自然界是跳跃的

量子概念的提出与黑体辐射实验有关。所谓“黑体”,是一种理想物体,对于外界向它辐射的电磁波,只吸收,而不反射。一块烧红的铁近似于黑体。我们将铁块加热,到了一定的温度,铁块变成暗红色。温度继续升高,铁块发出耀眼的光来,由红到黄,由黄到白。我们知道,光是电磁波,有红、橙、黄、绿、蓝、靛、紫等颜色,频率由低变高。黑体的温度越高,它辐射出来的电磁波中的高频成分越多。黑体辐射的能量中,各种频率的电磁波所占的百分比,可以用实验来测定。长期以来,用经典物理学无法解释这一实验结果。

对热辐射的真正研究是直到19世纪60年代之后才开始的,因为这时研究所需要的理论和实验的手段都已具备了。当时认为,从理论上确定热辐射中能量随频率的分布,只不过是热力学、分子运动论和电磁学的应用而已。于是,一大群学者在黑体辐射上进行研究。其主要的结果有:

斯忒藩—玻尔兹曼(Stefan-Boltzman)发现,黑体的热辐射的总能量与绝对温度的4次方成正比,即斯忒藩—玻尔兹曼定律。

维恩(Willheim Wien)发现,物体辐射时最强光的波长与绝对温度成正比,即维恩位移定律。但是,维恩并不满足于已取得的成就,他试图进一步找出黑体辐射的能量密度与辐射频率和绝对温度之间的关系。他根据斯忒藩—玻尔兹曼定律、维恩位移定律,并且假设黑体辐射是服从麦克斯韦速度分布的分子发射出来的,从而获得了被称为维恩辐射定律的公式。这一公式在λT→0时与实验结果是很吻合的;但芦默尔—普林塞姆(Lummer-Pringsheim)的实验肯定了维恩公式在长波部分,即光谱的红外部分与实验有差异。开尔文(Kelvin)把它看作笼罩在分子运动论基础上的又一朵“乌云”。

此后,物理学家金斯(James Jeans)沿着瑞利(John William Struff Rayleigh)的思路,进一步用电磁学理论和经典统计力学的能量均分定理,严格推导出一个辐射能量密度分布的公式,即瑞利—金斯(Rayleigh-Jeans)定律。

当时,就经典物理理论看,瑞利—金斯公式推导思路非常明确,其逻辑严密性也是无懈可击的,而且在维恩辐射定律所不适应的长波部分,即λT→∞时,与实验结果一致;但它有一个致命的缺点,就是在光谱的短波部分,即λT→0时,公式是发散的,能量密度为无限大,与实验有很大的分歧。这一点对当时的经典物理学是一个很大的打击。由于问题出现在短波(高频)段,即可见光的紫外一端,故被称为经典物理学的“紫外灾难”。

马克斯·普朗克(Max Plank)在研究此问题时,起初也推导出与维恩相类似的表达式。后来实验物理学家鲁本斯(Heinrich Rubeus)告诉他长波部分的实验结果(这一结果与瑞利—金斯所得到的公式是一致的)。他想,既然在λT→∞时鲁本斯得出了正确的结果,而在λT→0时维恩公式仍然是正确的,那么把两种临界情况下得出的结果结合在一起,是否可以得出一个新的公式来呢?于是,他把两种临界情况巧妙结合在一起,得出了一个新的辐射公式。这个被称为普朗克辐射定律的公式目前在教科书中表达如下:

式中, c 1=2πch=3.741 3×108 (W·μm4/m2)

c 2=hc/k=1.438 8×104 (μm·K)

这里c为光速,λ为波长,T为绝对温度,h为普朗克常数,k为玻尔兹曼常数。

1900年10月19日普朗克向德国物理学协会报告了上述结果。鲁本斯当天夜里进行了实验,并用测量数据检验了普朗克的辐射公式。10月20日清晨,他就通知普朗克说,处处都是令人满意的一致。以后又有许多人做了实验,证明普朗克公式确实在可能测量到的所有波长和所有温度下都是成立的。

普朗克公式不仅与实验结果是吻合的,而且它可以说是集前人工作之大成。由普朗克公式不难导出:

(1)维恩辐射定律(它在λT→0时是成立的)。

当λT→0时,若e c2/λT大于100,则式(1)内的1/(e c2/λT-1)近似等于e-c2/λT,其误差在百分之一内,便得到维恩辐射定律:

(2)瑞利—金斯定律(它在λT→∞时是成立的)。

当λT→∞时,展开式(1),便有

若c 2<λT<1,则方括弧内的二次项及其高次项为高阶小,可以略去,便得到瑞利—金斯定律:

(3)维恩位移定律。

将式(1)对λ求导,求其极大值λ=λm,则有

对上式整理后可得

求解上式,并把c 2值代入,便可得到维恩位移定律:

