牛顿地球轨道

我们已经看到开普勒如何戏谑普遍引力这个观点，但他却毫不怀疑地承认，引力单独可能会提供行星运行的解释。的确，他认为，这些不会保持它们在轨道上的运行，除非有某种力在背后不断地推其前行。事实上，行星的运动有其自身的惯性所维持，为解释观测到的物体，我们所需的不是推动行星不断前进的外力，而是一种吸引力，它可以不断改变行星的运行方向，并由此使之避免以直线的方式脱离太阳。

其中的一般原则已经由普鲁塔克1400年前开普勒尚未出生时非常清晰地表明，尽管其中曾明确提及月球的绕地运行，他这样写道：“月球通过自身的运动和旋转可以保持不落下来（到地面）——如同尽力抛出的物品不会因圆形漩涡落下。”——只需找到是什么扮演了抛出者的角色。

1666年，至少有三个人开始解决这个问题，他们的名字分别是：波雷里、虎克和牛顿。

波雷里　是伽利略曾经所在的比萨大学的数学教授，在自己所出版的书中曾说到，一个沿圆形轨道绕日运行的行星有离开太阳的倾向，并且和其前的布鲁塔克一样，他将这种运动与抛出的石块相类比。他讨论说，既然行星实际上没有离开太阳，那么一定有某种力将其向太阳的方向拉住，当外脱力和向内力相等时，形成了一种平衡，行星就可以以固定距离不断绕日旋转，这是自普鲁塔克以来第一次提出该问题的机械原理。

几乎同时，类似的观点在伦敦由罗伯特·虎克（1653—1703），一位敏锐的思想家和天才实验者提出。虎克曾在1655年至1662年间为罗伯特·波义耳（后文将谈到）担任助手，并由新建的皇家学会聘为馆长，主要职责是进行自己丰富的大脑或其他同僚所提出的各种实验。在一份日期为1666年5月23日的文章中，他讨论了天体的轨迹如何会弯曲成圆或椭圆，并认为，这可能是因为“置于（轨道）中心的物体有吸引的特性，可以不断将其他物体（天体）吸引或拉向自己”。虎克说，如果这种力存在，那么“行星的所有的现象似乎都可以通过力学运动的普通原则来解释”。

在另外一篇发表在八年之后的文章中，他试图“解释一种在很多方面都与已知世界不同的世界系统，但仅仅通过力学来回答，这基于三个设想：“第一，普遍引力；第二，所有物体都会持续以直线运动，直至被某种实际的力量影响发生偏离，并形成圆，椭圆后其他复杂曲线；第三，这些力在短距离时最强，随着距离的增加而减弱。”

这里虎克实际上清晰提出了掌控行星运动的力学原则，并提出一种普遍存在的引力，他没有说出这种力应如何与距离保持某种对应变化关系，才能使行星如所观察到的那样沿椭圆轨道运行。五年以后（1679年），他给牛顿写信说，如果该力与距离成逆平方关系，那么从地球抛出的物体的轨道应该呈椭圆，其中一个焦点是地球中心。行星运行和普遍引力的理论到此已基本完成，但需要牛顿的智慧将之融合归纳并确立，保持行星在自己轨道绕日运行的神秘的力与使苹果落在地球上的力一致。

艾萨克·牛顿（1642—1727）　1642年圣诞日出生在林肯郡格兰瑟姆附近乌尔索普的一所庄园房内，他是一个早产儿，也是一位自耕农即乌尔索普庄园主的遗腹子。出生时他个头儿很小，他的母亲将他放入器皿中，因为缺少空气，以至于两个去拿补药的妇女在回来后发现他还活着都感到惊异。

后来，他被送到格兰瑟姆的学校，据他自己讲，他不是一个优秀学生，注意力不够集中，在班里个子也很矮。但他在学习中表现出某种机械才能，设想并计划出不同的方法测量风的速度，制作钟表、日冕和风车的实用模型，并设计出一个只要上面的人扭动扳手就可以驱动的四轮马车。

当13岁时，他的母亲失去了第二个丈夫，于是他被叫回在农场上帮忙。但很快，他的兴趣就旁落别处，注意力更多地集中在机械问题而非农业为题上。最后，结论终于出现，他不会是一个好的农夫，而应该尽量成为一个学者。他被送到剑桥的三一学院，这是其叔父大概在1661年进入并接受教育的地方。

