卡尔曼滤波器的适用性

15.4.4 卡尔曼滤波器的适用性

卡尔曼滤波器及其具体形式得到了大量应用。其“经典”应用是对飞行器及导弹的雷达跟踪。相关的应用包括对潜艇及地面车辆的声学跟踪、车辆和人的视觉追踪等。在一些更加深奥的学科分支里，卡尔曼滤波器被用来根据云室相片重构粒子的运行轨迹，以及根据卫星对地球表面的测量重构洋流。卡尔曼滤波器的应用范围远不止跟踪物体的运动轨迹：任何通过连续状态变量与噪声测量来刻画的系统都可以。这样的系统包括纸浆厂、化工厂、核反应堆、植物生态系统以及国家经济。

卡尔曼滤波器能够应用于一个系统的事实并不意味着所得到的结果一定是有效的或者有用的。这里的假设——线性高斯的转移模型和传感器模型——其实是相当强的。扩展卡尔曼滤波器试图克服被建模的系统中的非线性。在一个系统中，如果转移模型不能描述为状态向量的矩阵乘法，如同公式(15.19)，这个系统就是非线性的。扩展卡尔曼滤波器的工作机理是将在xt=μt的区域中的状态xt（μt是当前状态分布的均值）当作局部线性的，在此基础上对系统进行建模。这对于光滑的、表现良好的（well-behaved）系统效果非常好，并且允许追踪者保持和更新一个合理近似于真实后验概率分布的高斯状态分布。

那么“不平滑”或者“表现不良的（poorly-behaved）”究竟是什么意思呢？从技术上来说，这意味着在“接近”于（根据协方差 Σt）当前均值μt 的区域内的系统响应具有非常显著的非线性。从非技术角度理解这个思想，考虑追踪一只鸟飞行穿过丛林的例子。鸟看起来会以很高的速度笔直朝一个树桩飞过去。卡尔曼滤波器，无论是常规的还是扩展的，都只会对鸟的位置做出一个高斯预测，而该高斯分布的均值将以树桩为中心，如图 15.10（a）所示。另一方面，关于鸟的一个合理模型应该能预测到鸟的躲避行动，从树桩的一侧或者另一侧绕过去，如图15.10 （b）所示。这样的模型就是高度非线性的，因为鸟的决策的变化强烈依赖于它和树桩之间的精确相对位置。

图15.10 一只鸟正在飞向一棵树（俯视）。（a）一个使用单高斯分布的卡尔曼滤波器将预测鸟的位置中心在障碍物上。（b）一个更真实的模型考虑了鸟的躲避行动，预测它将从树的一侧或者另一侧飞过去

为了处理类似于这样的例子，很显然我们需要一种表达能力更强的语言来表示被建模系统的行为。在控制论范畴，诸如飞行器避障机动这样的问题给我们带来了同样类型的困难，标准解决办法是使用切换卡尔曼滤波器。在这种方法里，多个卡尔曼滤波器并行运行，其中每个都使用不同的系统模型——例如，一个直行，一个向左急转，一个向右急转。我们使用的是这些预测结果的加权和，其中权值取决于每个滤波器对当前数据的适合程度。在下一节中我们会发现这只是通用动态贝叶斯网络模型的一种特殊情况，通过在图15.7所示网络中增加一个离散的“机动”状态变量就可以得到。习题15.5中将进一步讨论切换卡尔曼滤波器。