数学之美的黄金标准

e^iπ+1=0

说明：自然对数的底（e）的iπ次方再加上1等于整数0。其中e和π都是无理数；i是−1的平方根，是一个虚数。

发现者：伦纳德·欧拉。

发现时间：18世纪40年代。

欧拉公式就像把握了爱情真谛的莎士比亚十四行诗，抑或是表现出人体内在之美的绘画一样，直指事物的最深处。

——基斯·德福林（Keith Devlin）

费曼14岁的时候第一次邂逅e^iπ+1=0。这位后来摘取了诺贝尔物理学奖的年轻人在日记中用大大的黑体字母写道：“这是数学中最不简单的一个公式。”斯坦福大学数学教授凯思·德福林（Keith Devlin）这样写道：“欧拉公式就好比是数学上的达芬奇的蒙娜丽莎画像或者米开朗基罗的大卫雕塑。”电气工程教授保罗·纳欣（Paul J.Nahin）在《欧拉博士的著名公式》（Dr.Euler’s Fabulous Formula）一书中写道：欧拉公式为“数学之美确立了黄金标准”。与我保持通信的人当中有一人说该方程“美得如梦似幻”，另一人则把它称为“上帝的方程”。

18世纪瑞士数学家欧拉所发现的这个公式已经成为了一个标志，它具有特殊的性质。对于许多人，哪怕是只接受过有限数学训练的人来说，它已经超越了其本身所代表的事实。与许多标志一样，欧拉公式魅力无限、令人着迷。

欧拉公式是为数不多的在罪犯审判中作为证据出现的数学表达式。2003年8月，一个环保恐怖主义者袭击了洛杉矶的多个汽车代理商，造成的损失价值230万美元。罪犯烧毁了一栋建筑，损毁和污损了100多辆SUV汽车。罪犯还涂写了一些标语，如“GAS GUZZLER”（油老虎）和“KILLER”（杀手）等。在一辆三菱蒙代罗汽车上，罪犯涂写上了公式“e^iπ+1=0”。FBI 警方以此为线索，逮捕了威廉·克特雷尔（WilliamCottrell）。该线索后来也成为定罪的证据。克特雷尔是加州理工学院的理论物理专业研究生，他共受到纵火罪和阴谋纵火罪等8项指控。在2004年11月的法庭审判上，克特雷尔承认自己在那辆蒙代罗车上涂写了欧拉公式。此次庭审使克特雷尔获罪。在庭审过程中，克特雷尔说：“我5岁的时候就知道了欧拉定理。每个人都应该知道它。”^［1］

另一个由方程演化而来的标志就是 E=mc²。这个方程显然比欧拉公式更加为人所知。E=mc²是人们所熟悉的流行文化的一部分，人们甚至把它建成了一座纪念碑。2006年世界杯上，为体现德国是“思想之邦”，柏林建造了六座大型户外雕塑，其中有一辆汽车、一双球鞋，以及一个巨大的E=mc²。

可是，一个方程何以能成为一个标志呢？毕竟，公式还只是科学探索的第一步。欧拉公式无非是他在探索和研究方程的过程中得到的一个结论，而 E=mc²是爱因斯坦在发展了相对论之后反复思考提出的。方程是否只是科学工具，与用方程来解决的任务相比，并没有什么内在价值？为什么有些方程能超越原本所属的科学探索过程，而获得内在的价值和重要意义呢？工具当然可以成为标志，好比斧头和镰刀就是前苏联的标志一样。但是像方程这样的数学和技术也可以吗？这样一个抽象的事物为什么能与一双球鞋和汽车并肩而立呢？

欧拉公式的故事将帮助对这些问题作出回答。

数学的分支

伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）是有史以来最多产的数学家。欧拉选集全部加起来将达75卷。他计算毫不费力，就像“人类呼吸、雄鹰翱翔一样自然”。^［2］他有着惊人的记忆力，广泛涉猎各种知识，能一字不落地记下数学用表和维吉尔的《埃涅伊德》（Aeneid）整本。他能看到看似完全不同的数学领域之间的深层联系，并把这些联系表达出来，使结果看上去与2+2=4一样地自然。欧拉的基本公式都非常简洁优美。有一位注释者评论道：“方程的形式令人神清目爽。”^［3］他的著名公式e^iπ+1=0就是最为简洁、完美，最令人清爽的一个。

