系统建模过程与方法

1.系统建模的一般过程

系统模型的建立,即系统的模型化,它是预测实体未来行为与状态变化的智力结构和数量化方法。该过程可用图1-11表示。

图1-11　模型化过程示意图

由图1-11可见,模型化的过程是对现实系统进行分析和观察,通过概念化获取信息,这是对系统的认识过程。对获取的信息经加工、处理,进一步深化认识后抽象出模型并用确定的形式进行描述,这是提高认识的过程。由于对系统的认识是逐步提高的,因此模型化的过程是认识—提高—再认识—再提高的过程。图1-11中的反馈即体现了这种再认识—再提高的过程。通过上述模型化的过程就可建立一个既反映现实系统的结构或行为,又能指导系统运行的模型,所以模型是源于现实系统又高于现实系统的人类思维的外在表现形式。

我们建模的目的在于通过模型对系统进行研究、分析和说明,揭示出实体系统已表现及尚未表现的状态变量之间的复杂关系,为决策提供一个综合分析的结构,寻找最佳方案。模型与现实实体行为状态之间的差异应尽可能地小,而模型的逼真程度则取决于建模者的知识水平和系统分析的能力。建立模型是一种创造性劳动,它既有大量的技术内容,又有通过塑造具体反映现实、反映作者思想的艺术内容。这里也只能提供一个建立模型的思考方法。

系统工程中使用的模型,通常都包括有可控变量和不可控变量。有如下形式:

　　U=f(x_i,y_j)(1.10)

式中,U:描述系统功能质量的效用或准则值,有时称为目标函数;

x_i:可控变量;

y_j:不可控变量,对U有影响;

f:U与x_i,y_j之间的关系函数。

上述表达式中,U代表目标值,一般希望达到最大值(如利润、效益等)或最小值(如成本、支付、亏损等),加上约束条件就形成一个系统模型。

2.常用建模方法

系统模型化是对系统整体而言的。由上述系统建模的一般过程可见,系统模型化最终落实到对具体提出的问题建立模型,因此本节介绍几种常见的建立模型的具体方法。

(1)直接分析法

该方法是按系统的性质和范围,通过直接分析的方法,运用已知的科学知识建立模型。运用该方法的前提是建模人员对系统内部结构和行为较清楚,且可以应用各种已知的科学知识对问题进行描述。

【例1.1】　流通加工中的下料问题。试求面积为一定值的矩形中,周长和为最小时的各边长度。这个问题可以记为以下的数学模型。

因为是矩形,所以对边两两相等。设其一边长为X,邻边长为Y,则周长L=2(X+Y)。如果矩形面积为A,则:

　　A=X·Y或Y=A/X

代入周长L的关系式,可得:

　　L=2(X+Y)=2(X+A/X)

上式中A是定值,即A是不可控变量,欲求L最小时的X值,可用一次导数为零来求解,解得X=Y。结果表示,要保持A不变而周长L最小时,X与Y应相等,即一个正方形。

(2)数据分析法

系统结构的性质尚不够清楚,但是,通过分析系统功能的已有数据或新做的试验所获取的数据可以建立系统的模型。生产中见到的产品质量问题,影响的因素很多,其中有的可控,有的却不可控(或难于控制),这些因素作用的大小和它们与质量指标之间的关系,可能还不够清楚。在这种情况下,往往可以使用回归分析等工具来帮助建立模型,再进一步分析各因素的作用。如评价钢盔和防弹背心的保护价值时,不可能用人来做实验,把评价防弹背心的效率准则取为弹片碰到背心后的残余速度,残余速度越低保护效率越高。相关方面曾构造过一个数学模型来进行评价,取得了良好的效果。又如对于化学铣切工艺质量有关参数的优选问题,经过多次实验,发现影响加工质量的主要可控变量是铝合金(x)和碱浓度(y)。利用已取得的数据构造外观质量与可控变量的回归方程,有了这个模型,就可以用优选法来选定x和y值,使外观、质量的分数(10分制)最高。

【例1.2】　如为预测某企业物流量,需找出物流量变化的规律。经统计分析,该企业物流量随时间的推移呈增长趋势,若仅限于物流量随时间变化的规律性,则可利用现有统计资料采用回归分析的方法建立模型。依据统计资料,经回归分析建立的该企业的物流量的预测模型为:

　　y=11.10+1.537t(1.10)

式中,y:物流量预测值(吨);

t:年(2000年t=0)。

该方法往往应用数理统计学理论,根据对所占有资料的分析与计算,最后得出模型。常用方法有:线性回归、非线性回归、旋转回归、数量化理论等。

(3)实验分析法

对于某些问题,现有的数据分析尚不能确定个别变量对整个系统工作指标的影响,在不可能做大量试验时,也可以在系统上做局部实验,确定关键的本质变量,弄清楚其本质特性及其对于所关心的指标的影响,逐渐分析,发现矛盾,建立实验模型,直到取得满意的效果为止。

【例1.3】　某厂按照过去的经验,当广告费用增加时,销售额度呈正比例递增(见图1-12a)。但是系统分析人员在研究其他产品时曾经发现,当广告费用增加到一定数量时不一定保证销售量会随之增加,而是出现了一段平台期(见图1-12b)。这样,系统分析人员联想到心理学中有一种典型的反映函数形式(见图1-12c)。这一心理学刺激反应规律说明一个道理,即推销员老是推销一种产品,顾客由于逆反心理反而不愿意购买它。因此,必然有一个最佳广告费用,即销售量刚刚达到饱和时的费用,但现在的数据又不能确定这最佳值,而厂家又不愿意承担实验的风险。该工厂选定250个销售区中的18个区做实验,证明每一类顾客的反映确实符合如图1-12c所示的形状,通过18个区的试验,大致找到了“最佳”广告费的范围,得到了它们的平均值、最小值及最大值。

