折纸的学问

我们研究了几个很容易想到的另类作图工具。但到目前为止，我们还没有发现哪种几何作图模型的作图能力可以超越尺规作图。难道，尺规作图真的就是最强大的作图工具了吗？当然不是。这可能有些令人难以置信，一个看上去比尺规作图更“低端”的作图方法，其能力竟然远远超过了尺规作图。这种方法就是——折纸。

1980年，北海道大学的阿部恒（Hisashi Abe）发现，用折纸法可以三等分任意角，而这是尺规作图无法办到的。

假设我们要三等分的角是∠XAY。如图1，把∠XAY放在矩形纸张的一个直角上，AY靠着纸的边缘，A X落在纸张内部。在纸张的另一直角边上确定两点 P和 Q使得AP=PQ。过P点作AY的平行线。现在，把纸折起来，让Q点恰好落在AX上，同时A点也恰好落在那条平行线上。不妨把 A、P、Q 的落点分别命名为 A'、P'、Q'，那么AP'和AA' 就是∠XAY的三等分线。

图1

下面我们就来证明这一点。把折痕的端点分别记作B和C，再过A'作A'D垂直于AY。由于A'D平行于PA，因此∠1=∠2；另外，AB=A'B，△BAA'是等腰三角形，于是∠2又等于∠3。因此，∠1就和∠3相等。再加上A'D=PA=P'A'，AA'是公共边，足以说明△AA'P'全等于△AA'D。这样，∠AP'A' 就也是直角，从而∠AP'Q'也是直角。又注意到AP=PQ即表明A'P'=P'Q'，公共边AP'=AP'，于是△AP'A'全等于△AP'Q'。以A为顶点的三个直角三角形都全等，因此对应的三个角相等。

折纸为什么会比尺规作图更强呢？要解答这个问题，首先我们得解决一个更基本的问题：什么叫折纸，折纸的游戏规则是什么？换句话说，折纸允许哪些基本的操作？大家或许会想到一些折纸几何必须遵守的规则：所有直线都由折痕或者纸张边缘确定，所有点都由直线的交点确定，折痕一律是将纸张折叠压平再展开后得到的，每次折叠都要求对齐某些已有几何元素（不能凭感觉乱折），等等。不过，这些定义都太“空”了，我们需要更加形式化的折纸规则。1991年，藤田文章（Humiaki Huzita）指出了折纸过程中的6种基本操作（也可以叫做折纸几何的公理，示于图2）。

（1）已知A、B两点，可以折出一条经过A、B的折痕。

（2）已知A、B两点，可以把点A折到点B上去（这并不难办到，不妨想象这张纸是透明的，所有几何对象正反两面都能看见，下同）。

（3）已知a、b两条直线，可以把直线a折到直线b上去。

（4）已知点A和直线a，可以沿着一条过A点的折痕，把a折到自身上。

（5）已知A、B两点和直线a，可以沿着一条过B点的折痕，把A折到a上。

（6）已知A、B两点和a、b两直线，可以把A、B分别折到a、b上。

图2

容易看出，它们实际上对应着不同的几何作图操作。例如，操作1实际上相当于连接已知两点，操作2实际上相当于作出已知两点的连线的垂直平分线，操作3则相当于作出已知直线的夹角的角平分线，操作4则相当于过已知点作已知直线的垂线。真正强大的则是后面两项操作，它们确定出来的折痕要满足一系列复杂的特征，不是尺规作图一两下能作出来的（有时甚至是作不出来的）。正是这两个操作，让折纸几何有别于尺规作图，折纸这门学问从此处开始变得有趣起来。

更有趣的是，操作5的解很可能不止一个。如图3，在大多数情况下，过一个点有两条能把点A折到直线a上的折痕。

图3

操作6则更猛，如图4，把已知两点分别折到对应的已知两直线上，最多可以有三个解！

图4

一组限定条件能同时产生三个解，这让操作6变得无比灵活，无比强大。利用一些并不太复杂的解析几何分析，我们能得出操作6有三种解的根本原因：满足要求的折痕是一个不可约的三次方程的解。也就是说，给出两个已知点和两条对应的已知直线后，寻找符合要求的折痕的过程，本质上是在解一个三次方程！

