无透镜成像

24.2.1 无透镜成像——针孔照相机

最简单的成像方法莫过于使用针孔照相机，它的组成包括一个盒子，其前部的一个能透光的针孔O，以及盒子后部的图像平面（见图24.1）。我们将采用一个以O为原点的三维坐标系，并考虑场景中的一点P，其坐标为(X, Y, Z)。P被投影到图像平面上的点P '，坐标为(x, y, z)。设f是从针孔到图像平面的距离，那么根据相似三角形的性质，我们得到以下公式：

这些公式定义了一种成像过程，称为透视投影。值得注意的是，分母上的Z意味着物体离得越远，它的图像越小。还要注意到负号表示图像相对于实际场景是上下、左右颠倒的。

在透视投影的情况下，平行线汇聚于视平线上的一点（考虑铁轨的样子）。让我们看看为什么一定是这样的。在场景中经过点 (X0, Y0, Z0)，且方向为 (U, V, W) 的一条直线可以描述为点集(X0+λ U, Y0+λ V, Z0+λ W)，其中λ在−∞和+∞之间变化。这条直线上的一点Pλ到图像平面上的投影由下式给出：

当 λ→ ∞或 λ→ −∞时，上式变为p∞= ( f U / W, f V / W)，若W≠0。我们称p∞为与方向为 (U, V, W) 的直线族相关联的消失点。方向相同的直线具有同一个消失点。

图24.1 针孔照相机成像的几何原理

如果物体的尺寸比它到照相机的距离小得多，则我们可以用比例正交投影（scaled orthographic projection）来近似透视投影。 其思想如下： 设物体上点的深度Z在某个范围 Z0± ΔZ 内变化，其中ΔZ＜＜Z0，则透视比例因子f / Z可以近似为一个常数s = f / Z0。从场景坐标(X, Y, Z)到图像平面的投影公式变成x = sX 以及y = sY。注意比例正交投影是一种只对场景中深度变化不大的部分比较有效的近似方法，它不能用于研究“全局”的特性。这里用一个例子提醒你在使用它的时候要谨慎：在正交投影条件下，平行线将会保持平行，而不是交汇于一个消失点！