应力和形变，弹性模量

物体由于外因（受力、湿度、温度场变化等）而变形时，在物体内各部分之间产生相互作用的内力，以抵抗这种外因的作用，并试图使物体从变形后的位置恢复到变形前的位置。在所考察的截面某一点单位面积上的内力称为应力。同截面垂直的称为正应力或法向应力，同截面相切的称为剪应力或切应力。应变则是物体形变的一种量度，应变分为线应变、切应变和体应变。在弹性限度内，应力与应变遵从胡克定律，即应力与应变成正比。在描述介质弹性性质时常使用以下弹性模量。

1.杨氏模量E

在纯伸长或压缩情况下纵向应力F/S和纵向应变ΔL/L的比值。S为截面积，L为原长度。即

在理解杨氏模量的意义时，要注意弹性常数与弹性极限的区别。例如，钢的杨氏模量为E=2.3×1011Pa，而钢的弹性极限Py=6.0×108Pa。代入式（21）可知，当伸长量ΔL等于原长度L，即ΔL/L=1时，P=E。因为Py＜P（ΔL/L=1），所以实际伸长量绝不可能达到原长度，伸长到原长度的1/4（ΔL/L=Py/E=25%），就已超弹性极限。

2.泊松系数γ

当样品受到纵向拉力，在纵向发生伸长的同时，在横向上也必然发生相应的缩短；反之，纵向压缩，必伴随横向的扩张。设样品的横截面线度为d，其变化量为Δd，则横向线度的相对变化率Δd/d与纵向长度的相对变化率ΔL/L之比为常数，此常数即为泊松系数，即

式中，负号是考虑Δd与ΔL符号相反，为要保证γ为正而取的。

实验表明，对于一切介质，γ介于0～1/2之间。金属介于1/4～1/3之间；对于地球介质，常取1/4表示地幔的大部分，对于地球外核（液态）则取为1/2。

3.体变模量K

纯流体在均匀静压力P作用下引起的体积应变为ΔV/V，则体变模量为

它的倒数1/K为压缩系数。

应指出，体变模量K可以从杨氏模量E和泊松系数γ推导出来。设一个立方体的边长为L，其体积则为V=L3。在液态静压力作用下，整个体积的相对变化率，由各边长的相对变化率决定，ΔV/V=3ΔL/L。对任意一个方向而言，在这个方向上的压应力，使其长度缩短ΔL′，而在与此垂直的另两个方向的压应力，又使其长度增长2γΔL′，故总的效果是这三个方向压应力作用之和，ΔL=（1-2γ）ΔL′。从而得出ΔV/V=3（1-2γ）×ΔL′/L，请注意，这里的ΔL′是在单向压力作用下的长度改变量。将这些关系代入体积模量和杨氏模量式，则可得到

K=E/3（1-2γ）（2-4）

体变模量又称容积模量。体变模量虽然与杨氏模量有关，但它们的物理意义不同：K反映的是三维空间的体积变化，而E反映的是一维空间的长度变化。K与E是通过γ建立联系的，从泊松系数定义式可知，当γ=1/3时，K=E；γ＜1/3时，K＜E；γ＞1/3时，K＞E。当然，这是各向同性、均匀、完全弹性的情况下才有的。

4.切变模量μ（又称刚性系数）

单纯发生切应力（剪应力）时，切应力F/S和切应变φ（形变角）的比值，如图21所示。

图21 剪切力

可以证明，切变模量μ可以由杨氏模量E和泊松比γ推导出来，其关系为

μ=E/2（1+γ）（2-6）

因为γ=0～0.5，故μ/E=0.3～0.5，即切变模量不足杨氏模量的一半。一般来说，介质容易发生扭曲破裂，而不易发生压缩破裂，其道理就在这里。正因为如此，天然地震所对应的介质破裂，通过震源机制研究得知，它们基本上属于剪切破裂。

上面介绍了表征弹性性质的4个参数：杨氏模量E、泊松系数γ、体变模量K、切变模量μ。前两个参量E，γ是基本的，可以用来表示后两个参数K和μ，但是，在实际的地学研究中，常由速度分布导出K，μ分布。因此，体变模量K和切变模量μ具有更重要意义。当已知K，μ后，可以用式（2-7）和式（2-8）计算出E和γ：