图1-12　实验分析法示意图

(4)主观想象法

当系统结构性质不明确又无足够的数据,系统上无法做实验,此时看来无法建立模型,但实际上也是可以利用“主观想象”来人为地实现一个模型。例如,我们想研究未来若干年以后的大系统,诸如经济系统、军事系统、生态系统等,设想一些情况,然后构造一个简单的模型,据此推出一些结果,然而发动有关专家进行分析研究,反过来修正模型,然后再据此模型推出一些结果,如此往复多次,最后随着人们认识的深化,模型逐渐逼近一个真实的系统。

　　(5)人工实现法

当系统结构复杂、性质不明确、没有足够的数据,又无法在系统上做实验,或者不允许做实验时,可以利用人工现实系统逐步建立模型。一些物流系统有时属于这类模型,例如对于某些复杂的物流系统不能利用现实做实验,可借用人工现实,将实际情况作适当的简化,将人工现实分解成一些初等系统,从局部的小事件中了解情况,摸清底细,这样就比较容易形成模型;然后在返回到人工现实形成第一次模型M1;根据实际情况进行适当的补充修改,使之形成更加接近实际物流系统的M2。如此反复进行直到获得具有更为一般性和满意的模型为止。

(6)模拟分析法

用一个容易实现试验和计算的系统代替与其有相似特性的、进行数量描述与试验有困难的系统的方法叫模拟分析法。

【例1.4】　某公司准备建一临时材料库向n个工程项目工地供应材料,如何选择建设地址才能使总运输费用最省?

该问题可采用求不均匀物体重心的方法,按如下方法建立模拟模型。

按工程项目工地相对位置在一木盘上钻孔,将若干条线绳的一端连在一小铁环上,另一端分别穿过钻好的小孔,并按项目所需材料的比例挂上相应的砝码,这样小铁环就平衡在一个固定的位置(见图1-13)。

该模型就是应用求不均匀物体重心这一物理原理解决不能做实验或不容易做实验的系统问题的实例。

图1-13　选址模拟模型

该方法往往需要建模人员具有丰富的想象洞察力和抽象的联想概括能力,体现了很高的创新能力。

3.建立模型的步骤

不同条件下的建模方法虽然不同,但是建模的全过程始终离不开了解实际系统、掌握真实情况、抓住主要因素、弄清变量关系、构造模型、反馈使用效果、不断修改改进以逐步向实际逼近。因此,建立模型的步骤可以归纳为以下几个步骤。

(1)根据系统的目的,提出建立模型的目的

建立模型必须目的明确,它应明确回答“为什么建立模型?”等一类问题。如建立配送中心统计核算自动化系统中统计报表子模型,其目的就是实现统计报表自动化。

(2)根据建立模型的目的,提出要解决的具体问题

该步应明确回答“解决哪些问题?”之类的提问,也就是将建模目的具体化。提出问题实质上是对系统中影响建模目的的各种要素进行详细分析的过程。如要实现统计报表自动化,就必须详细分析报表种类、核算过程、核算方法、数据来源等,从而提出需解决的问题。

(3)根据所提出的问题,构思要建立的模型类型、各类模型之间的关系等,即构思所要建立的模型系统

为了达到建模目的,解决所提出的问题,一般要建立几个模型(个别情况可建一个模型),因此该阶段需回答“建一些什么样的模型?”“它们之间的关系是什么?”等问题。如统计报表自动化模型中需建总产值统计模型和劳动生产率核算模型等,二者的关系是只有总产值计算之后才能计算劳动生产率等,这样就构成一模型体系。

该步与问题提出阶段是一个反复修正的过程,问题的提出是构思模型系统的基础,而构思的模型系统又可补充问题的提出,这样多次反馈,则使问题提出更全面、模型结构更合理。

(4)根据所构思的模型体系,收集有关资料

为了实现所构思的模型,必须根据模型的要求收集有关资料,该步主要应回答“模型需要哪些资料?”等问题。如总产值核算模型需价格、商品产品数量和种类,劳动生产率模型需职工数等。

该步与构思的模型体系也有反馈关系,有时构思的模型所需的资料很难收集,这就需要重新修改模型,进而可能影响到问题的提出等。这样经过几次反馈即可收集建模所需的资料。

(5)设置变量和参数

变量和参数是构思模型时提出的,参数是在资料的收集、加工、整理后得出的,该步只是给以定义,一般要用一组符号表示,并整理成数据表和参数表的形式。该步需回答“需要哪些变量和参数?”等问题。

(6)模型具体化

模型具体化就是将变量和参数按变量之间的关系和模型之间的关系连接起来,用规定的形式进行描述。它应回答“模型的形式是什么?”之类的问题。

图1-14　建立模型的步骤

(7)检验模型的正确性

模型正确与否将直接影响建模目的。该步应回答“模型正确吗?”一类问题。检验模型的正确性应先从各模型之间的关系开始,研究所构成的模型体系是否能实现建模目的;而后研究每个模型是否正确地反映所提出的问题。一般检验方法是试算。如试算不正确,则应重新审查所构思的模型系统,从中找出问题。因此它与构思模型又构成反馈。

(8)将模型标准化

模型标准化是很重要的,一般情况下模型要对同类问题有指导意义,因此需具有通用性。该步需回答“该模型通用性如何?”等问题。如统计报表自动化系统模型应在一个行业、部门内通用才有实用价值。

　　(9)根据标准化的模型编制计算机程序,使模型运行

该步需回答“计算时间短吗?”“占用内存少吗?”等问题。

完成上述步骤,系统建模结束,其流程如图1-14所示。