希波克拉底的历史

当毕达哥拉斯学派在成员数量和实力上日渐低微时，一个新的科学流派在雅典发展起来，而此时的雅典已经成为希腊的商业和文化中心。为了解这是如何形成的，我们必须回顾公元前480年—前490年的历史——马拉松、温泉关和萨拉米斯的10年。

希腊的东面是波斯王国，一个权势和野心与日俱增的政权，其皇帝大流士希望将版图扩展到西面，于是与小亚细亚沿岸的艾欧尼亚居民点发生了冲突，也与前来援助的雅典和厄立特里亚发生冲突。希腊当时不是一个统一的国家，而是有众多分立的城邦，各自效忠自己的本地政府。当艾欧尼亚战败后，雅典不得不几乎独自面对波斯人，但当双方军队于公元前490年在马拉松对峙后，从战场逃跑的是波斯人。

大流士的继任者薛西斯继续进攻当时仍未统一的希腊，其军队规模庞大，据称有500万人之众。斯巴达人派出了一支小股部队进行对抗，但他们在温泉关遭到毁灭，直至最后一个人。之后，整个阿提卡，包括雅典，都面临着威胁。当敌人在两处都被彻底打败时，他们从欧洲撤出，来自东方的威胁暂时解除了。但是为了避免未来的类似威胁，若干城邦彼此融合起来，并基于得洛斯邦联，成为一个单一的国家，将雅典作为首都。

在5世纪雅典的希俄斯岛的希波克拉底，我们发现了三位重要的数学家。第一位是希俄斯岛的希波克拉底（不要与内科医生考斯·希波克拉底混淆），他于公元前470年生于艾欧尼亚诸岛的希俄斯岛，被誉为是将圆形方形化了的人。他的生活开始于商人职业，据说在大约40岁时来到雅典，在一场诉讼中捍卫了自己的利益，他与教师和哲学家结交，最后开办了自己的学校。

但在此之前，他还没有将圆形方形化。在图2-10中，AB是一个直角三角形ACB的底边，也是一个圆ADB的直径，所以更大圆中的四分之一圆ACB与一个小圆的半圆ADB的面积相等。在两个图形中分别除去共有的未加阴影的AFB部分，我们发现加了阴影的“月牙”ADBF与有阴影的三角形ACB面积相等。这样希波克拉底将“月牙”ADBF——更像一个圆形，具有弧度边缘，变成了方形，并以此获得了名声。

图2-10

希波克拉底还尽力将方体复制，尽管并不成功。的确，雅典的数学家主要集中于三个问题：

（1）方体的复制；

（2）圆形的方形化；

（3）一个角的三分。

这些问题看起来都很简单，但现在我们知道，如果只用直尺和圆规是不能找到答案的，而这却是当时仅有的方法。对于这个无奈事实的大概解释是，所有看似简单的问题都得到了解决，除了几个不解之谜外。

所以，希波克拉底最好的工作成果只不过是一本几何教材——这是已知的最早教材，而且根据普罗克鲁斯的说法，这也是第一部写成的教材。我们不知道其中的内容，但是，它可能对欧几里得的《初级几何》产生了影响，甚至成为其样板。欧几里得的这本书虽然晚出现了一些年，但是希波克拉底必定在某种程度上为超过2000年的欧洲学校的几何教学模式起到了作用。

柏拉图　下面我们谈到柏拉图，他是一位伟大的哲学家，于公元前429年生于雅典，公元前407年成为苏格拉底的学生。当雅典人在公元前399年处死苏格拉底时，他开始旅行，并在很多国家学习数学。他于公元前380年回到雅典，建立了学校，被称为“学院”，并存在了几乎1000年，他卒于公元前347年。

柏拉图的声誉当然主要在哲学领域，但是他的著作显示，他对数学有很好的知识和理解，但只有一项重要的数学成就归功于他，这可能是一种误解。这个成就是，他对立方体的复制进行了另外的尝试。

在图2-11中，B、C、P处的角都是直角，所以标记为1的三个角相等，同样，标记为2和标记为3的三个角都相等。所以以P为顶点的三个三角形，即APB、BPC、CPD相似，所以：

图2-11

如果我们将PA定为PD的两倍，以PA为边的立方体的体积是以PB为边的立方体的两倍，这样，立方体的加倍问题就得到了解决，这一点算法用直尺和圆规可以做到，但如果用机械方法更容易做到，例如，将杆在平板的表面移动，而杆中的销在平板上的槽内滑行。柏拉图不屑于使用任何直尺和圆规以外的器具，但是刚刚描述的器具的使用将雅典挽救于瘟疫。

尽管柏拉图对数学的直接贡献很小或几乎为零，但他一定已经在该题目的发展上产生了巨大的影响。他坚持说，应该在抽象方面而不是功用方面进行教育。毕达哥拉斯也表达了类似的观念，他们的一个准则是：“理论向前，步子向前，不是理论和六个铜板。”以这种精神进行的研究，柏拉图认为，正是由于其表现出的确定性和精确性，堪为所有其他研究的榜样，并且提出，这是逻辑思维的最好的训练。在他的学院的入口处，镌刻着“非数学家请勿入内”——这不是空洞的警示，因为我们知道，有一个申请者因为不懂几何而被拒之门外。的确，柏拉图对于数学教育的价值的信念没有限度。在他60岁后，狄奥尼修二世，即锡拉库扎的独裁者传唤他到宫廷上灌输智慧和美德。柏拉图尽量教给他们所有的几何知识，用记述者普鲁塔克的话说，直至整个王宫因王子和大臣们在地上画图形而陷入“灰尘的旋涡”。但是王子很快认为，其他的方法可以更直接地达到效果，柏拉图便回到了雅典。

