对概率的一系列研究［160］，起源是非常普通的——赌徒们试图调整他们的赌注以增加他们赢的几率。特别是在17世纪中期，有一位名叫雪佛莱·德·米尔（Chevalier de Méré）的法国贵族，他是一位有名的赌徒，他向当时法国著名的数学家和哲学家布莱斯·帕斯卡（Blaise Pascal，1623—1662）提出了一系列关于赌博的问题。帕斯卡在1654年与当时另外一位著名的法国数学家皮埃尔·费马（Pierre de Fermat，1601—1665）之间频繁通信，在这些信中他们就类似问题进行了深入的交流，概率论的基本理论事实上已经建立起来了。
让我们看看帕斯卡在1654年7月29日写给费马的一封信中讨论的一个有趣的问题［161］。这个问题中假设了有两位贵族，他们在玩一种赌博游戏，游戏的工具是一只骰子，在游戏开始之前每个人都在桌子上放下了32枚金币作为赌资。第一个人选择的是数字1，而另一个选择的是数字 5。如果掷出的骰子向上的一面出现了某一位玩家选中的数字，那么这名玩家就会获得一个点，第一位获得 3个点的玩家获胜。假如游戏进行一段时间之后，数字1出现了两次（也就是说选择1的那一方获得了两个点），而数字5只出现了一次（选择5的一方只获得了一个点），此时出于某种原因，游戏在这一刻被迫中止了，那么桌子上的64枚金币应当如何分配呢？帕斯卡和费马给出了数学上的逻辑答案。如果游戏继续的话，若那位已经有两个点的玩家在下一次掷骰子时赢了，那么全部的64枚金币就都属于他了；如果选择5的玩家在下一次掷骰子中赢了，那么他们就可以平均分配这64枚金币，每个人都得到32枚。如果这两方都不再掷骰子，第一位玩家可能会争辩道：“即使我在下一次掷骰子时输了，我也会得到32枚金币，而对于余下的32枚金币，我有可能得到，你也有可能得到，机会是均等的。因此，应当把这64枚金币中的无论如何我也会得到的32枚先给我，然后平均分配剩下的32枚金币。”换句话说，第一位玩家应当得到48枚金币，而另一位只能得到16枚。难以置信，不是吗？这门全新的、反映出深刻思想的数学分支，就是诞生于这类十分浅显、甚至有点微不足道的讨论之中！然而，这也正是数学有效性是“无理由的”，并且保持神秘的原因所在。
概率论的本质［162］可以从以下这些简单的事实中看清楚。没有人能确定地预测出一枚抛向空中的硬币落地时哪一面会向上。即使是连续抛10次同一枚硬币，每次都是头像向上，也丝毫不能提高我们对第11次抛出的硬币是哪一面朝上的预测能力［163］。但是，如果我们抛这枚硬币的次数达到一千万，我们就可以精确地预测出头像的一面向上次数非常接近一半，并且有字的一面向上的次数也非常接近一半。事实上，在19世纪末，统计学家卡尔·皮尔森非常有耐心地连续抛了一枚硬币24 000次。根据他的记录，他抛出头像的次数是12 012次。在某种程度上，这就是概率论涉及的一切。概率论为我们提供了试验次数非常多的结果的精确信息，但是它不能预测任何特定的试验结果。如果一个试验有n种可能的结果，这几种可能结果发生的概率都是相同的，那么任何一个结果发生的概率就是1/n。比如你掷一个骰子，那么出现数字4的概率是1/6，这是因为一个骰子有 6个面，而抛出任何一面的概率都是相同的。设想一下，你连续掷7次骰子，每一次都得到4，那么下一次你得到4的概率有多大？概率论给出了一个极其清楚的答案：仍然是1/6。这是因为骰子没有记忆，任何“幸运之手”的说法或下一次抛骰子会补偿先前抛掷过程中不平衡（骰子各个面出现的不同次数）的观念都是神话传说。事实的真相是如果你掷了100万次骰子，那么结果会平均分布，并且出现4的机率会非常接近1/6。
让我们再来看一个稍微复杂一点的例子。假设你一次同时抛 3枚硬币，那么你一个头像向上、另外两个字面向上的概率是多大？通过简单地列举出所有可能的结果，就能轻易地得到答案。如果我们把头像向上的一面定义为“H”，有字的一面定义为“T”，这样的话就会有8种可能的结果：TTT、TTH、THT、THH、HTT、HTH、HHT、HHH。对照这8种结果，你可以发现有3种与“一个头像、两个字面”的要求相符。因此，对于这一事件，它发生的概率是3/8。在更一般的情况下，如果有n种可能的基本结果，并且出现每种结果的机会都是均等的，m 是你所感兴趣的事件数量，那么这一事件发生的概率就是 m/n。请注意，这就意味着概率总是1和0之间的某个值。如果你所感兴趣的事件事实上不可能发生，那么 m＝0（表示没有你所喜欢的结果），并且此时的概率值也是0。在另一方面，如果该事件的发生是绝对确定的，也就是说所有的n种事件都是肯定的（m＝n），此时概率就是 n/n＝1。抛 3枚硬币这个试验的结果还证实了概率论中另外一个重要的结论：如果有多个事件，它们之间彼此是完全独立的，那么这些事件发生的概率是个体概率的产物。还是以同时抛3枚硬币为例，获得3个头像的概率是1/8，其计算过程是这样的：因为抛一枚硬币得到头像的概率是1/2，而抛3枚硬币时每枚硬币落地所得到的结果之间都是互相独立的，所以1/2×1/2×1/2=1/8。
