将时钟放在光速飞船里

下面，我们打算利用等效原理来搞清楚在引力场中发生的一件古怪的事情。我将向大家说明在一艘火箭动力飞船中发生的一些事情，各位大概不曾预期过这些事情会在引力场中发生。设想我们把一个时钟放置在火箭动力飞船的“船头”（即放置在“前”端），并把另一个同样的时钟放置在“船尾”，如图6-16所示，我们就把这两个时钟叫做A和B吧。如果我们在飞船正在加速时比较这两个时钟，放置在船头的时钟相对于放置在船尾的时钟来说，看起来就要走得快一些。为了理解这一点，想象前面的时钟每隔1秒发射一束闪光，而你则坐在船尾对时钟B的滴答声与闪光的到达做比较。假定当时钟A发射一束闪光时，飞船在图6-17的a处，当这束闪光到达时钟B时，飞船在b处。稍后，当时钟A发射下一束闪光时，飞船将在c处，而当你看到这束闪光到达时钟B时，飞船将在d处。

第一束闪光走过一段距离L1，而第二束闪光则走过一段较短的距离L2。距离较短的原因是飞船正在加速，因而在第二束闪光发射时具有较高的速度。于是，大家就能够明白，假如这两束闪光是从时钟A处相隔1秒发射出来的，那么，它们就会以稍微小于1秒的间隔到达时钟B处，因为第二束闪光在传播途中并没有花那么长的时间。对于所有随后的闪光，也都会出现同样的情况。因此，假如你正坐在船尾，那么，你就会断定，时钟A走得比时钟B更快。假如你打算反方向做同样的事情，即让时钟B发射闪光而在时钟A处观测，那么，你将会断定B走得比A更慢。所有的事情都吻合得天衣无缝，完全没有什么不可思议的事情发生。

图6-16　一艘带着两个时钟的正在加速的火箭动力飞船

现在，我们来考虑静止在地球的引力场中的火箭动力飞船。同样的事情发生了。假如你带着一个时钟坐在地板上，并留意着另一个放置在高高的架子上的时钟，就会看到这个时钟比放置在地板上的时钟走得更快！你会说，“可这是不对的。两个时钟走过的时间应该一样。没有加速度，时钟看上去步调不一致，这没有任何理由。”不过，如果等效原理是正确的，情况就必定是这样的。爱因斯坦坚持认为这条原理本来就是正确的，并且大胆而恰如其分地干下去。他指出，放置在引力场中不同地点的时钟看起来必定走得快慢不一样。可是，如果一个时钟看起来总是与另一个时钟走得快慢不一样，那么，就第一个时钟而言，另一个时钟就会以不同的计时速率运转。

现在大家看到了吧，我们得到了与前述的热尺子时钟类似的东西，当时，我们让一只虫子呆在一块热板上。我们想象那些尺子和虫子等在各种温度下以相同的方式改变长度，这样，当它们在热板上四处活动时，根本不会知道它们的量尺在不断改变。处于引力场中的时钟具有同样的特性。我们放置在较高处的每一个时钟看起来都走得更快。心跳更快，所有的过程都进展得更快。

假如不是这样的话，我们就能够区分一个引力场与一个加速参考系之间的差别了。时间能够在各点不一样是一个非常难以理解的观念，不过，它是爱因斯坦所用过的观念，而且是正确的观念——信还是不信，悉听尊便。

利用等效原理能够搞清楚，一个时钟的快慢在引力场中如何随着高度而改变。我们只计算在一艘正在加速的火箭动力飞船中，两个时钟之间的表观差别。做这件事情最简单的方法是利用我们在第一卷第34章14有关多普勒问题中得出的结果。在那里，我们发现[参见原《物理学讲义》公式（34.14）]，假如v是发射源与接收器之间的相对速度，那么，接收频率ω通过以下公式与发射频率ω0相联系

