大英图书馆说明
列奥纳多·达·芬奇展现了和手稿四十中类似的对地球水循环的论证，在手稿四十中他强调了水的运动。在手稿四十七所列举的案例，开始讨论空气和水的相互作用，为其后续的理论发展做出介绍。
列奥纳多·达·芬奇返回其地球探秘的中心问题，对水到达山顶的方式做出解释。他不同意那些认为海面高于山顶的辩论：“距离火层、空气层和水层的中心越远，水的高度越高，但它们与地层间的距离并不遵循此规律，因为地层不是数字可以计算出的圈层。”
数学概念的直接引用，如刚刚描述过的地球几何学一样，有助于我们理解列奥纳多·达·芬奇在这里和辩论结束时所使用的独到阐释：“水本身不能自行流动，除非是在下降过程中。当水在水层中，水与水之间不存在高低之分，只要没有外力推动，水是无法自主流动的。上述两个证据充分证明，水滴呈球形，水本身不具备运动能力。因此，所有流动的水，其一端必定要比另一端低，即水面存在相对落差；哪儿缺少支撑，水便向哪儿流动。”
列奥纳多·达·芬奇对这些立体矩阵的几何分析，几乎可以和他的艺术构思相提并论，这是其艺术构思的直接视觉描述。他所使用辩论另一面，就是使用适合用几何证明的一系列相互关联的原理。列奥纳多·达·芬奇采用这种辩论方式，来调查研究作为地球完整系统之一的水的自然特性。
气泡的形态变化
在阅读达·芬奇的手稿的时候，我们常常被一个困难所阻挠，就是达·芬奇的思维太过于活跃，你永远不知道他在叙述一个比如流体力学的问题的时候，下面的思路会跑到哪里去，说不定就是天文、地理、机械的其他问题，或者是一个孩子从他那里拿走了一块蜜饼或者是几个硬币。
毫无疑问，这一页手稿当中他想要阐述四元素水和空气之间的关系。他是从两个方面来进行阐述的：一方面，溶解在空气当中的水会想方设法逃逸，以气泡的形式浮出水面；另一方面被蒸发的水汽不会永远在空气的上空，而是会凝结之后，降落下来。这样，各个元素就会按照自己的重量分布在不同高度。其实归根结底，达·芬奇还是在阐述重力问题。在阐述这个问题的时候，达·芬奇又是发挥了它的奇特的想象力，居然为了论证水和空气的关系，甚至想到把土元素剥离。这样做的好处，就是让水元素在降落和达到平衡之后，形成自己的固定水位高度和中心。
在阐述这些问题的时候，达·芬奇对于细节的观察和把握的能力再一次显示无疑。在水中上升的气泡和浮在水面上的气泡，相信任何一个人都曾经目睹过，但是并不是每一个人能够详尽地观察到，在水中上升的气泡呈现完美的球形，而上升到水面之后，则会变成半圆形，被粘连的水表面所羁绊，而最终，水表面上的半圆形会破裂，将空气释放出来。
后世人一向赞叹达·芬奇天才的想象力——他的想象力似乎只能用“天才”的字样来形容，而任何“丰富”“奇特”“大胆”“不同寻常”都虚弱到不足以描述，但是事实上，达·芬奇的天才的想象力并不奇怪，并不是凭空而来的，而是建立在他的对于世界的细致观察和缜密思维的基础之上的。
水中气泡和水面气泡
十五项案例
如果水流来自北部的点a，呈圆弧绕向西南方向，遇到从西部流过来的冲击力较小的河流cr汇入其主流ed，冲击力小的河流便加入了主水流的旋转，在漩涡的下方形成最深的冲击坑，好像从北部过来的水流a朝西南方向冲击河岸mdf一样。
我认为，主水流在水流的中间，从d点冲击（河岸）。冲击主水流的小河流，没有必要追随大河流水，但可以随着涡流旋转，然后随着主漩涡的水，自己浸没到主水流的起点。
我们来证明这一点：假如水流cr和水流er以同样的角度和冲击力交锋，相互冲击，并如图中ed处所示，两者汇合成一股水流流向角t。水流cr不可能受到比较大的冲击后获得运动力，即受到主水流ed的冲击。这样水流cr便顺顺利利、畅通无阻地从主水流冲击的较高点d流下，一直穿过rtnmo。实际上，所有的水都偏向按照这个涡流方式流动，直到漩涡的上部在e点与主水流交锋，于是有水抬升，跃出水流的主体部分，并由此跳过主水流。在这里，漩涡会分离成两个不同的漩涡，因为它获得了相对比较平静的水。这些漩涡，小的追着大的，持续不断地对河床形成冲击，挖空河床……别处的水流漩涡其实也是如此，但话要一句一句讲，议题要一个一个说——也就是说，每个议题需要独立来讨论，研究好了这部分再研究那部分，按顺序推进——如此才不会晕头转向。
这样说来，每一条水流在水流力度最大的中间位置有三条中心线。第一条是从河床接触到水后的接触点开始；第二条在水深和宽度的中间位置；第三条在水面形成。但是中间的中线最关键，因为这条线领导着整个水流，令所有的反射力分离，并将这些反射出来的力统一到指定方向。
水流中心线的较高部分，也就相当于做落体运动的物体刚开始下行时的轨迹线；而水流中心线的较低部分，则以反射涡流方式呈现。也就是说，低处的水流之所以还能自行旋转、奔腾并继续降落，是仰仗于水此前从高处开始的落体运动。因为这牵扯到很多定义，所以我只讨论表面的水流，即只讨论其中心线的问题。
水流表面的中心线一般在水流最显著的位置，在水流所冲击的障碍物周围。而中心线仅在水流冲击平面物体后回落到水中的位置。底部水流的中心线，在冲击平面物体后，翻转朝向地球中心方向，在剥蚀河床的过程中，多次反复旋转，在河床掏出尽可能大的冲击坑——足以容纳其自身的旋转运动。所有其他的横向线均倾斜指向河床方向，对河床产生冲击。
如在e点……不管水浪是否在河床上形成沙浪，抑或是河床上的沙浪会否促使水流表面的水浪形成，通过了解浪的高度，可以观察到浪与浪之间的差别。通过观察这些高度上的差别，一般可以发现，在水流的落体运动和反射运动之间，存在着差别。
水漫过河岸，河岸上最浅的地方总是出现于反射运动的末端。而且河流最浅的地方，总是出现在几股水流交汇处的两侧。在两股水流之间总是有一些浅滩。所以如果物体前端平滑，或者两侧坡度相同，长度也相同，那么冲击这一物体的水流，其最高水面在物体前端的中心线上也会造成类似于浅滩的情况。
但是如果水流在冲击物体前端的中心线位置时，没有形成一定的角度，那么它冲击物体时形成的最高水面就不会再处于物体前端的中心线上，而是出现在上述角度的后方。表层的水流受到风的吹拂微波涟涟，一般水浪的运动速度比水流的速度快很多。按照比例，水浪比水的自然运动速度快很多，而且水浪的自然运动比沙浪的自然运动速度快，沙浪的运动速度比形成河岸的泥流运动速度快。但我要说的是，自由空气的运动比冲击水面的气流运动速度快很多，因为冲击水的风受到水面的阻力影响。
所有随着水流移动的沙浪，运动速度比风所吹送的风沙速度慢很多，因为水的运动比风的运动慢很多。
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