欧拉生于瑞士的巴塞尔，父亲是一位牧师。父亲从小就教他简单的数学，激发了欧拉对数学的兴趣。欧拉上高中时仍有私人教师教他数学，因为学校里面不教这一科目。14岁时，欧拉进入巴塞尔大学，学习神学、语言学和医学等，涉及面比较广泛。不过最令他着迷的还是数学。每周六下午，他的私人教师、著名数学家约翰·伯努利（Johann Bernoulli）教他数学。欧拉后来还与伯努利的儿子尼古拉斯和丹尼尔成为了朋友。1723年，欧拉拿到学位后，遵从父亲的意愿，打算做一名神学家。不过很快他又开始研究数学。

研究数学并非易事。当时，大学里的研究基本都是在人文领域，留给数学家或者科学家的位置很少。而这些有限的位置也常常为皇家学院所掌握。

幸运的是，俄国彼得大帝和他的第二任妻子凯瑟琳一世（历史上有名的“文艺复兴夫妻”）正在圣彼得堡着手建立俄国科学院，并在整个欧洲范围内招募著名科学家。早先招募到的是尼古拉斯和丹尼尔。这两人后来又邀请了他们的朋友欧拉。1727年欧拉到达俄国科学院，但此时彼得大帝和凯瑟琳都已去世，他们的继承人对于科学院的热情并不高，不过欧拉仍受到了照顾和支持。周围都是一流的科学家，而欧拉很快成为了科学院的首席数学家。欧拉极为多产，科学院期刊的编辑把他的手稿堆成堆，桌上一有空间就从上面取一些下来。在俄国科学院的14年间他遭受了一些苦难，这其中最大的就是右眼失明。这可能是由过度工作导致眼睛疲劳而造成的。然而，在这段日子里，他自由地进行了大量的计算，在该过程中重塑了数学的基础。

伦纳德·欧拉（Leonard Euler，1707—1783年）

数学发展的方式常常不是直接的，就像城市的发展一样。人们先是建起一些定居点，它们之间几乎没有影响。后来这些定居点聚集在一起，形成住宅区。但住宅区的形成是随机的，适应性较差，几乎没有什么商业。此后出现了一位具有远见的领导者，他对各住宅区非常了解。通过重新命名街道，在重要的中心之间修建新的街道，形成了较大的、更加复杂、更有组织和更加统一的建筑。

欧拉在 18世纪的数学中所扮演的角色就是上面这位具有远见卓识的领导者。

此时，数学中有两个发展成形的分支领域——代数和几何。几何研究的是点、线、面和由这三者构成的图形的性质。这些已经在古代欧几里得的《几何原本》（约公元前300年）中得到了系统的阐述。几何的一个分支是三角，它研究的是三角形的角度与边长之间的关系。三角最先是作为天文学的工具出现的。代数研究的是具有有限元素和离散解的方程。它主要研究有理数：能用整数或整数之比表示的数（p/q 的形式），亦即小数部分不断重复的数。（像 π之类的数，小数点后的数有无限多位，而且不重复，称为无理数。）早在中世纪的时候，阿拉伯数学家穆罕默德·伊本·穆萨·花拉子米（Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，约780—850年）就对代数进行了很好的整理和组织，并为其定名。花拉子米对数学的贡献集中反映在《还原与对消的科学》（Hisāb al-jabrwa’l-muqābala，830年）一书中。他采用“还原”（al-jabr）一词来表示在方程的两端加上相等的量，对其进行简化的过程。“还原”直译为希腊语就是“代数”（algebra），自此“代数”也成为整个领域的代名词。