还没有发现证据表明他在那时即对科学产生了特殊兴趣，或者因为其能力出众而令校方侧目。一本天文学的书会比人们更能唤醒他对科学的兴趣，在书中他发现了自己所不明白的一张图案，于是便买了《欧几里得》，开始对几何的研究。在轻易掌握了这本书后，他进而学习更难的笛卡儿“几何”，这让他对数学产生了真正的兴趣，也让他感到了科学的意味。

在1665年和1666年的夏天，英国发生了瘟疫，剑桥大学的学生被遣散回家以躲避感染。在安静的乌尔索普，牛顿找到了时间思考当时的很多科学难题，并取得了很大进展。在大约50年以后的文章中，他说：“在1665年之初，我找到了办法来近似确定级数，还有将任何二项式的幂降为次级的规则（著名的二项式定理）。同年5月，我找到了戈里和斯卢塞乌斯正切的方法，11月，找到了流数法（微分学，牛顿最重要最著名的数学发现），在第二年五月，我进入了流数的反方法（积分），同年（1666年），我开始想到将引力延伸至月球的轨道……从行星周期的开普勒规则，我推想出，将行星保持在自己轨道的力一定与它们到自己所围绕旋转的中心的距离的平方成反比，然后将月球保持在自己轨道的力与地球表面的引力向比较，发现它们互相感应得很好。所有这些都是在发生瘟疫的1665年和1666年，因为在那些日子里，我处于发明的最好年龄，对数学和哲学的关注比以往任何时候都强烈。”这样，在他24岁时，他已经想出了未来工作的大部分计划。

牛顿《数学原理》中的一页

回到剑桥大学后，他在1667年被选为所在学院的董事。两年以后，当时大学内的卢卡斯数学教授艾萨克·巴罗（1630—1677），是一位有负众望的数学教授，出于明确宣称的为牛顿让路的原因辞职，当牛顿进而接任后，他便自由地将所有的时间投入科学研究。

他在剑桥大学静静地工作直至1689年，并被选为大学的议会成员。但这个特殊的议会仅仅存在了13个月，所以第二年他便回到了剑桥大学。在1696年，他永久地搬到了伦敦，并被任命为造币厂监理，三年后提升为厂长。

所有的记载都一直认为，牛顿成为了极为有能力的厂长，正是他的努力，英国货币在艰难时代得以获得坚实的基础。他注意到了价格和流通货币总量之间的关系，后来被正式称为货币的“量化理论”——如果流通的货币总量加倍而其他因素保持不变，价格（货币形式）也会加倍。这个著名的原则在经济领域的实用非常简单，即不可能不付出即获得，但显然需要牛顿找到它。这和哥白尼对波兰政府所提出的货币建议形成了很好的比较，哥白尼在对政府建议过程中发现了另一个重要的货币法则，即通常所说的格雷沙姆法则：“当劣币被确认为法定支付手段时，良币便被逐出了流通。”哥白尼似乎在格雷沙姆之前便发现了这个法则，但同样奥雷姆也先于哥白尼发现了这个理论，非常奇怪的是，如此之多的天文学精英卷入了肮脏的金钱问题。

牛顿在造币厂的任职打断了他的科学工作，但他在1703年被选为皇家学会的主席，直至最后。在身体恶化两三年后，他于1727年3月20日去世。

上面给出的问题表明，牛顿在1666年时已经对他的著名的引力理论形成了主要的框架。其他人如同我们所看到的，也在同样的线索上思考，但是牛顿做了一件其他人没有做的事，他进行了数字检验，并发现结果是正确的，或“几近正确”。

图6-2

牛顿可能已经将这个定律表达清楚，并提出了所有与开普勒定律一致的行星——一如它们的实际运行情况作为确论。但是他没有这样做，因为他想继续向前一步，并表示，将行星保持在轨道上的引力原则与导致石头或苹果落在地上的类似“引力”相一致。他的侄女凯瑟琳·巴顿对伏尔泰和皇家学会主席马丁·福克斯说，正是伍尔斯索普果园中落下的苹果将这些观念引入牛顿的思想，而牛顿的朋友，斯蒂克利的记载显示，牛顿告诉他，落下的苹果将引力的想法植入他的头脑。

牛顿知道地球的引力将地上物体以每秒16英尺[1]的速度拖向地球中心，如果牛顿的猜测是真实的，那么月亮距地球中心的距离有60倍，其下落的速度为每秒16英尺的1/3600。牛顿尽力计算月亮实际下落了多远，并且发现结果与他的理论所要求的“几乎一致”。但是，这种一致性没有令他满意，他猜测，月球在自己的轨道上可能受到了引力和笛卡儿漩涡力的影响。他将自己的计算放在一边，20年没有再碰。

