毕达哥拉斯的数字密码

毕达哥拉斯　我们对其生活、出生和死亡知之甚少，他的出生地可能在艾欧尼亚的萨默斯，如同泰勒斯和欧几里得，他被认为具有腓尼基血统，但这一点值得怀疑。有关他的唯一确定的生活年代是公元前530年，当时他离开萨默斯，并在意大利南部的克罗顿的多里安聚居地建立了一个学派。他的年龄当时应该足够年轻，其母亲还健在（他与之一同前进），并且也足够年长，使他可以出于政治的原因离开出生地，所有这些证据使他被认为出生在公元前570年。扬布里柯认为，泰勒斯对毕达哥拉斯的能力的印象非常之深，并将自己的知识传授给他，同时建议他去找古埃及的祭司并从那里学习。他这样做了，从22岁至44岁学习天文学和几何，之后在古巴比伦被囚禁了12年，并“达到了算术、音乐和其他知识的最高辉煌”，但是很难将这些信息形成一个完整的传记。

在克罗顿，他与学识渊博的人建立了一种兄弟关系，他们具有同样的东西——知识、哲学和货物，通过一种共同的道德准则安排生活，形成的组织更像现代的宗教协会，其成员严格自我控制，自我节制，自我净化行为，过着简单而节欲的生活，并且因为相信动物是人的近亲而拒绝食用动物——这是现代以前为数不多的几个关于生物世界的观点的实例之一。的确如此，毕达哥拉斯与恩培多克勒一起被认为是该道德学分支的创始人。简而言之，毕达哥拉斯希望，通过节制、纪律和宗教仪式来净化灵魂，将之从出生的轮回中解救出来，并适用于死后的世界。他们认为，身体只是灵魂的短暂的牢笼，毕达哥拉斯本人宣扬灵魂的不死和转移，其来源是他的老师——锡罗斯岛的弗瑞西德斯。毕达哥拉斯写道：“当我们活着时，我们的灵魂是死的，并与我们埋葬在一起；但当我们死时，我们的灵魂复活并存在。”

在现实事务中，毕达哥拉斯学派的目标是社会道德的改造，这导致了他们的无所作为。他们倡导由最佳人选组成政府，即最广泛的真正意义的贵族政治，这使他们与民主派的暴民不断发生冲突，后者最终在大约公元前501年时杀死了他们中的很多人，并烧毁了他们的房屋，而他们的创立者逃到了塔伦特姆。关于这次事件如何终结的记述各不相同，但社会似乎在大约公元前4世纪时结束了一次纷争。

上述兄弟会似的组织的每天工作就是获得知识，并只在成员之间共享，任何泄露的人都可以被处死。我们读到了两个毕达哥拉斯学派学者被溺死于海中的著述，每个案例都被认为罪有应得。其中一个名字为希伯索斯，自诩发现了一种新的规则体——十二面体，而另外一个，则揭示了不可通约性。

这种保密的习惯使人们很难说出毕达哥拉斯的门人到底在科学上取得了哪些成就，而且也不可能将某项成果归于个人。我们最有用的资料，是天文学家菲洛劳斯在毕达哥拉斯死后约90年所写的有关其哲学和教育的材料，原书已经无存，但其中的某些部分在所说的欧德莫斯片段中有所描述，柏拉图据说曾引用该书进入其唯一的科学对话《蒂迈欧篇》。普罗克鲁斯记述说，毕达哥拉斯“将几何研究转换成一门普通教育”，而亚里士多塞诺斯说，他“推进了算术研究，并将之带出了商业功用的界限”。

