维格纳的难题

“数学是被发明的还是被发现的？”这其实是一个错误的问题，因为这个问题本身暗示了答案必须是非此即彼的，并且两种可能的答案是相互排斥的。我认为数学有一部分是被发明的，而有一部分是被发现的。通常的情况是，人类发明了数学概念，之后则是发现了这些概念之间的联系。一些以经验观察为基础的发现促成了概念的形成，但是概念本身则毫无疑问刺激了更多定理被发现。我还注意到一些数学哲学家，例如美国数学家希拉里·普特内姆^［279］（Hilary Putnam），采用了一种现实主义的中间立场，他们信奉数学发现的客观性（也就是说，命题要么正确要么错误，并且使命题正确或错误的原因是人类以外的因素），而不去评判发现，这有点像柏拉图学派。这些观点和见解能解释维格纳提出的“无理由的有效性”？

让我们先来简要回顾一下同时代的思想家们的主要观点，其中可能提供了问题的答案^［280］。诺贝尔奖获得者物理学家大卫·格瑞斯（David Gross）曾经说^［281］：

有一种观点认为——以我个人的经验来看，在那些非常富有想象力的数学家看来并不是不同寻常的——数学家们所认可的数学结构并不是人类大脑的创造，相反，它们是一种当然，就好像物理学家描述所谓的真实世界时创造的种种结构一样实际存在。也就是说，数学家不是在发明一门全新的数学，他们是在发现它们。如果事实的确如此，那么也许我们正在努力探索的神秘世界（数学那无理由的有效性）将会变得不那么神秘了。如果数学就是关于结构的，关于自然界真实的一部分，正如理论物理的概念一样真实，那么数学在分析现实世界时成为一件有效的工具就一点也不值得惊讶了。

换句话说，格瑞斯在这里信赖的是“数学如同一种发现”这种观点的改版，这种看法介于柏拉图提出的“数学形式的世界”与“宇宙就是数学”这两种观点之间，但相对而言，更接近于柏拉图主义者的观点。不过，正如我们已经看到的，“数学如同一种发现”这种提法很难得到哲学上的支持。而且，柏拉图主义并不能真正解释我们在第 8章中讨论过的数学那不可思议的精确性。这也是格瑞斯所承认的^［282］。

麦克·阿蒂亚爵士是这样认为的（他对于数学本质的解释中，绝大部分观点是我所赞同的）^［282］：

如果在进化背景中看待人类大脑的话，那么数学在物理学中取得不可思议的成功至少有一部分是说得通的。大脑进化的目的就是为了更好地理解和对待物理世界，为此发展出了一门语言，也就是数学，来满足这一需要，这并不让人感到惊奇。

这一推理过程与认知科学家提出的观点不谋而合。不过阿蒂亚也承认，这并不能指引人们理解问题中最复杂和困难的那一部分：数学为什么能解释物理世界的种种神秘现象，特别是这种解释完全把我所谓的数学有效性中“主动”的一面（数学概念和理论在被提出之后很久才找到了其应用领域）抛至脑后了。阿蒂亚说：“无神论者能提醒我们，生存的艰辛仅仅需要我们处理人类能力所及的物理现象就足够了，而数学理论却似乎能成功解决从原子到银河之广袤领域内的所有事物。”对此他只是提出：“也许答案在于数学那天然存在的抽象层次中，这种抽象可以让我们比较容易地解释各种问题。”

美国数学家及计算机专家理查德·汉明（Richard Hamming，1915—1998）针对维格纳的问题在1980年发起了一场更加宽泛而有趣的讨论^［283］。首先，在数学的本质这一问题上，他总结道：“数学是由人类创造的，因此人类可以轻易地不断修改完善。”接着，他对数学无理由的有效性提出了4种可能的解释：（1）选择效应，（2）数学工具的进化，（3）有限的数学解释能力，（4）人类自身的进化。

