不为人知的无穷大额外维度

从另一个维度，怀着偷窥的意图，让我们再做弯曲时间的游戏。

瓦妮莎（Vanessa）《洛基恐怖秀》（The Rocky Horror Picture Show）

重返膜城

阿西娜惊醒过来，她那重复出现的梦境再次把她带进兔子洞。但这次，她请求兔子直接把她送回弯曲的五维世界。

阿西娜重返膜城（或者说，她认为是这样），肥猫很快出现，她急切地求助于他，期望能得到他的梦幻蛋糕，再到弱力膜上进行一次愉快的旅行。可肥猫告诉她，在这一宇宙里，没有弱力膜这样一个地方，这令她感到无比失望。[81]

阿西娜不相信肥猫的话，她认为在远处肯定有另一个膜。她自恃很了解在弯曲几何里远处的膜上引力较弱，因此自作聪明地想，或许它该叫作“微弱膜”吧。她问肥猫她是否可以去那里。

但她再一次失望了。肥猫告诉她：“没有这么一个地方，你就在膜上，再没有别的膜了。”“越来越奇怪了。”阿西娜想，显然这和以前不是同一个地方了，因为这里只有一个膜。但阿西娜不想这么快就放弃。“我可不可以自己去看看，是否还有别的膜？”她请求道，用上了自己最甜美的声音。

肥猫警告她不要这么做，他说：“在膜上的四维引力可并不保证在体里也是同样的四维引力，有一次，我几乎把小命丢在那里，差点就回不来了。”

虽然阿西娜是一个好奇心很强的女孩，有过多次历险，可她还是听从了肥猫的劝告，将它牢记于心。但她常常想，他是什么意思呢？在膜之外，究竟有些什么？她怎么才能知道呢？

弯曲时空有着非凡的属性，我们在第20章已探讨了一些，包括质量、大小及引力强度是怎样依赖于位置的。在本章中，我将给大家展示弯曲时空一个更为非同寻常的特征：即便世界实际是五维的，它也可以表现得只有四维。在进一步仔细研究了弯曲的时空几何之后，我和拉曼惊讶地发现：一个额外维度即使可以无穷大，也仍可以不被我们发现。

本章中我们将探讨的时空几何与第20章中描述的几乎完全一样，只不过正如故事里讲的那样，这一几何有个明显的特征：它只有一个膜。但这是一个异常重要的特点：因为没有另一个膜作边界，这就意味着第五维度是无限延伸的（见图22-1）。

这是一处明显的差别。自1919年西奥多·卡鲁扎提出空间的额外维度后，近100年以来，物理学家相信额外维度是可以接受的，但它们的大小一定是有限的，它们要么卷曲，要么被限制于两膜之间。无限大的额外维度很容易就被排除了，因为如果引力在这样的维度上无限远地扩散，在所有的距离尺度，甚至我们熟悉的尺度，它看上去都会是错的。人们猜想无限大的第五维度会破坏我们周围所有事物的稳定性，包括由牛顿定律束缚在一起的太阳系。

图22-1　只有一个膜的无限弯曲时空。在五维宇宙里，只有一个四维膜，标准模型就居住在这个唯一的膜上。

本章将解释为什么这一推理并不总是成立的。1999年，我和拉曼发现了一个全新的理由来解释额外维度是怎样隐藏的：时空可以极度弯曲，使得引力场高度集中于靠近膜的一个小区域内——因为非常集中，以致一个无限维度的无限延伸也无关紧要。引力并没有迷失在额外维度里，而是聚集于靠近膜的一个微小区域内。

在这一图景里，传递引力的粒子——引力子，就被限制于膜的附近，那就是阿西娜故事里的膜，我称之为引力膜。阿西娜的梦将她带入了这个弯曲的五维空间，其中引力膜彻底改变了时空的性质，从而使时空显得只有四维，虽然它实际上有五维。值得注意的是，一个卷曲的额外维度可以无限延伸，却仍能不被发现，而其他三个无限延伸的平坦维度展示了我们这个世界的物理现实。

改变时空的引力膜

可能你还记得，在第一次讲到膜时，我讲明了不愿意探索遥远的地域与真的被拘禁的区别——真的拘禁是明确禁止你离开被禁锢之地到别的地方旅行。尽管你可能从未去过格陵兰岛，但没有任何法律禁止你到那儿去，只不过我们要去一些地方很麻烦。即使没人禁止我们去这些地方，即使这些地方并不比我们曾去过的其他地方更遥远，但我们仍可能永远也不会去。