毕达哥拉斯算数更关注整数的难解特性。我们都知道，迷信可以与数字联系起来，如3和7可能会带有神圣的意味，13是不幸运，666是动物的数字，等等。毕达哥拉斯的观点被阿里斯蒂德记录下来，他们将数字1和一个点，将2和一条线、3和一个面、4和一个空间联系起来。这非常简单，但是2也和主观观点联系起来，因为二者都“不受限制，且不明确”，且与女性气质类似，尽管原因不明。3不仅和表面这个概念相连，而且与男性气质有关。4与公平有关，因为4=2×2，两个数的乘积恰恰是两个数的平分。下一个5与婚姻有关，因为它是男性3和女性2的组合，7与处女有关，因为它没有任何因子。有10组基本的相对体与奇数和偶数相关，比如有限和无限，一个和多个，左和右，等等。这些现在看起来似乎无关紧要，但毕达哥拉斯学派则认为它们可能代表着宇宙的钥匙。亚里士多德说，他们认为，那些数字不仅表达着宇宙的形式，而且还指其物质。例如在后来，柏拉图认为世界主要由思想构成，而德谟克利特认为世界由原子构成，毕达哥拉斯认为世界由数字构成。对他们来说，数学就是完全的现实，他们并不区分几何实体和可以在空间中移动的物理物体的区别。

另一方面，他们在真正的几何方面获得了发现，并具有基础重要性。著名的“毕达哥拉斯定理”通常被认为是他们的功绩，或者说是毕达哥拉斯本人的功绩：“如果一个三角形是直角，其最长边上的方形面积等于其他两个边上的方形面积之和。”毕达哥拉斯所做的很多看起来都很简陋，没有用处并且具有误导性，但是如果他们真的发现了这个定理，就为数学科学奠定了基石，很持久并且不可或缺。毕达哥拉斯可能将这认定为最伟大的成就，因为阿波洛道鲁斯（希腊建筑师），尽管他的年代不详，却写下了“毕达哥拉斯如何发现了那个著名的命题，并为之奉献了一头牛作为祭品”。但是这个行为似乎与我们所知道的毕达哥拉斯的性格不符，这个故事与泰勒斯的那个故事相似得令人怀疑，大概阿波洛道鲁斯混淆了两个人，并且后来的作者延续了这个错误。即使毕达哥拉斯做了那个献祭，但还是不能确定哪个具体的发现造成了该行为。大多数的记述认为，这就是指前面描述的那个定理，但也至少有一个记述认为是其他定理，而维特鲁威，一个最早的关于此话题的学者，认为那次献祭是一个更为简单的发现的结果，即如果一种特定的三角形的边长之比为3、4、5，则此三角形为直角三角形。毕达哥拉斯派可能通过他们对于“方形”数字的研究得出了这个结论。我们可以将任何方形数字n2用n×n个点散布于一个方形内来代表，可以再加上一条2n＋1个点的边缘带，n环绕相邻两个边的每一条，有一个点在角落，这样就得到了方形数字（n＋1）2。如果2n＋1自己就是一个方形数字a2，那么我们就有a2＋n2=（n＋1）2，这样，a、n、n＋1就形成了毕达哥拉斯三角的可能的边，该理论可以归于毕达哥拉斯自己。方形数字2n＋1的最小值为9，这得出了三角形的边——3、4、5。

人们通常认为，埃及人知道这个最后的结果，他们的“拉绳人”将之运用于构建直角，但很显然，这一点没有明显的证据。另一方面，如同我们已经看到的，大约在公元前1700年，巴比伦已经知道了一般定理，这个时期的石板讨论了在弦BC和弧高DA已知的情况下如何计算一个圆的直径AE（见图2-7），所以所得到的结果可以是一个毕达哥拉斯定理的简单表述：OC2=OD2＋DC2。公元前4世纪或5世纪的一本印度书籍中也陈述了这个一般定理，但是没有证据，同时也解释了如何通过建筑三角形的边3、4、5、5、12、13、8、15、17、12、35、37画出直角。

图2-7

不管这个定理在毕达哥拉斯时代之前被了解了多少，几乎可以确定的是，毕达哥拉斯派对这个定理进行了独立的再发现——根据后来几个世纪的欧洲学者的记述，是毕达哥拉斯独自完成了这个发现，正是这个再发现，将该定理引入现代数学。