分支的统一

18世纪初出现了一个新的数学分支，称为数学分析。数学分析研究的是包含无穷多项的无穷序列的分支，也可以说数学分析是研究无穷序列的技巧的集合。它在很大程度上是由微积分发展而来的。微积分研究的是连续过程，由戈特弗里德·莱布尼茨（Gottfried Leibniz）和牛顿（他称之为流数论）发明的[7]。数学分析还研究无理数和虚数，即负数的平方根。虚数由哲学家和数学家笛卡儿命名，似乎他认为虚数是虚构的。虚数后来在数学上的用途和价值逐渐增大，但这个名称却一直沿用下来。

但是，经过欧拉的组织，数学分析成为了完整的知识体系和有组织的新生数学领域。例如，欧拉首次对函数进行了系统的研究。函数现已成为不可缺少的数学工具，它把一个数与另一个数匹配起来。函数的简单例子有计算税率的公式和从华氏温度转换为摄氏温度的公式等。欧拉还提出并扩展了数学家用以计算无穷项级数之和的数学工具。在欧拉之前，数学家一直视计算无穷项级数的和为苦差。只有在没有其他方法可用时，才会采用此法解决问题。欧拉告诉数学家们，无需惧怕这样的级数。只要级数是收敛的，级数的和就很容易计算。欧拉还是数学史上最具影响力的数学符号提出者。他引进或标准化的重要符号有以下这些。

▶ π，圆的周长与直径之比，可能取自希腊语“周长”的第一个字母。

▶ e，自然对数的底，可能取自“指数”的第一个字母。对数就是底要经过多少次方才能变成一定值，e 是自然对数的底（log_ey=x的意思是e^x=y）。^［4］

▶ i，即−1 的平方根，基本“虚数”。i 并不像笛卡儿想象的是虚构的。它拓展了可解方程的范围。^［5］

▶ f（x），x的函数。函数将一组数与另一组数匹配起来。

▶ sin，正弦函数的简写，它把直角三角形中一个角的度量和该角对边的长度与斜边的长度之比匹配起来。

▶ cos，余弦函数的缩写，它把直角三角形中一个角的度量和该角邻边的长度与斜边的长度之比匹配起来。

▶ ∑，用于计算级数的和。

1741年，在圣彼得堡呆了 14年的欧拉应另一个文艺复兴式的人物——腓特烈大帝的邀请，来到柏林科学院。不过他与圣彼得堡的同事仍保持着密切的通信联系。欧拉发现柏林并不如圣彼得堡更适合自己。腓特烈大帝已经习惯了那些卖弄学问的人，认为沉默寡言、不善表现的欧拉是他所网罗到的博学者中的一个例外，称他是“数学领域的库克罗普斯[8]”。^［6］1766年，在柏林呆了15年之后，欧拉应凯瑟琳大帝的邀请，再次回到圣彼得堡。尽管在圣彼得堡得到了很大的支持，欧拉的健康状况还是不断恶化。他自己知道另一只眼睛的白内障正在不断发展，最终可能会失明。对此，他勇敢面对：“如此一来，我就更不容易分神了。”他开始学着在石板上用粉笔书写，再让孩子们誊抄下来。这样一来，注意力确实会更加集中。接下来的17年间，欧拉在数学的天地里继续无畏前行，不断计算、修改、写作，绕着桌子边走边说。儿子和助手就记录下他所说的话。欧拉就是在这种完全失明的情况下，完成了他几乎所有工作的另一半。

1771年，一场大火摧毁了大半个圣彼得堡，欧拉的房子也着了起来。此时的欧拉身体虚弱，而且双目失明。是朋友把他从房子里扛出来，送到了安全的地方。就在朋友扛着他向外跑的时候，欧拉依旧没有停止计算。1783年9月18日，欧拉教小孙子数学时，计算出了热气球的路径和新近发现的行星天王星的可能轨道等问题。突然间，欧拉的烟斗从嘴里滑落到了地上，同时，“停止了计算和呼吸”。^［7］

