直角而毕达的哥拉斯定理

解析几何的发现一般归功于笛卡儿（1596—1650）和费玛（1601—1665），但在他们之前即已经被了解和使用，其时间甚至可以推溯到阿波罗尼奥斯时代。

在笛卡儿辞职将精力更多投入数学和哲学之后，他首先写了《世界》，但并没有发表，之后最著名的著作《方法论》在1637年发表。该著作主要是哲学性质，但笛卡儿在后来的一年加入了三个科学附稿，其中第三个是《几何学》，解释了解析几何的原则。这本书牛顿在剑桥大学时曾经读过，并帮助他形成了对数学的兴趣。书晦涩难读，风格也模糊不清，笛卡儿说他故意使然，以免某些自作聪明者会说他们早已知其然。幸运的是，约翰·瓦里斯（1616—1703），一位早年在牛津大学做过教授的剑桥数学家在1665年发表了圆锥曲线的专著，并非常清楚地解释了整个课题。

另外一个伟大的法国数学家皮埃尔·德·费玛也对这个课题饶有兴趣，并似乎独立于笛卡儿发现了解析几何的一般方法，但是因为他大部分著作都没有在生前发表，因而荣誉主要归于笛卡儿。

方法的一般原则迅速得到理解。圆的不同特性，如同欧几里得所清晰表述过的一样，似乎首先成为被分离且独立的特性——如同人的鞋和外衣的颜色，但是它们实际上并非如此。这些特性的大部分都是圆而不是曲线的特性，所以其中任何一个都是圆的一个定义，或是一个完整描述，因而包含了圆的所有特性。

我们可以将圆定义为一个曲线，其上所有点都到我们所称的中心的距离相等，这是欧几里得的定义。圆的所有特点都以此为基础，欧几里得也做了表述。但是我们也可以将圆定义为一个曲线，一个固定的直线AB到其上每个点都形成相等的弧角——当我们围绕着圆行走时，AB在我们看来都是一样的，图6-6的ACB角总是保持一致（当我们走过A或B时，可能会有一点复杂，但这里不需过多论述）。

这最初似乎与欧几里得的定义不相关，但是可以显示出，两个定义都暗示了同样的性质，它们在逻辑上等同。现在解析几何的方法将对定义进行另一番描述，我们可以将之描述为代数定义，并且由它可以仅仅通过代数过程将我们需要的曲线的很多特性推演出来。

我们可以设想一个通过小方格标出的平面（图6-5），如同地图可以通过经度和纬度进行标示。我们可以对区域内的C进行确定，即位于O点右侧x单位长度，在通过O的水平直线的上方y单位长度。或者，如果OX、OY二者通过O并垂直，我们可以说，C点沿OX的距离为x，沿OY的距离为y、x和y的值就叫作C点的“坐标”。

图6-5

毕达哥拉斯的定理告诉我们OC2=x2＋y2，这样，如果一个半径为a的圆以O为圆心画出，并且提条件满足是x2＋y2=a2，那么C就位于圆上。这种关系对所有圆上的点的坐标都适用，而非其他点；这形成了圆的代数界定，圆的所有特性都在其中，我们称之为圆的方程式。

如果我们对圆进行其他定义，就会得到完全一致的关系——例如，一条曲线，某固定直线AB到其上任何一点形成的角都是直角（图6-6）。令AB的长度等于2 a，令O成为中心点，令圆上任何一点C到AB的垂线与AB交于D，即OD=x，DC=y。这样ACB将成为直角，而毕达哥拉斯定理告诉我们：AB2=AC2＋CB2=（AD2＋DC2）+（DC2＋DB2）=（a＋x）2＋2y2+（a－x）2=2（a2＋x2＋y2）。

图6-6

由于AB2等于4a2，方程成为x2＋y2=a2，与我们前面获得的结果一样。

无论我们对圆采用何种定义，都会得到同样的代数描述。的确这是必然的，否则同样的曲线会有两种不统一的特性。将这个程序逆转，如同这个描述可通过圆的任何一个特性得出，反过来，一个圆的任何特性都可以从简单的代数过程得出。

同样，其他任何曲线都可以用一个类似的方程来总结所有特性，这个等式成为了曲线特性的某种集合，数量可能达到数百，从这个等式我们可以尽量多地推导出曲线的所有特性。

这就是解析几何的方法，它们无以伦比地更加强大，更加简洁，更加具有洞察力，这些都是老式希腊几何的探索方法所不能比拟的，它们现在成了老古董。