经典力学的灵魂

F=ma

（牛顿的）说明：运动的变化与施加的力成正比，并且变化的方向沿着所施加力的方向。

发现者：牛顿。

发现时间：1684—1687年。

牛顿第二定律F=ma是经典力学的灵魂。

——弗兰克·维尔泽克（Frank Wilczek），《今日物理》（Physics Today）

方 程 F=ma 是牛顿第二定律的简单表达式。这个方程就相当于经典力学中的1+1=2。它看上去很直观，只是把平时的经验用定量的方式表达出来：对某物体施加一个力，物体要么开始运动，要么改变之前的运动状态。

是的，如果仔细研究F=ma，就会发现它就像1+1=2一样不可思议。但实际上，F=ma 所描述的并非日常生活经验，而是没有任何阻力的抽象世界。在真实世界中，要保持桌子和车子以不变的速度运动，就得对它们持续施加推力。该方程不涉及著名的爱因斯坦质能互变关系，它所研究的中心内容是力。在相对论和量子力学等当代理论中，力的概念是不存在的。最后，方程 F=ma既像是一个名字，也像是一种描述，看上去有点矛盾。它似乎是在定义力、质量和运动，又似乎是在描述人们所发现的这三者之间可测量的关系。

这样一个描述物体运动的简单方程怎么会隐藏着如此之多的复杂内容呢？读者如果仔细了解一下从古代一直到 17世纪该方程的提出这一历史旅程，就不难找到答案。在这个方程出现之前，人们理解运动的方式有很多种，看待运动的视角也不尽相同。这些视角改变了人们对所观察到的现象的认识。在漫长的过程中，新的思想不断涌现，并占据主导地位，然后又从人们的视野中消失，如此更迭交替，直到某一天人们发现了全新的世界。

希腊关于运动和变化的观点

这个旅程早在人们认为世界受众神统治时就开始了。对理解事物而言，或许这是最简单、最直接的办法，因而不可避免，也很自然。人们从日常生活中常见的推力、拉力中分别获得了力的概念，例如通过肌肉的运动提起物体、挤压物体和使物体发生滚动等。早期的人把这种经验加以推广，就能理解大自然中的万物——从身边的雷雨现象到太阳恒星等遥远天体的运动等。他们认为这一切都是因为神灵施加了魔力。因此，他们的力的概念是与自然界中存在神灵这一宗教观念紧密联系在一起的^［1］。

最早，人们希望能通过祭祀神灵，取悦他们，进而控制自然。这就是最早的技术。不过他们并没有得到预想的结果。要更有效地预测和影响自然，就得留意自然界中变化的类型和数量，比如四季的轮回、星体的各种运动、水火的特点等。但自然界中的变化实在是过于复杂多样。阳光白云、潮汐风浪、植物动物、男人女人、计划思想、房屋城市都处于永恒的生死存灭、涨落兴衰、颜色形式的变化和运动之中。作为人类，应该如何去理解这一切呢？

希腊哲学家亚里士多德（公元前 384—公元前 322年）是已知最早对各种形式的运动和变化进行系统研究的人。他用同一个词“运动”（kinesis）来表示这二者。他认为运动很重要，理解了运动就相当于理解了自然界。他提出了一个包含各种运动形式的框架：有生命的和没有生命的，有人干预的和没有人干预的，地上的和天上的。他还区分了各种不同的运动：事物生死的实质变化（烧木头产生的火），事物生长或萎缩的量的变化，某个特性向另外一个特性的转变（绿叶变成棕色），局部运动或非局部运动。

亚里士多德看待这些变化时采用的是生物学的视角。他将世界看作一个宇宙生态系统，这个系统中包含了各种层次的组织。在该系统中，运动几乎从来都不是随机混沌的，而是从一种状态变为另一种状态的过程。在该过程中，物体是以潜在形式（形式原理）而不是实际形式存在的。人由器官组成，而许多人构成一种状态，各种层次的组织相互交错，因此任何事件都是由各种不同类型的原因导致的复杂网络形成的。