现在，假如我们考虑图6-17中正在加速的火箭动力飞船，发射器和接收器在任意瞬间都以相等的速度运动。但是，在光信号从时钟A传播到时钟B这段时间内，飞船已经加大了速度。事实上，它已经获得了gi大小的附加速度，其中g是加速度，i是光从A传播到B这段距离H所需要的时间。这段时间非常接近H/c。因此，当信号到达B时，飞船的速度已经增加了gH/c。在信号到达接收器的一瞬间，接收器相对于发射器总是具有这个速度。因此，这个速度就是我们将要用在多普勒频移公式（6.4）中的速度。假定飞船的加速度和长度都足够小，使得这个速度比c小得多，于是就可以忽略平方项v2/c2。由此得到

图6-17　在一艘加速前进的火箭动力飞船中，放置在船头的时钟看起来比放置在船尾的时钟走得更快

这样，对于放置在飞船上的这两个时钟就得到如下关系：

接收器的速率=发射器的速率（1+gH/c2）（6.6）

其中H是发射器高出接收器的高度。

利用等效原理可以得出，在自由下落加速度等于g的引力场中，由高度H分隔开的两个时钟必定具有相同的结果。

这是一个如此重要的观念，因此，我们愿意证明它也是根据物理学的另一条定律即能量守恒定律得出的。我们知道，作用在一个物体上的万有引力正比于它的质量M，质量通过公式M=E/c2与其总内能E相联系。例如，由核反应的能量确定下来的原子核的质量，以及由原子的重量得到的质量，两者是相一致的。核反应使一个原子核蜕变成另一个原子核。

下面，考虑这样一个原子，它具有一个总能量为E0的最低的能态和一个较高的能态E1，它能够通过发光而从E1态跳到E0态。发出的光的频率ω由下式给出：

现在，假设有这样一个处于E1态的原子，它静止在地板上，我们把它从地板的位置带到高度为H的位置。为了做到这一点，我们在把质量m1=E1/c2往上提时，必须克服万有引力做一些功。所做的功的数值是

接着，让这个原子发射一个光子并跳到较低的能态E0。随后，把这个原子带回地板上。在回程中质量等于E0/c2；我们取回了以下数值的能量

这样，我们就做了等于以下数值的净功

这个原子在发射光子时要释放出能量E1-E0。现在，假设释放出的光子正好向下传播到地板处并被吸收。这个光子在那里会交出多少能量呢？初看起来大家也许会认为，它将交出正好E1-E0那么多的能量。可是，如果能量守恒的话，就不可能这样，看一看下面的讨论大家就会明白了。我们以在地板处具有能量E1开始。整个过程结束时，地板处具有的能量是原子处于其较低能态时的能量E0加上从光子中得到的能量Eph。其间我们必须提供由公式（6.10）给出的附加能量△U。如果能量是守恒的，那么，结束时地板处的能量必定大于开始时的能量，多出的能量值正好是我们所做的功。即必定有如下结果

或者

事情必定是这样的，这个光子不会带着正好等于被发射时具有的能量E1-E0到达地板处，而是带着更多一些能量。不然的话，就会有一些能量丢失了。如果将由公式（6.10）算出的△U代入公式（6.11）中，就得出光子带着以下数值的能量到达地板处

可是，一个能量等于Eph的光子的频率ω=Eph/h。用ω0表示被发射的光子的频率——根据公式（6.7），它等于（E1-E0）/h——公式（6.12）的结果再次给出光子在地板处被吸收时的频率与被发射时的频率之间的关系式（6.5）。

还可以用另一种方法得出相同的结果。一个频率为ω0的光子具有能量E0=hω0。由于能量E0具有引力质量E0/c2，因此，光子具有质量（不是静质量）hω0/c2，要被地球“吸引”。在下落距离H的过程中，它将获得附加的能量（hω/c2）gH，因此，它到达地板时具有如下的能量

然而，在下落之后它的频率是E/h，这又一次给出公式（6.5）中的结果。只有当爱因斯坦有关引力场中的时钟的预言正确无误时，有关相对论、量子物理学和能量守恒的观念才会全部吻合。在一般情况下，我们正在讨论的频率改变是非常小的。比如说，在地球表面上，20米的高度差引起的频率差异只有大约2×10-15。然而，就是这样一个改变，最近已经利用穆斯堡尔效应从实验上探测到。15爱因斯坦完全正确。