完美的世界

完美的世界

自伽利略的发现开始，物理学家早已习惯运用数学来描述物理定律，这使得他们收获颇丰。对生活在现代的我们来说，自然规律必须通过数学语言来描述，这已不言自明。伽利略的时代大约处于欧几里得提出几何公理后的两千年，在这两千年中，没有人试图通过数学规律来解释物体的运动。从古希腊时代到17世纪，受过教育的人大多知道抛物线的几何定义。可当他们投球、射箭时，没有人思考过球或箭下落的轨迹。^[1]他们中的任何一个人都有可能提出伽利略的发现。这一发现所需要的数学工具早就被雅典的柏拉图以及亚历山大城的哲学家、大数学家希帕提娅（Hypatia）发展好了。可是没有人这么做。为什么伽利略会想到数学可以描述物体下落这样简单的物理过程呢？

这个问题将我们带入了一类简单却又难以回答的问题的核心：什么是数学？为什么数学关乎科学？

数学中的对象是纯思维的产物。在这个世界中，我们并没有发现抛物线，而是发明了抛物线。抛物线、圆、直线，这些都是我们头脑中的想法。我们构造它们并给予它们数学定义，举例来说，“圆是到一个固定点等距的点集……抛物线是到一个固定点及一条固定直线等距的点集”。一旦有了这些曲线的定义，我们就可以直接通过它们推导出曲线的一些性质。这正是高中几何课的教程。这些推导可以通过一种叫作“证明”的方式给出。在一则证明中，每一个论点都可依据简单的推理规则，由之前的论点推出。在这种高度形式化的推导之中，观测与度量并无一席之地。^[2]

我们可以画出一些几何曲线，它们可以近似数学证明中所给出的曲线的性质，可是这种曲线并不完美。类似地，我们可以在现实世界中找到一些几何曲线，比如悬索桥的悬索线，又比如猫伸懒腰时背部的曲线。可是，这类曲线仅仅是数学曲线的近似，当我们细看时，它们并不完美。这是数学面对的一个基本难题：数学研究的对象并不真实，它却可以用来解释真实的世界。怎么会这样？即便在极其简单的例子中，真实世界与数学的关系也并不显而易见。

你现在或许会质疑数学到底和引力有什么关系。我不得不在此跑题，因为与引力一样，数学也触及时间的核心奥秘。我们必须在一些简单的例子中厘清数学与自然的关系，物体的下落曲线便是其中一例。否则，当我们深入更现代的物理，遇到诸如“宇宙是一个四维时空流形”之类的观点时，我们会一头雾水。没有一些浅滩试水的经验，我们很容易成为那些故弄玄虚者的猎物。这些人打着科学的幌子，兜售着他们激进的形而上学幻想。

完美的圆或抛物线在自然界中并不存在，但在一点上它们与自然物体是共通的：两者都不会因为人类的意志或幻想而改变。圆周率就是其中一例，它等于一个圆的周长除以直径。圆周率这个概念一经发明，它的值便是一个客观存在，必须通过数学推导才能发现。有人试图通过立法规定圆周率的取值，这些行为暴露出人们的一个重大误解。不管人们如何期待，圆周率总在那里，它的值不会改变，这个道理适用于其他所有的几何曲线和数学对象。对于它们的特性，我们或许会说对或许会说错，但不论何时，我们都无法将其改变。

我们中的大多数人最终都接受了不能飞翔的事实；我们也终于开始承认，在许多方面我们对于大自然无能为力。这些只存在于我们脑海中的数学概念如同自然界的事物一样，客观存在且不会因为我们的意志改变，这岂不令人惴惴不安？我们发明了数学中的曲线与数字，可是它们一经发明，我们就再也无法改变它们。

尽管曲线和数字在其特征的稳定性及客观性上与自然世界的物体类似，但两者并不等同。曲线与数字缺乏一个基本属性，这一基本属性在每一个自然事物上都会得以体现。在这个真实的世界中，总是存在一个个时间片段。我们所知道的属于这个世界的一切物体都存在于时间长河之中；我们所作出的关于这个世界的一切观测都可以被回溯；我们中的每一个人、我们所知道的每一个事物，都只存在于某一个特定的时间间隔，在这个间隔之前或之后，我们以及所有的自然事物，并不存在。

曲线和其他数学对象存在于时间之外。再以圆周率的值为例，并不存在这样一天，在那天之前，圆周率的值是某个数或者还没给出；在那天之后，圆周率的值就变成了另一个数。再比如，在欧几里得几何学中，一个平面中的两条平行线永远不会相交，这条规律过去如此，未来也会如此。任何关于曲线、数字等数学对象正确性的论断都不需要考虑时间。数学对象超越了时间。但是，这些存在着的事物怎么会独立于时间呢？^[3]

人们对这些问题的争论已经持续了上千年，然而哲学家们还未就此达成一致，但其中一个提议自提出伊始便脱颖而出。这个提议认为，曲线、数字及其他数学对象以一种与我们所见的自然事物完全相同的方式存在。唯一的区别是，它们存在于独立于我们这个世界的另一个世界：这个世界没有时间。于是，我们的世界中出现了两类事物，受制于时间的事物和独立于时间的事物。事实上，它们正代表了它们身后的两个世界：受制于时间的世界和独立于时间的世界。

数学对象存在于一个遗世独立、没有时间的世界之中，人们常常认为这一观点源自柏拉图。他曾这样说道，当数学家们提起三角形的时候，他们并不是指任何存在于现实世界中的三角形，而是指一个理想化的三角形，这样的三角形是真实的（比现实世界中的三角形还真实），只不过它们存在于独立于时间的另一个世界。比如，三角形的内角和为180°，严格地说这条定理在物理世界中并不正确，但对存在于数学世界中的理想三角形来说，这条定理是绝对而且精确的。所以当证明这个定理时，我们获知了一些存在于时间之外的事物，同时我们证实了真理同样存在于时间之外，独立于过去、现在和未来。

