如何测量地球的重量

第三讲 如何测量地球的重量

↓1.物体的下落、物体之间的引力、铅垂线往山的方向倾斜。

↓2.卡文迪许扭秤。

↓3.落体落向地球中心、双架马车。

↓4.引力与质量成正比。

↓5.引力与距离平方成反比。

↓6.对上述定理的解释。

↓7.引力的作用点是物体的重心。

↓8.牛顿、对重量的比较归结为对降落距离的比较。

↓9.地球的重量、以立方分米来计量的平均重量、理性的杠杆。

↓1.把物体提到半空中，然后放开，使其自由下落，它们都会落回地球。在下落过程中，它们总是垂直落向地球，相对于水平面而言，它们既不偏向一边，也不偏向于另一边。它们总是垂直于地球，即顺着铅垂线的方向下落。若沿着它们下落的方向在地球上挖一个无底的井，那么井必定会经过地球的中心。我们通过观察可以得知，自由下落的物体在下落的第一秒里经过的路程是4.9米。随着物体的下落，速度会越来越快，所经过的路程也增长得越来越快。这段所经过的路程等于4.9米乘以两次它所经过的秒数，换言之，所经过的路程等于4.9米乘以它所经过的秒数平方。因此，在6秒中所经过的路程等于4.966，即4.9乘以6的平方36。物体下落的原因是地球的引力。

物质间相互吸引。这是所有物体中最普遍的性质之一，我们称之为引力。将两个物体相对放置，不管它们间有多少距离，它们都会相互吸引、趋于靠近。如果我们日常所见到的物体，并没有由于这一相互吸引的性质而相互靠近，那是因为地球引力使得物体自身具有重量，从而把它们固定在了一定的位置上，地球对物体的这种引力大于物体自身之间的引力。同时，物体自身间的引力被那些其他的阻力抵消掉了，比如空气阻力、它们与所处之地的摩擦力等，故而它们就不能抗衡地球对它们的引力，于是就被地球的引力固定住了。但是，如果产生吸引力的那个物体具有很大的质量，而被吸引的物体又有足够的自由度，那么，这两个物体间的吸引便可被观察到。在平原上，铅垂线的方向总是垂直于地面；但在大山的附近，它的方向就会稍微有所改变，球会略略偏向大山一侧。这时，大山的引力是和地球的引力相抗争的。

↓2.通过下面的例子，我们可以观察到一个物体是如何对另一个物体产生吸引力的。如图20所示，一根两米长的细棍BC，在它的中间O处用一根细绳吊起来，把细绳的另一端用夹子固定在A处。在木棍的两端放置同等重量的两个小球B和C。那么这两个小球是平衡的，就像使天平秤的两端重量相等而保持平衡一样。这样，木棍与球都会在水平面上处于静止状态。我们在小球B的附近放置一个大的铅球P，在小球C的附近放置同样的一个铅球R，使得铅球R离小球C的距离与铅球P离小球B的距离相等，如图，此时BP等于CR。这时我们就可以看到，细棍BC会绕着悬垂的细绳AO转动起来，两个小球分别受到两个铅球的吸引而向这两个铅球靠近。它们朝着吸引它们的铅球方向移动，但由于它们与铅球间的引力很微弱，所以它们移动的速度很慢。而且它们并不是垂直落向吸引它们的铅球的，即不是顺着连接小球与铅球中心的直线方向下落的。它们的下落轨迹是弧线，只有这样的下落方向才与这套装置相符。经过精确的计算，我们就能从这套装置中的弧线下落轨迹推算出，小球应该是沿着直线下落的。

图20

↓3.由于所有悬于半空然后放开的物体，它们都会落下来，这是因为地球会吸引它们，就像在上述实验中大的铅球吸引小球一样。但这种吸引并不是由地球的某一部分作用的，而是由地球的所有部分共同作用的，也即上面部分与下面部分、左边部分与右边部分、表面的部分与内里的部分一起作用的即地球这个整体。在所有这些引力中，每一个力都单独作用于物体的一面，最终产生一种整体的吸引力，这种整体的吸引力决定了物体会向着地球的中心落去。