对数学没有兴趣的人可能会感到奇怪，这个定理的重要性在哪里？他可能认为这很抽象、迂腐，仅仅具有学术价值。这里让我们检验一下它的实际运用，科尔切斯特港口位于伦敦以北30英里、以东40英里。那么我们如何计算科尔切斯特与伦敦之间的距离？答案是：根据毕达哥拉斯定理和唯一的物理测量。定理告诉我们，科尔切斯特到伦敦的距离是50英里，因为502=302+402，这样，我们就知道可以通过直线而不是绕三角形的边来节省距离。原有的定理只对直角三角形适用，但可以很容易扩展到任何形状的三角形，这样看来，我们可以不再感到奇怪，为什么这个定理奠定了科学的基石——也许是几何科学的基石。

我们不知道结果是怎样证明的。霍夫曼搜集了30多种证据，可能是其中的任何一个，可能是其中最简单的一个，表述如下：

我们从直角三角形的直角A向下垂一个垂线，到达对边BC（见图2-8）。这样三个三角形ABC、DBA、DAC都是同样的形状，所以其边长必定成比例。这样，即，AB2=BC×BD。在处理其他小的三角形时，我们发现AC2=BC×DC。这样，AB和AC上方形面积的和就是BC（BD＋DC），等于BC上的正方形面积——毕达哥拉斯定理。

图2-8

它们还没有完全将图8解决殆尽，还有两个小三角形属于类似情况，所以AD2=BD×DC。这样，我们得到另外一个问题的解法，这也可以归功于毕达哥拉斯——建立一个方形，使其面积等于已知长方形。“光辉的牛献祭”有时被认为与这个发现，而不是与主要的毕达哥拉斯定理相关，但是它们如此紧密联系，因此可能是同时被发现的。

希腊人对后一个更感兴趣，他们很少有或没有代数计算能力，所以即便是最简单的代数公式也对他们意义不大，除非他们根据其意义可以画出一个几何图形。他们知道表面的面积和体的体积是重要的，但是他们不知道除了方形的面积和体积之外的那些应该如何表达。

刚刚提到的简单问题可能会被描述为长方形的正方形化，一个更加著名的问题是将圆正方形化，比如，画一个方形，使其面积等于一个已知的圆形。人们早已知道，这个问题不能通过单纯的几何方法解决，所以“将一个圆形正方形化”几乎成为试图做不可能的事的同义语。希腊人并不知晓这一点，毕达哥拉斯通常被誉为解决了这个问题。

另外一个类似的问题却看起来真的无法解决，在任何一个正方形ABCD中（图2-9），对角线AC上的方形面积等于AB、BC这两个边上的方形面积的两倍。这可以通过毕达哥拉斯定理看到，或通过完成AC上的方形看到——同样，这是可以在贴满瓦片的地面上发现的。我们这样表述，一个方形的对角线等于x倍的边长，而且的值x为1.4142……，它为无尽小数。但是毕达哥拉斯学派对此思维方式不熟悉，他们对于一条线的概念是一幅画——很小单位的排列，各个单位相等，而且非常之小，几乎为点。如果一个方形的一边包括p个这样的点，而对角线的个数为p，那么所代表的含义就是。

图2-9

可以简单地表示出，不存在这样的分数（如果存在，设p和p为最小的数字，q2=2p2。既然2p2是一个偶数，q2一定是一个偶数，所以q一定是一个偶数，让我们用2r代替，用之代替q的值，原来的关系变成了p2=2r2，与原关系的形式相同，但是数字较小。这样，原来的假设，p、q是最小的数便导致了矛盾。从而，q2=2p2不可能满足任何数字）。

我们这样表述，2的平方根“不可通约”。毕达哥拉斯学派学者似乎很早就发现了这个现象（晚期的毕达哥拉斯学派学者，西奥多勒斯，柏拉图的数学老师，据说证明3、5、6、7、8、10、11、12、13、14、15、17的平方根也不可通约），并且意识到这将导致他们学派的毁灭，因为他们认为每一条线都是由系列确定的单位组成的，而且自然是由整数统治的。据说他们试图混淆其致命的发现，但是事实不可能总被隐藏，人们认为这解释了为什么希腊人摒弃了数字观点，并将测量从其几何中抽取出来。

