重返鸽巢原理

查尔斯·塞费（Charles Seife）

纽约大学新闻系教授，曾任《科学》撰稿人，著有《数字是靠不住的》（Proofiness, The Dark Arts of Mathematical Deception）。

有时候，即使是计数这样简单的事情都能让我们体会到，事物所具有的深奥。回到20世纪90年代末期的一天，当时我还是《新科学家》（New Magazine）杂志社的记者，我收到一封广告电子邮件，邮件中吹嘘有一款超级无敌的软件。说这款软件革命性的、高效能的数据压缩软件，足以将每一个数字档案压缩到95%以上，而且不会丢失任何一个比特的数据。如果真的存在这样的软件，难道我的杂志不会抓住机会，向全世界宣称，这个计算机软件将会使硬盘比过去多存储20倍以上的信息吗？

不，我的杂志不会这么做。

因为这样的压缩演算法压根不存在。这是与永动机画上等号的演算法。这样的软件压根就是骗人的把戏。原因就在于鸽巢原理。

鸽巢原理是个简单的计算论证。如果你有n只鸽子，要将鸽子放进少于n的盒子中，至少有一个盒子必须有一只以上的鸽子。显而易见地，这个论证是个强大的工具。举个例子，假设压缩软件真如广告所言，能将每个档案缩小20倍还不会失真的话，那么每个含有2 000比特的档案，会被压缩到只有100比特，然后当演算法反推时，就扩大回其原来的样子，并完好无损。

在对文件进行压缩时，这其中就蕴含了鸽巢原理。假设有许多含有2 000比特的鸽子（确切地说是2²⁰⁰⁰），其数量远远超过了含有100比特（2¹⁰⁰）的盒子的数量。如果演算法将前者塞进后者之中，起码有1个盒子里必须有多只鸽子才能完成。用那个含有100比特数据的盒子进行反向演算，把该档案扩大到原来的2 000比特。这是根本做不到的。因为有多重的2000比特的数据被挤进同一个含有100比特的盒子中，演算法无法得知哪一个才是真正的原型，因为它无法进行反向的压缩过程。

鸽巢原理针对压缩演算法的作用有着绝对的限制作用。它确实可以压缩一些档案，通常效果惊人，但它无法进行全部的压缩，至少，如果你坚持十全十美的话，它无法做到。

与鸽巢原理相类似的计数论证，为我们开启了探索整个新领域的大门。德国数学家格奥尔格·康托（Gerog Cantor）采用一种逆向鸽巢原理的方法证明了，即使有无限多个整数，将实数放进由整数标记的盒子也是行不通的。即无穷有不同的层级这几乎是无法想象的推论。整数的无限被实数的无限矮化，而实数又被另一种无限矮化，而另一种无限又被无限多的无限矮化，在我们学会对它们进行计数之前，一切都是未知的。

当鸽巢原理迈入如此深邃的空间时，我们会得到一个更为奇异的结果。物理学中有个原理叫作全息界线，即在任何有限体积的空间中，物质和能量的可能组合数量是有限的。如果真像宇宙学家认为的那样，宇宙是无限的，那么就会有无限多个可见的、如宇宙大小的空间，这些空间都是宇宙大小的巨型泡泡，其中包含物质和能量。如果空间或多或少是均匀的，则我们所在的这个宇宙与大大小小的泡泡相比，并无任何特别之处。把这些假设归纳在一起，将得到一个令人瞠目结舌的结论。

在无限多个宇宙大小的泡泡中，每个泡泡仅配置有一定数量的物质和能量，这意味着我们的宇宙和我们的地球并非仅有一个复制品；鸽巢原理的超限理论表明，每一个可能存在的宇宙，都有着无限数目的复制品。在无限可替换的地球上，不仅有无限个你的复制品，而且，在同一地球复制品上，还有千变万化的无数版本的你：一个版本中的你，有着一条卷尾；另一个版本的你则有着很多脑袋；还有个版本中的你，是靠着装扮成食肉的兔形动物，来换取廉价珠宝而成为人生赢家的你。甚至像数着1，2，3这样简单的事情，也可以引领你步入千奇百怪而又出乎意料的领域。