欧几里得“真理”

19世纪之前，如果说有一门学科知识一直被当做真理和确定性知识的完美典范的话，那它就是欧几里得几何学，也就是我们在中学里都学过的传统经典几何学。著名的荷兰籍犹太人哲学家巴鲁克·斯宾诺莎（Baruch Spinoza，1632—1677）就把他那极为大胆的、试图把科学、宗教、伦理和推理统一起来的研究结论命名为“用几何方法证明的伦理学”（他的著作名称）。更有甚者，虽然唯心主义和柏拉图主义者所提出的以数学形式存在的世界和物理现实之间有明显区别，但是大多数科学家仍然把欧几里得几何学中的对象，当做是从真实的物理世界的对应物中提炼、抽象出的存在形式。即使是最忠实的经验主义者，例如大卫·休谟（David Hume，1711—1776）——他坚持认为科学的基础远没有人们所想象的那么肯定，也认为欧几里得几何学就像直布罗托海峡的岩石那么坚固。在休谟所著的《人类理解力研究》（An Enquiry Concerning Human Understanding）一书中，他提出有两种类型的“真理”^［173］：

人类推理和研究的所有对象可以分为两类：一类是理论关系，另一类是事实真相。第一类真理要么是人类的某种直观断言，要么就是经过论证后的确定结论……并且其中有一部分仅仅是通过人类思维的推导发现的，它们完全不依赖宇宙中存在的任何客观现实。尽管在自然界中从来不存在圆形或三角形，但是由欧几里得证明的真理却永远表现出它们的确定性和存在迹象。第二类事实真理不是用上面提到的方式发现的，不论这些真理本身有多么伟大，证明它们真实性的证据在本质上不同于上述真理。每个事实真理的反对命题仍然有可能是成立的，因为这类真理无法暗示否认。太阳明天不会升起，这个命题绝对不会让你觉得看不懂，它对自己否认（即太阳会升起）的暗示也绝对不会多于对自己肯定的暗示。我们试图去证明这个命题是错误的努力，是徒劳的。

换句话说，尽管休谟和其他所有的经验主义者一样，认为人类的全部知识来源于观察，但是几何学以及这门几何学所反映的“真理”就拥有这样的特权地位。

伟大的德国哲学家伊曼纽尔·康德（Immanuel Kant，1724—1804）并不是完全赞同休谟的观点，但是他却同意休谟对欧几里得几何学的看法，他同样认为欧几里得几何是绝对确定的真理，并且其正确性是确信无疑的。康德在他的不朽名著《纯理性批判》（Critique of Pure Reason）中，试图推翻人类思维和物理现实之间的联系。康德认为人类思维“构建”或“处理”宇宙事物和规律时具有某种主动性，他不认为是物理现实的印象被完全印到被动的思维中。随着思考不断深入，康德不再关注什么是我们能知道的，而是关注怎样知道我们能知道的^［174］。他解释说当我们的眼睛寻找光的微粒时，这并不能帮助我们在意识中形成光的影像，但是经过大脑处理并重新组织之后，我们才能建立起一系列比较清晰的光的相关概念。他认为在这个构建过程中，一个关键因素来源于人类对空间直观的、综合性的先验性理解，而在历史上这种理解是以欧几里得几何学为基础形成的。康德相信欧几里得为形成空间概念和处理空间提供了唯一正确的路径，并且这种对空间直观的普适性认识是我们关于自然世界的经验的核心。按康德的话说^［175］：

空间不是一个源自于外部经验的经验性概念……空间是一种必要的、先验性的事实陈述，它形成了所有外部直觉的基础……基于空间这种先验性陈述的必要性，我们才能推导出所有的几何原理都是无可置疑地确定，而且对它们进行诠释的可能性也是先验的。因为如果对空间的直觉是一种后验性的归纳概念，也就是说来自一般性的外部经验，那么数学定义的基本原理就只能看作是感知了。而且这些原理还会受到感知过程中所有意外事故的影响，那样一来，两点之间只有一条直线这样的公理将不再是必然的了，它只能是每次依据经验而传授的知识。

简单地说，根据康德的理论，如果我们意识到一个物体，那么这个物体必然是在空间中存在的，并且是符合欧几里得几何学的。

休谟和康德认为有两点非常重要，这两点有极大不同，但都与欧几里得几何学紧密相关。首先，他们都认为只有欧几里得几何才能精确描述物理空间。其次，他们都把欧几里得几何作为牢不可破、绝对精确和永远有效的推理结构。把这两条综合在一起的话，休谟和康德认为，欧几里得几何为数学家、科学家、哲学家们提供了最稳固的关于宇宙的确存在、内容丰富、无可辩驳的理论证据。直到19世纪之前，这种认识仍然被视为是理所当然的。但是它们真的是正确的吗？

