奇异的新世界

第一位公开发表文章从整体阐述这门全新几何学的人（这是一门建立在像马鞍那类弯曲的表面之上的几何），就是俄罗斯数学家尼古拉·伊万诺维奇·罗巴切夫斯基（Nikolai Ivanovich Lobachevsky，1792—1856，如图 6-4 所示）^［179］。在这门几何学中（今天我们称为双曲面几何），欧几里得第五公理的表述就变为了如下的形式：在平面上给定一条直线和不在直线上的一点，经过这个点至少能作出两条与给定直线平行的平行线。罗巴切夫斯基几何学与欧几里得几何学还有一个重要的区别，在欧几里得几何中，三角形的内角和总是 180度（如图 6-3b所示），而在罗巴切夫斯基几何中，三角形的内角和总是小于 180度的。由于罗巴切夫斯基的学术观点主要发表在《喀山公报》（Kazan Bulletin）上，这份杂志在当时并不出名，所以他的理论完全没有得到应有的重视，直到19世纪30年代，有关罗巴切夫斯基几何的理论被翻译为法语和德语后才引起人们的广泛关注。在此之前并未看到罗巴切夫斯基文章的匈牙利年轻的数学家哈诺斯·波约（János Bolyai，1802—1860）^［180］在 1820年左右也系统阐述了与罗巴切夫斯基几何类似的几何学理论。出于年轻人特有的激情，他在1823年给他父亲的信中［他的父亲法卡斯·波约（Farkas Bolyai）也是一名数学家，图6-5是他的肖像］写道：“我发现了一些东西，它太优美了，这让我震惊不已，但同时又让我情不自禁地为它着迷……我从一片虚无中创造了一个全新的世界。”在 1825年，哈诺斯已经完成了他的研究，并准备让他的父亲看看他关于这门新几何学的理论著作草稿初案。哈诺斯把他的手稿命名为《空间的科学绝对》（The Science Absolute of Space）^［181］。虽然年轻的波约兴高采烈，但他的父亲却不能确定这种理论的正确性。不过，法卡斯还是决定把哈诺斯的新几何作为他本人两卷本著作的附录一块出版，法卡斯的书是以研究经典几何、代数和解析学的基础为主要内容的。据说这本书写作手法十分有趣，书名就叫《为好学的年轻人所写的关于数学基本原理的随笔》（Essay on the Elements of Mathematics for Studious Youths）。书出版后，法卡斯送给了他的朋友卡尔·弗里德里希斯·高斯（1777—1855，如图 6-6 所示）一本，而高斯不仅在当时就被认为是最杰出的数学家，并且被后世许多人推崇为人类有史以来最伟大的数学家之一，足以和阿基米德和牛顿相提并论。由于霍乱的传播，送给高斯的那本在混乱中遗失了，法卡斯又给高斯送去了另外一本。高斯在1832年3月6日给法卡斯回了信。不过他的评论与年轻的哈诺斯所期望的并不完全一样。

图6-3

图6-4

图6-5

图6-6

如果一开始我就说我不能称赞这本著作，您也许会感到十分惊讶。但是除此之外，我的确没法再说别的。这是因为如果我表扬它，实际上就是表扬我自己。事实上，这本书的所有内容，您的儿子的思想，他所得出的结论，与我的想法几乎一模一样，而在过去的30或35年里，这些想法一直都占据着我大脑的一部分。在那段时间，我始终都有些茫然，不知所措。迄今为止我从未把我的思考结论写下来，而且我当时想在我的有生之年都不会把它们拿出来发表。

我在这里要插上一句，很明显高斯害怕这种激进的新几何学被康德学派的哲学家们（高斯称他们为“皮奥夏人”，这是一个野蛮未开化的部落，古希腊语中这个词是“愚蠢”的同义词）当做哲学中的异端邪说。之后高斯继续写道：

在另一方面，我当时又想以后把它们都记录下来，这样至少它们不会随着我一起消失。因此对我而言这真是一个惊喜，这让我省却了记录它们的麻烦，并且我十分高兴是我的老朋友的儿子先于我之前把这些思想用文字表达了出来。

虽然法卡斯感到高斯对哈诺斯的评价很高，他认为高斯的赞扬“非常令人满意”，但是哈诺斯却因为他的研究与高斯的思想完全相同而倍受打击，并且从此之后彻底消沉了。在接下来的近十年时间里，他一直拒绝相信高斯在他之前已经开始研究这门几何的说法，而且这还严重影响了他们父子之间的感情（哈诺斯怀疑他父亲过早地把他的研究结论透露给了高斯）。后来，当哈诺斯最终确认高斯的确在 1799年左右就开始研究这一课题时，他变得更加愤世嫉俗，这种糟糕的心态也影响了他的学术研究。在波约去世前，他留下了大约两万页的数学手稿，但是相比而言，这些研究显得暗淡无光。

不过，毋庸置疑，高斯的确对非欧几何进行了大量思考^［182］。在1799年9月他的一篇日记中，高斯写道：“关于几何的原理方面我们取得了非凡的成就。”接着他在1813年又提到：“在平行线理论中，我们现在并不比欧几里得知道得更多。这是数学中让人脸红的一部分，它迟早会变成另外一种完全不同的形式。”几年之后，高斯在他1817年4月28日所写的一封信中又讲道：“我现在越来越确信我们现在的（欧几里得）几何学的必然性并不能被证实。”最终，与康德的观念相反，高斯得出的结论是欧几里得几何并不能被看做普适的永恒真理，并且“不能”把欧几里得几何与算术相提并论（因为算术是先验性的），但是大致可以与力学相提并论。”费迪南德·施韦卡特（Ferdinand Schweikart，1780—1859），一位法理学教授，他在1818年或1819年左右写信告诉高斯，他也独立得出了类似的结论。由于高斯和施韦卡特都没有公开发表过他们的观点和结论，所以传统上一直把发现非欧几何的荣誉归于罗巴切夫斯基和波约，尽管他们两位也不能被视为非欧几何的唯一“缔造者”。