我们可能会很奇怪，牛顿的计算为什么只做到了“几乎正确”。他的朋友彭伯顿说：“在乌尔索普的书中没有相关资料，牛顿因而可能使用了错误的地球半径值，当然月亮60倍大的轨道值也是错误的。”据彭伯顿猜测，他可能混淆了英里和海里，或者他从自己所有的书上找到了错误的值，其中的数字仅仅是66英里。但另外一个可能是，他不确定地球对邻近物体如一个下落的苹果的引力究竟会有多大。1685年，他证明说，这类似于地球上的物质都在地球中心集结。在这点基础上，通过地球半径的正确值，他发现他的计算与观测完美一致，但在1666年，他还不能得到这种一致，因而只能让问题搁置，也许他多产的头脑正对其他什么问题感兴趣。”

在1679年年底，在他给虎克写的信中提到，他尽力“从哲学中抽身进行一些其他研究”，因为他吝惜这所花费的时间，“除了有时可以作为某种消遣的闲暇”。我们不知道当时什么吸引了他的注意力，也许是神学，随着年龄在他身上越来越留下印记（牛顿的趣味和兴趣一直属于非常严肃的类别，他一定很少看幽默并很少大笑或开玩笑。在他仅有的大笑的例子中，牛顿没有与朋友笑，而是对其嘲笑——因为对方没有看到学习欧几里得的用处。在牛顿去世后整理的书和家具清单中，似乎没有对艺术、音乐、文学或诗歌的喜爱或兴趣，他似乎对乡间生活、动物、运动、锻炼和游戏也不感兴趣，无论室内或室外。他对衣着和食物无动于衷，他从未结婚，一点男孩、女孩的事件似乎已经是他对异性兴趣的全部。也许他高强度的学术工作使他没有更多的精力注意常人的兴趣，甚至对他的科学也一样）。或者可能是化学，他在其中花费了时间，但与成就并不成比例。他的笔记员汉弗瑞·牛顿写道：“在春天和叶落时，他都会花大约6个星期的时间在他的实验室，火从未熄灭，无论白天还是黑夜。他通宵坐在那里，还有我，直到完成所有的实验，在操作中他极为追求精确、严格、确定。无论他的目标是什么，我无法洞察，但是他在这些时间中的辛劳、勤奋令我想到，他的目标超越了人类艺术和工业所能到达的领域。”“他尽管很少，但有时会翻阅一本摆在旁边的生霉的书，名称是《耕作金属》，可见，金属转换应该是他的目标。”牛顿在所有这些题目上所耗用的时间和精力都没有产生重要的结果：他没有发表任何化学方面的创新之作，据知也没有在炼金术上取得成功——如果他真的如笔记员所写一样对这些问题感兴趣。

在这封信中，他评论说，如果地球是旋转的，一个物体在下落的过程中可能被向东带出一段距离，并提出，地球的转动可以通过观察从高处落下的物体在什么地方着地来证明。在1680年早期，虎克回信说，他已经进行了实验，获得了希望看到的结果，并进而询问牛顿，一个物体，受到与其距地心的距离的平方成反比的力的吸引而下落，那么它的轨迹应该是什么样的？在一封1686年写给哈雷的信中称，他研究这些问题是为了满足好奇心，结果是轨迹应该是椭圆，引力中心是其一个焦点——与开普勒发现的绕日行星轨道完全一致，然后他“将计算抛在一边，投入其他研究”，也没有给虎克回信。

四年以后（1684年1月），虎克、天文学家哈雷、天文学家和建筑师克里斯托弗爵士在伦敦见面。他们都得出结论，尽管起因不同，关于引力的正确的原理是与平方成反比的结论，即牛顿早在1666年从开普勒第三定律中推导出的结论，但仍需进一步试验。如果行星在一个这样的力的吸引下绕日旋转，它们是否会沿椭圆运行，如同开普勒首先声称的那样？哈雷为此前往剑桥向牛顿咨询这个问题。当他们见面后，牛顿立刻说，轨迹应该是椭圆，并解释了他已经在一些年前得出了结论，但计算有误。那时他第二次将这个天文学的问题的大部分答案握在手中，但仍然让其溜走，不过他对此不以为然。但这次他许诺说将恢复丢掉的计算，并在哈雷的促动下，给皇家学会写信通知他的结果。