(4)斯忒藩—玻尔兹曼定律。

对普朗克公式(1)的各个波长求积分,则可得到

现令c 2/λT=u,对上式进行置换,便有

此积分式之值等于6π4/90,最后可得斯忒藩—玻尔兹曼定律:

式中σ为斯忒藩—玻尔兹曼常数。它等于

实验结果与普朗克的辐射公式精确一致,而且前人的结果,如上所述,乃是普朗克公式的特例或推演,给普朗克以很大的鼓舞;但同时也给他留下了一个最关键的理论问题,就是要找出这个定律所蕴含的、深刻的物理意义。普朗克冷静地认识到,如果他不能从理论上把这个公式推演出来,即使能证明公式是绝对精确的,人们最多也只会把它看成一个侥幸揣测出来的内插公式,则它的价值是有限的。

普朗克研究黑体辐射已多年了,以牛顿力学和麦克斯韦电磁场理论为基础的经典物理学的所有方法他都试过了,也都失败了。他发现,在经典统计理论里,能量是无限可分的。因此,黑体辐射中能量的吸收和发射是一个连续的过程。瑞利公式就是由能均分定理、某些经典热力学定律,以及电动力学定律推导出的必然结果。但是,瑞利公式在波长很短时,如果不人为地加上一个收敛的负指数项,就会导致能量发散的结果,与实验很不相符。是继续维护经典理论的逻辑性,还是尊重实验,大胆提出与经典理论很不相同的新概念呢?普朗克毅然选择了后者。

普朗克发现,如做如下假定,则可以从理论上导出他的黑体辐射公式。这假定是:对于一定频率υ的辐射,物体只能以hυ为单位吸收或发射它。h是一个普适常数(后来h被称为普朗克常数),当时被称为作用量子。换言之,物体吸收或发射电磁辐射,只能以“量子”(quantum)的方式进行。每个“量子”的能量为

普朗克公式到处受到欢迎,但是他的假设太“没有道理”了,使科学家感到震惊。因为这一假设说的是,受热物体辐射出的能量,不是以不断流水的形式,而是像极微小的炮弹那样,以分离的股股疾风的形式,由原子释放出来或者被原子吸收。这些分离的股股疾风,每一股中的能量总和,被普朗克称为“能量子”。可是,无论在力学中,还是在电磁场理论中,能量从来都是连续的;而现在,在普朗克的假设里,能量发生了飞跃,由连续变成了不连续,变成了一份一份能量子(量子)了。按照这样的说法,经典物理学所表达的“自然界是非跳跃的,是连续的”的原理将不再成立,也彻底变革了经典物理学中一切因果关系都是以物理量的连续变化为基础的物理学思想方法。从经典力学来看,这种能量不连续的概念是完全不容许的,尽管从这个量子假设可以导出与观测极为符合的普朗克公式。当时,物理学家谁也不相信普朗克的能量子假设,连普朗克自己也有点不大相信,忧心忡忡。

从普朗克最后提出量子概念的过程来看,他是在有了一个现成的、符合实验的答案,即普朗克公式的情况下,反过来寻求公式的物理解释,即试图重新从理论上推导这个公式。这种从一个已知的正确推论出发,一步步寻求得出这个推论的最初理论根据的方法,一般被称为溯因法。

溯因推理是一种繁杂的逻辑推理方式,它要求把产生已知结论的可能原因列举得越详细越好。这就不仅要求研究者具有非常清醒而又逻辑性强的头脑,而且要求研究者对这一领域和相关领域有深入的了解。溯因法还必须和演绎法结合在一起,因为只有对各种可能得出已知结论的理论都进行演绎推理,才有可能对这些理论做出比较和判断,从而排除一切不可能得出正确结果的理论。只有这样,才能一步步得出正确的理论根据。

普朗克得出与实验符合的辐射公式后,首先考虑到过去单纯依靠热力学和电动力学不可能得出这个结论,而玻尔兹曼和维恩的工作使他想到了统计理论和熵的关系,得出了从统计理论可能得出这一正确公式的结论;但是在经典统计理论对能量分配的处理上,他面临是否放弃经典理论的能量连续性这一基本概念问题。如果把溯因法坚持到底,必然会推到建立整个理论体系的理论基础上去。如果到这一步仍然找不到已知结论的理论根据,那么也许是推理的过程中逻辑上有错误。这可以回过头来再进行认真仔细的检查来解决。如果逻辑上没问题,这时就需要看研究者做出正确判断的能力和胆识了。普朗克认为,经典理论的能量连续性观念导致了与实验不符的能量发散的结果,只有突破经典理论的束缚,提出一种新的概念,即假定能量是不连续的,才能导出已知的正确结论。

普朗克这一推理过程的模式大致如图1所示。

图1　普朗克公式用溯因法推出量子论