重要的精确性

伽利略和其他意大利经验主义论者发现了下落物体的运行规律，开普勒研究确定了行星运动规律，而牛顿则把他们的研究统一在了一起，并且提出了普适的、用数学语言描述的引力规律，在这个过程中，牛顿不得不研究发展了一门全新的数学分支——微积分，从而简洁而又条理清晰地正确表达他所提出的引力和运动规律的所有属性。在牛顿本人所做的实验和观察中，能证实其引力理论正确的实验和观察数量不足总数的 4%，然而，引力理论的正确性却远远超过了所有合理的预测。到了20世纪50年代，实验的精确性已经达到了百万分之一，但就在最近，有一些推测性的理论（这些理论的目标是解释我们所处宇宙似乎还在加速扩张的原因）提出，在非常小的范围内，引力可能会改变其行为方式。回想一下，我们在前面曾经讲过，牛顿的万有引力定律表明物体间的引力大小与它们之间距离的平方成反比，这也就是说，如果两个大质量物体间的距离扩大两倍，这两个物体所受引力变为最初的四分之一。有一些新设想预测，当物体间的距离小于1毫米时（1英寸的 1/25），会出现反常情况。埃里克·阿德尔波格（Eric Adelberger）、丹尼尔·开普纳（Daniel Kapner）和他们在华盛顿大学的合作者^［249］西雅图（Seattle）进行了一系列开创性的实验，来验证这种根据距离变化而产生的改变（特别是距离变化非常微小时的引力变化）。他们最新的实验结论在 2007年7月正式发表，这些实验结果表明，引力与距离平方成反比的规律，在距离为1毫米的56/1000时依然有效。因此，这条大约在三百年前根据非常有限的观察总结得出的数学规律，不仅是难以置信地精确，而且直到目前，在我们甚至都无法探查的范围内，它仍然是有效的。

不过，还有一个非常重要的问题牛顿没有回答：引力是如何真正起作用的？地球距离月球的距离是25万英里，那么引力究竟是如何对月球运动产生影响的？事实上，牛顿本人也已经意识到了他的理论存在的这一瑕疵，并且在他所撰写的《原理》中公开承认了这一点：

到目前为止，我们已经解释了由引力引起的天体运行现象和海水潮汐运动，但是我们没有分析产生这种力量的原因。可以确信的是，它一定是来自某种穿越太阳和行星中心的因素，并且将其效力向各个方向扩散，直到非常遥远的距离……然而截至现在，我还不能确定这些现象背后的引力及其特征产生的原因，并且也无法对它提出假设。

那位下定决心面对牛顿提出的这个没有给出满意解释的问题的人，正是阿尔伯特·爱因斯坦（1879—1955）。特别是在 1907年，爱因斯坦对引力产生了浓厚的兴趣，这是因为他研究的狭义相对论^［250］，似乎与牛顿的万有引力定律产生了直接冲突。

牛顿相信引力的作用是瞬时的。他认为行星感受到太阳的吸引力，或者一个苹果感受到地球的吸引（而落到地面上），根本不需要花费任何时间。然而另一方面，爱因斯坦的狭义相对论的核心支柱理论，认为任何物体、能量或信息的运行速度都不可能超越光速，那么引力作用又怎么可能是瞬时的呢？正如下面的例子所表明的，这一矛盾冲突的结果，对于那些已经根深蒂固的基础性概念（例如我们对因果关系的理解）的影响是灾难性的。

想象一下，假如太阳突然消失不见了，也就是说那种让地球在圆形轨道运行的力不存在了，那么根据牛顿运动定律，地球将立刻开始沿直线运动。当然，由于受到其他行星的引力影响，这个直线运动可能会有一些细微的偏差。但是，在地球上的人们看来，太阳是在它消失的那个时间点的 8分钟以后才真正不存在的，因为光线从太阳到达地球，就需要 8分钟的时间。换句话说，按照牛顿的观点，地球运动状态的改变将会在太阳消失之前发生，这显然是不可能的。

为了消除这一矛盾，同时也是为了解释牛顿没有回答的问题，爱因斯坦几乎是有点偏执地寻找一种全新的引力理论。这是一项令人感到畏惧的工作。新的理论不仅要保留牛顿理论那非同凡响的成功之处，而且还要解释引力如何起作用，并且还需要和狭义相对论兼容。在经历了一些错误的起点和漫长的弯路之后，爱因斯坦最终在1915年到达了成功的彼岸，这就是著名的广义相对论的诞生。广义相对论至今仍被许多人认为是最美的理论。