回想一下，选择效应是由使用的仪器或收集数据的方式而造成的实验结果的扭曲。例如，在对某种减肥计划效果进行的测试中，研究者不接受中途退出计划的人，而这会让测试结果产生较大误差，因为中途退出的人极有可能就是该计划根本不起作用的人。换句话说，汉明认为，至少在某些情况下，“最初的现象是源自于我们所使用的数学工具，而不是来自于真实的世界……我们看到的很多事物是来自我们戴的眼镜。”汉明举了一个例子，从三维空间的一个点发出的任何对称的力都应当遵循平方反比定律，因此适用牛顿的引力定律是很自然的。汉明选择效应的观点是可以接受的，但是还是不能解释数学中某些定律那异乎寻常的精确性。

汉明提供的第二条可能答案，取决于人类为符合特定环境而对数学作出的选择和改进。换句话说，汉明提出我们正在见证数学思想的“进化和自然选择”，也就是人类发明了大量的数学概念，只有那些符合特定环境的概念才会被选中。多年来，我一直相信这是一个完美的解答。诺贝尔奖获得者物理学家史蒂文·温伯格在他的著作《终极理论的梦想》（Dreams of a Final Theory）中也表达了类似的观点^［284］。这真的是维格纳难题的答案吗？毫无疑问，这种选择和进化的确是事实。在仔细筛选多种多样的数学形式和工具后，科学家们保留了那些有效的部分，并且不断地更新和改进，以使它们更好地适应现实需求。但是，即使我们接受了这种思想，数学定理为什么能从根本上解释宇宙呢？

汉明提出的第三个观点是，我们印象中的数学有效性也许是一种错觉，因为我们周围的世界，有相当一部分是数学无法真正解释的。在支持这种观点的人中，我注意到数学家盖尔芳德（Israil Moseevich Gelfand）曾经说过：“在物理学中有一件事是比数学无理由的有效性更加无理由的，这就是生物学中无理由的无效性。”^［285］我并不认为这能在本质上解决维格纳的疑问。这并不像《银河系漫游指南》（The Hitchhiker’s Guide to the Galaxy）中提到的那样，我们不能说生命、宇宙以及所有事物的答案都是42。尽管如此，数学的确能够阐明并解释非常多的现象，并且能用数学解释和理解的范围还在不断扩展。

汉明的第四条解释与阿蒂亚爵士的一个观点十分接近，那就是：“达尔文进化论自然是适者生存，而这些适者心里对现实的模型一定是最佳的，这里所谓的‘最佳’指的是最适宜生存和繁衍的形式。”

苹果公司 Macintosh项目的启动者、计算机科学家杰夫·瑞斯金（Jef Raskin，1943—2005）^［286］，也赞同类似的观点，但他更强调逻辑的作用。瑞斯金总结道：

人类逻辑是物理世界强加给我们的，并且因此而与物理世界保持一致。数学源自于逻辑。这就是数学与物理世界一致的原因，这没有什么神秘的。即使这样，我们也不应失去对自然事物的好奇和怀疑，哪怕是在我们可以更好地理解这些事物之后也应如此。

不过，实际上虽然汉明给出了论证，他本人对此仍然不是十分确信，他指出：

如果你认为科学已经有 4 000年历史了，通常这意味着最多经历了 200代人。考虑一下，寻找进化结果时，在我们的选择中只有小概率的变异体，因此，对我来说，这种进化只能解释很小一部分的数学“无理由的有效性”。

瑞斯金则认为：“数学的根基在我们的祖先存在之前就已经存在了，经历了数百万代了。”然而，我必须承认我并不认为这种观点特别可信。即使逻辑的确深深根植于我们祖先的大脑中，也很难看到它可以引领我们得到亚原子世界中的抽象数学理论，例如那精确得不可思议的量子力学。