再假设一个人的腿受了伤，从理论上讲，只要他想出门，他随时都可以出去，既没有锁也没有栅栏会把他困在家里，可更多的时候，我们还是会看到他待在家里。

同样的道理，局域的引力子可以不受限制地到达无穷大第五维度的任何地方，可它仍高度集中在膜的周围，很少出现在远处。根据广义相对论，所有事物——包括引力子，都服从引力。引力子丝毫没有被削弱，可它的行为像是受膜的引力吸引，因此总是在膜的附近。因为引力子很少活动到一个有限的区域，所以额外维度可以是无限的，而又不会产生任何危险的效应将理论排除在外。

在我和拉曼的研究中，我们关注的是只有一个额外空间维度的五维时空，因此我们可以集中研究我们即将讨论的局域化机制，它使引力集中在五维时空的一个小区域内。我将假定，如果宇宙有10个或更多维度，那么局域化和卷曲的某种组合隐藏了其余的维度。那些额外的隐藏维度不会对我将描述的局域化现象产生影响，因此我将忽略它们，而只集中关注对我们的讨论至关重要的5个维度。

在我们的模型里，只有一个膜静止于第五时空维度的一端。它和我在第20章里描述的那两个膜一样，具有反射作用——撞到膜上的东西都会被弹回。因此，任何东西撞到膜上都不会丢失能量。我们现在讨论的模型只包含这一个膜，我们假设标准模型粒子就被限制在这个膜上。注意这一模型与上一章讨论的模型的差别：在上一章的模型里，标准模型粒子是在弱力膜上，而在这里，弱力膜不复存在。标准模型粒子的位置对于时空几何来说无关紧要，但对于粒子物理学来说，它却具有重要意义。

虽然在本章中我们感兴趣的是只有一个膜的理论，但我和拉曼得到的可能存在无限的第五维度的线索，却是两膜弯曲几何的奇特特征。起初我们假设第二个膜有两个作用：一是束缚标准模型粒子；二是让第五维度有一定限度。与平坦额外维度一样，有限的第五维度保证了引力在足够大的距离上会表现为四维时空的样子。

但是，一个奇怪的事实却让我们想到，第二个膜的后一个作用实际上转移了我们的注意力，要模拟四维宇宙的引力，第二个膜不是必需的。

四维引力子的相互作用与第五维度的大小实际上没有任何关系。计算显示，第二个膜无论是在原位置也好，或者离引力膜两倍甚至是10倍距离也好，引力的强度是不变的。事实上，即使我们的模型把第二个膜推至无穷远——也就是说，干脆让它消失，四维引力也将维持不变。如果第二个膜和一个有限的维度是重现四维引力所必需的，那这将根本不可能发生。

这是我们的第一个线索，我们需要第二个膜的直觉是基于平坦维度的，对于弯曲时空未必正确。在一个平坦额外维度，第二个膜对于四维引力是必须存在的。由第20章里洒水装置的比方我们就可以看清这点，一个平坦额外维度对应的是水沿着一个长长的直管均匀地洒向各处（见图20-4），[82]水管越长，浇到每个花园的水就越少。把这一推理引申出去，假设一个水管无限长，我们会看到，水量被分散得更为稀疏，实际上，在一个面积有限的花园里，根本没有浇到水。同样地，如果引力沿着一个无限延长的不变的维度发散，在这一额外维度上，它将被无限减弱到零。若要引力有四维表现，一个无限额外维度的几何必须要有超越这幅简单的直觉图像的微妙特征。事实上，弯曲时空就给出了这一必要的附加成分。

我们再回到洒水装置的比方上，来看它是怎样运作的，并以此找到上述论点的漏洞。假设你的水管无限长，而你却并非均等地把水浇到所有花园，相反，你可以控制水的分配，保证自己的花园得到充足的水量。要做到这样，你可以把一半的水浇进自己的地里，而剩下的另一半水量分给其他花园，这样，虽然离得较远的花园受到了不公平待遇，但你的花园总能保证得到需求的水量。无论水管延伸到多长，将水洒向无限远的地方，你的花园总能得到一半的水量。有了这种不公平分配，你就能得到你所需要的水量，而水管是无限延伸的，你并不知道它的长度。

同样地，在我们的弯曲几何里，尽管第五维度是无限的，但引力子的概率函数在靠近引力膜的地方总是很大。与上一章里一样，引力子的概率函数在这个膜上达到了高峰（见图22-2），并随着远离引力膜进入第五维度的距离指数式地下降。然而，在这一理论里，引力子的概率函数会无限地延伸下去，但这对靠近膜处引力子概率函数的值不会有任何影响。

