探索图形剪拼

大家或许都见过这种类型的谜题：

图1是由5个相同的小正方形组成的图形，请你把它裁剪成三块，然后拼成一个大正方形。

图1

盲目尝试并不是一个好方法。注意到，把图1剪拼成一个正方形后，面积仍然是5，因而它的边长一定是，也就是说我们需要构造长度为的线段。想到这一点，答案很快就出来了（见图2）。

图2

受此启发，我们可以利用图3的办法，把任意两个正方形剪成五块，然后拼成一个大正方形。

图3

这给我们带来了图形剪拼谜题中一个一般的结论。

结论1 两个正方形可以剪拼成一个大正方形。

有趣的问题来了：如果给你三个正方形，你还能把它们剪拼成一个大正方形吗？答案是肯定的。借助“二方合一”法，我们可以立即得到把三个正方形剪拼成一个正方形的方法：只需要先用这个方法把其中两个正方形剪拼成一个正方形，然后又一次使用“二方合一”把它与剩下的那个正方形再合成一个大正方形。显然，不管一开始正方形有多少个，这个“滚雪球”式的方法都适用——不断将两个正方形剪拼成一个正方形，直到最后只剩一个大正方形为止。因此，我们得到了一个更强的定理。

结论2 任意多个正方形都能剪拼成一个大正方形。

其实，在结论2的证明中，我们不自觉地用到了图形剪拼的一些最基本的性质。下面，我们将不加证明地提出两个显而易见的结论，考虑图形剪拼的实际过程，这两个结论不难理解。

结论3 如果图形A能剪拼成图形B，图形B能剪拼成图形C，则图形A也能剪拼成图形C。

结论4 如果图形A能剪拼成图形B，则图形B也能剪拼成图形A。

利用这两个基本结论，我们能够推出很多有意思的东西。比方说，定义一个“棋盘”是由一个个大小相同的小方格相连形成的图形。由于任意形状的棋盘都能切分成若干个小正方形，而任意多个正方形都能剪拼成一个大正方形，于是，利用结论3我们便可知道，不仅仅是本节开头提到的图形，任意形状的棋盘都能够化成一个大正方形（见图4）。联想到结论4，我们又可以得到一个看上去更帅的结论：一个正方形能剪拼出任意形状的棋盘。

图4

我们更进一步地思考，那么任意一个矩形是否也总能剪拼成正方形呢？有人可能会说，那还不简单，把这个矩形沿着水平线和竖直线切成一个个的小正方形，然后利用前面的结论不就可以了吗？比方说，把一个长宽比为3:2的矩形分成6个小正方形，然后再用结论2不就能变成一个大正方形了吗？且慢！不见得任意一个矩形都能像这样分成一个个的小正方形。例如，由于不是有理数，换句话说它不能表示成两个整数之比，因此长宽比为的矩形就不可能划分成一个棋盘。看来，我们还得想想别的招儿。

如图5所示，假设矩形ABCD的长AB＝a，宽BC＝b，则与它面积相等的正方形边长就应该是。在DC上截取，在BA上截取。连接并延长CH，与DA的延长线交于点E。过G做DC的垂线，过E作DE的垂线，两条垂线交于点F。显然四边形DEFG也是一个矩形。

图5

容易看出，△AHE和△GCM全等，△EFM和△HBC全等，因此把矩形ABCD沿CH、GM剪开并分成三块后，可以拼成矩形DEFG。由于这个新矩形的一边长为，而它的面积和原矩形一样都是ab，可知它的另外一边也是，也就是说它是一个正方形。

但是，这个办法有一个限制条件：矩形的长不能超过宽的 4倍，否则△GCM会有一部分跑到矩形外面去，如图6所示。

图6

因此，我们得到了一个并不太完美的结论。

结论5 若矩形的长宽之比小于4:1，则这个矩形可以剪拼成一个正方形。

如果矩形的长宽比超过了4:1的话，我们还能把它剪拼成一个正方形吗？答案是肯定的。如图7所示，如果沿着与较短边平行的线条把一个矩形分成两半，再把其中一块放到另一块的上面，我们就能得到一个新的矩形。这个新矩形的长缩小到了原来的一半，宽却变成了原来的2倍，换句话说长与宽的比值减小到了原来的1/4。不断重复这一操作，我们最终总能得到长宽比小于4:1的矩形。

图7

结论6 任意一个长宽比超过4:1的矩形都可以剪拼成一个长宽比小于4:1的矩形。

把上面两个结论综合一下，再利用结论3，我们就得到了一个完美的结论。

结论7 任意一个矩形都可以剪拼成一个正方形。

大家可能会很快想到，对于任意平行四边形，我们都可以像图8那样，把它变成一个矩形。

图8

因此我们有：

结论8 任意一个平行四边形都可以剪拼成一个矩形。

而刚才说过，任意矩形都能变成正方形。这样，任意一个平行四边形也都能剪拼成一个正方形了。

沿着三角形的中位线将一个三角形分成两块，我们立即发现所有三角形都能变成一个平行四边形（见图9）。

图9

因而我们有结论9。

结论9 任意一个三角形都可以剪拼成一个平行四边形。

这样一来，任意一个三角形也都能够剪拼成正方形了。注意到任意一个四边形总能分成两个三角形，每个三角形都能剪拼成一个正方形，而两个正方形又可以合成一个大正方形，于是我们又可以得到结论10。

结论10 任意一个四边形都可以剪拼成一个正方形。

事实上，不仅仅是四边形，任意一个多边形都能分割成若干个三角形，而每个三角形都可以剪拼成一个正方形，任意数目的正方形又能合成一个大正方形（见图10）。

图10

于是，我们得到了一个更加疯狂的结论。

结论11 任意一个多边形都可以剪拼成一个正方形。

任意给定两个多边形 A和 B，由结论 11可知它们都能剪拼成正方形。如果给定的两个多边形面积相等，那么它们各自剪拼出来的正方形也应该具有相同的边长，换句话说多边形A和多边形B可以剪拼为同一个正方形。由结论4可知，这个正方形也可以反过来剪拼成多边形A或者多边形B。再结合结论3，我们便得到了这两个多边形之间互相转化的方法：多边形A⇔正方形⇔多边形B。于是，我们得到了一个乍看之下很不可思议的神奇定理。

结论12 任意给定两个面积相等的多边形，它们互相之间都可以通过剪拼得到！

这个定理叫做波尔约—格维也纳定理，是由法卡斯·波尔约（Farkas Bolyai）和保罗·格维也纳（Paul Gerwien）两位数学家分别在1833年和1835年证明的。