有效数字和试验结果的表示

有效数字和试验结果的表示_试验设计与统计分

由于Δx可正可负，因此可进一步转化为

或

由此可得

试验时真值往往是未知的，因此绝对误差也无法计算出来。但是在实验中，可依据所使用仪器的精确度，或根据实验数据进一步通过合理的统计分析方法对绝对误差的大小进行估算和预测。

2）相对误差

绝对误差对于相同或相似的试验可以反映试验值的准确程度，而对于不同的试验有时就无法反映试验值的准确程度。例如，测量大象的体重时出现几千克的绝对误差是正常的，反之测量一个蚂蚁的体重要出现几千克的绝对误差是无法想象的。因此，为了判断试验值的准确性，必须考虑试验值本身的大小，故引出了相对误差（relative error），即

即

式中　E r——相对误差；

Δx——绝对误差；

x t——真值。

由式（3.8）可知，相对误差能更准确地表达试验值的准确程度。

3）标准误差

标准误差（standard error）也称为均方根误差（mean⁃root square error）、标准偏差（standard discrepancy），或简称为标准差（standard deviation），总体方差用希腊字母σ表示。其计算方法为

在试验中，参数往往是未知的，对于样本（sample）来说，其标准误差用拉丁字母s来表示。其计算方法为

标准差不仅与资料值中每一个数据有关，而且能明显地反映出较大的个别误差。标准误差在实验数据分析中有很高的利用频率，通常被用来表示试验值的精密度。标准误差越小，则试验数据的精密度越高。

3.2.2　误差的来源

实验误差根据其性质或产生的原因，可分为随机误差（chance error）、系统误差（systematic error）和过失误差（mistake error）。

1）随机误差

随机误差是指在一定试验条件下，由于受偶然因素的影响而产生的试验误差，如气温的微小波动、电压的波动、原材料质量的微小差异、仪器的轻微振动等。这些影响实验结果的偶然因素是试验者无法严格控制的，因此，试验时随机误差是无法避免的。试验者只能在试验时通过实验设计控制误差，进一步通过合理的统计分析方法估算误差。

随机误差是无法预知的，同一个试验多个重复或重复同一试验，各观察值或试验结果之间绝对误差时正时负，绝对误差的绝对值时大时小。随机误差值的出现频率一般具有统计规律，即一般服从正态分布，绝对值小的误差值出现的几率高，而绝对值大的误差值出现的几率低，且绝对值相等的正负误差值出现的几率近似相等，故当试验次数较多时，由于正负误差值的相互抵消，随机误差的平均值趋向于零。因此，试验时为了提高试验的准确度，减小误差，可增加试验次数，或者增加重复次数。

2）系统误差

系统误差是指在一定试验条件下，由某个或某些因素按某一确定的规律起作用而产生的误差。

系统误差产生的原因是多方面的，可能来自仪器（如砝码生锈，皮尺因受力变长等），可能来自操作不当，也可来自个人的主观因素（如读取液面刻度或尺子刻度时的视角等），还可能来自试验方法本身的不完善等。

系统误差的大小及其符号在同一试验中基本上是恒定的，或者随试验条件的改变系统误差随某一确定的规律变化，试验条件一旦确定，系统误差就是客观存在的恒定值。

系统误差不能通过多次试验被发现，也不能通过多次试验取平均值而减小。但只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，就可对它进行校正或设法消除。

3）过失误差

过失误差主要是由于实验人员的粗心大意或失误造成的差错。过失误差是显然与事实不符的误差，没有一定的规律，如读数错误、记录错误或操作失误等。要避免过失误差，就要求实验者加强工作责任心。

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误差产生的相关因素

（1）人为因素

由于人为因素所造成的误差，包括误读、误算和视差等。而误读常发生在游标尺、分厘卡等量具。游标尺刻度易造成误读一个最小读数，如在10.00 mm处常误读成10.02 mm或9.98 mm。分厘卡刻度易造成误读一个螺距的大小，如在10.20 mm处常误读成10.70 mm或9.70 mm。误算常在计算错误或输入错误数据时所发生。视差常在读取测量值的方向不同或刻度面不在同一平面时所发生，两刻度面相差为0.3～0.4 mm，若读取尺寸在非垂直于刻度面时，即会产生视差的误差量。为了消除此误差，制造量具的厂商将游尺的刻划设计成与本尺的刻划等高或接近等高，游尺为凹V形且本尺为凸V形，因此形成两刻划等高。

（2）量具因素

由于量具因素所造成的误差，包括刻度误差、磨耗误差及使用前未经校正等因素。刻度分划是否准确，必须经由较精密的仪器来校正与追溯。量具使用一段时间后会产生相当程度磨耗，因此必须经校正或送修方能再使用。

（3）环境因素

测量时，由于受环境或场地的不同，可能造成的误差以热变形误差和随机误差为最显著。热变形误差通常发生于因室温、人体接触及加工后工件温度等情形下，因此必须在温湿度控制下，不可用手接触工件及量具，工件加工待冷却后才测量。但为了缩短加工时间在加工中需实时测量，因此必须考虑各种材料的热胀系数作为补偿，以避免因温度材料的热膨胀系数不同所造成的误差。

