卡尔曼滤波器

15.4 卡尔曼滤波器

想象你在黄昏时分看着一只小鸟飞行穿过浓密的丛林：你只能隐隐约约、断断续续地瞥见小鸟运动的闪现；你试图努力地猜测小鸟在哪里以及下一时刻它会出现在哪里，才不至于失去它的行踪。或者再想象你是二战中的一个雷达操作员，正在跟踪一个微弱的游移目标，这个目标每隔 10 秒钟在屏幕上闪烁一次。或者，让我们回到更远的从前，想象你是开普勒（Kepler，1571-1630，德国著名天文学家，提出了著名的行星运行三大定律——译者注），正试图根据一组通过不规则和不准确的测量间隔得到的非常不精确的角度观测值来重新构造行星的运动轨迹。在所有这些情况下，你都试图根据随时间变化并且带有噪声的观察数据去估计物理系统的状态（例如位置、速度等等）。这个问题可以被形式化表示为时序概率模型上的推理，模型中的转移模型描述了运动的物理本质，而传感器模型则描述了测量过程。本节考察为解决这类问题而发展出来的一种特殊表示方法和推理算法；我们将谈论的这种方法被称为卡尔曼滤波——以其发明者鲁道夫·卡尔曼（Rudolf E. Kalman）的姓氏命名。

显然，我们需要一些连续变量来描述系统的状态。例如，小鸟的飞行可以用每个时间点的位置（X, Y, Z）和速度来描述。我们还需要合适的条件概率密度函数来表示转移模型和传感器模型；和在第十四章中一样，我们仍将使用线性高斯分布。这意味着下一个状态Xt+1必须是当前状态Xt的线性函数，再加上某个高斯噪声——事实表明在现实中这个条件是相当合理的。例如，考虑小鸟的X坐标，暂时先忽略其他坐标。令观测之间的间隔为Δ，并让我们假设速度恒定；那么位置更新由下式给出：

如果增加一个高斯噪声，那么我们得到一个线性高斯转移模型：

图15.7中显示了一个包含位置Xt和速度的系统的贝叶斯网络结构。注意这是一种形式非常特定的线性高斯模型；本节后面会介绍其一般形式，也会论及第一段中的运动模型之外的很多其它应用。关于高斯分布的某些数学上的性质，读者可以参考附录A；对于我们眼下的目标而言，最重要的是含有d个变量的多元高斯分布可以通过一个d元均值向量 μ 和一个d × d协方差矩阵 Σ 来指定。

图15.7 包含位置Xt、速度以及位置测量值Zt的线性动态系统的贝叶斯网络结构