值得注意的是，汉明在他的文章结尾处承认：“我所给出的所有解释并不充分，不足以解释我试图解答的问题。”（也就是指数学无理由的有效性）。

因此，我们是否应当承认，数学那无理由的有效性仍然像我们刚开始讨论时的那样保持着神秘，并自此结束本书呢？

在最终放弃之前，让我们通过科学方法，来仔细分析一下维格纳谜题的实质吧。科学家首先是利用一系列实验和观察来认识事实的，这些事实最初被用来创建现象的某种定性模型（例如地球吸引苹果，亚原子微粒的磁撞击能产生其他微粒，宇宙在膨胀，等等）。此时，科学的许多分支还都保持着非数学的形态，即使是新兴理论也是如此。这类具有深远影响的说明性定理中最典型的例子就是达尔文进化论。尽管自然选择并不是基于任何数学形式体系提出的，这一理论在区分物种起源时取得的成功还是让人叹服的。另一方面，在基础物理学中，第二步则通常是从数学角度来构建理论体系，量子定律（例如万有引力、量子电动力学、弦论等理论）就是如此。最后，研究人员利用这些数学模型预测新的现象、新的微粒，甚至是过去从来没有进行过的试验或观察的结果。而令维格纳和爱因斯坦感到迷惑的正是在后两个步骤中数学取得的令人难以置信的成功。究竟是什么原因使得物理学家一次又一次地发现，数学这个工具不仅能解释已经存在的试验结果和观测结论，而且还能产生完全崭新的认识和猜想？

在这里，我用数学家鲁本·赫什的例子来回答这个问题。赫什^［287］提出在数学（以及在理论物理学）领域分析类似的问题时，应当仔细检查那些最简单的情况。举个十分浅显的例子，当你往一个不透明的瓶子里放鹅卵石时，假设第一次你往瓶子里放了 4块白色的鹅卵石，之后你又放了 7块黑色的鹅卵石。在这个过程中，人类通过自己发明的抽象概念——自然数，理解了不同颜色的鹅卵石代表的含义。也就是说，白色鹅卵石的数量可以与数字4联系在一起（或者是IIII，或者是IV，或者是当时使用的任意符号），同样的道理，黑色鹅卵石的数量与数字7联系在了一起。通过这种类型的实验方法，人类还发现了其他已发明的概念（例如算术的加法）代表了当时的某种合计的实际行为。也就是说，由符号4＋7表示的抽象过程，其结果能清楚地预测瓶子中鹅卵石的数量，所有这些意味着什么？它意味着人类发展出了一种非同一般的数学工具，通过这种工具，人类可以可靠地预测这种类型的任何实验结果。但是这种工具并不总是有效，例如，它对水滴的计算就无能为力。如果你往瓶子里滴4滴水，之后再滴7滴水，很明显，此时瓶子中的水并不是11滴。为了解决类似这样的问题，诸如涉及液体或气体的实验，人类不得不又发明出一种完全不同的概念体系（例如重量），并且还意识到他们不得不为每滴水或者是一定容积的气体称重。

到目前为止，我们得到的经验十分清楚。数学工具并不是可随意挑选的，而是根据当时的实验或观察需要来确定的。因此至少在这个非常简单的例子中，它们的有效性得到了保证。人类不必在事先猜测哪种是正确的数学工具，自然界为他们奢侈地提供了反复试验的机会，以最终决定哪种工具是有效的。面对种种纷繁复杂的应用环境，人类通常会有多种选择。有时在面临特定问题时，我们也许找不到合适的数学形式体系（工具）来解决，此时，数学家们就不得不发明出一种全新的数学工具，例如，牛顿为了研究万有引力发明了微积分，现代数学家探索弦论时发明了各种拓扑/几何思想。还有一种情况是，数学形式体系的确已经存在了，但人类在经历了很长时间之后才发现它可以用来解决特定的问题，例如爱因斯坦利用黎曼几何研究相对论，分子物理学家使用群论研究微粒结构。问题的核心是，由于强烈的好奇心、固执的坚守、创造性的想象力，以及勇敢的决断力，人类已经能够找到合适的数学形式体系，并利用它们为数量庞大的物理现象建模。

对于数学的有效性中的“主动”一面，一个至关重要的典型特征是其本质上的永久正确性。欧几里得几何尽管是在公元前 300年发展起来的，但它在今天仍然正确。今天我们已经知道，欧几里得几何学中的公理并非是必然发生的，而且，与其说它们代表了空间的绝对真理，还不如说它们表示了特定的、人类意识到的宇宙真相，以及与此相关的人类发明的形式体系。尽管如此，一旦我们更好地理解了其应用范围，欧几里得几何中的所有定律都可以说是正确的。换句话说，一个数学分支成为了另外一个更广泛、更综合的数学分支的一部分。例如，欧几里得几何仅仅只是几何学众多形式中的一种，但是每一个分支都始终正确。正是数学的这种无限的生命力，让数学家们在任何时候，都能从大量成熟的数学形式体系中寻找出满足需要的数学工具。

