1-7 矢量的标量积
现在进一步考察矢量的性质。容易看出，在空间中走一步的长度在任何坐标系中都相同。这就是说，如果特定的一步r在某个坐标系中用x,y，z表示，而在另一个坐标系中则用x'，y'，z'表示，那么，走过的距离T=|r|在两个坐标系中肯定会相同。于是有
同样还有
因此，我们希望证明的是这两个量相等。不用为计算平方根而操心就更加方便，因此，我们来讨论距离的平方吧；这就要搞清楚下面的等式是否正确，
这个式子成立就最好不过了——如果我们将方程（1.5）代入上式，就发现结果确实是这样的。由此可见，还有另外一些类型的方程在任意两个坐标系中是正确的。
某些新的东西被卷进来了。我们可以造一个新的量，一个x,y和z的函数，称之为标量函数，这是一个没有方向，但在两个坐标系中相同的量。我们可以用一个矢量来造出一个标量。我们必须为此找到一个一般的规则。显然，对于刚才讨论的例子，所要的规则就是：把分量的平方加起来。我们现在来定义一个写成a·a的新的运算。这不是一个矢量，而是一个标量；它是一个在所有坐标系中都一样的数字，它被定义为矢量的三个分量的平方和：
你也许会问，“可是用哪个坐标系去计算呢？”它与坐标系无关，答案在每个坐标系中都一样。于是，我们有了一类新的量，通过对一个矢量进行“平方”运算造出来的新的不变量或标量。如果我们现在用任意两个矢量a和b来定义下面这个量：
就会发现，无论在带撇号的还是在不带撇号的坐标系中进行计算，这个量也都是一样的。为了证明这一点，我们要记住，a·a,b·b和c·c都有这个结论，其中c=a+b。因此，平方和
并不改变：
如果把这个方程的两边展开，就会出现方程（1.19）给出的那种交叉乘积项，以及a和b的分量的平方和。方程（1.18）那种形式的项的不变性就会使交叉乘积项（1.19）也不变。
a·b这个量叫做两个矢量a和b的标积，它具有许多有趣的和有用的性质。比如说，容易证明
还有，有一种不需要计算a和b的分量就可以计算a·b的简单的几何方法：a·b等于a的长度与b的长度的乘积再乘它们之间的夹角的余弦。为什么会这样呢？假定我们选取一个特殊的坐标系，它的x轴沿着a的方向；在这种情况下，a的仅有的分量就是ax，它自然就等于a的整个长度。这样，对于这个例子而言，方程（1.19）就简化成a·b=axbx，而这就是a的长度乘b在a方向的分量，即bcosθ：
a·b=abcosθ
因此，在上面这个特殊的坐标系中，我们已经证明了a·b等于a的长度乘b的长度再乘cosθ。可是，由于a·b与坐标系无关，因此，如果它在一个坐标系中成立，那么，在所有的坐标系中也成立；这就是我们的论证。
点乘有什么用处呢？在物理学中有哪些场合我们用得上它呢？当然有，我们随时都要用到它。比如说，在原先的《物理学讲义》的第一卷第四章中，动能被表示成mv2/2，但是，如果物体在空间中运动，速度的平方就应该是在x方向、y方向和z方向的分量的平方和，因此，根据矢量分析法，动能的公式就是：
能量并没有方向。动量就有方向了，它是一个矢量，是质量乘速度矢量。
另一个点乘的例子是，当某个物体从一个地点被推向另一个地点时力做的功。我们还没有给功下过定义，不过，它与能量发生改变和重物被提升具有同等的意义，当一个力F作用了一段距离s时：
讨论一个矢量在某个方向（比如说竖直方向，那是万有引力的方向）上的分量有时是非常方便的。为了这样做，在我们想要研究的方向上引入一个所谓的单位矢量是很有用的。单位矢量是这样一个量，它与自身点乘等于1。就把这个单位矢量写成i吧；于是i·i=1。于是，假如我们想求出某个矢量在i方向上的分量，我们看到点乘a·i等于acosθ，这就是a在i方向上的分量。这是一个求分量的极好的方法；事实上，这个方法能够使我们求出所有分量，并写出一个很有意思的公式。假定在一个给定的坐标系x,y和z中，我们引入三个矢量：一个沿x方向的单位矢量i；一个沿y方向的单位矢量j；一个沿z方向的单位矢量k。首先记住i·i=1，但是i·j等于什么呢？当两个矢量相互垂直时，它们的点乘等于0。于是
利用上面的规定，无论什么矢量都可以写成下面的形式：
利用这个方法就能够从一个矢量的分量求出这个矢量本身。
上述关于矢量的讨论并不完整。不过，与其现在设法更深入地研究这个问题，倒不如先学会把目前为止所讨论过的一些概念应用于实际领域中。然后，当我们完全掌握了这个基本内容之后，就会发现，要更深刻地理解这个问题而又不被搞得手忙脚乱就容易得多了。稍后我们就会发现，定义两个矢量的另一种乘积是有用的，这种乘积叫做矢量积，写成a×b。不过，我们将在稍后的章节中再讨论这样的问题。
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