今天的数学大厦与欧拉时代的相比，要高大得多。如今，大的数学分支有分析、代数和拓扑学。在这三个领域中，欧拉都起到了推动作用。他写的数学教科书《完全代数学导论》［Vollstandige Anleitung Zur Algebra，在英国出版的版本是《代数学基础》（Elements of Algebra）］，对代数领域的介绍与现在的基本一致。他也是最先涉足拓扑学的学者之一，尽管当时还没有这门学科。他给出了哥尼斯堡七桥问题的一个著名的解。该问题说的是能否一次走过连接城市的河岸和小岛的七座桥，而且不能再次经过任何一座桥。大约 100年之后，拓扑学被人们接受，成为数学领域的重要分支。

尽管如此，人们公认欧拉是数学分析大师：学者们常称他为“数学分析转世”。欧拉在该领域最重要的工作是在柏林期间撰写的一本两卷教科书，书名是《无穷分析导论》（Introductio ad analysin infinitorum，1748年，以下简称《导论》）。在书中，欧拉给出了函数的许多发现（包括无穷级数）以及之前未被证明或者证明不够完整的定理的证明。欧拉还提出了一些定义和符号，它们后来很快就成为了标准，包括 π和 e。“《导论》一书对数学分析的重要性就好比是欧几里得的《几何原本》对几何的意义和al-Khowârizmî的Hisâb al-jabr wa’l muquâbalah对代数的意义。数代人受这部经典著作启发，开始学习数学分析，特别是无穷级数。”^［8］

但是，《导论》的意义并不只是重新对数学分析加以组织。它把许多数学符号和数学公式变成了无穷级数的语言，使数学分析从一个全新的、处于不断发展中的领域，一跃成为与已有的几何学和代数学并行的主要数学领域。

深层联系

在《导论》一书中，欧拉宣布了一个重大发现，即指数函数、三角函数和虚数之间的深层联系。这一证明源自欧拉对指数函数的研究。简而言之，指数函数包括一个叫做“底”的数和另一个位于“底”的右上角的数，即指数。指数表示“底”要与自身相乘多少次才能得到函数值（这种记号由笛卡儿发明）。指数函数的简单形式是y=2^x，其中2是底，x是指数。对任意整数x，都可由该函数得出有限的级数项和整数乘积。例如，2²=2×2=4，2³=2×2×2=8，2⁴=2×2×2×2=16，等等。

这些整数对可以拟合到一条曲线当中。在一条有着无穷多个点的曲线上，只有有限个点是由整数对组成的；这些点之间的曲线是由像 3.81这样的小数或者像和π之类的无理数组成的。这样一来，令2乘以自身2.31次，次和π次是什么意思呢？有理数可以用p/q的形式来表达，因此 2的有理数次方的意思就是 2的 p次方的 q次平方根。例如，2的3.81（=381/100）次方就是2的381次方的100次方根。而某数的无理数次方就是填充在曲线上除有理数次方之外的那些点，可通过计算无穷序列的极限得到。所以，2的π次方就可以由2³，2^3.1，2^3.14，…，2^3.1415926计算得到，序列中所取的π小数点后的位数逐渐增加。

在《导论》一书的第 7章，欧拉表明，如果用下列无穷序列的加和来作指数函数的底，在数学上将会有很多好处：

欧拉注意到，这些项的和是无理数2.718281828459…。为简单起见，欧拉用e来表示这个数。e是自然对数的底，也是最重要的数学常数之一。后来欧拉又注意到，如果把e作为自然对数的底，那么对于任意的x，函数e^x可用以下无穷序列计算得出：