欧多克索斯　雅典学派第三个需要提到的人物是欧多克索斯（公元前408—前355），他在天文学方面的成就要强于他的数学，尽管后者无从考证，但应该也是一流的。

门奈赫莫斯和圆锥曲线的奠基人欧多克索斯离开了雅典，在塞西卡斯建立了一所学校，他的学生门奈赫莫斯开始了圆锥曲线的研究。

如果我们将一个物体用刀或锯切开，或者想象一个几何体正在被一个几何平面切入，我们就获得了该物体的一个“横切面”。例如，一个半球的横切面总是一个圆，无论该横切面怎样获得，但更加复杂的物体的横切面会更复杂。例如，一个圆柱或黄瓜的横切面是一个圆形，只要该截面是沿着与轴成直角的方向切得，否则，该曲线可能成为椭圆——一种拉长了的圆。

门奈赫莫斯探讨了一个圆锥体横截面的曲线，发现在我们所描述的锥截面中，它可以是其中的任意一种，也就是椭圆、抛物线和双曲线（图2-12）。

图2-12

这样进入科学视野的元锥截面注定要在知识的未来发展中扮演一个重要的角色，但是时间还未来到。门奈赫莫斯所获得的最近的结论既不是本身很重要，也不是将用于重要的目标。的确，他只是为了对已经是老生常谈的方体复制问题再建造出两个新的解法。

不仅这两个问题，整个希腊数学都变得有些陈腐。如果我们希望追溯出数学发展过程以及整个科学知识发展过程中的重要步骤，我们必须放下希腊前去埃及，具体来说是去新的重要城市亚历山大，但在我们踏上旅途之前，让我们看一看几何和物理在当前时代中所取得的进步。

希腊物理学和哲学　现代物理学家通常经过确定的计划开始解决问题，这种计划是亚历山大时期所不清晰的，而且，如同我们将要在下面所要看到的，它由达·芬奇、培根、伽利略等人提供给当代人，其要点是在解决问题时不将其作为整体，而是作为零碎的个体，并且不是以已得出的一般原则开始，而是以已经完全确立的实验知识开始。一些特定的现象，事物的一些特性被提出来进行具体细节的实验性研究，从而希望以这种途径探究宇宙某一角落里的法则和秩序。当这个目标被实现时，知识的领域便一点一点扩大，对自然的每一个阶段的直接实验都会对自然提出问题。

希腊物理是一种完全不同的东西，希腊人不可能遵循上述方法，即便他们希望这样，但受限于他们的实验技巧和设备短缺，但是他们绝对不可能希望这样，原因有二。

第一，这样的程序对于他们的思维模式来说非常陌生，他们不想探究关于宇宙的孤立角落的知识碎片，想要得到的是整体综合的平衡观点。

第二，他们对生命的整体态度导致在很多情况下对与日俱增的实验知识的正面回避。在生活的日常事物中，他们认为思维活动比身体活动高很多，后者只适合于奴隶而不是自由人。在某些城市，自由人不允许参与机械活动。如同色诺芬所说：“机械艺术带有一个社会烙印，在我们的城市被完全鄙视，因为这些技艺会损坏那些用其工作的人的身体——方式是强迫他们坐着工作，即进行室内工作，某些情况下，在火焰边花去整天的时间，这种体力上的落伍导致灵魂的下降。”实验室科学自然来自于这种偏见所产生的阴影，这种态度在柏拉图时期达到顶点。他之前的很多人对人类感觉的不可信赖性进行了评论，但是他长篇累牍地讨论，他们的证据应该只能用于介绍辩论或智力活动的典型问题：“当我们活着，我们就应该尽量保持对知识的追求，同时避免（知识）与身体的接触和交流，并使自己纯洁不被玷污，直到神将我们救赎。”在天文学中，他认为对天体的研究应该是提供一些最接近的信息，用以了解绝对迅速和绝对慢速条件下的完美运动。这些绝对运动应该仅仅通过推理和智力理解，而不是通过观察，“如同在几何中，我们应该讨论问题，将天空放在一边，如果我们希望从正确的道路接近的话。”他对音乐家有类似的抱怨，因为他们在理解之前就竖起了耳朵，“和声的老师们仅仅比较听到的声音和和声，他们的工作如同天文学家，是无用的。”

所以毫不吃惊，最早的希腊物理学主要包括一些抽象的思想，我们今天称之为没有基础的思考。与外部世界不进行接触，仅仅由个人对事物的适合性的理解做引导——希腊人尽力发现一个其内部意识之外的世界并对其进行规划。一些人认为，这个世界一定是造物主根据某个简单而精致的模型制造出来的，其他人则认为，圆是完美的曲线，并做出结论说，大多数自然运动一定是在圆圈中发生的。但是其他人猜测说，宇宙中一定有某种规则约束，例如，进化论学者阿那克西曼德认为，所有存在的事物一定通过时间流转，这样可以弥补它们在淘汰它之前的同类时所犯的错误。

在所有令人混淆和不连贯的猜测中，两个学派的思想比较清晰地呈现出来。可见的宇宙由不断活动的物质组成，一个学派主要集中于物质并尽力猜测其本质，另一个学派集中于活动并尽力猜测其重要性。一个关注行为者，一个关注行为，他们多少有些与今天的唯物主义和唯心主义雷同。第一个学派主要从艾欧尼亚得到支持，第二个学派则从意大利得到支持，主要包括毕达哥拉斯及其追随者。