让我们来回顾一下尺规作图里的五个基本操作：

（a）过已知两点作直线；

（b）给定圆心和圆周上一点作圆；

（c）寻找直线与直线的交点；

（d）寻找圆与直线的交点；

（e）寻找圆与圆的交点。

这五项操作看上去变化多端，但前三项操作都是唯一解，后两项操作最多也只能产生两个解。从这个角度来看，尺规作图最多只能解决二次问题，加减乘除和不断开方就已经是尺规作图的极限了。能解决三次问题的折纸规则，势必比尺规作图更加强大。

正因为如此，一些尺规作图无法完成的任务，在折纸几何中却能办到。这就回到了本节开头提到的问题：用折纸法可以实现三等分角，而这是无法用尺规作图办到的。

我们有更简单的例子来说明，用折纸法能完成尺规作图办不到的事情。前面我们讲过，“倍立方体”问题是古希腊三大尺规作图难题之一，它要求把立方体的体积扩大到原来的两倍，本质上是求作2的立方根。由于尺规作图最多只能开平方，因而它无法完成“倍立方体”的任务。但是，折纸公理6相当于解三次方程，解决“倍立方体”难题似乎游刃有余。

有意思的是，用纸片折出2的立方根比想象中的更加简单。取一张正方形纸片，将它横着划分成三等份（方法有很多，大家不妨自己想想）。然后，将右边界中下面那个三等分点折到正方形内部的上面那条三等分线上，同时将纸片的右下角顶点折到正方形的左边界。那么，纸片的左边界就被分成了两段。

图5

利用勾股定理和相似三角形建立各线段长度的关系，我们不难证明它的正确性。强烈建议大家自己动手算一算，来看看三次方程是如何产生的。

本文写到这里，大家或许以为故事就结束了，但 10年以后（也就是 2001年），事情又有了转折：羽鸟公士郎（Koshiro Hatori）发现，藤田文章的6个折纸公理并不是完整的。羽鸟公士郎给出了折纸的第7种操作。从形式上看，第7公理与已有的公理如出一辙，并不出人意料，很难想象这个公理整整十年里竟然一直没被发现。继续阅读之前，大家不妨先自己想想，这个缺失的操作是什么。这段历史背景无疑让它成为了一个非常有趣的思考题。

羽鸟公士郎补充的公理是：

（7）已知点A和a、b两直线，可以把A折到a上，同时把b折到自身上。

图6

后来，这7条公理就合称为藤田—羽鸟公理。在2003年的一篇文章中，罗伯特·兰（Robert J.Lang）对这些公理进行了一番整理和分析，证明了这 7 条公理已经包含折纸几何中的全部操作了。

罗伯特·兰注意到了，上述7项基本操作其实是由一些更基本的操作要素组合而成的，例如“把已知点折到已知线上”、“折痕经过已知点”等。说得更贴切一些，这些更加基本的操作要素其实是对折痕的“限制条件”。在平面直角坐标系中，折痕完全由斜率和截距确定，它等价于一个包含两个变量的方程。不同的折叠要素对折痕的限制力是不同的，例如“把已知点折到已知点上”就同时要求x₁＇=x₂并且 y₁＇=y₂，据此可以建立出两个等量关系，一下子就把折痕的两个变量都限制住了。而“折痕经过已知点”则只包含一个等量关系，只能确定一个变量（形式上通常表示为与另一个变量的关系），把折痕的活动范围限制在一个维度里。

不难总结出，基本的折叠限制要素共有5个：

（1）把已知点折到已知点上，确定2个变量；

（2）把已知点折到已知线上，确定1个变量；

（3）把已知线折到已知线上，确定2个变量；

（4）把已知线折到自身上，确定1个变量；

（5）折痕经过已知点，确定1个变量；

而折痕本身有2个待确定的变量，因此符合要求的折纸操作只有这么几种：（1），（2）+（2），（3），（4）+（4），（5）+（5），（2）+（4），（2）+（5），（4）+（5）。但是，这里面有一种组合需要排除掉：（4）+（4）。在绝大多数情况下，（4）+（4）实际上都是不可能实现的。如果给出的两条直线不平行，我们就无法折叠纸张使得它们都与自身重合，因为没有同时垂直于它们的直线。

另外7种则正好对应了前面7个公理，既无重合，又无遗漏。折纸几何至此便有了一套完整的公理。

不过，折纸的学问远远没有到此结束。如果允许单次操作同时包含多处折叠，折纸公理将会更复杂，更强大。折纸的极限究竟在哪里，这无疑是一个非常让人振奋的研究课题。