上述序列称为指数函数，是所谓的泰勒级数的一个例子。^［9］

在第8章中，欧拉开始研究三角函数。他从直径为1的圆的周长为无理数3.141 592 65…这一基本事实出发。为简洁起见，欧拉将其称为π。接着欧拉描述了三角函数的性质。三角函数涉及的是直角三角形中的角，用各边边长之比表示。例如，正弦函数涉及直角三角形中的锐角，以角的对边与斜边之比来表示。正弦函数可通过以下方法从锐角推广到任意角度：在（x，y）平面上画出一个直角三角形ABC，使斜边BC的长度为1，顶点B落在原点（0，0）处，顶点A落在正x轴上，顶点C落在x轴上方。设a为∠ABC，测量时从正x轴沿着逆时针的方向进行。因此，sina即为AC/BC。因为BC=1，所以sin a=AC的长度=点C的y坐标。如果我们用“点C的y坐标”表示sin a（a为∠ABC），那么就可以得到一个对任意角度都成立的定义：令BC转过一定的角度a（从x轴正半轴出发，沿逆时针方向转动），并记下点C的y坐标。相应地，角度a的正弦值就会从0变到1（90度），再变到0（180度），再变到−1（270度），最后再变到0（360度），并在之后的360度循环中重复以上变化。由此得到类似于示波器上所谓的“正弦波”的波形。余弦函数的定义相同，只是将点 C的 x坐标作为余弦值。随着角度的变化，余弦值从1变到0，从0变到−1，从−1变到0，再从0变到1，如此往复循环。余弦函数的图形与正弦函数相同，只是二者不同相。

之后，欧拉发现了正弦和余弦函数的几个比较明显的性质，包括通过简单应用毕达哥拉斯定理就能得出的一个事实，（sin x）²+（cos x）²=1。

欧拉在继续总结牛顿和其他前人工作的基础上，又进一步发现正弦和余弦等三角函数可以用无穷级数表示。例如，函数sin x可用如下无穷多项的和来表示（为简单明了起见，我们采用黑体来书写这些项）：

对于余弦部分，我们则用加粗的黑体来表示：

采用这些函数，欧拉表明其他三角函数也可以类似地用无穷级数来表示。

欧拉精于计算，他可以把三角函数加和起来，得到以 e为底的指数函数。在计算的过程中，欧拉采用了虚数。在《导论》写成的几年之后，欧拉用i来表示。i虽然不是“实”数，在数轴上也没有位置，但却常被用于实数运算。这样数学家就可以求解原本不可解的方程。如果将i插入到e^x的指数项中，则在无穷级数的所有项中都会出现i：

由于i²等于−1，因此有i³=−i、i⁴=1、i⁵=−i，等等。于是上述级数可以变为：

欧拉发现如果将i的多项式并为一组，就可以得到：

或者，就像他在《导论》的第8章中所写的那样（用i表示，英文译本同此）^［10］，为：

上述方程在指数函数和三角函数之间建立了深层次的联系。印度著名数学家拉马努金（Srinivasa Ramanujan，1887—1920年）在上中学时曾发现了这个关系，并激动地把它写了下来。不过，拉马努金在得知自己并不是第一个发现这个关系的人之后，非常沮丧，把计算结果藏到了自己家房子的屋顶上。^［11］

这个方程令人不可思议，不过它的意义还远不止于此。假定x等于π，由于sin π=0，cos π=−1，因此e^iπ=−1或者e^iπ+1=0。

还有一种方法是用图形的方式证明上述方程正确性。假定用 π代替x代入前几段的公式中，则该公式变成：

数学家可以把上述各项像向量一样加起来。各向量首尾相接，带有虚数i的项表示该向量逆时针转过90度。^［12］如果从0出发，第一项（即1）是沿着x轴出发到达点（1，0）的向量。第二项（iπ）是一个从（1，0）出发，相对于第一个向量逆时针转过90度，向上延伸π个单位，到达坐标（1，π）的向量。第三项（iπ²/2!）是从（1，π）出发，相对于第二个向量再逆时针旋转90度，方向与第一个向量完全相反，并越过直线x=0到达点（−（π²/2−1），π）的向量。第四项是一个方向向下的向量，延伸至x轴的下方，如此往复。由于后一向量总是沿着前一向量逆时针旋转90度的方向，并且分母增长的速度比分子要快，导致向量的模[9]逐渐变小，所以最后就能得到收敛于点（−1，0）的多角形螺旋（见图）。