顺理成章的，草稿得以发表，题目为《自然哲学之数学原理》，即通常所简称的《数学原理》，这毫无疑问是人类智力所创造出的最伟大的科学成果。除了达尔文的《物种起源》外，没有其他的著作对当代的思想产生如此之大的影响。该著作以力学的形式解释了无生命自然的大部分，并提出，剩余的部分可以用类似的方法解决，解释的关键当然是普遍引力原则（万有引力）。整个的探索研究过程是列奥纳多所描述的科学方法的完美范例，牛顿解释说：“令物体趋向太阳和几个行星的引力”可以通过“天体现象”得到发现。在发现这些力是什么之后，他接下来通过数学分析推论了“行星、彗星、月亮和海洋（牛顿这里指海潮）的运动”。他继续说：“我希望我们可以通过力学原理的同样的推理方法推演自然界其他现象。我在诸多原因的诱使下，怀疑它们都依赖于某种力，而物体的粒子，尽管现在原因不明，或被其互相促进并结成固定的形态，或互相排斥并退离，这种力的本质还不得而知，哲学家到现在为止对自然的研究还毫无结果。”

根据这个计划，第一本书探讨了受到某种已知力作用的物体的运动如何可以通过力学方法探查。伽利略的实验揭示了力与运动之间的关系，牛顿将伽利略的机械系统完全吸纳，并在他的三大运动定律的前两个中表达出来。

第一定律：任何物体都保持静止或匀速直线运动，直至受到外力促使它做出改变。

第二定律：运动的改变（动量改变的速度）与受到的外力成正比，并在此外力的方向上发生作用。

在明确叙述这些原则前，牛顿给出了一系列定义，用来解释定律中的术语。

这些定义和“运动定律或公理”与欧几里得几何的定律几乎站在同一高度，并经历了几乎相同的命运。欧几里得认为可以通过陈述几个公理开始——明显的不需要证据的事实，然后从这里推导出整个几何。在400年没有遇到挑战后，托勒密发现这些公理也许更像假设。现在，2000年后，我们就将它们作为欧几里得定理适用的空间的条件。同样，牛顿的定义和公理也在大约200年间没有受到挑战，直至一位维也纳教授E.玛茨指出，这些定义不是定义，而是假设，它们设定了一种特殊的力学系统——即定律所适用的系统。

牛顿首先定义了质量，即按照他的说法，质量即物体体积和密度的乘积，但密度只能定义为质量除以体积，这便使我们无所适从。牛顿定义实际上悄悄地引入了一个假设，每个物体都具有一个量与其相关，可以用来处理随后赋予质量的各种特性，其中之一是，一个移动的物体的质量在速度变化时保持不变，而我们现在知道这并不正确。

牛顿接下来定义的动量（运动的量），认为是物体的质量乘以运动速度，这进而提出一个问题，如何定义物体的速度？我们说，一辆小汽车以每小时30英里的速度行驶，并每两分钟路过一个里程碑，但我们必须记住，里程碑并不是自己保持不动，而是设定在一个快速运动和转动的地球上。小汽车沿路的运动使之以每小时30英里的速度路过里程碑，但里程碑自己还有地球自西向东转动所引起的大约每小时500英里的速度。在这个上面，我们必须加上一个每小时7万英里的速度，因为地球在绕着太阳按轨道运行，另外还有每小时60万英里的速度，因为太阳在空间中运动，等等。我们知道，没有任何物体是绝对静止的，所以可以设定一个固定的标准来测量运动。我们当然可以假设，如果我们走得足够远，最终会遇到某种东西，可以处理所需要的“绝对固定”具有的特性，这只能是一个纯粹的假设，但这就是牛顿的轨迹。他假设在宇宙的最遥远之处存在巨大的不动物质，可以用来测定其他物体的运动。他看到，这只是一个有用的假设，“可能没有任何物体真正静止，可以作为其他物体的位置和运动的参照物”。不管怎样，他看到了其中的困难，“有效发现并区分某种物体的真正运动和似乎的运动的确极端困难，因为这些运动发生的不动的空间的部分毕竟是在我们感官的观察下”。我们现在知道，“巨大的不动物质”的假设是没有依据的，因而牛顿对于静止和运动的处理也是不可证实的，他对于时间的处理也同样。他说，时间是某种“等量流淌无需任何外部因素”的东西，但这当然不是定义，充其量这只是时间一个推论特性的记录，即便这也不是真实的特质。