亚里士多德是在一组有着重要差异的框架下来理解宇宙生态系统的。比如，他区分了两种不同的运动：自发运动和受迫运动。自发运动就是物体在原处发生变化：橡子长成橡树或者鸡蛋孵出小鸡。此时变化把物质中的内在原理变成了现实。而受迫运动是由外部施加的外力导致的变化，比如人砍倒橡树盖房，或者拿鸡蛋当食物。

亚里士多德认为运动与运动发生的地点也是有关系的。在地面上，物质是由土、气、火、水，以及不能连续运动，只能间歇运动的物体组成的。而在天上，物体是由一种不变的称为“以太”的物质组成的。以太不停地作圆周运动。人们如今会发现上面的叙述是错误的，由此不难看出从亚里士多德的时代到今天人类已经有了多大的进步以及人类的视野发生了怎样的变化。亚里士多德的思想都是基于理性思辨、逻辑推断和仔细观察的。几百年来，除圆周运动之外，希腊和世界上其他地方的天文学家没有目睹到天体行为的任何变化，也没有发现任何新事物^［2］。于是亚里士多德认为只有圆周运动是不会停止的，并且只有一种地上没有的特殊物质（命名为以太）不会发生变化^［3］。天体的运动是由“不运动的原动力”启动的，它使天体不断运动。这个“原动力”就是亚里士多德所谓的上帝相似物，尽管它不属于人类，跟人也没有任何“关系”（今天21世纪人们的叫法）。通过各种媒介物，天体把运动传递给了地球。因此宇宙生态系统中的所有运动，不管多么微小，都是通过宇宙第一原理间接联系在一起的。只有在这个前提下，人们最终才能理解运动。

在亚里士多德讨论我们所谓的运动的2500年之后的今天，作为局外人的我们在解读他的思想时，要注意避免加入自己的假设。亚里士多德所说的局部运动，背景常常是马拉车或者造船工人推船。这得先有了目标、计划和设计组成的复杂网络之后，才能实现。而这当中，局部运动只是一个方面。亚里士多德看到这点之后，并没有脱离整个背景，去为局部运动提出假设并为之辩护。相反，他只是笼统地说，如果要解释其他现象，需要怎样去做。再进一步，在这些类型的事件中，加速度几乎没有任何作用，而经验法则却频频出场。例如“使物体抵抗阻力在一定时间移动了一定距离的力，可以使相同的物体在一半的时间之内移动一半的距离”。亚里士多德还提出：“如果一个物体在一定时间内下落了一定的距离，那么重量等于该物体两倍的物体只需一半的时间就能下落相等的距离。”^［4］这个蹩脚的断言在2000年之后被自由落体实验所击溃。

我们很难站在亚里士多德的角度上去看世界。因为有了匀速和加速度等熟悉的概念，人们对运动的理解完全是基于一种定量的方式。如今，人们处在一个技术手段高度丰富的环境中（有电子钟表和速度计等仪器），对于仪器的日常体验依赖于概念和仪器本身。人们对运动的理解不是本能，而是后天获得的“第二本能”。亚里士多德和与他同时代的人的体验与今天的人们不同。他们既没有实验仪器，也没有能对运动进行测量和分析的数学基础（人们对此并没有迫切的要求，也就不会急于去建立它）。他们发现用形式和目的（而不是运动发生的快慢）来理解运动也是可行的。

亚里士多德和与他同时代的人对公式 F=ma 中的关键部分并不熟悉。他的速率或“快慢”概念仅仅是某个物体在一定的时间内比其他物体经过了更长或更短的距离——我们称为“平均速率”或者“整体速率”，而不是瞬时速率（特定时刻的速率）^［5］。他的加速度概念就是物体在接近天然位置时，运动速度会更快^［6］。他没有质量的概念：质量是对推力的抵抗程度，不等于重量。他也没有力（dynamis）的定量概念以及力的单位。力是运动的量度。

但是，把自然界看作一个巨大的、包括各种物质的生态系统却是有意义的。这些物质通过对其他物质施加各种内部排斥力，从而相互影响。万物的运动都有目的，这对于维持宇宙生态系统的不同区域是至关重要的。要理解大自然就要在完美状态下观察自然现象。“完美”的意义是完全呈现之意，比如大树、成人和井然有序的社会。这些现象都有各自的作用。在这种情况下，现象产生的原因和过程是最清楚的。