爱因斯坦的研究是革命性的，其深刻理论见解的核心是，重力只不过是时间与空间编织而成的“织物”所形成的扭曲。根据爱因斯坦的观点，就像绿草地上的高尔夫球，其运动轨迹受到场地地势的波浪起伏影响，行星也是沿着着扭曲空间中的弧形路径作曲线运动，这种弧形路径代表着太阳的引力。换句话说，当物质不存在，或者缺乏其他能量形式时，时空（spacetime，三维空间与时间的统一）将是“平的”。物质和能量扭曲时空的现象，有点类似于一个滚动的球会导致蹦床下陷一样。行星在这种空间曲线几何中，将会沿着最直接的路径运动，而这正是引力的一种表现形式。在解决了引力是“如何起作用”这个问题的同时，爱因斯坦还为引力传递速度有多快这个问题提供了框架性的解决方案。实际上，解决这个问题就是要测定在三维时空里，这种扭曲能以多快的速度传递。这有点类似于计算池塘中泛起的涟漪的运动速度是多少。爱因斯坦的研究表明，在广义相对论中，引力传递的速度与光速完全相同，这就消除了牛顿理论与狭义相对论之间的矛盾。也就是说，如果太阳真的消失了，地球运动轨道将会在这个时间点之后的8分钟改变，这与站在地球上的我们观察到的完全一致。

爱因斯坦把四维时空的扭曲作为他自己的宇宙新理论的基础，这表明他迫切需要一种包含这种几何实体的全新数学理论，而在当时，这种数学理论还处于空白状况。无可奈何之下，他向他的老同学，著名的数学家马塞尔·克鲁斯麦（Marcll Crossman，1878—1936）求助：“我已经开始对数学充满了敬意，我曾经以为，研究数学中的一些过于精微的内容完全是在奢侈地浪费时间，但现在我却不这么自信了。”克鲁斯麦向爱因斯坦提出了建议，他觉得黎曼的非欧几何（我在第 6章已经介绍过）正是他所需要的数学工具——任意维度的弯曲表面的几何学。对于我在本书中所提出的数学有效性中“被动”的一面，这个例子可以完美地诠释，而且爱因斯坦本人也迅速意识到了这一点，并且马上承认：“事实上我们能把（几何）当做物理学最为古老的一个分支。”他声称：“没有它的话，我不可能用公式来表达相对论。”

在验证广义相对论时，这一理论预测的精确性也同样给人留下了深刻的印象。验证广义相对论实际上非常困难，因为在时空中由诸如太阳等对象引发的扭曲率，其测得的数值仅仅是百万分之几。尽管最初的测试都与太阳系的观测有关（例如与牛顿万有引力预测相比，爱因斯坦广义相对论预测到了水星运动轨道的微弱改变），最近越来越多太阳系之外的验证方法也变得可行了。其中，一个最好的证明就是利用双脉冲星进行的。

脉冲星是一种结构极其紧密、向外辐射电波的天体。由于它的结构十分紧密，因此虽然它的直径通常都比较小，仅仅只有六英里左右，但是它的质量却非常大，甚至比太阳的质量还要大。脉冲星上的一立方英寸的物质，质量大约是十亿吨，可以想象，这种星星（又称为中子星）的密度有多高。大多数中子星的旋转速度都非常快，在旋转的同时从它们的磁极辐射出无线电波。在它的磁轴与旋转轴逐渐重合的过程中（如图8-8所示），中子星每旋转一周，我们就能观察到一次给定磁轴发出的无线电射线，这有点类似于从灯塔中发出的闪光。在这个例子中，无线电波的发射将呈现出一种脉冲振动的特性，这也正是“脉冲星”这个名字的由来。在某种情况下，当两颗脉冲星在一个封闭的轨道上围绕它们共同的引力中心旋转时，就形成了双脉冲星系统。

图8-8

双脉冲星有两个特性，使得它成为了验证万有引力定律的绝佳素材：（1）无线电脉冲星是最精准的时钟，它们的旋转频率极其稳定，事实上它们的精确度甚至超过了原子时钟。（2）脉冲星的结构极其紧密，这使得它们的重力场非常强，也使其产生了非常明显的相对论效应。这些特征使天文学家可以非常精确地观察和测量到，双脉冲星在彼此引力场影响下产生的轨道变化导致光从脉冲星到达地球这段时间内发生的变化。

最近的测试是针对 PSRJ0737—3039A/B 的双脉冲星系统进行的时间精确度测量（这个长长的“电话号码”代表了该天体系统在天空中的坐标）^［251］，这一测试所花费的时间长达两年半。这两颗脉冲星完成一次轨道旋转需要2小时27分钟，该系统距离地球大约2000光年（光年是一个长度单位，它是指光在真空中传播一年所行经的距离，大约为 6兆英里）。英国曼彻斯特大学的天文学字迈克尔·克瑞莫（Michael Kramer）领导的一个研究小组测量了爱因斯坦相对论对牛顿运动定律的校正量，他们的实验观测结果在2006年10月发表，结果证明与广义相对论预测的值十分相符，误差不超过百分之0.05！

