保险精算相关理论

第二章　重要概念和相关理论

为准确把握所研究的对象，深入讨论所研究的问题，有必要将本书涉及的养老保险制度的重要概念以及保险精算的相关理论进行介绍。本章第一节主要界定养老保险制度讨论中所涉及的若干重要基本概念，包括养老保险制度的基本内涵、养老保险制度模式、中国基本养老保险制度、养老保险制度的收入再分配效应以及养老金替代率；第二节介绍保险精算的相关理论，包括保险精算理论的发展史、利息理论、生命表理论以及生存年金理论等。

第一节　养老保险制度的重要概念

一、养老保险制度的基本内涵

养老保险制度亦称社会养老保险，是社会保障制度的重要组成部分，也是社会保险五大险种中最重要的险种之一。对于养老保险制度的定义，虽然尚未完全统一，存在各种不同的表述形式，但各种定义的主题内容大致相同。^[1]

养老保险制度是国家和社会根据一定的法律和法规，由国家统一强制实施的，为保证劳动者在达到国家规定的解除劳动义务的劳动年龄界限或因年老丧失劳动能力，退出劳动岗位后的基本生活需要而建立的一种社会保险制度。这一概念主要包含以下三层含义。第一，养老保险是在法定范围内的老年人完全或基本退出社会劳动生活后才自动发生作用的。这里所说的“完全”，是以劳动者与生产资料的脱离为特征的。所谓“基本”，指的是参加生产活动已不成为主要社会生活内容。需强调说明的是，法定的年龄界限（各国有不同的标准）才是切实可行的衡量标准。第二，养老保险的目的是为保障老年人的基本生活需求，为其提供稳定可靠的生活来源。第三，养老保险是以社会保险为手段来达到保障的目的。养老保险是世界各国较普遍实行的一种社会保障制度^[2]。

养老保险制度一般具有以下三个特点。第一，由国家立法并强制实行，企业单位和个人都必须参加，符合养老条件的人可向社会保险部门领取养老金。第二，养老保险费用来源一般由国家、单位和个人三方或单位和个人双方共同负担，并实现广泛的社会互济。第三，养老保险具有社会性，影响很大，享受人多且时间较长，费用支出庞大，因此，必须设置专门机构实行现代化、专业化、社会化的统一规划和管理。

二、养老保险制度模式

养老保险制度按照养老金筹集资金的方式，分为现收现付、部分积累（半基金制）和完全积累（基金制）三种模式。

现收现付制（Pay－As－You－Go，PAYG）是一种以近期横向收支平衡为指导原则的基金筹资方式，就是政府用在职职工的缴费来支付已退休老年人的养老金，并承诺该时期在职职工老年后的养老金支付。现收现付制的特点是当期缴费的人不享受福利，当期享受福利的人不缴费。这种制度有利于低收入者，体现了帮助弱者的社会保障的基本价值观念，体现了社会公平。同时，现收现付制不会出现因基金积累受经济波动的影响而损失退休待遇。但是，随着人口老龄化的到来和加速，缴纳养老保险贡献的人数下降，而养老保险受益人数却不断增加，它给政府带来的财政负担越来越重。特别是对于待遇水平过高、层次单一的社会保险制度给政府造成的责任和负担就更重，财政失衡必不可免。

基金积累制是以远期纵向平衡为原则的养老金筹资方式，其实质是个体一生中的跨时性收入再分配制度。基金积累制是国家强制实施的个人养老储蓄制度，通过建立个人账户，雇主和雇员缴费全部进入个人账户，退休待遇水平取决于基金积累额，账户基金可进行投资。这种模式有效化解了人口老龄化问题带来的养老金支付危机，减轻了政府的负担，并且为经济建设提供了大量的长期建设资金。基金积累制根据基金来源的主体分为完全积累制（Fully Funded，FF）和部分积累制（Partial Funded，PF），完全积累制中积累的基金完全来自于个人，是本代人对自己的收入进行跨时间的分配，即将自己年轻时缴纳的养老保险费积累起来，供自己退休后使用。这种模式以新加坡的中央公积金制度和智利的私人管理养老金制度为代表。但是，这种模式缺乏互济互助，不利于低收入者，没有体现社会公平。另一方面，基金积累制，不但难以抵制通货膨胀的影响和承受基金保值增值的压力，而且基金投资和管理的难度大。