亚里士多德喜欢说的一句话是：智者总是尽可能准确地去寻求研究对象的信息。他用恰如其分的准确字眼对观察到的现象进行描述。与理解自然界中的运动有关系的，是形式、物质和目的三者在将可能性变为现实的过程中所起的作用。人们最终还得回到“不动的原动力”，是它用爱把外部星球、月球和地球联系了起来。

超越亚里士多德

亚里士多德的宇宙图景对西方文明有着巨大的影响。他的思想经他本人创立的学校——“学园”的学生和著作的注释者流传下来。一开始注释者只是希腊人。在9世纪到12世纪，阿拉伯人也参与了进来。西方学者又通过阿拉伯人知道了亚里士多德。

但是亚里士多德的宇宙图景在某些方面并不令人满意，甚至连他本人也不甚满意。比方说，他似乎对于抛射物和制陶器用的转盘在起始推力作用下，就能一直转下去的现象感到困惑。如果原动力必须要始终与物体保持接触，物体才能运动下去的话，那么石头和箭为什么不会在被抛出或射出后立刻落到地面上呢？他考虑了两种可能性：一种可能性是原动力（抛掷者或弓）在抛射物（石头或箭）的附近注入了一种介质（空气），从而使物体能始终保持运动^［7］；另一种解释叫作逆环境学说，即抛射物前部的空气会跑到抛射物的后部，推动它前进^［8］。不过亚里士多德本人对上述两种解释仍不满意。

之后的思想家对亚里士多德的上述解释和他对运动的解释也不满意。反对的声音有些是合乎逻辑的，有些是从经验出发，还有些是两者兼而有之。于是人们开始对亚里士多德的概念进行讨论、研究和修改，引入新的概念。经过几千年的时间，人们才慢慢将注意力集中到了运动的各个层面，最终导致了方程 F=ma的出现。在这个过程中，人们并没有看到 F=ma中的任何部分。但这其中的每一步都是必不可少的。下面介绍一下过程中的一些发展阶段。

公元前 3世纪，小亚细亚拉姆普撒科斯的希腊人斯特拉图（公元前340—前268年）于公元前287年掌管了学园，发展和拓展了亚里士多德的思想，写出一本颇具影响力的书——《论运动》（On Motion）。斯特拉图发现，要使思想符合逻辑和经验，必须要修改，甚至抛弃亚里士多德的某些观点。其中一个要修改的就是认为自然运动有两种（上和下）的看法。斯特拉图认为所有的物体都是要落到地球的中心的；火和烟等比较轻的物体之所以能上升，是因为受到了更重的物体的替换和排挤。他还受到两个现象的困扰，这两个现象表明物体在下落的过程中速度会加快。一个就是雨水从屋檐上流下的时候，一开始是连续的，但后来就破碎成为水滴。如果不是因为水滴的速度加快了，这种现象是不会发生的^［9］。另一个现象是，从空中扔下一块石头，石头起始时的位置越高，对地面的冲击力越大。为什么会这样？石头的重量并没有变大。斯特拉图的结论是石头的速度一定变大了，也就是说落体“用最短的时间经过了最后一段轨迹”。这是加速度概念的雏形，比亚里士多德的运动观点要复杂得多。