顺便提一句，广义相对论和狭义相对论都在全球定位系统中扮演了重要角色。全球定位系统可以帮助我们确定自己在地球上的位置，同时也能帮助我们确定从一个地点到另外一个地点的准确路线，无论是驾车、乘飞机或者是步行，全球定位系统都能为我们提供有益的帮助。全球定位系统之所以能判定使用者当前所处的位置，是测量了天空中几颗卫星发射的信号到达地面接收机时所消耗的时间，之后再利用三角测量法对每颗已知位置的卫星进行统一计算后得出所需的位置信息。狭义相对论预测，因为相对运动，卫星上的原子时钟要比它们在地面上时走得慢一些（平均每天慢大约百万分之几秒）。而广义相对论则预测卫星时钟要走得快一些（平均每天快大约十万分之几秒），这是因为地球质量引起的时空扭曲，对于天空中物体的影响要比地球表面物体的影响弱一些。如果不对这两种引力效应进行修正的话，全球定位系统的错误会以每天超过5英里的速度进行累加。

引力理论只是众多例子中的一个，这些例子充分证明了自然规律以数学公式的形式进行表达时，所体现出的那种不可思议的普适性和令人惊叹不已的精确性。在这个例子中（与其他众多例子一样），我们从数学等式中得到的要远远多于最初放进去的。牛顿以及爱因斯坦的理论，其精确性远远超越了这些理论最初试图解释的那些观察现象的精确程度。

有一个例子也许最能体现数学理论那种超越时间界限的精确性，这就是著名的量子电动力学（quantum electrodynamics，QED）。量子电动力学解释了带电粒子和光的所有现象，2006年，哈佛大学的一个物理学研究小组^［252］测定了电子磁矩（它测量了电子与磁场交互时产生的强度），精确度达到了万亿分之八。就实验本身的精确度而言，这已经是一项令人难以置信的成就。但是当我们看到，最近基于QED的理论计算也达到了同样的精度，并且理论预测与实验测量这两个结果竟然完全相符时，这种精确性就变得让人感到敬畏了。当量子电动力学的创建者之一弗里曼·戴森（Freeman Dyson）听到量子电动力学不断成功的消息后，他回应道：“说实话，我也感到十分惊讶，这支曲子是在 57年前我们略有点急忙的情况下谱出的，但是自然界却真的精确地按这支曲调起舞。而且，我吃惊地得知，实验人员和理论研究人员在测量和计算她的舞步时，其精确性竟然达到了百亿分之一。”

但是，准确性并不是数学理论唯一值得称道的，它还有另外一项令人啧啧称奇的特性，那就是它那神奇的预测能力。这里我只举两个简单的例子，但是却足以证明数学理论的预测功能。一个来自19世纪，另一个则比较近，发生在20世纪。前者预测了一种当时人们还无法观察到的自然现象，而后者则预测了一种全新的基本粒子的存在。

詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（他系统地阐述了经典电磁学理论）在1864年提出了一种观点，预测了变化的电场或磁场会产生传导波。这种类型的波（与电磁波，如无线电波，非常类似）直到19世纪80年代才被德国物理学家海因里希·赫兹（Heinrich Hertz，1857—1894）在实验中第一次观察到。

在20世纪60年代晚期，物理学家史蒂文·温伯格、谢尔登·格拉肖（Sheldon Glashow）和艾伯德斯·萨拉姆（Abdus Salam）共同努力发展了一种新理论^［253］，该理论把电磁力与弱核力统一在了一起。今天，这一理论通常被称为弱电理论（electroweak theory），它预测了三种基本粒子的存在（分别叫做W⁺、W⁻和Z波色子），这三种粒子在过去从来没有人观察到过。直到 1983年，它们才在由物理学家卡洛斯·鲁比亚（Carlos Rubbia）和西蒙·范·德·米尔（Siman Van der Meer）所领导的电子加速器实验（这个实验就是让一个亚原子粒子与另外一个亚原子以很高的能量相撞击）中被准确无疑地探测到。

物理学家尤金·维格纳，曾创造了“数学无理由的有效性”这句话，他曾提议把所有出乎人们意料之外的数学理论称为“认识论的经验法则”（认识论是研究知识起源和局限的学科）。他坚持认为，如果这种“法则”不正确的话，科学家们将会缺乏动力和到达成功彼岸的信心，而这绝对是科学家在探索自然规律所不可或缺的。然而，维格纳并没有为他所提出的认识论的经验法则提供任何解释，而是把它当做一件“绝妙的天赐礼物”，对于这件“礼物”我们都应当怀有深深的感恩之心，虽然直到今天仍不能说清楚它的起源。事实上，在维格纳看来，这件“礼物”就是“数学那无理由的有效性”这一问题的核心本质。

到现在为止，我们已经收集了足够多的线索，让我们回答本书一开始就提出的两个问题：为什么数学在解释我们周围的世界时如此有效（我相信这种有效性给每位读者都会留下深刻的印象）并且硕果累累，甚至还能孕育新的知识？数学究竟是被发现的，还是被发明的？