部分积累制是介于现收现付制和完全积累制之间的一种混合模式。在这种模式下，社会养老保险分为两部分：社会统筹部分和个人账户部分。社会统筹部分实行现收现付制的财务制度，个人账户部分实行完全积累的财务制度。这种混合模式在理论上既可以保持现收现付制的代际转移和收入再分配功能，又能够发挥完全积累制刺激个人缴费积极性，培养个人责任心以及提高储蓄率等作用。同时，混合模式还能够克服现收现付制无法应付的人口老龄化和完全积累制没有再分配功能的缺陷。因此，部分积累制是一种比较理想的模式，目前，一些国家在改革原来现收现付制的基础上引入个人账户形式，部分积累制正成为一种趋势。

养老保险制度按照养老金待遇确定的方式，可分为待遇确定型（Defined Benefit，DB）和缴费确定型（Defined Contribution，DC）。

待遇确定制养老保险制度中，退休者可按月领取固定金额的养老金，制度通常由雇主缴费，劳动者不用缴费，也不必为每个劳动者分别建立个人账户，而是将所缴的保险费用集中起来进行管理。养老金的待遇给付水平由政府制定，以保障退休者的基本生活为准，并且可以根据通货膨胀和经济发展状况进行调整。由于劳动者不必缴费，因而缺乏激励机制。该制度的支付风险由政府承担。

缴费确定制养老保险制度，由雇主和劳动者共同缴纳一定比例的费用，政府为每个劳动者建立个人账户，将缴费及其投资收益分别存入每个劳动者的个人账户；劳动者对账户中积累的资金拥有投资方式决定权，并承担相应的投资风险。劳动者退休时能够享受到的养老金水平取决于向账户的缴款和投资运营收益的积累额总和，养老金待遇与缴费直接关联，具有激励功能。该制度的支付风险由受益人承担。

养老保险制度的资金筹集模式和养老金待遇给付模式之间的相互结合，可以产生各模式的养老保险制度。现收现付制和待遇确定制的组合模式以福利国家为代表，现收现付制和缴费确定制的组合模式以德国、美国为代表，基金制和缴费确定制的组合模式以智利、新加坡为代表。

三、中国基本养老保险制度

中国的养老保险制度由三个部分（或层次）组成，即基本养老保险、企业补充养老保险和个人储蓄性养老保险。由政府主导并负责管理的基本养老保险构成职工养老保障体系的第一层次或第一支柱，政府倡导但由企业自主发展的企业年金（原来称为补充养老保险）构成养老保障体系的第二层次或第二支柱，团体或个人自愿购买的商业性人寿保险则构成第三层次或第三支柱。

中国的基本养老保险制度实行社会统筹和个人账户相结合的部分积累制。该制度在养老保险基金的筹集上采用国家、企业和个人共同负担的形式，社会统筹部分由国家和企业共同筹集，个人账户部分则由个人按一定比例缴纳。基本养老保险是由国家强制实施的，其目的是保障离退休人员的基本生活需要。

四、养老保险制度的收入再分配效应

养老保险制度的收入再分配效应，是指养老保险促使财富在同一代人不同收入人群之间或代际之间的转移。养老保险制度的收入再分配，从其实现形式来看，有以下三种：（1）代际间收入的再分配；（2）同代收入再分配；（3）时间性再分配。代际之间的再分配是指收入在不同代之间进行一次再分配，一般是有利于社会经济地位较弱的一代，如从年轻一代向老年一代的财富再分配。代内再分配则是指同一代人之中收入再分配的过程。时间性再分配将财富在不同时期内尽量均匀化。因为，人一生或一代人在生命周期的不同阶段其收入水平分布是不均匀的^[3]。

五、养老金替代率

养老金替代率，是指劳动者退休时的养老金领取水平与退休前工资收入水平之间的比率。它是衡量劳动者退休前后生活保障水平差异的基本指标之一。决定养老金替代率的基本条件：一是社会经济的发展水平，基金的承受能力；二是养老金的计发办法；三是养老金的增长机制。养老金替代率可以分不同层次计算，它包括：个人退休时的养老金与其在职时工资收入之比；企业退休人员平均养老金与其企业在职职工平均工资收入之比；行业退休人员平均养老金与其行业在职职工平均工资收入之比；地区退休人员平均养老金与其地区在职职工平均工资收入之比；全国退休人员平均退休金与全国在职职工平均工资收入之比五种。根据工作或研究需要，可采用不同的比值（比率）来说明个人、企业、行业、地区、全国养老金替代率状况、平均值、纵横向水平比较和变动趋势。^[4]

