古德斯坦数列

我们刚才见识了很多大数。不过，比起古德斯坦（Grodstein）数列来，就算小巫见大巫了。

一个b进制的数总可以写成的形式，其中a₀，a₁，…，a_n都是小于b 的数。四进制数102 312可以写成1×4⁵﹢2×4³﹢3×4²﹢1×4﹢2，正如十进制数1206可以写成1×10³﹢2×10²﹢6一样。麻烦的是，在102 312的四进制数展开式中，有1×4⁵这么一项，而指数5却并不是一个四进制展开式。对于一个完美主义者来说，或许要把1×4⁵里的那个5也改写成4﹢1，这才算是“真正的”四进制展开。同理，二进制数1 000 011写成2⁶﹢2﹢1还不够，2²²﹢2﹢2﹢1才是真正的二进制展开。当然，倘若指数的指数还有太大的数字，我们应该继续对其进行展开，直到整个展开式只由不超过底数b的数字组成。不妨把这种b进制的展开方式叫做“完全b进制展开”。

给定一个初始的正整数m，我们可以根据下面的规则生成古德斯坦数列G_i（m）。其中，G₁（m）就等于m本身，G₂（m）则是把G₁（m）的完全二进制展开中所有的数字 2都替换成3后再减去1所得的数，G₃（m）则是把G₂（m）的完全三进制展开中所有的数字3都替换成4后再减去1所得的数，以此类推。比方说，当m＝8时：

古德斯坦定理指出，不管初始数m是多少，按照上述方法迭代下去，最后总有一个时刻会变成0。例如，当m＝3时：

6步之后，数列便收敛到了 0。不过，这并不稀奇。到了第 3步，展开式中已经没有可以替换的数了；在此之后，数列开始递减，很快便成了0。

但是，当m＝4时，情况就大不一样了：

这个数列将会持续增长到几百，然后增长到几千，然后增长到几万、几亿，然后增长到几百位数、几千位数甚至上亿位数。但根据古德斯坦定理，数列最终总会回到0的，只不过花费的时间有可能会相当长。事实上，一直要到第3×2^{402 653 211}-2步，数列才会变成0。3×2^{402 653 211}-2步！这是一个拥有上亿位数字的超级大数！

我们通常用g（m）来表示初始值为m时迭代到 0所需要的步数。我们已经知道了g（3）＝6，而g（4）＝3×2^{402 653 211}-2，可见函数g（m）增长速度之快。g（5）则是一个更大的数，它的位数将会远远超过g（4）。（注意，并不是说它的位数超过了g（4）的位数，而是它的位数超过了g（4）。）

那么g（8）呢？这将会是一个非常非常巨大的数，即使说它有多少位，或者它的位数有多少位，或者需要在前面那句话里嵌套进多少个“的位数”，也无法表达出它的大小来。

除非……除非我们自创一种大数表示法。