数学家芝诺（公元前495—前435），注意与后来的哲学家季蒂昂·芝诺做区分，可能对他的著名的悖论做了改动，希望能达到同样的效果，但对于此一直有不同观点。最著名的为阿基里斯和即将参赛的乌龟的悖论，即如果乌龟开始时得到1000码[2]的优势，阿基里斯可以追上它吗？芝诺表示，如果毕达哥拉斯关于长度的观点是正确的，那么他永远不会。

阿基里斯很快会完成了乌龟所有的1000码的让局，而此时乌龟只完成了另外的100码。比赛现在可以认为是重新开始，只是乌龟的开局让局降到了100码。在第二阶段，阿基里斯完成了这100码，乌龟只完成另外10码。比赛继续，一个阶段接着一个阶段，每一个阶段的让局都减为前一个的，但让局永远不会降为0，在无数个阶段之后，乌龟仍然领先。阿基里斯和乌龟都完成了不计其数的阶段，根据毕达哥拉斯的观点，每一个都包括确定数字的确定单位，这样所完成的距离是无限的。如果毕达哥拉斯是正确的，阿基里斯永远不会赶上乌龟，而这一切当然是荒唐的。

最后，毕达哥拉斯十分注重“规则体”——所有边和所有角度都相等的体形象。他们知道四种这样的体，可以通过正方形和等边三角形确定。最简单的是立方体，有6个面，互为直角。然后是四面金字塔或四面体，由4个等边三角形构成，八面体由8个等边三角形构成，还有更为复杂的图形，二十面体，由20个等边三角形构成。最后，希伯索斯发现了十二面体，由12个五边形构成，这一切完成的时间大约是公元前470年，这些就是我们所知道的当时所有的规则体。

对于现代数学家而言，这些多样化的研究似乎仅仅关注较为细小的边缘事物。对于希腊人来说，由于他们一直以来受到的熏陶是，宇宙基本上是完美的规则体，因而它们似乎是最重要的。我们在下面将看到，这些研究如何继续存在并进入未来的时代，继而在发现行星的排列和作用方面起到作用。

阿尔希塔斯这些早期毕达哥拉斯学派学者的工作得以继续，并被协会的后继者们所扩展，尽管他们的注意力也为新的兴趣所吸引。在晚期的毕达哥拉斯学派学者中，应该特别注意阿尔希塔斯（大约公元前400年），一个曾经7次担任塔兰托市长的人。他特别注重将科学付诸机械运用，据说形成了滑轮理论。他还建造了为数众多的机械玩具，包括飞鸟，所以我们应该将他作为航天科学之父来看待。但毕达哥拉斯学派的这种兴趣的扩展并没有得到协会内所有人的认可，当阿尔希塔斯最终在一次船难中丧生时，协会内一些更为保守的成员断言，对于一个偏离了奠基之父如此之远的人来说，这是一个应有的结局。

阿尔希塔斯因解决了“立方体复制”的问题而闻名——这是比前述的方形复制更困难的问题。这是古代未解的问题中著名的一个，基于以下原因被称为迪林问題。

大约公元前430年（根据菲洛彭诺斯），雅典人受到一场瘟疫的袭击（大概是伤寒热），于是他们派出使者到得洛斯阿波罗神庙去祈求结束这场瘟疫。神谕告诉他们要将雅典的阿波罗神塔加倍扩建，使之成为立方体。得到启示后，雅典人将塔的长、宽、高加倍，希望瘟疫停止，但结果却变得更糟。当第二批使者被派往得洛斯时，得到的解释是，三个方向的加倍不是如同神所要求的体积加倍，而是成了8倍。这样，知道如何将已知立方体的体积加倍就很重要。

阿尔希塔斯给出的解决方法很困难，并取决于一个旋转的半圆切割静止的圆柱而形成的复杂的曲线的特点，由于这显示出毕达哥拉斯学派学者已经掌握了相当程度的几何水平和技巧，因而它引起了人们的兴趣。我们应该还注意到的是，神塔的祭司们有着相当高的能力，可以设计出一个他们认为在瘟疫蔓延期间无法解决的问题。