第二节　保险精算相关理论

保险精算学起源于寿险中的保费计算，其发展与寿险有着深厚的渊源。1693年英国著名的天文学家爱德华·哈雷（Edmund Halley）根据德国布勒斯市居民的死亡资料，编制了世界上第一个完整的死亡表，用科学的方法，精确地计算出各年龄段人口的死亡率。这不仅使产生于12世纪的年金价格计算更为精确，也为寿险的形成奠定了科学的基础。18世纪中叶，托马斯·辛普森根据哈雷的死亡表构造了依据死亡率变化而变化的保险费率表。后来，詹姆斯·多德森又根据年龄的差异确定了更为精确的保险费率表，进一步为精算奠定了基础。1762年，英国成立了世界上第一家寿险公司——伦敦公平保险公司。该公司以死亡表为依据，采用均衡保费的理论来计算保费，并且对不符合标准的被保人另行收费。该公司的成立，标志着现代寿险制度的建立，也标志着寿险精算的开始。^[5]

保险精算的基础是大数定律。大数定律是指随机事件的频率的稳定性及平均结果的稳定性，即随机事件在每次独立的观察中出现的偶然性将在大量重复观察中呈现必然性。

传统精算学主要涉及两个基本问题：利率和死亡率。寿险保费的收取与保额的给付不是同时发生的，其间有一段较长的时间间隔（往往一年以上），这就要求寿险精算必须考虑利息因素。生命表又称死亡表，它是对一定数量的人口自出生直到全部死亡这段时间的生存和死亡的记录。它有两个基本要素：年龄及相应的死亡率。生命的不确定性在生命表中得以反映，厘定保费，提存责任准备金均以生命表为基础。编制生命表分为三步，首先确定各年龄的死亡率，其次选择适当的基数，最后在编制过程中对统计误差等因素进行修匀。

生存年金合同是以生存作为保险金给付的条件，而生存年金的现值实际正是客户应缴纳的保费。一般而言，任何生存年金险种，可考虑为相应的确定年金与相对应的生存概率的综合结果。与生存年金相对应，人寿保险的保险金是以被保险人死亡为给付条件，保险人以大数法则为基础，以预期赔偿金额作为纯保费收取。年缴纯保费是由被保险人按保单规定定期缴付的，并且以被保险人生存为支付条件，因此可将年缴纯保费看做生存年金，其现值显然应等于趸缴纯保费。

综上所述，用精算学研究养老保险的基础理论主要包括三部分：利息理论、生命表理论、生存年金理论。利息理论探讨的是资金的时间价值及不同形式下的确定性年金；生命表理论研究的是生存组在死亡率作用下的生存组成员逐渐衰减的规律；生存年金理论是基于利息理论与生命表理论，探讨生存年金在不同的给付条件下，生存年金的现值和终值。

下面结合养老保险的研究，对利息理论、生命表理论、生存年金理论的基础知识进行简要介绍。

一、利息理论

在经济活动中，资金的周转使用会带来价值的增值。资金周转使用时间越长，实现的价值增值就越大。同时，等额的货币在不同的时间上，其实际价值也不同。所谓利息，是指在一定时间内借款人向贷款人支付的使用资金的报酬。利息的大小取决于本金、利率、资金投资使用时间的长短。利息理论包括：分析利息的各种定量的度量，利息度量中所涉及的基本原则，考虑与人的生死无关联的确定年金问题。

设t为从投资之日算起的时间。在理论上，时间可以用许多不同的单位来度量，日、月、年等。用来度量时间的单位称为“度量时期”或“时期”，最常用的度量时期是一年。投资1单位的本金，在任何时刻t的积累值定义为积累函数（Accumulation function）a（t）。初始投资为k个单位的本金时，在任何时刻t的积累值定义为金额函数或总量函数（Amount function）A（t）。在第n个度量中产生的利息金额I（n）＝A（n）－A（n－1）。

利息的度量方式有实际利率、实际贴现率、名义利率、名义贴现率以及利息力等。实际利率i是某时期内得到利息的金额与此时期开始时投资的本金之比。

从投资日算起的第n个时期的实质利率in。表示为

在具体衡量多个度量期时，又涉及单利和复利的度量方式。单利中产生的利息不作为投资资金，不产生积累。复利中则是产生的利息作为投资金额，产生利息，“利滚利”。在实际中较多的业务采用复利形式。

实际贴现率d是某时期内得到利息的金额与此时期期末投资金额之比。

从投资日算起的第n个时期的实质利率dn。表示为

在此过程中，也涉及单贴现和复贴现的问题。在实际中较多的业务采取复贴现形式。术语“实际”用于利率和贴现率，表示利息为每个度量时期支付一次，或在期末，或在期初。若考虑利息在每一时期需支付多次，这种情形的利率与贴现率称为“名义”的利率。