像这种陡降的概率函数告诉我们，在远离引力膜的地方找到引力子的可能性是极小的，以至于我们可以忽略第五维度的遥远区域。尽管从理论上讲，引力子可以出现在第五维度的任何地方，但指数级陡降使得引力子概率函数高度集中于引力膜附近，这一情形几乎就像（却又不完全是）有第二个膜把引力子局限在一个有限的区域里。

图22-2　引力子在只有一个膜的无限弯曲时空里的概率函数。

在引力膜的附近发现引力子的概率很高，与此对应的是引力场在那里高度集中。我们可以用池塘边密集的贪嘴野鸭来比喻这一情形：通常野鸭并不会均匀地散布于整个池塘里，而常常是聚集在边上，因为那里有爱鸟人投放的面包屑（见图22-3）。因此，对野鸭的分布来说，池塘大小实际上根本无所谓。同样地，在弯曲时空里，引力把引力子吸引在引力膜周围，因此，第五维度的长度实际上也是无关紧要的。

通过想象在引力膜上一个物体周围的引力场，你也能明白为什么第五维度对引力不会产生很大影响。我们已看到，在平坦维度空间里，由一个物体发出的引力场会向所有方向发散。而如果额外维度有限，引力场线先是向所有方向延伸，然后会有一些到达边界，产生弯曲。出于这一原因，如果离一个物体的距离超过了额外维度大小，引力场线就会只沿着低维世界的三个无限维度发散。

图22-3　聚集在池塘边的野鸭。如果野鸭都集中在岸边，你只要数一数周围的野鸭几乎就等于把所有的野鸭都数全了。

而在弯曲图景里，引力场线不会在所有方向上均等分布，只有在膜上，它们才向所有方向均等延伸。在垂直于膜的方向上，它们几乎没有延伸（见图22-4）。因为引力场线主要沿膜散播，引力场看起来就几乎与一个四维物体发出的场是一样的，它在第五维度的发散非常小（不会比普朗克级长度10-33厘米大很多），我们甚至可以将它忽略。尽管第五维度是无限的，但它对局限在膜上的物体的引力场无关紧要。

图22-4　弯曲图景里引力场线的分布。在弯曲图景里，引力场线在膜上向所有方向均等发散，但离开膜的引力场线会弯向膜的方向。这样，它们基本上与膜平行，就好像第五维度是有限的。即便是维度无限，引力场也只是集中于膜的附近，而引力场线的分布就好像只有4个（时空）维度。

你还可以看到拉曼和我是如何解开这个谜题的：为什么第五维度的大小对引力强度无关紧要？回到上面洒水装置的例子，假设我们使水在整个洒水装置里的分配与陡降的引力子概率函数所产生的引力分布类似：在为你的花园浇了一半的水之后，剩下的水再分一半送到邻近的花园，再把剩下的水分一半给下一个花园，依此类推。这样，每个花园得到的都是上一个邻近花园得到的水量的一半。为了模拟第五维度上的另一个膜，我们假设到达某个地点后就停止供水，就如第2个膜会在第五维度的某个点上截断引力子概率函数；而为了模拟无限的第五维度，我们则假设水会无限远地沿着水管的长度继续浇下去。

为了证明在膜附近引力强度与第五维度大小无关，我们就要证明：不管我们在第5个或第10个花园开始停止供水，抑或我们根本不停止供水，那么最近几个花园得到的水量几乎不会因供水的距离受到影响。因此我们设想，如果供水装置在浇完最近的5个花园后停止供水会是什么情形。因为第6个花园之外得到的水量原本就已非常少，所以浇到最近几个花园的总水量与水管无限延伸浇在这几个花园里的水量只有小量的差别；而如果你在第7个花园之后停止供水，则更是相差无几。用我们这种方式分配水量，几乎所有的水都被浇在了最近的几个花园里，远处的花园，只得到极小比例的水量，这对于近处几个花园得到的水量是无关紧要的。[83]

在下一章，我将再次用到野鸭的比方，因此，我将以数鸭子的方式来解释同一件事情。有人在池塘边投食面包屑，野鸭会被吸引到岸边，如果你先数周围的鸭子，然后再数稍远一点的，很快，你再继续数几乎就没什么意义了。等到你数离岸边稍远一点的鸭子时，已没几只让你来数了。你根本不需要远离岸边继续数下去，因为只集中数岸边的这些鸭子，根本不用你再费劲了（见图22-3）。

