零点定理是大家平时生活中用惯了以至于反而觉得很陌生的一个定理。若函数f（x）在区间［a，b］连续，并且 f（a）与 f（b）一正一负，那在（a，b）之间一定存在某个x，使得 f（x）＝0。如果你从海拔为-100米的地方走到海拔为400米的地方，那不管你是怎么走的，都一定会有某一时刻恰好位于海平面高度。另一个比较隐蔽一些的应用便是，对任意一个凸多边形，总存在一条直线把它分成面积相等的两份。考虑一条竖直直线从左至右扫过整个凸多边形，则凸多边形位于直线左边的那部分面积由0逐渐增大为整个凸多边形的面积，直线右侧的面积则由最初的整个凸多边形面积渐渐变为0。若把直线左侧的面积记为 f（x），直线右侧的面积记为g（x），则随着直线位置x的变化，f（x）-g（x）的值由一个负数连续地变为了一个正数，它一定经过了一个零点。这表明，在某一时刻一定有 f（x）＝g（x）。
大家或许曾经想过这样一个问题：对于任意一个凸多边形，我们总能用两条互相垂直的直线把它的面积分成四等份吗？答案是肯定的。如图 1，利用前面的结论，我们能找到一条直线l1，它把整个凸多边形分成上下相等的两份；类似地，我们能找到唯一的一条与l1垂直的直线l2，使得它恰好把整个凸多边形分成左右相等的两份。注意，现在我们有A1﹢A2＝A2﹢A3＝A3﹢A4＝A4﹢A1，由此还可以立即知道A1＝A3并且A2＝A4，但这都还不足以保证四块面积全都相等。怎么办呢？注意，我们前面假定直线l1是一条水平直线。事实上，l1每取一个方向，我们都能用上面的方法得到一个具有相同性质的新构造。现在，我们将直线l1的方向顺时针旋转90度。考虑整个过程中A1-A2的值的变化：旋转后的A1-A2恰好就是旋转前的A2-A3，而A1和A3又是相等的。于是我们发现，旋转前后A1-A2的值恰好互为相反数！这表明，在直线l1旋转的过程中，一定有一瞬间满足A1-A2＝0，这一刻的l1和l2便是两条互相垂直并把图形四等分的直线。为了证明这个结论，我们三次嵌套地使用了零点定理！
图1
故事并未到此结束。我们还有这样的定理：对于任意一个凸多边形，总能用三条交于一点的直线把它的面积分成六等份。
如图 2，先用直线l1把图形分成上下相等的两半。对于l1上的任意一点P，总存在唯一一组的四条射线，它们和直线l1一起恰好把图形分成六等份。我们把r1和l1的夹角记做α，把r3和l1的夹角记做β。现在，考虑点P从l1最左边向最右边移动，则角α由180度慢慢变成0度，角β则从0度慢慢变成180度，因此在此过程中必然有α＝β的时刻。此时r1和r3就在一条直线上了。接下来，将l1的方向顺时针旋转 180度，同时不断调整点P的位置，保持r1和r3始终在一条直线上。最终得到的构造将会和刚才一样，只不过r2和r4交换位置了：原来r4在r2延长线的顺时针方向，现在r4跑到了r2的延长线的逆时针方向，前后两个有向角的角度互为相反数。因此，在l1旋转的过程中，必然有某个时刻r2的延长线和r4正好重合。此时，l1、r1和r3所在的直线、r2和r4所在的直线就是把凸多边形面积分成六等份的3条直线。
图2
这个证明过程真可谓是把零点定理用到了炉火纯青的地步。大家不妨数一数，在这个证明过程中，我们一共嵌套地用到了多少次零点定理！
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