假设有一辆双驾马车，如果只有右边的马在拉车，那么这辆车就会倾向于右边；而如果只有左边的马在拉车，那么车子就会倾向于左边；如果两匹马同时向前拉，那么这辆车就会径直往前走。这对于降落中的小球而言也是一样的，因为我们总是可以想象地球被分成两个等份：半个在左边，半个在右边。假设只有右半球对物体施加吸引力，那么物体就会偏向右边，反之则会偏向左边。但是如果这两个半球同时对物体施加吸引力或是整个地球施加整体的吸引力的话，那么物体就会落向中间，即向着地球中心落去。

↓4.现在我们回到图20。小球B因为受到P的吸引力，从而向着这个铅球靠近，向它落去，但由于这个吸引力很微弱，所以它的速度很缓慢。假设铅球重100千克，小球在下落的头一秒所经过的路程是一毫米，这一毫米就是它向着吸引它的铅球所移动的距离。如果铅球是由密度更大的铅锻造而成的，那么结果会怎样呢？如果其他一切因素都保持不变，而铅球的质量是原先的两倍，即质量变成了200千克，而不是100千克。那么很简单，因为每一个产生吸引力的物体的每一点都作用在被吸引的物体上，这样，产生吸引力的物体所含的物质越多、越重、越密实，那么它所产生的吸引力就会越大。因此，在铅球体积相同的情况下，一个重200千克的铅球会使小球在下落的头一秒所经过的距离是2毫米，而100千克的铅球使小球在下落的头一秒所经过的距离是1毫米。同样的，一个小球向着一个铅球落去，如果这个铅球的体积与原来的相等，但是质量是第一个铅球的三、四倍，那么小球在头一秒所经过的距离也将会是三、四毫米。下面我们来说说地球，地球使得物体在下落的头一秒所经过的距离是4.9米，但若地球的体积不变，而所含的物质是原先的两倍或三倍，那么在同样的时间内地球所吸引的物体所下落的距离也将是原来的两倍或三倍。我们将这一个结论普遍化，即引力与产生吸引力物体的物质多少成正比。或者我们用更专业的术语来表述，即引力与质量成正比。质量在此指的是所含物质的多少。

↓5.被吸引的物体距离产生吸引力的物体越远，吸引的力就会越弱，被吸引物体的下落速度也会变得越慢。因此，我们可以观察到，从山顶上降落的物体比从平原上降落的物体下落的速度会更慢些。这样，我们由此可以证明，地球的引力是随着与地面距离的增加而减少的。那么，引力的减少是遵循着什么样的规律的呢？这是我们接下来要研究的问题。

我们往前回到图20。假设铅球P的中心与其邻近小球的中心之间的距离是一分米，或者更简化些，如果小球很小，就可以把它看成一个点，即铅球P的中心与该小球之间的距离是一分米。这时，铅球P吸引小球，使其向着自己倾斜降落，在降落的头一秒，小球经过了一毫米的距离。现在我们将铅球P往后移至原先两倍远的距离，即铅球P的中心离小球为两分米。然后把铅球R也作同等距离的移动，由此使得整套装置对称。在这样的条件下，下落运动还是会发生，但是下落的速度会慢上四倍，并且在下落的头一秒内小球落向铅球的距离是四分之一毫米。如果铅球的中心离小球的距离拉大至三倍，那么下落的速度会慢上九倍，并且在下落的头一秒内小球落向铅球的距离是九分之一毫米。因此，当距离扩大至两倍时，在此我们不要忘记该距离总是从铅球中心开始计量的，铅球的吸引力是原先距离上所产生吸引力的四分之一。当距离扩大至三倍时，吸引力就会是原先的九分之一。你们一定要注意到，四是二的平方，而九是三的平方。因此，引力与距离的平方成反比。

↓6.为了让大家更熟悉这条基本的定理，我们可以用图来解释引力，使得引力随着距离的增加而减小这一规律变得更为直观些。不过，你们一定要注意，不要把我将给你们所演示的看作一个证明，它只是一种阐释方式，目的是为了在你们头脑中留下点印象。