表明无穷级数收敛于−1的多角形螺旋

这种简单的欧拉公式（根据某些定义，此种形式的欧拉公式并不是方程，因为它不含有变量）包含了 5个数学上最基本的概念——0、1、自然对数的底e、虚数i和π，还包含了4个运算符——加、乘、取幂和相等。这些概念和运算符分别只出现了一次。欧拉公式说的是无理数的虚数乘无理数次方加上1恰好等于0。数字π^e、2^π和e^π都被认为是无理数。但e^iπ却占据了数字大厦中的一个特殊位置。在这个位置上，无理数和虚数结合在一起，幽灵般地“相互抵消”，产生出了0。曾有人说，所有的分析都集中在这一个公式当中。^［13］欧拉的结果与其他一些事实表明：受到笛卡儿嘲笑的虚数在数学中并没有被边缘化，而是位于数学的中心。它们在数学上将发挥越来越重要的作用。伴随着 20世纪量子力学的发展，在物理学和工程学等研究周期性现象的领域中，复数也被用于表示波。有了复数就能同时表示相位和波长两个过程，而复指数则可以将直线映射为复平面上的圆。

也许，欧拉公式e^iπ+1=0只代表了一种含义，只是方程探索之路上的一步。欧拉公式“只是”一个方程，是科学探究这一持续过程中上千步中的一小步，只是欧拉对方程进行广泛研究后得出的一个含义。但是，这几千步中的某几步会得到，而且也应该得到特殊的地位。在仍处于发展和变革中的重要科学领域内，有些表达式将起到里程碑式的作用。它保留前人的工作，着眼于现在，面向未来。理论、设备和人一直会变，可是方程和公式却是几乎不变的。它们指导人们如何解决问题，是人们设计新设备的工具。专家们则用它们描述新的发现。公式和方程把知识加以总结，保存下来，并期待和展示新的发现。

欧拉公式也体现出欧拉是如何对数学进行重筑的。与其他科学一样，数学并不是沿着预定的轨迹发展的。数学的发展具有历史上的偶然性，一代代的科学家从前人那里把假设、技巧和概念继承下来，加以改造，再传给后人。有了这个过程，人们才能以特定的方式有条理地去理解数学。就像有一个实体论，可以将不同的现象归结到完全不同的领域中去。所有方程都会隐含地采用这一继承下来的数学架构。不过，欧拉却对实体论重新加以组织，以分析为中心，两边是几何和代数。回首过去，数学家可能会把数学上最新的重组都看作是不证自明的。无疑，这也正是数学家卡尔·弗雷德里希·高斯（Carl Friedrich Gauss）说“谁要是觉得e^iπ+1=0不是显而易见的，谁就不是数学家”的原因所在。一个人如果无所不知，那么就没有什么能让他感到惊奇的了。但是，数学家也并非天生就是数学家。他们小的时候不是数学家，也得一点点地学。在这样的学习过程中，他们常常会对自己获得的并不全面的数学知识进行变换和重组。欧拉的简明公式e^iπ+1=0就是对这一过程最简洁的描绘。^［14］

欧拉公式成为标志性的事物还有另外一个深层的原因。德福琳这样描写它：“欧拉公式深入到了实体的最深处。它把源自人们生活不同方面的思维抽象出来，合而为一，并再次提醒人们，联系、结合在一起的事物比相互分开的事物更重要、更有价值，也更加绚丽多姿。”

德福琳的评论表明，为什么欧拉公式能超越得出它的特定科学探究过程，变得更有价值和意义。这个例子很清楚明白，因为它说明了方程和公式的作用：它表明了看似不相干的，甚至是矛盾的元素（有理数、无理数和虚数）是如何包含在一个整体之中的。而且这一过程可以说没有几步运算，非常简洁。它一下子就把各个元素简化、组织和统一起来了。欧拉公式向人们展示出方程的作用，以及它何以能成为方程。