双曲面几何犹如晴天霹雳一般打破了数学世界的沉寂，它给欧几里得几何学是唯一正确、不可动摇的空间描述这一观念带来了沉重打击。在高斯、罗巴切夫斯基和波约之前，欧几里得几何事实上长期以来一直被看做是世界的本质。人类可以通过选择不同的公理集来构建一门完全不同的几何，这一事实第一次引发了人们的疑问：数学似乎是人类的发明，而不是独立存在于人思维之外的、等待人类去发现的真理。同时，欧几里得几何学与真实的物理空间之间直接联系的破裂，也暴露了数学是宇宙语言这种思想的致命缺陷。

当高斯的一名学生伯恩特·黎曼（Bernhard Riemann）证明双曲面几何并不是非欧几何的唯一形式时，欧几里得几何学的优越地位变得更加岌岌可危了。黎曼于 1854年6月10日在哥丁根做了一场闪耀着天才思想火花的演讲（图 6-7 展示的是这篇后来公开发表的演讲稿的第一页），他以几何基础为前提表达了自己的观点^［183］。黎曼一开始就说：“几何学预先假设了空间的概念，并假设了空间构建的基本原理。但是，它对空间的那些概念和原理仅仅是给出了名义上的定义，而这些概念和原理的本质说明是以公理的形式出现的。”他接着指出：“那些预先假设之间的关系还不为人所知。我们并不能看出，它们之间的任何联系是否是必然的，或者在多大程度上是必然的，甚至这些联系是不是可能的也不能完全确定。”在各种可能的几何学理论中，黎曼重点研究了椭圆面几何，这是一门建立在椭圆体表面上的几何理论（如图 6-3c 所示）。请注意，在这门几何学中，两点之间最短的线并不是一条直线，而是大圆上的一段弧，而这个圆的圆心应当恰好是球心。航空公司就是利用了这一特性来确定航线的，所以从美国到欧洲之间的国际航班飞行线路并不是地图上看到的直线，事实上是一段向北的大圆弧。你可以很轻易地证明，任何这样的两段大圆弧都会在直径对置的两点相交。例如，地球上的任意两条经线，在赤道上似乎是平行的，但却会在两极相交。在欧几里得几何学中，经过直线外的一点只能作一条与该直线平行的平行线。而非欧几何则不同，在双曲面几何中，经过直线外的一点至少能作两条与该直线平行的平行线，而在椭圆面几何中，连一条这样的平行线都没有。黎曼把非欧几何的概念推向了更为广泛的天地——他把这类几何引入到了三维、四维，甚至维度更高的空间曲面中。在这个过程中，黎曼研究并拓展的一个关键概念是曲率，曲率标识了曲线或曲面的弯曲比率。例如，在一个鸡蛋壳的表面上，鸡蛋蛋壳中段部分的曲线要比经过蛋壳两端尖头的曲线平缓，也就是说曲率要小。黎曼提出了任意多维的空间中曲率的精确数学定义。在提出这个定义时，他进一步完善充实了最早由笛卡儿发展的几何与代数这两者间的“结合”。在黎曼的研究中使用的有任意多个变量的代数等式，都能在几何学中找到对应，并且高级几何中的新概念也成为了代数等式的一部分。

图6-7

欧几里得几何并不是19世纪几何发展之后唯一的受害者，康德的空间思想也未能幸免。让我们回想一下我在前面提到过的，康德曾经断言人类感知到的信息，在进入人类的意识之前，必须经过欧几里得几何学中的模板进行重新组织。但是，似乎19世纪几何学家们的直觉在一夜之间全部被唤醒了，很快他们就在非欧几何领域取得了众多进展，并且开始学习沿着非欧几何指明的全新道路去感受世界。最终，欧几里得几何学对空间的感知竟然被证明是学来的，而不是通过直觉获取。所有这些剧烈的变化使得著名的法国数学家亨瑞·庞加莱（Henri Poincaré，1854—1912）认为，几何的公理“既不是综合的先验性的直觉，也不是经验事实。它们是约定俗成的。我们根据经验事实作出选择，这种选择是自由的。”换句话说，庞加莱仅仅把公理视为“伪装的定义”。

庞加莱^［184］的观点并不只是受到迄今为止我们所提过的非欧几何的启发，同时也受到当时不断涌现的其他新几何的鼓舞，在19世纪末前，这些新几何的发展似乎不受控制了。例如，在投影几何学中（比如当电影胶片上的影像被投射到屏幕上时形成的图形）可以完全把直线和点这两个角色互换，因此关于点和线的定理（请注意这里的次序）能变为线和点的定理。在微分几何学中，数学家利用微积分研究各种数学空间局部的几何属性，例如球面或环面上的几何属性。上述这些几何以及其他一些类型的几何，乍一看上去似乎是数学家充满想象的发明，而不是对物理空间的精确描述。那么后人又是如何为上帝是数学家这一概念辩护的呢？毕竟，如果“上帝总在研究几何学”（历史学家普卢塔克认为这句话出自柏拉图）的话，哪一种几何是神采用的呢？

很快，对欧几里得几何缺点的深刻认识引起了数学家对数学基础的普遍关注，特别是数学与逻辑之间的关系。在第 7章中我们还会继续讨论这个重要的主题。这里我仅仅提一句，公理是不证自明的这一观点已经动摇了。虽然19世纪的人们也见证了代数和解析领域其他一些重大的进展，但是几何学的发展对数学本质问题的影响是最深远的。