每一度量期m次支付的名义利率是i（m）（m≥1且为正整数），其中每1/m个度量期的实际利率是i（m）/m。此时，一个度量期中，名义利率i（m）和实际利率i的等价关系式为

同样的，每一度量期p次支付的名义贴现率是d（p）（p≥1的正整数），其中每1/p个度量期的实际贴现率是d（p）/p。此时，一个度量期中，名义贴现率d（p）和实际贴现率d的等价关系式为

以上四种利率的度量方式都是度量时间区间的利息。利息力或利息强度δt则是用来度量每个时间点上的利息，其中

根据（2－5）式，可以得到a（t）＝e∫t0δrdr，A（t）＝A（0）e∫t0δrdr。

在度量期利率固定不变的情况下，上述利率有以下的等价关系：

关于利息问题的求解过程中，不同时刻都有资金的流入和流出。求解中应依照利息理论的基本原则。

利息理论的基本原则是，任何时刻资金的积累额以来其所经历的时间。对过去支付的资金来说，它所经历的时间是指从支付日到所考察时的时间，资金的变化是一个积累的过程；对于在未来将要支付的资金，其所经历的时间是指从考察的时间到未来支付日的一段时间，这时使用的是折现的过程。因此，在不同时刻支付的金额是不能直接进行比较的，这就是“货币的时间价值”^[6]。

为了比较在不同时刻支付的金额，实际的做法是将各种不同时刻的付款积累或折现到同一时刻，然后再进行比较。这里的同一时刻成为可比时刻点或比较时刻点。

衡量多个时刻付款的总价值，总是先选取一个可比时刻点，然后分别将各次付款积累或折现到可比时刻点，得到的和就是该时刻点的货币总价值，从而建立价值方程或价值等式。

确定年金理论是利息理论的具体应用。所谓年金是指相等时间间隔支付的一系列款项。年金的构成要素有二：一是时期，二是付款。根据这些要素是否有固定性或确定性，可将年金分为确定年金和生存年金。确定年金是固定的时期支付确定金额款项的年金，与人的生存状况无关。

确定年金根据付款时刻的不同，可以分为期末付年金、期初付年金、永续年金。根据每次付款金额是否相同，可以分为基础年金和变动年金。

以期初付基础年金为例，介绍基础年金原理。考虑在0时刻开始的n个时期中每个时期初付款1，这种年金称为期初付基础年金。图2－1是这种年金的时间图。箭头1在第一次付款时出现，假设每个时期的利率为i，年金在这一时刻的现时值记为；箭头2在最后一次付款期末，年金在这一时刻的积累值（终值）记为。

图2-1　期初付基础年金的示意图

其中，

类似可得到其他各种基础年金的表达。

对于变动年金，也以期初付变动年金为例进行。考虑在0时刻开始的n个时期中每个时期初付款P1，P2，P3，…，Pn，图2－2是这种

图2-2　期初付变动年金的示意图

年金的时间图。箭头1在第一次付款时出现，假设每个时期的利率为i。年金在这一时刻的现时值记为（present value）。箭头2在最后一次付款期末，年金在这一时刻的积累值（终值）记为AV（accumulation value），

此时

根据每个时间点付款额P1，P2，P3，…，Pn所呈现的变化，可以有递增变动年金、递减变动年金以及等比变动年金等。

二、生命表理论

生命表是反映在封闭的人口条件下，一批人从出生后陆续死亡的全部过程的一种统计表。它用表格的形式简单清楚地表达了同时出生的一组人以怎样的死亡率陆续死亡的过程。

图2-3　生命表示例

生命表反映年龄x岁与存活人数、死亡人数、存活概率、死亡概率的关系。

由图2－3，生命表由基本函数lx，qx，dx，Lx，Tx，组成。其中lx表示存活到确定整数年龄的人口数，x＝0，1，…，w－1；w表示人口生命的极限年龄；dx表示x～x＋1岁间死亡的人数；qx表示x岁的人在当年死亡的概率；Lx表示x岁的人生存的人年数，其单位是复合单位人年；Tx表示所有活过x岁的人群未来累计生存人年数 ；表示x岁人群的平均寿命或平均余命。