如果柏拉图是正确的，那么通过推导，人类便可以超脱时间，了解永恒世界中的永恒真理。一些数学家声称，通过数学推理，他们获得了一些关于柏拉图世界的知识。如果所言为真，那么他们就掌握了一丝神性的线索。可是，真能做到这一点吗？他们的声明可信吗？

当我需要细究柏拉图主义时，我会邀请我的朋友吉姆·布朗（Jim Brown）共进午餐。我们两人都非常享受这顿大餐。席间，布朗会非常耐心地向我一遍遍地解释，为什么他相信数学世界是一个超脱时间的真实世界。在哲学家中，布朗绝非等闲之辈。他的思想犹如剃刀一般犀利，但性格却非常阳光。你能感觉到他非常享受生活，认识他自然也让人心情舒畅。他是一位出色的哲学家，精通有关此论题的两方面意见，并且他对自己无法反驳的对立观点也持相当开放的态度。可惜，我还是没有找到一种方法，借以挑战他对永恒世界存在性的信仰。有时我甚至怀疑，布朗如此快乐的原因，并不是因为他对人类作出了某种贡献，而是出于他对真理的信仰。

布朗及其他柏拉图主义者承认，他们面临着一个难题。人类受时间的约束，人类所接触的事物也会受时间的约束，但又是为什么受制于时间的我们可以获得永恒数学世界中的知识？我们通过逻辑推导获得数学真理，可是我们能够百分百地确信自己的推导是正确的吗？我们做不到这一点。我们偶尔可以发现，数学教科书中的证明存在着这样那样的错误。某些证明中的错误可能尚未被发现。当然你可以说所有的数学对象根本就不存在，所以也无所谓存不存在于时间之外。可是如果这样做，就是在说我们拥有一些关于根本就不存在的事物的可靠知识，这似乎也说不通。

另一位与我讨论柏拉图主义的朋友，是英国数学物理学家罗杰·彭罗斯（Roger Penrose）。他认为，数学世界中的真理拥有一个无法被任何公理体系所描绘的真实性。他认同大逻辑学家库尔特·哥德尔（Kurt Gödel）的观点，认为数学世界中的某些真理无法在公理体系内得以证明，它们的推导必须通过直觉。我记得有一次彭罗斯这样对我说：“对于‘1+1=2’，你当然会深信不疑。因为这是你可以通过直觉感知并确信的数学世界中的一部分。所以说‘1+1=2’这条定律本身，便是数学推导能够超越时间的证明。那好，你是否认同‘2+2=4’？你也会同意！那‘5+5=10’呢？你当然也会认同。所以你要相信你知道许许多多关于永恒数学世界的真相。”彭罗斯相信，人类的思维能超越各种错综复杂的日常经验，抵达其背后所隐藏着的永恒的真实世界。^[4]

当人们发现自己的下落体验是自然界中的普遍现象时，我们发现了引力；当我们试图理解引力时，我们认识到所有下落物体都沿着抛物线运动。这种一致性令人震惊。我们的一边是关于这个世界事物的普适现象，这些事物受制于时间；另一边是我们发明的某些理想化的概念，这些数学概念以及数学真理存在于时间之外；而两者相互关联。如果你同布朗、彭罗斯一样，是一名柏拉图主义者，你会觉得我们这个受制于时间的世界连接着另一个拥有着永恒真理与美丽的世界。所有物体均沿抛物线下落，这个发现恰恰是这种联系的一例佐证。于是乎，伽利略的这个简单发现拥有了先验式的或者说宗教式的重大意义：这一发现反映出永恒的神性究竟是如何作用于我们这个世界的。在我们这个不完美的世界中，一个正在下落的物体揭示出这样一个深刻事实：自然的深处存在一个完美的世界，它不会因为时间而改变。

这样一种通过科学来超脱时间的想法，吸引了包括我在内的许多人投身于科学的世界。但是，现在我发现我错了。在这一超脱时间梦想的核心存在一个致命的缺陷，它源于我们使用不受制于时间之物来解释受制于时间之物。由于无法实实在在地进入想象中的永恒世界，我们早晚会发现自己陷于某种杜撰（我会在随后的章节展示一些关于下落的杜撰）。一些人说，最终，我们的宇宙可以被另一个独立于万事万物的完美宇宙来解释。可在我眼中，这些观点的本质廉价而平庸。如果我们屈从于这些说法，科学将不幸地与神秘主义相融合。

我们对超越性的渴望往往基于某种宗教情怀。我们渴望从死亡、病痛以及有限的生命中得到解脱，这些渴望是宗教和神秘主义的动力源泉。对数学知识的追求是不是创造了一种新的教士？他们可以通过特别的渠道，获得非同寻常的知识。我们是否可以简单地将数学等同于某种宗教活动？当数学家们谈论他们的研究时，我们是否应该更细心地聆听这些人类最理性的思想者，因为他们的工作中蕴藏着某种超越有限人生的方法？

理解这个世界，还有另外一条更具挑战性的道路可走，我们可以用这个我们所知所感的世界本身来解释这个世界，可以只用真实的事物来解释世界的真实性，可以只用受制于时间的事物来理解世界为何受制于时间。尽管这条道路充满挑战，处处受限，缺乏浪漫，但最后它将大获成功。作为旅途终点的奖品，最终我们会通过时间本身来理解时间。