公元6世纪，约翰·菲洛波努斯（John Philoponus，人称“工作狂”，约490—570年）进一步对亚里士多德的运动观进行了修改。他从逻辑的观点出发，指出真空中可以有运动（亚里士多德之前认为是不可能的）。他认为速度是由力与阻力的相对大小决定的，从而解释了力与阻力大小相等时会发生什么现象。菲洛波努斯是已知的用不同重量的物体进行自由落体实验的第一人。他发现这些物体的下落速度基本是相同的。直到1000年之后，伽利略才得出了相同的结论。但是菲洛波努斯在对亚里士多德思想的修改中创新最大、意义最深远的是抛射物的运动。他反对逆环境学说：如果原动力能与抛射物后面的空气就运动进行通信，那么人们为什么不用手搅动石头和箭后部的气体，让它们保持飞行状态呢？菲洛波努斯提出，扔石头的时候，手所施加的力并不是作用在空气上，而是作用在石头本身上。“施加的外力”从抛射物的内部使抛射物继续运动，但该力在克服介质阻力和自然的下落力的过程中逐渐被消耗。当这个力被完全耗尽后，自然运动最终取而代之，或者说石头就落到地面上来。这种观点仍以亚里士多德的思想为基础，因为它假定物体不会发生运动，除非通过某种形式的接触，例如落体的重量和手所施加的外力等。不同之处在于，相对运动的物体而言，接触的方式可以是内部的。基于此，菲洛波努斯及其追随者对世界有了不同的理解。他们无需再去区分自然运动和受迫运动，也无需把天地分开。上帝创造了天上的天体之后，便用外力保证它们的运行。天上不存在阻碍运动的介质。菲洛波努斯的思想大大启发了学者们。他们在理解运动时，开始把注意力集中到起点（运动的原因），而不是终点（运动的终点或目标，无论在天上还是地下）上。

菲洛波努斯对亚里士多德的修正，尤其是外力的修正，影响了伊斯兰学者。这些人中包括西班牙伊斯兰教神学家 Ibn Bajja（一般称其为阿文帕塞，约1095—1138年）、西班牙伊斯兰教神学家Ibn Rushd（阿威罗伊，此人反对菲洛波努斯的观点，1126—1198年）和波斯伊斯兰教神学家Ibn Sina（阿维森纳，980—1037年）。Ibn Sina将菲洛波努斯外力的思想翻译成阿拉伯语，书名为《疯狂的倾向》（mailqasrī即ViolentInclination），较重的物体下落时相对较轻的物体速度增加得更多。这也是为什么抛出的石块飞行的距离比一把草或者一根羽毛要远。阿拉伯人还考虑了一些亚里士多德的解释不能令人满意的情形：如果在地球中间钻一条隧道，往里面丢一个石块会发生什么现象？粘在箭前部的线在箭飞行时是向前的吗？Ibn Sina的思想比菲洛波努斯的更加清晰。运动的关键并不在于形式和目的因，而在于效率和物质因。

这种注意力的转移在让·布里丹（John Buridan，约1300—1358年）的作品中得到了很明显的体现。布里丹进一步发展了菲洛波努斯和 IbnSina的思想，给出了外力的学术名称：原动力。这一说法直到近代才广为人知。与外力不同的是，原动力是永恒的，不会耗尽；物体如果要失去原动力，就只能把它转移到其他物体上^［10］。原动力听起来有点像我们所说的惯性概念，但它又不是概念，只是“因”。因此，新的框架仍然是亚里士多德式的，它仍保留了自然运动和受迫运动之间的差异，认为石头和箭等抛射物的运动是由于不断受到“因”的作用。但是“因”（原动力）是在物体内部起作用的。这样一来，困扰亚里士多德的几个关键问题就迎刃而解了，例如抛射物的运动问题和物体如何下落的问题。石头能够飞行是因为抛石者将原动力传递给了石头，而不是传递给了介质；下落的物体在落下时也获得了原动力。这就解释了为什么落体的速度会增加。原动力的思想使人们形成了质量概念（物体抵抗运动的能力，与重力不同）的雏形。炮弹具有的原动力比木头要大。这也解释了为什么天体不需要神的介入就能一直运行下去：因为天上没有阻力。上帝创造出天体之后，就赋予他们原动力。所以上帝在创世的第七天就可以坐下来休息，而创造物并不会停止运动。这样看来，上帝的作用就与亚里士多德的看法正好是相反的：他并不是保持天体运动的终极因，只是使天体发生运动的动力因^［11］。