在牛顿明确表述这些假设后整整200年，由迈克逊和莫里的实验提出了质疑，认为在本质上并非普遍真实，但问题并没有得到最终解决，直至爱因斯坦在20世纪初提出相对论。这表明，牛顿关于绝对空间和绝对时间的假设令他关于快速移动物体，包括光线的力学理论不再有效，尽管在慢速运动的物体方面，牛顿定律依然适用。

第二条定律引入了关于力的新概念，但牛顿不能规定是什么力。我们所得到的最终结果是，力是改变动量的因素，改变的大小与力的大小成正比。我们还没有被告知如何测量力，但第二定律告诉我们：一个力如果对一个动量产生两倍的变化，那么它就是另一个力的两倍，这样，第二定律就可以作为“力的总量”的定义而被最好地认识。

牛顿引入了第三定律：任何作用都有相等的反作用。

这样两个物体互相施加的两个力大小相等，方向相反。这里我们终于得到某些新东西——一个真正的物理事实——关于力。如果一匹马以X力向前拉一辆车，那么该车也向马施加一个X的拖力。如果一支枪射出一粒子弹，并且改变了其动量，大小为Y，那么枪也受到了同样大小Y的动量。第一和第二定律完全是伽利略观点的复述，但第三定律是牛顿自己的发现。

伽利略的力学曾经仅限于地球和地上物体，但牛顿希望证明，天体也可以通过类似的原则解释。他开始写作《数学原理》的第三本书，并且说“从同样的原则出发，我现在显示世界系统的框架”。接下来他为天空建筑了一个完整的力学，他证明，如果引力遵循逆平方的原则，那么行星一定完全按照开普勒的三个定律运行。他讨论了很多其他类的运动——例如，一个行星在除了太阳之外还有其他力作用其上时的运动。他还考虑了三个或以上物体在互相受到引力吸引时所呈现的运动，例如太阳、月亮和地球，这是关于这三个物体的著名问题，至今没有令人满意的答案。

早在1672年希尔就曾发现，悬摆钟在卡宴会失去时间，在赤道附近也发生了同样的情况，这表明，地球的引力在赤道附近比其他地区的强度弱，也意味着地球可能不是一个完全的球体，而是橙子形——在赤道处凸起，两极处平坦，如同木星的外形。牛顿提出，如果地球是这样的扁平形，月球对赤道凸起的拉力会将赤道变成一个平面，可以用来解释月球的绕地轨道，这直接解释了希帕克在公元前2世纪发现的昼夜平分点运行。地球不会围绕固定的轴像一个稳定的顶部穹一样做纺锤旋转运动，因为月亮总是将轴转动。

牛顿还显示了月亮和太阳的引力如何导致地球上的海潮，并为该理论提供了某些细节，从而令人信服地表明，潮水只是此类引力的结果。

开普勒曾经说过，所有的已知行星都在椭圆轨道中沿太阳运行，牛顿也显示，如果它们的运行受到太阳引力的决定，那么它们必然如此，但它们运行的轨迹很难与圆形区分。牛顿的理论允许物体以任何长度的椭圆沿太阳运行，而且他还显示，已经发现的一些彗星一定以非常长的椭圆运行。《数学原理》中的这部分内容在哈雷于1680年开始对彗星进行研究以来占据了特殊重要的位置，他发现，1682年出现的一个彗星遵循了早前1531年和1607年出现的彗星的轨迹，这意味着，所有三颗彗星可能是一个天体的重复出现，其轨道为围绕太阳运行的很长的椭圆形，隐形周期为年。哈雷预测说，彗星会在另外一个年后回归，情况的确如此。这些曾被认为是不祥和不益征兆的物体现在被视为一些惰性物质，在引力法则的驱使下不断运行。

《数学原理》另外一个重要部分讨论了流体的运动，并从与笛卡儿漩涡理论的相关中获得了特殊的地位。牛顿证明，笛卡儿定律所预示的星球运动与开普勒定律并不相符，这对漩涡理论构成了致命打击。但是，笛卡儿的理论在欧洲大陆仍然持续了一段时间，许多著名的科学家诸如法国天文学家封丹内（1657—1757），格罗宁根的数学物理学家约翰·伯努利和巴斯勒（1667—1748）直到去世仍然是笛卡儿的信徒。在法国尤其如此，直至伏尔泰宣布对牛顿的理论捍卫，才让笛卡儿学说获得了长久以来应得的休息。