引力子的概率函数在第二个膜之外非常小，以至于第二个膜的位置对四维引力子相互作用强度造成的差异几乎是可以忽略的。换句话说，在这一理论里，由于引力场只集中于引力膜附近，即便没有第二个膜，第五维度的长度对四维引力的强度根本没有影响。而第五维度是无限的，引力看起来仍是四维的。

我和拉曼称我们的图景为局域化引力，这是因为引力子的概率函数只集中在膜的附近。尽管严格来说，因为第五维度是无限的，引力可能泄漏进入第五维度，但由于在远处发现引力子的概率非常低，实际上它并没有这样。空间并未被截断，但所有东西仍集中在膜附近的局部区域。既然引力膜上极少有东西会伸向远处，那么一个遥远的膜对引力膜上的物理过程也就不会有任何影响。引力膜及其附近产生的东西将集中在附近一个局部区域之内。

物理学家通常称这一局部引力模型为RS2，“RS”代表的是兰道尔和桑卓姆，但“2”就容易让人产生误解——它实际指的是我们有关弯曲空间的第二篇论文，而不是指有两个膜。针对等级问题的有两个膜的图景，被称作RS1（如果我们写作两篇论文的顺序颠倒过来，这名称就不会让人产生迷惑了）。尽管你也可以如第20章后半部分简要介绍的那样，引进第二个膜解决等级问题，但与RS1不同，本章的图景于等级问题未必重要。但是，无论在空间中是否存在着针对等级问题的第二个膜，局域化引力都是一种非常激进的可能，它对长期以来人们认为额外维度必须是卷曲的假设提出了反驳，这有着重要的理论含义。

引力子的卡鲁扎-克莱因粒子伙伴

在上一节，我们讨论了引力子的概率函数，它高度集中于引力膜上。我讲的粒子发挥的是四维引力子的作用，因为它几乎只沿着膜穿行，极少会泄漏进入第五维度。从引力子的角度来看，第五维度对它好像只有10-33厘米这么大（由弯曲决定的大小，而弯曲又是由空间和膜上的能量决定的），而不是无限延伸。

虽然我和拉曼对我们的发现感到非常兴奋，但是否彻底解决了问题，我们却并不十分确信。局域化的引力子是否足以产生一个四维有效理论，使引力表现得就如在四维一样？潜在的问题是，引力子的卡鲁扎-克莱因伙伴也有可能形成引力，且由此可能大大地改变引力。

这看起来很危险，通常来讲，额外维度越大，最轻KK粒子的质量越小。对一个有着无限维度的理论来讲，这意味着最轻的KK粒子可能会呈现出任意轻的质量。又因为KK粒子的质量差也会随着额外维度的增大而减小，因此在任一有限的能量上有可能生成无限多种很轻的引力子KK伙伴，所有这些KK粒子都有可能影响引力定律并使它发生改变。这个问题看起来尤其糟糕，因为即便每个KK粒子相互作用都很微弱，但如果有太多KK粒子，那么引力作用仍旧会与四维引力看起来大不相同。

最为重要的是，因为KK粒子极轻，所以它们很容易生成。对撞机运行的能量已足以生成它们。即使常见的物理过程，如化学反应，都可能产生足够的能量形成引力子的KK伙伴，如果KK粒子携带过多的能量进入五维体空间，那么这一理论将被排除。

幸运的是，所有这些担忧最终都没有成为问题。当我们计算KK粒子的概率函数时，我们发现引力子KK伙伴在引力膜上及其附近的相互作用极其微弱。尽管有大量的引力子KK伙伴，但是它们的相互作用都非常微弱，因此不会生成太多的危险，也不会在任何地方改变引力定律的形式。如果说有什么问题，那就是由于这一理论极近似地模拟了四维引力，我们还不知道怎样以实验方法将它与真正的四维世界区分开来。引力子KK伙伴对任何可见现象的影响都可以忽略不计，因此我们没有办法区分4个平坦维度与4个平坦维度再加一个弯曲的第五维度的差别。

由引力子KK伙伴概率函数的形状，你就可以看出它们之间的相互作用有多么微弱。与引力子的概率函数一样，它告诉我们在第五维度的任一位置上发现一个粒子的可能性有多大。在我们的弯曲几何里寻找每个引力子KK伙伴的质量和概率函数时，我和拉曼遵循的基本上是标准的程序，这包括要解决一个量子力学问题。