接下来的 300年间，学者们开始采用原动力的思想来理解和解释运动。此时，区分自然运动和受迫运动性质不同的必要性已经减少，不过仍未消除。不同物质之间的不同以及天地的不同，情形是类似的。于是，人们针对力提出了新的概念，比如撞击力（立即产生效果的力，例如球拍对球的撞击）以及通过一定距离持续施加的力（地球对物体的引力）。这些都有助于质量概念的形成。质量是抵抗力的物体的内部物质密度，它与重量有关，但又不是重量。另一方面，学者们也开始在哲学家泰勒所谓的“固有框架”下，对运动本身进行研究，并在不考虑宇宙其他部分的目的、计划和设计的前提下，对运动的某些（并非所有）方面进行研究。这时，他们开始看到所谓的物理学与形而上学的分离。科学世界与日常生活世界开始脱离。

与此同时，人们开始用新的方式将数学应用于宇宙研究当中。数字用于事务处理已经有几百年的历史，但学者们仍在不断提出新的工具，来深化和拓展数字的用途。牛津大学莫顿学院的托马斯·布雷德沃丁（Thomas Bradwardine，约1300—1349年）就是其中一位。乔叟在《坎特伯里故事集》（Canterbury Tales）中曾提到此人。此人在当时颇为有名，后来成为坎特伯里的大主教。布雷德沃丁为了使数学能够处理速度、瞬时速度（某一时刻的速度，而平均速度是一定时间内速度的平均值）、匀速、匀加速和变加速等概念，提出了数学的基础架构^［12］。他用数学的形式，彻底改写了亚里士多德、菲洛波努斯和阿威罗伊等人的观点，指出了他们观点的局限性，并提出了新的运动定律。布雷德沃丁的工作随后又经过尼古拉斯·奥斯姆（Nicholas Oresme）的改进。奥斯姆提出可用数字表示任何连续变化的量，例如运动和热等。他还说：你就“想象”自己在测量几何平面就行了^［13］。

菲洛波努斯及其追随者（被称为牛津“计算器”）、奥斯姆和同时代的其他人并不是实验学家，但他们却为后来的实验学家提供了一个复杂的数学架构，为数字在自然界中的广泛应用铺平了道路。后人在使用数字的时候变得很自然，不会再去“想象”几何平面上的测量。16世纪晚期和 17世纪早期，数字被广泛用于各种现象的定量中。威廉·哈维（William Harvey，1578—1657年）定量得出了心脏的泵血机制；桑塔雷欧·桑塔雷欧（Santorio Santorio，1561—1636年）定量得出了人体的食物摄入和排出量^［14］。这些都极大地影响了人们对运动的理解。许多早期的思想家，如圣·托马斯·阿奎那（St.Thomas Aquinas），已经通过以其他形式（苹果的红、人的善心）表现出来的物体（苹果、人）的参与程度的增减来理解各种变化了。但是随着数学的发展，人们开始把发生的所有变化都看作加减法。这与增减线段以改变原有线段长度的做法类似。

另外，还有一些事件也使人们产生了对亚里士多德框架的不满意，为公式F=ma的提出进一步铺平了道路。1572年和1604年相继出现了两次超新星爆发。天文学家指出，爆发并非发生在地球附近，而是发生在天上。很显然，天上的物体变化规律与地上的物体是一样的。1609年，伽利略（Galileo Galilei，1564—1642年）用望远镜观察天空，提出天地之间的类似之处比之前想象的要多。这一系列事件推动了宇宙物理学的出现。其他方面的一些发展也使人们对力的理解发生了改变。1600年，伊丽莎白女王的御医威廉·吉尔伯特（William Gilbert）写了一本磁学专著。这是近代科学首次对磁学进行论述。吉尔伯特认为，磁铁有磁性是因为它向外发射磁力线。他认为地球本身就是一块巨大的磁铁，不断向空间中发射磁力线，且磁场强度随着距离的变化而变化。这有助于人们理解不需接触就能产生力的思想。但这种思想与亚里士多德的思想却迥然不同。约翰尼斯·开普勒（Johannes Kepler，1571—1630年）在他出版的两本书《新天文学》（New Astronomy，1609年）和《世界的和谐》（Harmonies of the World，1619年）中，给出了行星轨道的三定律，堪称宇宙的数学脚本。开普勒认为行星的运动是上帝的意旨。上帝之所以让行星运动时遵循这些定律，是因为他从定律中发现了美。宇宙中的数学乃是宇宙的脚本和终极因。

