随机效用极大化模型

10.4.1　随机效用极大化模型

1.随机效用极大化模型介绍

McFadden（1974）通过随机效用极大化（random utility maximization），来探讨区位选择问题。McFadden（1974）将事件s的随机效用（U_s）定义如下：

其中，V_s代表系统部分（systematic component），ε_s代表随机干扰项（random disturbance）。在定义随机效用为U_s、选择集合为S下，效用极大化的追求，隐含选择方案s的概率（P_s）为：

因此，P_s将视V_s及ε_s的影响来决定。McFadden认为，当假设ε_s为独立且服从冈伯分配（Gumbel distribution）时，

由于假设ε_s为独立且服从冈伯分配（Gumbel distribution），因而造成一般逻辑斯蒂模型（general logisticmodel）在实际运用上，会受到不相关替选方案独立性（independence of irrelevant alternatives；IIA）的限制，关于IIA对条件逻辑斯蒂模型运用上所造成的限制，在本节第二部分将有较详细的说明。

2.随机效用极大化模型推导

随机效用极大化模型的推导说明如下（Cramer，2003）：将P_s的定义改写为　P_s＝Pr（U_s＞U^～s）U^～s＝max（U t，t∈S），S＝S—s

换句话说，U^～s代表其它各替选方案的最大效用，而U_s必须大于U^～s，表示U_s是所有替选方案中，效用最大的。

U_s的概率分布函数为：　 F_s1（x）＝P_r（U_s≤x）

U^～s的概率分布函数为：F_s2（x）＝P_r（U^～_s≤x）＝P_r（U_t≤x，U_v≤x，U_w≤x，…）由于假设ε_s为独立，故U_s亦为独立。因此，F_s2（x）＝

t∏∈S

F_t1（x）依据convolution theorem可知，对任两独立随机变量y与z而言，

假设ε_s为独立且服从冈伯分配（Gumbel distribution），得到其概率函数为：（1）F（x）＝exp［—exp（—x）］

且U_s＝V_s＋ε_s，所以，U_s的概率分配函数：

F_s1（x）＝P_r（U_s≤x）＝P_r［ε_s≤（x—V_s）］

F_s1（x）＝exp［—exp（V_s—x）］

同理，U^s的概率分布函数：

经过计算，并利用（1）式可得：