图元法（）

图元法是一种利用包含信息的图像符号直接表示每个张量数据点的方法。在了解具体的图元法实现手段之前，我们有必要了解张量数据的基本数学结构。以流体力学中流体微团的变形率张量为例，流体微团的应变率张量是一个三维二阶实对称张量，通过矩阵形式表示：

其中主对角线的ε1、ε2、ε3代表坐标轴方向的变形速度，θ1、θ2、θ3代表坐标轴夹角的剪切应变率。由线性代数理论，存在正交矩阵T，使得：

即使得原张量矩阵对角化。并且，矩阵T的三个列矢量分别是上述对角矩阵的互相正交的特征矢量（特征方向），σ1、σ2、σ3是与特征矢量相对应的特征值。通过这个数学变换，原张量数据所包含的信息，即六个独立分量，被等价变换为三个实特征值和对应的互相正交的特征矢量所包含的信息，而后者正是张量数据可视化的图元法主要依赖的理论基础。

在众多可供选择的图元中，三维椭球图元是最为常见的可视化元素。将椭球中心置于数据原点，椭球的三个主轴方向对应于三个特征矢量方向，三个轴长对应于相应的特征值大小。如此，张量场中每一规则格点的数据都可以通过取向、大小和形状不同的椭圆来对应表示，实现了多分量数据的统一可视化。

将椭球作为图元的方法有易见的优点：椭球的几何特征和张量数据结构的合理对应，因而容易辨别每个分离点的张量数据特征。但是，椭球图元也有其局限性：①特征值的符号无法通过椭球的几何特征表现，而只能通过颜色标记等其他方法区分；②椭球有其自身的光滑几何表面，不合适的视角很容易影响观者对特征方法和特征值数据的观察判定；③在三维情况下，密集的数据点容易发生堆积、层叠，从而影响视线；④单一图元表达的信息量局限于最基本的层面，无法表现出张量数据的互相关联和局域性特征。事实上，特征值符号、图元视角缺陷和区域结构缺乏这三个问题较为普遍地存在于使用离散型图元法的张量可视化问题。

因为缺乏对特征值符号的最优表现方法，椭球以及其他图元一般仅用于正定矩阵张量（所有特征值均为正）的可视化，如脑成像中的扩散张量等，而较少地应用于既有拉伸又有压缩的地应力问题。

为了克服椭球的视角问题，使用高级图元的方法被提出，如Westin使用的球、盘和棒的复合图元组合（图5-29）。Kindlmann使用超二次曲面图元将椭球、长方体、圆柱体的最佳特征整合在一起。这些方法都有效地丰富了图元法的可视化表现力。

图5-29 椭圆半径、圆盘半径和棒长分别对应于最小特征值、中间特征值和最大特征值