伽利略的思想更加激进，认为我们不仅能够读懂宇宙的数学脚本，而且别无他法，只能如此。所有其他的“因”都是要忘掉的。他这样写道：“自然之书是用数字写成的。”那种要去寻找终极因的幻想是没有意义的。为增加书的可读性，伽利略想出了一个聪明的假想实验：考虑在一个没有阻力的无限大的平面上会发生什么现象。为了理解平面上物体的运动，他接着用分段实验研究了钟摆和斜面上的滚球等。这些实验引入了与亚里士多德完全不同的时空观。亚里士多德将空间看成是边界，而伽利略则将空间看作是具有某些几何属性的容器。要理解运动，就得知道物体在一定时间内（以心跳或水滴数为单位）经过了多远的距离（伽利略采用“腕尺”作为计量单位）。在该过程中，伽利略发现了著名的落体定律。它采用比例形式对定律加以表述。表述的形式与今天人们熟悉的落体定律形式不同。就像布雷德沃丁改写前人的思想一样，人们也对落体定律进行了重写。落体定律现在的形式是d=at²/2。这是第一个真正意义上的自然数学定律，也是第一次用与后来的公式 F=ma相同的科学语言写成的。伽利略在分析时，将炮弹、大理石和钟摆等的运动分成两部分：“匀速运动”（向一侧）和“加速运动”（向下）。

然而，伽利略没有提出公式F=ma中涉及的内容。他依旧受亚里士多德的传统思想的影响，对自然运动和受迫运动加以区分，如自由落体、“受迫”推力或外界施加的推力等。伽利略的思维方式倾向于后者。例如，他并不认为落体因为受到了力的作用，才导致了速度的增加。这阻碍了力和力在运动中的作用的总体概念在伽利略头脑中的形成。与此伴随而来的是用词的不确定——他不知道什么是力，经常采用原动力、力矩、能量和力（源自拉丁语 fortis，意思是强的、强大的）等近义词来表示力^［15］。他提到力的时候，一般指的不是所谓的连续力，而是瞬时力（一个物体击打另一个物体，如撞球杆撞击球，锤子撞击钉子），或叠加在一起的一系列瞬时力。伽利略有着模糊的质量概念，认为它是物体抵抗力的一种属性，是物质的密度。它与重力有关，又不等于重力。即使没有重力，质量也还是存在着的。在现代人看来，伽利略的很多思想听上去都是很奇怪的，例如他曾说圆周运动有助于整体中部分的有序排列，以及直线运动表明物体不处于自然状态，且正在重新回到自然状态。科学历史学家理查德·韦斯特福尔（Richard Westfall）这样评价伽利略的自然观：“这些元素来自完全不同的世界观，而他不仅把这些不同的元素糅合到了一起，而且还能泰然处之。”^［16］

伽利略（1564—1642年）

牛顿

但是，所有的一切在牛顿（1642—1727年）的《自然哲学的数学原理》（Principia，以下简称《原理》）中却是那么清楚、系统。牛顿本人从伽利略等前人的思想中受益良多，针对连续力和瞬间力提出了更一般的定量概念，定量描述了物体运动的变化。在《原理》一书中，运动的变化不是从物体内部来解释的，而是完全是用外部施加的力解释的。这是一种理解运动的新方式。它不考虑原因，只考虑过程。

艾萨克·牛顿（1642—1727年）

当然，这也只是在伽利略和与牛顿同时代的莱布尼茨和笛卡儿的基础上迈出的有限一步。可正是这重要的一步造就了它的不朽。它改写了自然本体论：本体论是人们对所看到的世界加以解释的最基本单元。与牛顿同时代的大部分人认为这些基本单元就是物体本身。物体通过某种机制，产生各种变化，对其他物体产生影响。牛顿的不同之处在于，他认为只有通过改变物体运动的力，才能解释运动。运动本体论的 3个基本元素是：力、质量（抵抗力）和加速度（运动的变化）。这三个量都是定量的、可测的。

