【摘要】：多因子模型假定利率期限结构的状态变量有多个,有着与单因子模型相似的假设:所有债券价格P(t,T)为状态变量的函数,而且风险的市场价格λ是m个状态变量的函数。这里λ为包括风险市场价格的m×1向量。Wt为m维布朗运动,由于零息债券价格P(t,T)与随机贴现因子Λt的乘积为真实概率测度下的鞅过程,应用ITO引理获得以下的偏微分方程:
四、多因子均衡模型
(一)多因子均衡模型的一般形式
多因子模型假定利率期限结构的状态变量有多个,有着与单因子模型相似的假设:所有债券价格P(t,T)为状态变量的函数,而且风险的市场价格λ(Xt)是m个状态变量的函数。短期利率为状态变量的函数,即rt=r(Xt)。
假设状态变量与债券价格的动态过程分别为:dXt=μ(Xt)dt+σ(Xt)dWt。其中μ(Xt)为m维漂移项向量,σ(X)为包含波动率系数的m×m矩阵,Wt为m维布朗运动,σ(Xt)为对角矩阵,ρij为m个变量之间的相关系数。
应用ITO引理,债券价格可表示为:
漂移项可表示为:
第i种债券的波动率为:σP(t,T)P(t,T)=
债券价格的期望收益率与波动率由状态变量决定。
(二)随机贴现因子
与第三节相同,随机贴现因子可定义为以下过程: dΛt=-rtΛtdt-Λtλ(Xt)′dWt。
这里λ(Xt)为包括风险市场价格的m×1向量。Wt为m维布朗运动,由于零息债券价格P(t,T)与随机贴现因子Λt的乘积为真实概率测度下的鞅过程,应用ITO引理获得以下的偏微分方程:
其中,λi(X)为λ(X)的第i个元素。
如单因子情况一样,可以利用Feynman-Kac定理,在风险中性概率测度下上述偏微分方程的解表示为:
而且,Q测度(风险中性测度)下状态变量的随机过程可表示为:
下面应用以上的分析思路对多因子模型的一种普遍的仿射类模型进行分析。
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