坐标系常数

由爱因斯坦上述两条假设,可以很容易地推导出洛伦兹变换的公式,根本不需要引入以太的概念。由于推导并不复杂,故我们写下证明的全过程。

设静止的坐标系为K(x,y,z),而运动的坐标系为K'(x',y', z'),如图3所示。坐标系的x轴与x'轴永远重合。我们首先考虑x轴和x'轴上发生的事件。任何一个这样的事件,对于坐标系K都是由横坐标x和时间t来表示,而对于坐标系K'则都是由横坐标x'和时间t'来表示。当给定x和t时,我们要求出x'和t'。沿着正x轴前进的一个光信号按照方程

x=ct

或

传播。由于同一光信号必须以速度c相对于K'传播,因此相对于坐标系K'的传播将由类似的公式

图3　静止的参照系K(x,y,z)和运动的参照系K'(x',y',z')

表示。满足式(5)的那些空时点(事件)必须也满足式(6)。显然这一点是成立的,只要关系

被满足。其中,λ表示一个常数;这是因为,按照式(7),(x-ct)等于零时,(x'-ct')就必然等于零。

若我们沿着负x轴方向传播的光线应用完全相同的考虑,就得到条件

将式(7)和式(8)相加或相减,且为方便起见,引入常数a和b,代换常数λ和μ,令

我们便得到方程

因此,若常数a和b为已知,我们就得到问题的解。a和b可由下述讨论确定。对于K'的原点,我们永远有x'=0。因此,按照式(9a),如果我们将K'的原点相对于K运动的速度称为v,就有

则有

同一量值v可以从式(9)得出,只要我们计算K'的另一点相对于K的速度,或者计算K的一点相对于K'的速度(指向负x轴)。总之,我们可以指定v为两坐标系的相对速度。

相对性原理告诉我们,由K判断的相对于K'保持静止的单位量杆的长度,必须恰好等于由K'判断的相对于K保持静止的单位量杆的长度。为了看一看由K观察x'轴上的诸点是什么样子,我们只需要从x轴对K'拍个“快照”。这意味着我们必须引入t(K的时间)的一个特别的值。例如t=0,对于这个t的值,我们从式(9a)就得到

x'=ax

因此,如果在K'坐标系中测量,则x'轴上两点相隔的距离为Δx'= 1。该两点在我们瞬时快照中间隔的距离就是

如果我们从K'(t'=0)拍取快照,则由式(9b)可得

0=act-bx

即t=x。将t值代入式(9a),并考虑到式(10),我们得到

由此我们推断,在x轴相隔距离为1(相对于K)的两点,即Δx= 1,在我们的快照下,将由距离

表示。

根据以上所述,这两个快照必须是全等的。因此,式(11)中的Δx必须等于式(12)中的Δx'。这样我们就得到

由式(10)和式(13)可决定常数b:

若在式(9)中代入这两个常数的值,我们就得到

即

这样,我们就得到了洛伦兹变换表达式。我们将在下面进一步讨论式(14)的物理意义。