乘法之后是乘方，乘方之后是什么

《哥德尔、艾舍尔、巴赫：集异璧之大成》一书的作者曾经说过，他小时候曾经有一个最让他激动的想法：3﹢3﹢3，用3个3和自身运算！

但我小时候并不觉得这很令人激动，因为我很早就知道，3个3相加就是3乘以3。但我好奇的是，这会有什么样的应用题呢？每次买 3个苹果，连续买了 3次，问一共买了多少个苹果？这听上去似乎不太自然。

后来我才知道，长方形的面积计算就是乘法应用最常见的例子。而倍数关系的表达更是让我大开眼界——在比较两个相差甚远的数量时，我们可以利用乘法的关系，直接使用“我比你多多少倍”的句型！

于是我自然往下想了下去，如果拿3个3和自己相乘，会得到什么呢？后来我知道了乘方的概念。乘方，或者叫幂，这个概念并不是自古就有的。古希腊人发明了平方和立方，但只用于面积、体积的计算。在当时，4 次方、5 次方是没有任何实际意义的。随着人类文明的进步，人们需要应付的数字也越来越庞大。重复对折纸张、增长率的叠加和赌博游戏中的翻番都会涉及相同数量的连乘。于是，到了文艺复兴时期，数学家们开始用乘方来表示把同一个数连乘多次的结果，a^b就表示b个a相乘。和科技、建筑、能源、生产力一样，发明大数记号也成了人类历史中不可缺少的一环。

利用乘方的记号，我们已经能表示宇宙中几乎所有有意义的数了，整个宇宙的基本粒子数量也不过10⁸⁰。

但不知大家是否曾想过，乘方之上究竟是什么？

很容易想到，比乘方更大一级的运算就是把b个“a次方”重叠起来。不过，这里我们却遇到了一个之前不曾遇到的问题：究竟应该等于，还是？我们不妨亲自算一算，不同算法得到的结果相差有多远：

难道用两种不同的计算顺序得到的结果总是相同的吗？换a＝3试试：

哇，这下可就差远了。可以想象，如果把“a次方”再多迭代几次，从右往左算和从左往右算会差得更多。恐怖的是，我们通常约定，当有多重指数时，运算正是按照从右往左算的顺序进行的。试想，若有一种运算专门用来表示b个a构成的指数塔，这种运算的威力会有多大。

1947年，当英国数学家鲁本·古德斯坦（Reaben Goodstein）研究前一节提到的那个序列时，他遇到了一些连乘方也无法表达出来的大数。于是，古德斯坦便正式提出了这种超越乘方的运算。他把b个指数a迭代的结果记为^ba，也就是把b放在a的左上角（见图 1）。这也就是我们现在所说的“超级幂”。在国外的一些论坛上，有时也能看见a^^b的表示方法，便于在纯文本格式下传播。

不过，当时古德斯坦并没有用超级幂（superexponentiation）一词，而是用的tetration一词。这是由前缀“四”（tetra-）和迭代（iteration）一词合成的，意即排在加法、乘法、乘方之后的第四级运算。事实上，tetration比superexponentiation更常用一些。网上甚至有一个tetration论坛，论坛里活跃着一群热爱tetration的数学玩家。

图1

超级幂是一个极为厉害的运算，它的增长速度非常惊人。在很小的数之间进行超级幂运算，就有可能得到一个巨大的天文数字。³2等于＝16，而⁴2就等于＝65536。那么，⁵2等于多少呢？它应当等于2的65 536次方，其结果是一个上万位的数。那⁶2呢？¹⁰⁰100呢？大家自己去想象吧。

这时，我们仿佛重新遇到了我小学时代的困惑：超级幂有什么用途？我们能用超级幂编出什么应用题来？刚才说到，古希腊人生活太简单，不知道乘方有什么实际意义。现在，我们自己似乎也变成了窘迫的古希腊人。是否随着人类文明的进一步发展，未来人会随手使用超级幂，并在某本数学书上分析 21世纪的人类为什么还要如此吃力地发明超级幂呢？我觉得有可能，不过这并不重要。现在的我们已经认识到，数学发展的动力并不是解释生活中的现象，数学发展的动力是数学这个学科本身。超级幂在生活中没有实际意义，并不妨碍我们发明超级幂这个记号。

人类的想象力是无止境的。即使超级幂已经大到没有任何实际意义的地步，大家还是会问，再把“a次超级幂”迭代b层（注意运算顺序仍是从最深那一层开始），又会得到什么？是否就得到了第五级的运算呢？或许你马上就意识到了，这样扩展上去是没有尽头的，每一级运算迭代之后都能产生更高一级的运算。虽然此时脑子已经有点乱了，但是数学语言的严格性和理想性告诉我们，利用某种清晰的数学符号和递归法则，我们一定有办法定义出等级越来越高的运算来。

图2

古德斯坦厉害就厉害在这儿。他定义了古德斯坦记号G（n，a，b），以此表示a与b之间的第n级运算。当n＝0时，规定G（0，a，b）＝b﹢1。也就是说，第0级运算是一个一元运算——自然数的后继。当n＝1时，规定边界值示对G（1，a，0）的值进行上一级操作（后继操作），并重复迭代b次，其结果也就是a加上b。一般地，有：

G（n，a，b）＝G（n-1，a，G（n，a，b-1））

其中边界值为：

……

这就形式化地给出了第n级运算的意思。

其实，类似的东西不止一次地被提出过。高德纳（Knuth）箭头记号也是一种常用的大数表示方法，其思想与古德斯坦记号几乎完全一样。阿克曼（Ackermann）函数也是一个神速增长的函数，它的定义也有异曲同工之处。很多外文数学论坛则用a［n］b来表示a与b之间的第n级运算，是我比较喜欢的一种符号。

当然，有a［n］b，必然会有a［a［n］b］b，从而又会有a［a［a［n］b］b］b……没有最大的数，只有更大的数。人脑和数学是两个神奇的东西，没有什么数大到人脑想不出来，也没有什么数大到数学表示不出来。仅仅在脑中试想一下100［100］100，你的思维就已经超越了整个宇宙的大小了。