你也许会继续思考，除了在赌场或者在其他赌博活动中得到应用之外，这些基础的概率论概念还有什么其他用途吗？也许你无法想象，那些表面上看起来并不是十分重要的定律是现代遗传学（这是一门研究生物遗传特征的科学）的核心基础理论。
把概率论引入遗传学的是一位摩拉维亚牧师格莱格·孟德尔（Gregor Mendel，1824—1884）［164］。孟德尔的家乡在一个小山谷中，这里紧邻摩拉维亚和西里西亚的边境线（位于今天的捷克共和国）。孟德尔早年加入了位于布尔诺的圣托玛斯奥古斯汀修道院，之后他在维也纳大学学习动物学、植物学、物理学和化学。当他学成返回布尔诺，在奥古斯汀修道院院长的大力支持下，他用豌豆植株做试验开始了他的遗传学研究。孟德尔使用豌豆作为试验材料的主要原因是，这种植物的生长十分迅速，并且雌雄同体，这样，豌豆植株不仅能自花传粉，也能在其他植株间进行异花传粉。孟德尔让只结绿色种子的的豌豆植株与只结黄色种子的豌豆植株两者之间异花传粉。在之后的观察中他得出了一些结果，但这些结果却让他感到十分困惑，如图 5-4 所示。从图中可以看出，杂交后的第一代豌豆植株只产生黄色种子，然而随后的第二代中，黄色种子和绿色种子的比例却是3:1！从这些令人震惊的发现中，孟德尔总结出了3个基本规律，而这也成为了遗传学发展过程中最重要的里程碑。
（1）生物某一特征的遗传涉及其亲本传给后代的某种特定的遗传“因子”（也就是今天我们所熟知的基因）。
（2）所有后代都会从每个亲本那里（也许来自父本，也许来自母本）继承一项这样的“因子”（对于任何给定的特征）。
（3）一种给定的特征也许并不能在第二代中体现，但是却能传到第三代中。
图5-4
如何解释孟德尔试验中的那种数量关系？孟德尔认为每一个亲本植株都一定有两个完全相同的“遗传因子”（即等位基因），这种等位基因要么是一对黄，要么是一对绿（如图 5-5所示）。当两株植物交配时，每一个后代都要从其父本、母本那里各继承一段不同的等位基因（根据前述的规律（2））。这也就是说，豌豆植株的每一个后代的种子都包含绿色的等位基因和黄色的等位基因。那么为什么第二代的豌豆植株种子全部都是黄色的？孟德尔的解释是，这是因为对豌豆植株而言，黄色是占优势的颜色（显性性状），所以它把整个这一代中绿色等位基因的显现给掩盖掉了（根据前述的规律（3））。然而（依然是根据规则（3）），占据优势的黄色并不能阻止隐性的绿色基因被遗传到下一代中。在下一轮的交配中，用包含黄色等位基因和绿色等位基因的植株与另一株同样包含这两等位基因的豌豆植株进行异花传粉。由于其后代分别从父本和母本那里各得到一段等位基因，因此它们种子颜色将会呈现出图5-5所示的组合：绿—绿、绿—黄、黄—绿、黄—黄。由于黄色是占据优势的性状（显性性状），所以所有包含黄色等位基因的种子全部都会是黄色。同时，由于等位基本组合的几率是相同的，因此黄色种子的豌豆植株与绿色豌豆植株的比例是3:1。
图5-5
你也许已经意识到了，孟德尔的整个试验，从本质上讲与抛硬币是相同的。如果把硬币的头像面看做绿色的豌豆，把硬币有字的一面看做黄色的豌豆，要想问豌豆呈现黄色的概率有多大（这里把黄色作为显性性状，字面作为显性性状），事实上与询问在抛两枚硬币时至少得到一个字面朝上的概率有多大完全是相同的。很明显，答案是3/4，因为在4种可能的结果里（字面—头像、字面—字面、头像—字面、头像—头像）出现字的次数是 3次。这也就意味着（在一段很长时间的实验后）在抛硬币时至少出现一个字面向上的数量与完全不出现字面的数量比率是3:1，这和孟德尔在试验中反映的结果完全一致！
尽管孟德尔在 1865年公开发表了他的论文《植物杂交试验》［165］，并且在两次科学会议上宣讲了他的试验结果，但他的研究成果没有引起人们重视。直到进入20世纪后，孟德尔的试验才引起了人们的高度关注。虽然人们对孟德尔试验结论的精确性还有一些疑问［166］，但孟德尔还是被当做历史上第一位奠定现代遗传学数学基础的人。沿着孟德尔指明的道路，著名的英国统计学家罗纳德·艾尔默·费雪尔（Ronald Aylmer Fisher，1890—1962）建立了群体遗传学，这一数学分支确定了人群的基因分布模型并计算了基因随时间变化的频率［167］。今天，遗传学家们可以利用DNA组合中的统计采样来预测未出生后代可能的生理特征。但问题仍然存在：统计学和概率论究竟是怎样精确相关的？
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