5-5 四维矢量代数
四维矢量的表示方法不同于三维矢量的表示方法。在三维矢量的情形下，如果我们打算讨论普通的三维动量矢量，我们就会把它写成P。如果想说得更明确些，就可以说它有三个分量，它们在所讨论的坐标系下是px,py和pz，也可以简单地写成一个一般的分量形式pi，并认为i可以取x,y或者z，这就得到了三个分量；更确切地说，想象i是x,y或者z三个方向之中的任意一个方向。我们用来表示四维矢量的方法与这个情况相似：我们写下pμ表示四维矢量，而μ代表四个可能的方向i,x，y或者z。
当然，我们可以使用任何我们想用的符号；不要小看符号这个东西；把它们发明出来是非常有用的。事实上，数学在很大程度上就是发明更好的符号。四维矢量的整个观念事实上就是符号表示法的一种改进，它使变换方程能够易于记忆。于是，Aμ就是一个一般的四维矢量，而对于动量这种特殊的情形，pi就被确定为能量，px是x方向的动量，py是y方向的动量，还有，pz是z方向的动量。要对四维矢量求和，就将相应的分量加起来。
假如四维矢量之间存在一个等式，那么，这个等式对每一个分量都成立。例如，如果在粒子碰撞中三维动量矢量守恒定律成立，即，如果大量相互作用着的或者相互碰撞的粒子的动量之和保持不变，就一定意味着所有粒子的动量在x方向、y方向和z方向的分量之和必须分别保持不变。在相对论中，单独这条定律是不可能成立的，因为它并不完整；这就好像只讨论一个三维矢量的两个分量一样。说它不完整，原因就是，如果我们转动坐标系，就会把各个分量混合起来，所以，在我们的定律中必须包括所有的三个分量。因此，在相对论中，我们必须推广动量守恒定律，使它包括时间分量，以达到完整。把这个分量与另外三个分量结合起来是绝对必要的，否则就不可能有相对论不变性。能量守恒是第四个方程，它与动量守恒一起在空间和时间的几何学中构成一个正确的四维矢量关系式。因此，在四维表示法中，能量和动量守恒定律为
也可以写成稍微不同的样子
式中i=1，2，……代表参与碰撞的粒子，j=1，2，……代表由碰撞产生的粒子，μ=x,y，z或者i。有人会问，“用哪一个坐标系呢？”这没有关系。在任何坐标系中，这条定律对每一个分量都成立。
我们在矢量分析中讨论过另一个问题，即两个矢量的点乘。下面我们来考虑空时中相应的问题。我们在普通的旋转中发现，存在一个不变的量x2+y2+z2。在四维中，我们发现相应的量是i2-x2-y2-z2[（5.3）式]。我们如何写出这个公式呢？一种方法是，画出某种像Aμ－Bμ这个样子的中间有一个方点的四边形；在实际中用到的一种表示法是
∑上面的撇号表示第一项，即“时间”项是正的，而其余三项带有负号。于是，这个量在所有坐标系中都相同，我们可以把它叫做四维矢量的长度的平方。举个例子，一个单粒子的四维动量矢量的长度的平方等于什么呢？它将等于pi2-px2-py2-pz2，或者换一种形式写成E2-p2，因为我们知道，pi就是E。E2-p2等于什么呢？它必定是某个在所有坐标系中都相同的量。尤其是，在一个始终随同粒子一起运动的坐标系中，这个量必须是相同的，在这个坐标系中，该粒子静止不动。如果该粒子静止不动，那么，它就没有动量。这样一来，在那个坐标系中，粒子就只有纯粹的能量，这个能量就等于该粒子的静质量。于是，E2-p2=m02。由此可见，这个矢量，即四维动量矢量的长度的平方等于m02。
从一个矢量的平方出发，我们可以进而构造“点乘”运算，即乘积的结果是一个标量：如果aμ是一个四维矢量，而bμ是另一个四维矢量，那么，标量积就是
它在所有坐标系中都相同。
最后，我们要提一下某些静质量等于零的物体，例如一个光子。一个光子就像一个粒子，携带着能量和动量。一个光子的能量是某个常数（叫做普朗克常数）乘光子的频率：E=hv。这样一个光子还携带着动量，而一个光子（事实上也是任何别的粒子）的动量等于h被波长除：p=h/人。不过，对于一个光子而言，在频率与波长之间存在一个明确的关系：ν=c/λ（每秒传过的波的数目乘每一个波的波长就等于光在1秒内传播的距离，这个数字当然就等于c）。于是我们立刻看到，一个光子的能量必定等于它的动量乘c，或者，如果c=1，能量与动量相等。这就是说，静质量等于零。让我们再来看一看这个推理过程吧，这是一件相当奇特的事情。如果这是一个静质量等于零的普通粒子，那么，当它停下来时会出现什么事情呢？它永远不会停下来！它始终109以速度c运动。计算能量的一般公式是。那么，我们能否因为m0=0和v=1就认为能量等于0呢？我们不能认为能量等于零；尽管光子没有静质量，但是，它实际上可以（而且确实）具有能量，不过，它是通过永不停息地以光速运动来占有这份能量的！
我们还知道，任何粒子的动量都等于它的总能量乘它的运动速度：如果c=1，p=vE，或者在通常的单位制中，p=vE/c2。对于任何以光速运动的粒子而言，如果c=1就有p=E。从一个运动的坐标系中看，一个光子的能量公式当然由公式（5.12）给出，不过，动量就必须用能量乘c（或者在上述单位制下乘1）来代替。经过坐标变换之后，不同的能量意味着具有不同的频率。这叫做多普勒效应，我们可以用公式（5.12）很容易地把它推导出来，还要用到E=p和E=hv。
正如明可夫斯基所说的，“空间和时间将自然而然地退隐成为纯粹的阴影，只有它们之间的某种结合才得以幸免。”
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