反思与练习

1.绝对误差、相对误差、标准误差的概念及计算方法是什么？

2.误差根据其性质或产生的原因可分为哪几种？

3.何为系统误差和随机误差？想一想在实验室如何控制实验误差。

任务3.3　试验数据的精准度

实验过程中的误差是无法消除的，这个误差可能是由系统误差产生的，或由随机误差造成的，也有可能是两者叠加造成的。为了更好地将它们加以区分，则引出精密度、正确度和准确度3个能表示误差性质的术语。

3.3.1　精密度

精密度（precision）是指在一定条件下多次试验，或同一试验多次重复的彼此符合程度或一致程度，它可以反映随机误差大小的程度。精密度的概念与重复试验时单次试验值的变动性有关，如果试验数据的分散程度较小，则说明是精密的。如甲乙两人各做5次同一个试验，所得的数据如下：

甲：8.5，8.6，8.5，8.4，8.5

乙：8.2，8.4，8.7，8.5，8.9

很显然，甲的试验数据彼此符合程度优于乙的数据，故甲试验员的试验结果精密度较高。

由于精密度反映了随机误差的大小，因此对于无系统误差的试验，可通过增加试验次数而达到提高试验精密度的目的。如果试验足够精密，则只需少量几次重复就能满足要求。

1）极差（range）

极差是指一组实验数据中最大值与最小值之间的差值，即

R＝x max－x min

由于极差仅仅利用了最大和最小两个试验值，因此无法精确反映随机误差的大小。但是，由于它计算方便，在快速检验中仍然得到了广泛的应用。

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极差用途和意义

在统计中，常用极差来刻画一组数据的离散程度，以及反映变量分布的变异范围和离散幅度。在总体中，任何两个单位的标准值之差都不能超过极差。同时，它能体现一组数据波动的范围。极差越大，离散程度越大；反之，离散程度越小。

极差只指明了测定值的最大离散范围，而未能利用全部测量值的信息，不能细致地反映测量值彼此相符合的程度。极差是总体标准偏差的有偏估计值，当乘以校正系数之后，可作为总体标准偏差的无偏估计值。它的优点是计算简单，含义直观，运用方便，故在数据统计处理中仍有相当广泛的应用。但是，它仅仅取决于两个极端值的水平，不能反映其间的变量分布情况，同时易受极端值的影响。

2）标准差

若随机误差服从正态分布，则可用标准差来反映随机误差的大小。总体标准差用σ表示，而样本方差用拉丁字母s表示，σ或s可由式（3.9）或式（3.10）计算获得。

标准差可以较好地反映试验值的精密程度，σ或s越小，实验数据的分散程度越小，试验的精密度越高，随机误差越小，则试验数据的正态分布曲线越尖。

3）方差

方差是各个数据与平均数之差的平方的和的平均数。这里就是标准差的平方，可用σ2（总体方差）和s2（样本方差）表示。显然，方差与标准差一样可反映试验的精密程度，即可以反映随机误差的大小。

3.3.2　正确度

正确度是指大量测试结果的（算术）平均数与真值或接受参照值之间的一致程度。它反映了系统误差的大小，是指在一定试验条件下，所有系统误差的综合。

由于精密度与正确度的高低反映了不同的误差性质、来源，因此试验的精密度高，正确度不一定高；反之，试验的精密度不高，也不能得到正确度不高的结论。如图3.1所示很好地说明了精密度与正确度的关系。

图3.1　精密度与正确度的关系

3.3.3　准确度

准确度（accuracy）是系统误差和随机误差的综合反映。它表示了试验结果与真值或标准值之间相接近的程度。

图3.2　无系统误差的试验

图3.3　有系统误差的试验

图3.2中，A，B，C 3个试验均无系统误差，实验误差均来自随机误差，试验结果服从正态分布，且对应着同一个真值，即A，B，C 3个试验的正确度相同，而3个试验的精密度则依次下降。图3.3中，由于试验存在系统误差，A∗，B∗，C∗3个试验的极限平均值均与真值不符，但综合试验的正确度与精确度可能多数情况下A∗试验的准确度还是要高于B试验和C试验的准确度。

反思与练习

1.精密度、正确度和准确度的概念及意义是什么？

2.极差、标准差和方差的概念及意义是什么？

任务3.4　有效数字和试验结果的表示

3.4.1　有效数字

在测量结果的数字表示中，由若干位可靠数字加一位可疑数字便构成了有效数字。试验数据总是以一定位数的数字表示出来，这些数字都是有效数字，而有效数字的末位数字往往是估计出来的，具有一定的误差。例如，用量筒测量出试验液体的体积为35.55 cm3，共有4位有效数字，其中，35.5是由量筒的刻度读出的，是准确的，而最后一位“5”则是估计出来的，是存在可疑成分的或欠准确的。

有效数字的位数可反映实验的精度或表示所用实验仪器的精度，因此不能随意多写或少写。若多写一位，则该数据不真实、不可靠：若少写一位，则损失了实验精度，实验结果同样不可靠，更是对高精仪器和时间的浪费。