瓶中的鹅卵石这个非常简单的例子还不能完全解决维格纳难题中的两个基础性要素。首先，这里有一个问题：为什么在某些情况下，我们从理论中得出的精确性要比最先植入到这个理论里的精确性高。在鹅卵石的实验中，“预测的”结果（另外一定数目的鹅卵石的总量）并不比能得出“理论”公式（算术加法）的试验更加精确。还有一种情况，例如，牛顿的引力定律远比推动这一理论发展的实验观察结果更加精确。这究竟是为什么呢？如果你再回顾一下牛顿理论的形成历史，你就会对此有更深入的理解了。

托勒密（公元 2世纪的希腊天文学家、地理学家、数学家，地心说的创立者）几何模型（即地心说）在近15个世纪中一直占据着天文学的主导地位。尽管这一模型并未宣称具有任何普遍适用性（每颗行星的运动都是分别处理和计算的），并且也未提及运动的物理原因（例如力、加速度等），然而，考虑到当时的技术发展水平，人们认同这一模型是合乎情理的。尼古拉斯·哥白尼（1473—1543）在1543年发表了他的日心说，在他之后，由伽利略进一步发展了这一学说，让其更为可信。伽利略还为建立运动法则奠定了坚实的基础。不过，第一位从现象观察中推演出了行星运动的数学规律（虽然仅仅只是现象学的）的却是开普勒。开普勒在研究中使用了大量的天文观测数据，这些数据实际上是天文学家第谷·布拉赫在长年观测火星运动轨道时记录的内容^［288］。开普勒把那些数百页的计算称为“我和火星之间的斗争”。事实上，开普勒的研究成果除了有两个地方与事实略有出入之外，他所得出的行星运动的圆形轨道符合所有的观测结论。开普勒本人对他的研究也十分满意，在后来，他还描述了他在研究这一问题时的思维过程：“如果我相信了我们能忽略那8分钟的误差（此处指弦度，大约是满月直径的四分之一），我可能早就据此修订了我的假说理论。现在由于不允许忽视这种误差，仅仅只是这8分钟就足以指明天文学中翻天覆地的革新。”这种严谨的工作作风产生了巨大的影响。开普勒推断行星的运动轨道并不是一个圆，而是椭圆，并且他还系统地定量分析了其余两条适用于所有行星运动的定律。当这些定律与牛顿的运动定律联系起来以后，它们共同形成了牛顿万有引力的基础。不过，让我们回过头来看一看笛卡儿提出的涡旋理论，这一理论认为作环形运动的粒子形成的涡旋带动行星围绕太阳运动。在牛顿证明这一理论有矛盾之前，实际上它也并未得到广泛认可，因为笛卡儿从来没有为他的涡旋理论发展出一套系统的、能用数学公式表达的完整分析。

从这段简洁的历史描述中我们学到了什么呢？毫无疑问，牛顿的万有引力定律是一件伟大的杰作，但是这一天才的理论并不是凭空产生的。关于这一理论的一些基础性研究，事实上在牛顿之前，已经有一些科学家们为它们付出了艰辛的努力，并且还取得了一定成果。正如我在第 4章中提到的，当时的一些科学家（当然他们在数学上的造诣没有牛顿那么深厚），诸如建筑学家克里斯多弗·瑞恩、罗伯特·虎克，他们都各自独立提出了引力与距离成平方反比的关系。然而牛顿的伟大之处在于他以他独一无二的天才能力将所有这些提法和理论放在一起进行思考，以一种统一的形式形成了一套完整的理论体系，更重要的是，他为自己所提出的理论给出了数学证明。为什么这种数学形式体系会如此精确？一部分原因在于它解决了这一课题的基础性问题——两个引力体之间的力及其运动的结果。他没涉及任何其他的复杂因素。针对这一问题，并且仅仅只是针对这一问题，牛顿给出了一个完整的解决方案。从此之后，基础理论的准确性从未改变，不过其适用范围却在不断调整。由于太阳系不是只由两个天体构成，当其他行星的引力作用效应也考虑在内时（仍然是根据平方反比定律），行星的运动轨道将不再只是一个简单的椭圆。例如，人类已经发现地球的运动轨道在宇宙空间中就有微弱的改变，我们称这种运动为旋进（precession），它非常类似于地轴顶端的旋转。实际上，现代天文学研究表明，行星的运行轨道与拉普拉斯的期望正好相反，甚至最终可以看做是无序的^［289］。当然，牛顿的基础理论后来被纳入了爱因斯坦的广义相对论，这一理论也是经历了一系列失败之后才形成的。因此理论的精确度无法事先预测，布丁的味道只有在品尝后才能知道，只能经过不断地调整和补充之后才能得到理想的精确的结果。只有很少的理论只经历了一步就达到了令人难以置信的精确度，那简直就是奇迹。