对于一个平坦的第五维度，量子力学问题（如第6章所述）就是要找到适合卷曲维度的波，使得允许的能量量子化。[84]对我们的弯曲而无限的第五维度几何而言，量子力学问题显得大不相同，因为我们需要把使时空产生弯曲的膜上和空间里的能量都计算在内。但我们能够修改通常的程序使其适合我们的结构，结果是引人入胜的。

我们发现的第一个KK粒子在第五维度中没有动量，这个粒子的概率函数高度集中在引力膜上，而离开它时则呈指数级下降。这一形状听起来似曾相识：它与我们曾探讨过的四维引力子概率函数是同样的，这个无质量的KK模式就是传达四维牛顿引力定律的四维引力子。

但是，其他KK粒子便不同了。在引力膜附近很难找到这些KK粒子，相反，我们会发现对应在零质量和普朗克级质量之间的任一值，都存在着具备这一特定质量的KK粒子，其中每个粒子的概率函数都会在第五维度的不同地方达到高峰。

事实上，对峰值的位置不同有一个有趣的解释。我们在第20章中看到，在弯曲时空里，为了把所有粒子都置于四维有效理论的同一地位，以使它们以同样的方式与引力相互作用，我们需要把第五维度上处于不同位置的所有距离、时间、能量和动量都按比例重新标度。当一个人远离膜旅行时，与每个点相联的都是一个呈指数级变小的能量。这就是在弱力膜上的粒子质量大约应是1 TeV的原因。阿西娜进入第五维度旅行，随着她从引力膜向弱力膜的移动，她的影子越来越大，而她越来越轻。

第五维度上的每个点都能以同样的方式关联一个特定质量，这一质量都通过那一点的重新标度与普朗克级质量相联。概率函数在某个特定点达到峰值的KK粒子，就近似具有那个重新标度的普朗克级质量。当你进入第五维度旅行时，你会陆续遇到概率函数在那里达到峰值的、依次减轻的KK粒子。

事实上，你可能会说卡鲁扎-克莱因图谱展示的是一个高度隔离的社会。重KK粒子在空间的某些区域被排除了，在那里，重新标度的能量太小，不能生成它们；而在那些包含了非常活跃的、高能量粒子的区域，轻KK粒子极少出现。依据它们的质量，KK粒子集中在离引力膜尽可能远的地方，它们的位置就像是十几岁男孩的长裤，只要裤子掉不下来，口袋越多越好。好在确定KK粒子位置的物理学定律要比当今孩子令人迷惑的时尚更容易理解。

对我们来说，轻KK粒子概率函数的最重要特征是，它们在引力膜上极其微小。这就意味着，你在膜及其附近找到轻KK粒子的可能性极小，因为轻KK粒子会尽可能地避开引力膜，因为在那里将很难生成轻粒子（除了概率函数在引力膜达到峰值的个别引力子之外）。而且，轻KK粒子并不能大大地改变引力定律，因为它们倾向于远离引力膜的地方，因此并不太与束缚在膜上的粒子发生相互作用。

把所有这些串连起来，我和拉曼确定我们发现了一个有效的理论。

集中在引力膜上的引力子导致了四维引力的表现。尽管引力子KK伙伴数量充足，但在引力膜上它们的作用非常微弱，以至于它们的效应根本不会被人注意到。尽管存在着一个无穷大的第五维度，但所有物理定律及过程，包括引力定律，看上去都与四维世界应有的现象一致。在这个高度弯曲的空间里，一个无穷大的额外维度是可能存在的。

如前所述，如果说存在什么问题，那就是从实验角度来看，这一模型让人颇受打击。虽然它看上去令人称奇，但这个五维模型对四维的模拟好得异乎寻常，以至于我们很难将它们区分开来。粒子物理学的实验者们当然将面临巨大的挑战。

然而，物理学家已开始探索能够区分两个世界的天体物理学和宇宙学特征。许多物理学家已探讨了弯曲时空的黑洞，他们仍在继续研究是否存在可以区分的特征，以利用它们来确定我们生活的宇宙究竟是哪一种类型。

迄今为止，我们知道局域化是额外维度在我们宇宙的一种新奇可能。我热切地盼望进一步的发展能够最终确定它是不是我们这个世界的真实特征。

●如果时空呈现恰当的弯曲，那么一个维度可以无限长但不被发现。

●虽然引力并没有被严格地局限在一个特定区域，但它仍会集中于局部。

●在局域化的引力理论里，无质量的KK粒子就是局域化的引力子，它集中于靠近引力膜的地方。

●所有其他的KK粒子都集中在离引力膜尽可能远的地方，它们的概率函数形状及达到峰值的位置会取决于它们的质量。