减少的百分比数。这里所说的经营收益，也就是前面提到的不考虑利息和企业所得税的净利润，也称为息税前净利（Earnings Before Interest and Tax，缩写为EBIT）。经营杠杆反映企业的经营风险高低：经营杠杆水平越高企业的利润受销售水平变动的影响越大，企业经营风险就越高；反之，企业的经营风险就越低。

经营杠杆系数（Degree of Operating Leverage，缩写为DOL）可以用公式描述如下：

用字符表示如下：

其中：DOL为经营杠杆系数，EBIT为息税前净利，S为销售额。

如果这里定义，VC为变动成本，F为固定成本，P为价格，PVC为单位变动成本，Q为销售量，则

S＝P·Q

ΔS＝P·ΔQ

EBIT＝S－VC－F＝Q（P－PVC）－F

ΔEBIT＝ΔQ（P－PVC）

将这些表达式带入经营杠杆系数计算公式中：

这里还要说明的是，同前面讨论的本量利分析相关因素影响中的敏感性分析一样，经营杠杆系数不是一成不变的，在不同的销售水平情况下都不一样。越接近损益平衡点销售水平，企业的经营杠杆系数越大，企业面临的经营风险就越高；反之，企业经营风险越低。从另外一个角度来看，经营杠杆系数越大，企业利润增长速度就越快，相关的管理者的相对业绩评价指标就越高，给管理者带来的效益也就越大。因此，我们可以发现很多的企业都是维系在损益平衡点之上很小的一段空间里。

从经营杠杆系数的公式中，可以看出，不同成本结构的企业面临不同的经营杠杆。固定成本比例越高，企业的经营杠杆就越高，企业的经营风险就越高；反之，企业的经营杠杆就越低。这也可以从前述A、B两个企业的例子中清晰地看出来。相对于A企业，B企业的固定成本比例较高，相同销售水平下，其经营杠杆水平也较高，面临的经营风险也就越大。

（二）销售组合对企业经营的影响

对于那些生产多种产品的企业来说，由于不同产品所能提供的边际贡献各不相同，因此，当企业的销售组合发生变动时，必然会对损益平衡点和目标利润产生影响。

1．不考虑资源约束条件

在不考虑资源约束的条件下，当提供边际贡献较大的产品产销比例提高时，整个销售组合提供的边际贡献就会增加，损益平衡点也会相应降低，而企业的目标利润就会提升；反之，当提供边际贡献较大的产品的产销比例降低时，整个产品组合提供边际贡献就会减少，损益平衡点也会相应上升，而企业的目标利润就会缩减。

这里我们给出一个案例来说明在没有资源约束的情况下，销售结构对企业损益平衡点和目标利润的影响。某企业生产三种产品A、B、C，有关成本、价格和销售量资料如表5-11所示。

表5-11　某企业生产销售资料

则这三种产品提供的边际贡献为

PCMA＝10－8＝2（元/件）

PCMB＝12－9＝3（元/件）

PCMC＝16－11＝5（元/件）

而三种产品销售组合比例分别为

三种产品销售组合的损益平衡点总的销售量为

该企业实现的目标利润为

∏i＝Q∑i

PCM iW i－F＝6800（元）

三种产品的销售结构比例为

Q_A∶Q_B∶Q_C＝1600∶4000∶2400＝2∶5∶3

三种产品提供的边际贡献能力的大小次序为

PCM_C＞PCM_B＞PCMA

若企业改变了这三种产品的销售结构，提高提供边际贡献能力较大产品（C产品）的产销量，相应降低提供边际贡献能力较小产品（B产品）的产销量，使这三种产品的产销量结构变为

Q′_A∶Q′_B∶Q′_C＝2∶2∶6而三种产品销售总量不变，仍为8000件，则三种产品的产销量分别为

则三种产品销售组合的损益平衡点的总销量为

三种产品损益平衡点销售量分别为

则实现的目标利润增至

反之，若降低提供边际贡献较大产品（C产品）的比例，相应地提高提供边际贡献较小的产品（A产品和B产品）的比例，则三种产品损益平衡点的销售量将分别上升，企业实现的目标利润将减少。

2．考虑资源约束条件

在考虑资源约束的条件下，这一问题就转化为如何重新安排各种产品的产量，使企业获利最大化的线性规划问题。若只有一种资源约束，当耗用单位资源提供边际贡献较大的产品比例提高时，就会增加企业的目标利润；反之，若耗用单位资源提供边际贡献较小的产品比例提高时，就会减少企业的目标利润。若有两种以上的资源约束时，就应根据具体问题，重新求解线性规划问题。这部分将在后面的章节中进一步展开讨论。

五、本量利分析、经营决策和战略管理

本量利分析方法主要应用于企业短期经营决策。这主要是因为，在短期经营决策过程中，企业的成本信息和收入信息能有效地获取或预测。但是，本量利分析方法不仅仅局限于企业的短期经营决策，还可以应用于企业项目预测和战略管理。

企业战略管理的根本目的就是保持和提高企业未来长远的获利能力。为此，我们可以看出，为了更好地配合企业的战略管理，在制定企业经营战略的过程中，必然要引入本量利分析的基本思想。在制定过程中，进一步分析相应战略所带来的未来收益、相关成本，结合本量利分析模型，评判是否采用或如何采用新的战略。

在战略管理过程中，在分析我们所需要采取的战略后，必然面临战略实施方式选择的问题。作为以获利为根本目的的企业来说，无论采用何种经营策略或战略，都必须遵循成本收益原则，即所获取的收益能够充分地弥补相应的成本，为企业带来利润。然而，与短期经营决策所不同的是，战略管理往往涉及未来较长的经营期间，从而影响了对相应成本和收入信息预测的准确性。随着预测期间长度的增加，未来不确定性就会大大增强，各种相关的因素变化情况更加难以确定，必然影响相关分析的准确度。为此，在实际战略制定的过程中，通过各种分析方法和技术手段，将这些成本和收入信息确定得更为准确，这不仅仅是由战略的制定者所能完成的，还需要大量实际工作者、专家的参与。

在本书的第八章还给出了一个简单的例题，用于说明本量利分析方法在长期经营决策中的应用。