牛顿出版的《原理》是科学界最重要的一本专著，其重要性不亚于欧几里得的《几何原本》。《原理》从不证自明的公理出发，推导出了书中所有内容。《原理》共分三册（前两本是“物体运动”，第三本是“世界体系”），最前边是前言、8个定义和1组“公理，或称运动定律”。我们可以看到，牛顿在前人的基础上，在定义中（有时是很笨拙地）给出了公式F=ma中的元素，特别是力的思想。定义1是有关质量或者物质的量的；定义 2是有关运动量的。后面的定义是关于各种形式的力，里面存在表达不清甚至令人费解的情况。例如，定义3大概想说“内力”，可实际上说的却是用推力描述所谓的惯性。一位研究者称，最好把这些定义理解为“对伽利略之前的力学的妥协”^［17］。关键是定义 4，它用现代术语定义了“外力”，即“施加到物体上的改变其静止或匀速直线运动状态的力”。于是牛顿把前人提出的力的概念一般化了，从瞬时力扩展到了连续力。科学史学家伯纳德·科恩（I.Bernard Cohen）认为，这一切全凭牛顿本人的直觉，这一步“靠的既不是严密的逻辑推理，也不是实验”^［18］。正如牛顿后来写的那样：“这个概念完全是数学上的，我并没有考虑物理上的原因和力的位置”^［19］。剩下的4个定义涉及力的其他方面。牛顿在注释中警告说，“虽然所有人都知道时间、空间、地点和运动”，并且通过感官体验赋予了它们通俗的意义，但是他还是要对这些量进行专门的定义，描述他所谓的永远流逝、不会停歇的“绝对时间”，以及均一静止的“绝对空间”。之后牛顿又区分了绝对运动和相对运动。“绝对运动是物体从某个绝对位置到另外一个绝对位置的位置变化；而相对运动是从某个相对位置到另一个相对位置的位置变化。”^［20］这样一来，船上水手的运动就是 3种运动的叠加：水手相对于船的运动、船相对于地球的运动和地球相对于绝对空间的运动。

有了这些定义，接下来就是“公理（运动定律）”了。第一定律是关于惯性的，“物体倾向于保持静止或者匀速直线运动状态，除非有外力改变这种状态”。人们对此是这样描述的：“这是17世纪把神灵从世界中驱除出去的最伟大的因素，人们从此可以像理解时钟的部件那样来理解世界。”^［21］牛顿第二定律的内容是：“运动的变化量与施加的力成正比，且变化的方向沿着力的直线方向。”不过他并没有用方程表达出来。我们现在的写法是F∝ma或F=ma，因为速度的变化就是加速度。伦纳德·欧拉（Leonhard Euler）是用方程表示牛顿第二定律的第一人。该方程是他在一个世纪之后提出来的。牛顿第三定律的内容是：“有作用力就有反作用力。两者大小相等，方向相反。”

牛顿为什么要把上面三条称为公理或定律呢？“公理”一词用于表示所讲的是先天（通过定义或先验）就成立的；而“定律”指的是通过日常生活的经验发现的。实际上，牛顿的公理—定理中二者兼而有之，它以运动形式的定义，和一定条件下从实验室的测量结果获得的经验事实为基础。这些公理—定理描绘出了客观知识的轮廓和不同条件下的不变量。棒球等物体有重量，但到了月球或者火星上重量就会变化。为什么会这样？棒球还是那个棒球。这里，客观不变的是质量，而不是重量。质量是与引力无关的。与此类似，如果将棒球抛出，它就会以一定的速度飞行，但是用同样大小的力却没法使炮弹也以同样的速度飞行。物理学的规律是不变的：在任何情况下，力、质量和加速度三者之间的关系都是绝对不变的。按现在科学家的说法，牛顿第二定律说的就是“不变性”。因此科恩认为“第二运动定律的所有实际应用都是以牛顿的物理思想体系为核心的。”^［22］