欧几里得几何是由古希腊亚历山德里亚数学家欧几里得在公元前300年左右提出的。在他那本不朽的 13卷本的《几何原本》中，欧几里得以清晰的逻辑为基础建立几何学体系。他以数十条被认为正确性无可置疑的公理为起点，通过逻辑推理的方法，证明了大量以假设为基础的命题。

欧几里得几何学的前4条公理^［176］简洁、巧妙而又优美，例如第一条公理是：两点之间只能有一条直线。第四条公理是：所有直角都是相等的。而与此形成鲜明对比的是第五条公理，它通常被称为“平行公设”，关于它的表述相对而言比较复杂，并且一直以来人们普遍认为这一公理缺乏一种不证自明的味道，在《几何原本》中它是这么说的：“若一条线段与两条直线相交，在某一侧的内角和小于两个直角之和，那么这两条直线在各自不断地延伸后，会在该侧相交。”图6-1使用了一幅示意图展示这条公理的内容。虽然没有人怀疑它的正确性，但它与其他几条公理相比，缺乏那种能给人留下深刻印象的简洁和优美。有迹象表明，甚至是欧几里得本人似乎都对他的这条第五公理不是十分满意，第一个证据是欧几里得在他的《几何原本》证明第二十八条命题时就没利用他的这条第五公理^［177］。今天我们引用最频繁的是与“第五”公理完全等价的另一个公理，它似乎是由希腊数学家普罗克洛斯（Proclus）在公元 5世纪首次提出来的，但是我们通常称之为“普莱菲尔公理”［这个名称来自于苏格兰数学家约翰·普莱菲尔（John Playfair，1748—1819）］。普莱菲尔公理是这样表述的：“给定一条直线和不在这条直线上的一个点，经过这个点只能作一条与该直线平行的直线。”（如图6-2所示）。第五公理的这两种表述形式本质上是完全相同的，这是因为普莱菲尔公理（与其他公理一起）必然包含欧几里得的第五公理，而且后者也包含前者。

图6-1

图6-2

几个世纪以来，对欧几里得几何第五公理的置疑就不绝于耳，不断有人试图从其他 9条公理出发证明第五公理，甚至还有人尝试用一条更清晰简洁的假设来代替它，当然这些努力都没有成功。尽管如此，仍然有一些几何学家试图回答另外一个同样令人困惑并引人注目的问题：“如果它是假的呢？”（如果第五公理事实上是一条假命题的话，会发生什么呢？）这个问题开始逐步蔓延^［178］，甚至有人怀疑欧几里得的公理到底真的是不证自明的，还只是基于经验的。最终另人震惊的结论在19世纪出现了：数学家们发现人们通过选择另外一条不同于欧几里得第五公理的公理，就可以建立一门全新的几何学。而且，那些“非欧”几何学能像欧几里得几何学那样从原理上准确地描述物理空间。

这里让我们暂停一下，先来把“选择”这个词搞清楚。几千年来，欧几里得几何一直被认为是独一无二并且是必然如此的——它被认为是对空间唯一正确的描述。而人们可以选择公理并且得到同样正确的描述这一事实使人们对整个概念体系产生了深厚兴趣。仔细构建的推理体系似乎一夜之间变成了一场游戏，在这个游戏中公理只不过是扮演了规则的角色。你可以通过改变公理来玩另外一场完全不同的游戏。不过，真正实现对数学本质的理解，它所带来的冲击力之巨大，如何强调都不为过。

事实上，许多富有想象力和创造力的数学家为完成对欧几里得几何最后的攻击铺平了道路。其中值得特别关注的有：基督教神父吉罗拉莫·塞开里（Girolamo Saccheri，1667—1733），他深入研究了如何用另外一种不同形式的表述来代替第五公理；德国数学家乔治·克鲁格（Georg Klügel，1739—1812）和约翰·海因里奇·兰勃特（Johann Heinrich Lambert，1728—1777），他们俩第一次意识到欧几里得几何可能被其他的几何学体系所替代。除此之外，还有一些数学家为埋葬欧几里得几何是唯一的一种宇宙空间表现形式这一思想的棺材，钉下了最后一颗钉子。这一荣誉应当由三位数学家来分享：一位来自俄罗斯，一位来自匈牙利，还有一位来自德国。