小数点的位置不影响数据中有效数字的位数。例如，120 cm3，10.0 cm3两个数据的准确度是相同的，它们有效数字的位数都为3。

数字0在非0数字之间或末尾为有效数字，第一个非零数前的数字都不是有效数字。例如，12 cm3和12.00 cm3并不等价，前者有效数字为两位，后者是4位有效数字。它们是由精密程度不同的仪器测量获得的。因此在记录测量数据时不能随便省略末位的0。

3.4.2　有效数字的运算

在实验数据的整理或者数据分析过程中，总是要涉及有效数字的运算，有效数字的运算类型有以下7种：

1）加、减运算

加减法运算后的有效数字，取到参与运算各数中最靠前出现可疑数的那一位。例如，12.6＋8.46＋0.008计算方法为

计算结果应为21.1。

2）乘、除运算

在乘除运算中，乘积和商的有效数位数以参与运算各数中有效位数最少的为准。例如，12.6×2.21的有效数字为27.8。

3）乘方、开方运算

乘方、开方运算结果有效数字的位数应与其底数的相同。例如， 5.8＝2.408 3，其有效数字为2.4；而3.42＝11.56，其有效数字为11.6。

4）对数运算

对数的有效数字位数与其真数的相同。例如，ln 2.84＝1.043 8，其有效值为1.04。

5）自然数的有效数字

自然数不是测量值，不存在误差，故有效数字为无穷位。

6）常数的有效数字

常数π，e等的位数可与参与运算的量中有效数字最少的位数相同或多取一位。

7）一般实验中有效数字的取位

一般实验中，有效数字取2～3位有效数字就可满足试验对精确度的要求。只有实验对精确度要求特别高时，才取4位有效数字。

从有效数字的运算可知，每一个中间数据对实验结果的影响程度是不同的，精度低的数据对结果的影响较大。因此，在实验中应尽量选用精度一致的仪器和仪表，一两个高精度的仪器仪表无助于提高整个实验的精度。

3.4.3　有效数字的修约规则

对某一表示实验结果的数值（拟修约数）根据保留位数的要求，将多余的数字进行取舍，按照一定的规则，选取一个近似数（修约数）来代替原来的数，这一过程称为数值修约。有效数字的修约规则有以下3种：

①拟舍弃数字的最左一位小于5，则舍弃，即保留的个位数不变。例如，53.442 3修约到小数点后一位为53.4，将4.234 8修约到小数点后两位为4.23。

②拟舍弃数字的最左一位大于或等于5，且其后跟有非0数值时，则进1，即保留的末位数加1。例如将1 578修约到保留两位有效数字为16×102；将10.50修约到保留两位有效数字为11。

③拟舍弃数字的最左一位等于5，且其右无数字或皆为0时，若所保留的末位数字为奇数（1，3，5，7，9）则进1，为偶数（2，4，6，8，0）则舍弃。例如，将13.50修约到保留两位有效数字为14；将18.50修约到保留两位有效数字为18。

需要注意的是，若有多位要舍去，不能从最后一位开始进行连续的取舍，而是以拟舍弃数字的最左一位数字作为取舍的标准。

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有效数字中“0”的意义

“0”在有效数字中有两种意义：一种是作为数字定值；另一种是有效数字。例如，在分析天平上称量物质，得到以下质量：

以上数据中“0”所起的作用是不同的。在10.143 0中两个“0”都是有效数字，因此它有6位有效数字。在2.104 5中的“0”也是有效数字，因此它有5位有效数字。在0.2104中，小数点前面的“0”是定值用的，不是有效数字，而在数据中的“0”是有效数字，因此它有4位有效数字。在0.012 0中，“1”前面的两个“0”都是定值用的，而在末尾的“0”是有效数字，因此它有3位有效数字。

综上所述，数字中间的“0”和末尾的“0”都是有效数字，而数字前面所有的“0”只起定值作用。以“0”结尾的正整数，有效数字的位数不确定。例如，4 500这个数就不能确定是几位有效数字，可能为2位或3位，也可能是4位。遇到这种情况，应根据实际有效数字书写为：

4.5×103　2位有效数字。

4.50×103　3位有效数字。

4.500×103　4位有效数字。

因此很大或很小的数，常用10的乘方表示。当有效数字确定后，在书写时一般只保留一位可疑数字，多余数字按数字修约规则处理。

对于滴定管、移液管和吸量管，它们都能准确测量溶液体积到0.01 mL。因此，当用50 mL滴定管测定溶液体积时，如测量体积大于10 mL小于50 mL时，应记录为4位有效数字，如写成24.22 mL；如测定体积小于10 mL，应记录3位有效数字，如写成8.13 mL。当用25 mL移液管移取溶液时，应记录为25.00 mL。当用5 mL吸量管吸取溶液时，应记录为5.00 mL。当用250mL容量瓶配制溶液时，所配溶液体积应记录为250.0mL。当用50mL容量瓶配制溶液时，应记录为50.00 mL。

总而言之，测量结果所记录的数字，应与所用仪器测量的准确度相适应。

反思与练习

1.何为有效数字？自己出题练习有效数字的运算。

2.有效数字的修约规则是什么？