在《原理》一书中，牛顿对伽利略的无限平面上的无阻力假想实验加以推广，提出了完整抽象的世界全景图。所涉及的量只有力、质量和速度，不涉及人的目的和终极因。因此，在这种条件下看待运动的某些方面要比实际情况更加清晰。亚里士多德认为不可能也没必要做到这一点，他认为运动交织在一起，从外部是无法理解的。（牛顿在第三定律的注释中，通过分析马拉石头来解释涉及的力。读者可以想见亚里士多德对此一定是非常困惑的。他可能会问：是谁用绳子把马系到石头上的？为什么？这么做的目的是什么？）而伽利略对此则是远远地观望。牛顿的体系虽然简陋，却蕴含着美和力量。我们不能延续亚里士多德把世界看成宇宙生态系统的看法，认为不同的物体在不同的区域产生的作用不同。世界更像一张台球桌，其中的所有空间和方向都是类似的。所有的事件都是运动，所有运动的变化都是因为同一种基本类型的物体被施加了同一种基本类型的力。运动涉及的是空间上的变化，不涉及到达、实现或加强。所有的吊灯、吊环和秋千都是摆，所有的运动和舞蹈都能用公式F=ma表示，所有的球都是弹性的，所有的平面都是无限延伸的。你尽可以在空间和时间中运动，不管是在火车、飞机、过山车还是自行车上。所谓的“平移不变性”说的就是这点，即定律始终保持不变。按照牛顿的理论，要理解运动，首先要知道位置、速度和质量，然后是力^［23］。

由此可见，F=ma 既可以是定义，也可以是可观察的经验事实。说它是定义，是因为它就像抽象世界的“经纬线”；说它是事实，是说如果用正确的概念、假设和测量技术把它与现实世界联系起来，就能定量描述实验室条件下观察到的数值之间的关系。理论是往返于抽象世界的理想值与现实世界的实际值之间的工具。在科学家以外的人看来，抽象世界可能有些奇怪，好像是往自然界中任意加入了某些东西，是虚拟世界。这种虚拟固然可能很有效，但还是属于发明的范畴。而在科学家看来，情况正好相反。他们都受过良好的训练，惯于用概念、程序和测量手段把抽象世界和现实世界联系起来。他们会忘记抽象世界的抽象之处，频繁往返于抽象和现实之间，好像抽象世界本身也是现实世界的一部分。

最后，F=ma 的出现表明，人类对运动的理解从最初到现在已经走过了很长的历程。我们仰望天空，俯视大地，不再区分自然运动和受迫运动之间的不同，不再区分自然位置和非自然位置之间的差异，也不再区分力的类型之间的不同。所有的物体都遵循相同的规律。如果有无法用规律解释的现象，那是因为人们还不知道用什么规律去描述该现象。运动不是一个动作，而是一种状态。运动只有一种。圆周运动可以用运动和力组合起来加以解释。亚里士多德认为运动在天上和地下是不一样的。果真如此的话，是因为天上的阻力和地下的阻力不同。自然是由力、加速度和运动之间的时空关系决定的。人们可以从理论上推出这种关系。我们可以把宇宙理解成由定量规律构成的网络体系。这些定律可由实验发现。

伏尔泰在 1732年写道：“牛顿就是我们的哥伦布，他把我们带进一个崭新的世界中。”^［24］但是这也是一个奇特的世界，它既不同于新大陆的发现，也不是经由仪器揭示出来的。它与显微镜下的微小世界或者望远镜里的遥远天体还不一样。牛顿的奇特世界源自现实世界，却又不是现实世界。人在牛顿的世界中是无法生活下去的。包括科学家在内的所有人都是生活在哲学家们所谓的“日常生活的世界”中，与目的、欲望和目标打交道。人们生活在一个亚里士多德式的世界中。牛顿发现的是抽象世界，它会改变人们对事物的看法和看待事物的角度。从外部看，牛顿的世界就像是鱼缸，它与现实世界相隔离。但是透过牛顿抽象世界的事件，人们就可以对现实世界有更多的了解。正如维尔泽克所写的：“方程F=ma是牛顿抽象世界的‘灵魂’，它定义了世界的结构和世界中发生的事件的主要部分。”

方程 F=ma之所以看上去不是那么直接，就是因为上述原因。人们在学习它的时候所真正学到的，比最初想象的要多。如今，我们又把前人一步步得到方程F=ma的“旅程”继承下来。