根据生命表，可以求得整数年龄的不同人群的生存概率和死亡概率。主要的函数如下：

随机变量X表示出生婴儿的未来寿命。生存函数s（x），s（x）＝P｛X≥x｝，表示0岁的人活过x岁的概率。于是生存函数s（x）与分布函数F（x）的关系式为s（x）＝1－F（x）。由于参加保险的参保人往往是活过某个年龄x岁的人。因此，x岁的人的剩余寿命X－x的分布更为重要。引入随机变量T（x），T（x）＝X－x表示T（x）的未来寿命，即剩余寿命或余命，对应的分布函数和生存函数分别为tqx和tpx，tqx表示x岁的人在（x＋t）岁之前死亡的概率，tpx表示x岁的人活过（x＋t）岁的概率。其中

借助生命表中函数表示可得等。

借助这些基本生存函数，可以对各种情况的生存概率和死亡概率进行表示和计算。

由于生命表给出的整数年龄上的寿命分布，对于非整数年龄的寿命分布，一般是利用插值技术如线性插值、几何插值、调和插值等将非整数年龄转化为整数年龄，然后进行计算。

此外，生命表可以分为国民生命表和经验生命表。国民生命表是根据全体国民或者以特定地区人口的死亡统计数据编制的生命表，主要来源于人口普查的统计资料。经验生命表则是根据人寿保险、社会保险以往的死亡记录所编制的生命表，保险公司使用的是经验生命表。经验生命表根据不同性别以及是否养老金业务，还可以分为养老金业务男表、养老金业务女表、非养老金业务男表以及非养老金业务女表等。

三、生存年金理论

生存年金是以人的生存为条件进行的相等时间间隔的一系列给付。其给付是以被保险人的生存为条件，因此给付的次数不是确定的。养老保险中，保费的缴纳和养老金的领取都以被保险人的生存为条件。又由于缴纳时刻与领取时刻并不同时，因此在考虑保费缴纳价值或养老金领取价值时应除了考虑可比时间点和利率因素以外，还应考虑生存概率，即需在精算意义下考虑。此时涉及生存年金中精算现值的概念。

精算现值（Actuarial Present Value，APV）是指现值的期望值，又称期望现值。精算现值考虑了人的生死概率。在人寿保险中，保险人为了平衡未来T时刻支付的保险金bT，在签单时需要一个收入， 即bT的现值。由于这个现值受到时刻T的取值不同而不同，因此考虑数学期望E（ZT）。E（ZT）称为未来保险金给付在签单时的精算现值，也称趸缴纯保费。

以x岁的人在0时刻参保，n年后生存状态可以获得1个单位的给付，见图2－4，生存时现值vn，死亡时现值0，这份保单的现金价值或期望值为。精算中称x为精算折现因子。

图2-4　精算现值示例

生存年金的分类与确定年金类似，根据付款时刻的不同，可以分为期末付生存年金、期初付生存年金、永续生存年金。根据每次付款金额是否相同，可以分为基础生存年金和变动生存年金。

以期初付基础生存年金为例，介绍基本原理。考虑x岁的人在0时刻开始的n个时期中每个时期初生存条件下付款1，这种年金称为期初付基础生存年金。图2－5是这种年金的时间图。箭头1在第一次付款时出现，假设每个时期的利率为i，年金在这一时刻的精算现值记为，

图2-5　期初付生存年金的示意图

即，未来所有生存状态下的付款经过精算折现至参保年龄x岁当时的总和。

对于变动生存年金，考虑x岁的人在0时刻开始的n个时期中每个时期初生存状态下付款P1，P2，P3，…，Pn的年金，该年金的精算现值为APV，则

本章小结

本章主要对本书所涉及的养老保险制度的重要概念，包括养老保险制度的基本内涵、基本养老保险制度模式、中国基本养老保险制度、收入再分配效应以及养老金替代率等概念进行界定，同时对保险精算的相关理论，包括利息理论、生命表理论以及生存年金理论等进行梳理，为后期的进一步讨论作好必要的准备。

【注释】

[1]邓大松：《社会保险》，中国劳动社会保障出版社2004年版，第14页。
赵曼：《社会保障学》，中国财政经济出版社2003年版，第76页。
董克用：《养老保险》，中国人民大学出版社2000年版，第3页。

[2]中华人民共和国人力资源和社会保障部：《什么是养老保险？》http://www.molss.gov.cn/gbywzn2005-12-02/content_95209.htm

[3]刘晓霞：《代际再分配与我国养老保险模式的选择》，《商业研究》，2007年第3期，第140－142页。

[4]《养老金替代率》，http://baike.baidu.comview197298.html?fromTaglist

[5]孙祁祥：《保险学》，北京大学出版社1996年版，第30－31页。

[6]李秀芳、傅安平：《寿险精算》，中国人民大学出版社2002年版，第20页。