图21

每个质点都向着它周围的各个方向施加它自身的引力。因此，我们用些带着棘爪的细绳来表示从该质点产生出来的各个方向的吸引力，就像围绕一个光源而发射出来的光线所形成的光线网。这些棘爪会抓住任何出现在它们方向上的东西，并把这些东西拉向吸引中心。很明显，施加的吸引力只取决于抓住物体的棘爪之数目，而跟没抓住物体的棘爪完全没关系。这也就是说，假设有一个吸引点A，它将吸引力作用于一个方形物体C上，如图21所示。我们说，从点A起向着所有的方向都发射出密密麻麻的带着棘爪的细绳，它们靠得很近，甚至会相互碰到。这些带着棘爪的细绳会抓住它们所在方向上的一切东西，并且会将这些东西拉向发射的中心。对于方形物体C而言，它能接收到所有以A为顶点、并以该方形为底所构成的空间内的任何一束绳子。在离A点距离为AC两倍的H处，为了接收到C所接收到的所有绳子，我们需要一个是方形物体C四倍大的物体。因此，我们若将原来的方形物体C移到H处，即离A点距离为AC的两倍处，那么它只能接收到原先四分之一的绳子，引力也就减少为原先的四分之一。同样的，在离A点距离为AC三倍的K处，为了接收到原先所有的绳子，我们需要一个是原先方形物体C九倍大的物体。如果将方形物体C移至H处，那么它只能接收到原先九分之一的绳子，引力也就减少为原先的九分之一。随着离A点的距离增大为原来的两倍、三倍、四倍，那么方形物体C所受到的A点的引力也就会减少为原来的四分之一、九分之一、十六分之一。

↓7.在第五段中，我们提到过，所计算引力的距离指的是被吸引的质点到产生吸引力的球的中心这段距离，现在我们就可以来解释这是什么原因导致的。我们首先来思考地球引力，我们将一个小球放在斯特拉斯堡大教堂高达142米的塔顶上，然后放开小球。由于受到地球所有质点的引力作用，小球会向地球下落。然而，这些质点离小球的距离并不相等。那些位于塔底的质点与小球的距离只有142米，而位于地球内部的质点，离地球表面越远，它离小球的距离就越远。那些位于地球中心的质点，它们离小球之间的距离是地球半径的距离再加上142米。位于地球另一端的那些质点，即位于地球直径另一端的那些质点，它们离小球之间的距离是两个地球半径再加上142米。另外，在中心直线之外，我们还会发现，聚集了无数个我们刚才所提到的质点。它们要么在右边，要么在左边；要么在前边，要么在后边；要么靠近地球表面，要么离表面很远；要么离下落的物体近一些，要么离下落的物体远一些。每一个质点都根据它与小球之间的距离对后者施加或多或少的吸引力。那么，怎样从这些一个点到另一个点变化不等的众多吸引力中，找到我们的结论呢？我们可以通过如下假设来得到结论：假设地球上所有的质点到被吸引的物体间的距离都相等，该距离处于最短的距离和最长的距离之间，即处于142米与142米加上地球直径的距离之间；我们再假设，所有的引力点都处于地球中心的位置上。由此可见，地球的上半部分有一半的质点其引力都会变弱。这是因为，我们把这些质点假设得离小球更远，以致它们实际上并不产生吸引力。而地球下半部分质点的引力却由此得到了同等程度的加强，这是因为我们同样假设了它们与小球之间的距离变近了。由于地球是由两个相对对称的半球所构成的一个球体，因此这两种相反的引力相互抵消了。于是我们得到第三条定理：均匀散布于一个球上的所有质点，当它们一起作用于球外的一点时，它们就仿佛集中在球的中心一样。因此，以后当涉及一个球体所产生的引力时，我们不再关注距离的问题，不再关心从引力点到被吸引点之间的距离哪些更大哪些更小的问题。既然所有的引力点都像集中在球的中心那样起着作用，那么就只有一个距离是需要我们考虑的，即从球的中心到被吸引的点之间的距离。

↓8.牛顿首先发现了万有引力定律，他是受到人类尊敬的最伟大的天才之一。牛顿得出这样的结论，并不是通过像刚才我为了让自己理解而所做的那些初步而有失严谨的思考而得到的；而是通过对那些建立在天文学事实上的最高级秩序进行思考和实验而得出的。我们在后面的章节中会有机会更紧密地沿着牛顿的思路来思考。