很明显，在这一切背后有一种至关重要的事实使得基础规律的研究是值得去做的。这一事实就是，自然界是被普遍法则所支配的，而不是狭隘的次要法则，这对我们人类太仁慈了。在地球上、在银河系边缘，甚至在距离地球 100亿光年以外的星系上，氢原子的运动方式都是完全相同的，无论在任何时间，从任何角度观察。数学家和物理学家发明了一种数学术语来说明这种属性，即对称（symmetries），它反映了结论与观测的位置、角度和时间无关。如果不是对称的话，是不可能理解自然规律的，因为试验不可能在空间中的任何一点进行重复（假设生命在宇宙中的每个地方都会出现）。隐藏在数学理论背后的另外一项关于宇宙的特征是位置（locality），它反映了我们构建“特宽银幕电影”的能力（类似于拼七巧板），源自对基本粒子间最基础的交互的描述。

现在我们来看维格纳难题的最后一条：究竟是什么原因从根本上保证了数学理论能够持久存在？换句话说，为什么有广义相对论？是否不存在数学的引力理论？

答案事实上比你想象的要简单^［290］。其实没有什么能保证！有许多现象是不可能作出精确预测的，哪怕只是大体上精确。例如，各种混沌的动态系统中，仅仅只是初始条件的微小变化，都可能会导致产生完全不同的最终结果。从股票市场价格的起伏、落基山脉上空的气候变化、小球在轮盘赌转轮间的反弹、香烟烟圈在空气中的飘曳，还有行星在太阳系中的轨道运动，这些现象都不可能精确预测。这并不是说数学家没有发展出精微的形式体系来处理这些问题的重要方面，但是，确定的预测理论的确不存在。其实我们创造的整个概率论和统计学处理的就是那些当前没有精确的理论作为指导的领域内的问题。科学家提出了一种计算的复杂性的概念，用来描述人类运用实用运算法则解决问题的局限，而哥德尔的不完全性定理也同样表明了数学本身的局限性。也就是说，数学在某些学科中特别有价值，尤其是在一些基础性学科领域内更是如此。但是，必须看到，数学也不是万能的，它不是从所有方面都能描述清楚我们周围的宇宙。从某种程度上讲，科学家们是在选择那些可以从数学上进行抽象和处理的问题进行深入研究。

那么，到目前为止，我们是不是已经完全解释清楚了数学那种神秘的无理由的有效性呢？可以肯定地说，我已经竭尽全力、尽我所能了，不过我对于效果如何仍然感觉忐忑不安，说句老实话，我完全不能确信每个人都能被我在本书中所表达的观点说服。不过在这里我觉得可以引用罗素在《哲学的问题》（The Problems of Philosophy）中的一段话^［291］来表达我此时的心情：

因此，如果要总结哲学价值的话，可以说，哲学是用来研究的，而不是用以寻找它所提问题的确切答案，因为没有一种确定的答案可以能被当做亘古不变的真理，相反，哲学本身就是寻找问题。正是这些问题拓展了我们对可能性这种概念的了解，丰富了我们的智慧想象，并且使我们对于事物的理解不那么固执已见。更重要的是，通过哲学思考，可以认识到宇宙的伟大之处，同时人类的思维也变得伟大，并且有能力与宇宙统一为一体。