毫无疑问，你们会问到，这些规律都有什么用呢？牛顿发现这些规律有什么价值呢？孩子们，这些规律是人类所认识到的最美丽的东西，因为它们向我们解释了世界的运作机理，它们把关于宇宙的神圣和谐问题转变成为瑰丽的数学问题。为了让你们窥见这些原理传授给我们的知识与力量，我们将借助于它们来测量地球的重量。是啊，要去测量地球、测量这个我们无法想象其大小的巨球的重量，我们要把它放在牛顿定理的天平上来测出它的质量，就像我们把它放在实际的标有质量刻度的天平上来用砝码测量一样。

引力与产生吸引力物体的质量，即与其所含物质的多少成正比。因此，在图20中，我们把具有一定质量的铅球放在小球B前面时，它就会吸引这个小球，使其在一秒内向它靠近一点距离；而如果我们将另一个质量是其二倍、三倍、四倍的铅球，放在同样的距离上时，那么它就会使得小球在一秒内向该铅球移动二倍、三倍、四倍的距离。如果我们已经知道第一个铅球的质量，那么，通过计算在同样的时间内第二个铅球吸引小球移动距离是第一个铅球吸引小球移动距离的多少倍，那么我们就可以得知第二个铅球的质量。由此，我们将两个铅球的质量比转化为：在同样远处的两个铅球在同样的时间内分别吸引小球向自身移动所经过的路程之比。那些使小球向自身移动两倍、十倍距离的铅球，它们也会比其他的铅球重两倍、十倍。

↓9.我们可以将同样的推理过程应用于地球。为了计算出地球的质量是某个铅球质量的多少倍，我们只需知道，小球在地球引力下于一秒内所下落的路程，是在该铅球吸引下小球所移动距离的多少倍，而这两种下落显然都是在与产生吸引力物体的相同距离处发生的。下面我们再做一次图20中所示的实验。我们在小球B与小球C的前面、距离它们的中心一米处，各放置一个非常重的铅球。那么小球就都会向其邻近的铅球移动，我们假设它们在移动的头一秒内所经过的路程是一毫米。我们知道，当小球与铅球之间的距离是一米时，小球在下落的头一秒内向铅球移动的距离是一毫米；而如果产生吸引力的物体与小球的距离不是一米，而是位于地球中心处，即与小球的距离是6366千米，那么，我们就可以通过上述条件而计算出在这种情况下小球在头一秒内所下落的路程。由于引力的大小与距离的平方成反比，我们可以通过这一定律得知，小球在这种情况下，头一秒内所移动的距离是一毫米除以的平方，即除以40525956000000。如果你们觉得可以的话，我让你们自己来做这个除法运算。其实不必进行这个痛苦的运算，我们就可以看出，被除数是一毫米，而除数又是这么大的数，那么显然二者相除所得的商肯定是一个特别小的数字。这一商数指的是：将铅球放在地球中心处，在它的吸引下，小球在头一秒内所下落的距离。但是对于地球来说，我们只需考虑一个点，即地球中心，它代表了全部地球质量。根据牛顿第三定律，在上述条件不变的情况下，即在同样的时间与同样的距离下，地球吸引着小球在头一秒内所经过的距离是4.9米。然后我们再来考察一下，对于前面所得的那个极小的商数，看看4.9米是它的多少倍，由此我们就可以知道地球的质量是铅球质量的多少倍了。最终我们发现，地球的质量若以千克来计算的话，就是6后面跟着21个0，即60万亿亿千克。从地球体积的宏伟和地球质量的庞大来看，我们可以推断出，如果我们将地球上所有的物质——空气、水、岩石、金属、矿物——全部混合起来，那么每升的这种混合物约为5.5千克。

我们称完了地球，这节课程告一段落。那么我们是通过什么来称的呢？是通过什么力量来称的呢？我们是通过思想的力量来称的。这种力量是大自然所赋予我们的，它使我们窥探到了宇宙的奥妙；我们是通过理性的杠杆来撬起地球的，对它而言，撬起沉重的地球是轻而易举的。